2024年江蘇省無(wú)錫市中考數(shù)學(xué)真題卷及答案解析

試題PAGE1試題2024年江蘇省無(wú)錫市中考試題一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的．）1.4的倒數(shù)是（）A. B. C.2 D.2.在函數(shù)中，自變量的取值范圍是（）A.x≠3 B.x＞3 C.x＜3 D.3.分式方程的解是（）A. B. C. D.4.一組數(shù)據(jù)：31，32，35，37，35，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)分別是（）A.34，34 B.35，35 C.34，35 D.35，345.下列圖形是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A.等邊三角形 B.直角三角形C.平行四邊形 D.正五邊形6.已知圓錐的底面圓半徑為3，母線(xiàn)長(zhǎng)為4，則圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.7.《九章算術(shù)》中有一道“鳧雁相逢”問(wèn)題（鳧：野鴨），大意如下：野鴨從南海飛到北海需要7天，大雁從北海飛到南海需要9天．如果野鴨、大雁分別從南海、北海同時(shí)起飛，經(jīng)過(guò)多少天相遇？設(shè)經(jīng)過(guò)天相遇，則下列方程正確的是（）A. B. C. D.8.如圖，在中，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．當(dāng)落在上時(shí)，的度數(shù)為（）A. B. C. D.9.如圖，在菱形中，，是中點(diǎn)，則的值為（）A. B. C. D.10.已知是的函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是．我們將稱(chēng)為這個(gè)函數(shù)的“級(jí)關(guān)聯(lián)范圍”．例如：函數(shù)，存在，，當(dāng)時(shí)，，即，所以是函數(shù)的“2級(jí)關(guān)聯(lián)范圍”．下列結(jié)論：①是函數(shù)的“1級(jí)關(guān)聯(lián)范圍”；②不是函數(shù)的“2級(jí)關(guān)聯(lián)范圍”；③函數(shù)總存在“3級(jí)關(guān)聯(lián)范圍”；④函數(shù)不存在“4級(jí)關(guān)聯(lián)范圍”．其中正確的為（）A.①③ B.①④ C.②③ D.②④二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．）11.分解因式：x2－9＝______．12.在科技創(chuàng)新的強(qiáng)力驅(qū)動(dòng)下，中國(guó)高鐵事業(yè)飛速發(fā)展，高鐵技術(shù)已經(jīng)領(lǐng)跑世界．截至2023年底，我國(guó)高鐵營(yíng)業(yè)里程達(dá)到．?dāng)?shù)據(jù)45000用科學(xué)記數(shù)法表示為_(kāi)_____．13.正十二邊形的內(nèi)角和等于______度．14.命題“若，則”______命題．（填“真”或“假”）15.某個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大．請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)符合上述條件的函數(shù)表達(dá)式：______．16.在中，，，，分別是的中點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．17.在探究“反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)”時(shí)，小明先將直角邊長(zhǎng)為5個(gè)單位長(zhǎng)度的等腰直角三角板擺放在平面直角坐標(biāo)系中，使其兩條直角邊分別落在軸負(fù)半軸、軸正半軸上（如圖所示），然后將三角板向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，小明發(fā)現(xiàn)兩點(diǎn)恰好都落在函數(shù)的圖象上，則的值為_(kāi)_____．18.如圖，在中，，，直線(xiàn)，是上的動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外），射線(xiàn)交于點(diǎn)．在射線(xiàn)上取一點(diǎn)，使得，作，交射線(xiàn)于點(diǎn)．設(shè)，．當(dāng)時(shí)，______；在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為_(kāi)_____．三、解答題（本大題共10小題，共96分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟等．）19.計(jì)算：（1）；（2）．20.（1）解方程：；（2）解不等式組：21.如圖，在矩形中，是的中點(diǎn)，連接．求證：（1）；（2）．22.一只不透明的袋子中裝有1個(gè)白球、1個(gè)紅球和1個(gè)綠球，這些球除顏色外都相同．（1）將球攪勻，從中任意摸出1個(gè)球，摸到白球的概率是______；（2）將球攪勻，從中任意摸出1個(gè)球，記錄顏色后放回、攪勻，再?gòu)闹腥我饷?個(gè)球．求2次摸到的球顏色不同的概率．（請(qǐng)用“畫(huà)樹(shù)狀圖”或“列表”等方法寫(xiě)出分析過(guò)程）23.“五谷者，萬(wàn)民之命，國(guó)之重寶．”夯實(shí)糧食安全根基，需要強(qiáng)化農(nóng)業(yè)科技支撐．農(nóng)業(yè)科研人員小李在試驗(yàn)田里種植了新品種大麥，為考察麥穗長(zhǎng)度的分布情況，開(kāi)展了一次調(diào)查研究．【確定調(diào)查方式】（1）小李計(jì)劃從試驗(yàn)田里抽取100個(gè)麥穗，將抽取的這100個(gè)麥穗的長(zhǎng)度作為樣本，下面的抽樣調(diào)查方式合理的是______；（只填序號(hào)）①抽取長(zhǎng)勢(shì)最好的100個(gè)麥穗的長(zhǎng)度作為樣本②抽取長(zhǎng)勢(shì)最差的100個(gè)麥穗的長(zhǎng)度作為樣本③隨機(jī)抽取100個(gè)麥穗的長(zhǎng)度作為樣本【整理分析數(shù)據(jù)】（2）小李采用合理的調(diào)查方式獲得該試驗(yàn)田100個(gè)麥穗的長(zhǎng)度（精確到0.1cm），并將調(diào)查所得的數(shù)據(jù)整理如下：試驗(yàn)田100個(gè)麥穗長(zhǎng)度頻率分布表長(zhǎng)度頻率0.040.450300.09合計(jì)1根據(jù)以上圖表信息，解答下列問(wèn)題：①頻率分布表中的______；②請(qǐng)把頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整；（畫(huà)圖后請(qǐng)標(biāo)注相應(yīng)數(shù)據(jù)）【作出合理估計(jì)】（3）請(qǐng)你估計(jì)長(zhǎng)度不小于的麥穗在該試驗(yàn)田里所占比例為多少．24.如圖，在中，．（1）尺規(guī)作圖：作的角平分線(xiàn)，在角平分線(xiàn)上確定點(diǎn)，使得；（不寫(xiě)作法，保留痕跡）（2）在（1）的條件下，若，，，則的長(zhǎng)是多少？（請(qǐng)直接寫(xiě)出的值）25.某校積極開(kāi)展勞動(dòng)教育，兩次購(gòu)買(mǎi)兩種型號(hào)的勞動(dòng)用品，購(gòu)買(mǎi)記錄如下表：A型勞動(dòng)用品（件）B型勞動(dòng)用品（件）合計(jì)金額（元）第一次20251150第二次1020800（1）求兩種型號(hào)勞動(dòng)用品的單價(jià)；（2）若該校計(jì)劃再次購(gòu)買(mǎi)兩種型號(hào)的勞動(dòng)用品共40件，其中A型勞動(dòng)用品購(gòu)買(mǎi)數(shù)量不少于10件且不多于25件．該校購(gòu)買(mǎi)這40件勞動(dòng)用品至少需要多少元？（備注：A，B兩種型號(hào)勞動(dòng)用品的單價(jià)保持不變）26.如圖，是的直徑，內(nèi)接于，，的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）求的度數(shù)．27.【操作觀察】如圖，在四邊形紙片中，，，，，．折疊四邊形紙片，使得點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)始終落在上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，折痕與分別交于點(diǎn)．解決問(wèn)題】（1）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求的長(zhǎng)；（2）設(shè)直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．28.已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)，都在該二次函數(shù)的圖象上，試比較和的大小，并說(shuō)明理由；（3）點(diǎn)在直線(xiàn)上，點(diǎn)在該二次函數(shù)圖象上．問(wèn)：在軸上是否存在點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是正方形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2024年江蘇省無(wú)錫市中考試題一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的．）1.4的倒數(shù)是（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】本題主要了考查倒數(shù)的意義，根據(jù)乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)求解即可．【詳解】解：4的倒數(shù)是，故選：A．2.在函數(shù)中，自變量的取值范圍是（）A.x≠3 B.x＞3 C.x＜3 D.【答案】D【解析】【分析】利用二次根式有意義的條件求解即可.【詳解】根據(jù)二次根式有意義的條件，得：，解得，，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了求自變量的取值范圍，掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵.3.分式方程的解是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了解分式方程，先去分母，將分式方程化為整式方程，再進(jìn)行計(jì)算，最后驗(yàn)根即可．【詳解】解：，，，檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，∴是原分式方程的解，故選：A．4.一組數(shù)據(jù)：31，32，35，37，35，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)分別是（）A.34，34 B.35，35 C.34，35 D.35，34【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了平均數(shù)與中位數(shù)的定義，根據(jù)平均數(shù)與中位數(shù)的定義求解即可．【詳解】解：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是：，這組數(shù)據(jù)從小大到大排序?yàn)椋?1，32，35，35，37，∵一共有5個(gè)數(shù)據(jù)，∴中位數(shù)為第3位數(shù)，即35，故選：C．5.下列圖形是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A.等邊三角形 B.直角三角形C.平行四邊形 D.正五邊形【答案】C【解析】【分析】根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義依次進(jìn)行判斷即可得．【詳解】解：A、等邊三角形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；B、直角三角形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；C、平行四邊形，是中心對(duì)稱(chēng)圖形，選項(xiàng)說(shuō)法正確，符合題意；D、正五邊形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了中心對(duì)稱(chēng)圖形，解題的關(guān)鍵是掌握中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義．6.已知圓錐的底面圓半徑為3，母線(xiàn)長(zhǎng)為4，則圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了圓錐的側(cè)面積展開(kāi)圖公式，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A錐的側(cè)面積的計(jì)算公式：圓錐的側(cè)面積底面半徑母線(xiàn)長(zhǎng)．【詳解】解：，故選：B．7.《九章算術(shù)》中有一道“鳧雁相逢”問(wèn)題（鳧：野鴨），大意如下：野鴨從南海飛到北海需要7天，大雁從北海飛到南海需要9天．如果野鴨、大雁分別從南海、北海同時(shí)起飛，經(jīng)過(guò)多少天相遇？設(shè)經(jīng)過(guò)天相遇，則下列方程正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意可得野鴨的速度為，大雁的速度為，設(shè)經(jīng)過(guò)天相遇，則相遇時(shí)野鴨的路程+大雁的路程=總路程，據(jù)此即可列出方程．【詳解】解：設(shè)經(jīng)過(guò)天相遇，可列方程為：，故選：A．8.如圖，在中，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．當(dāng)落在上時(shí)，的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，由三角形內(nèi)角和定理可得出，最后根據(jù)角的和差關(guān)系即可得出答案．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出，∵，∴，∴，∴，故選：B．9.如圖，在菱形中，，是的中點(diǎn)，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了解直角三角形，菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握菱形四邊都相等，以及正確畫(huà)出輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形求解．延長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)E作延長(zhǎng)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)H，設(shè)，易得，則，進(jìn)而得出，再得出，最后根據(jù)，即可解答．【詳解】解：延長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)E作延長(zhǎng)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)H，∵四邊形是菱形，∴，，∴，設(shè)，∵是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，故選：C．10.已知是的函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是．我們將稱(chēng)為這個(gè)函數(shù)的“級(jí)關(guān)聯(lián)范圍”．例如：函數(shù)，存在，，當(dāng)時(shí)，，即，所以是函數(shù)的“2級(jí)關(guān)聯(lián)范圍”．下列結(jié)論：①是函數(shù)的“1級(jí)關(guān)聯(lián)范圍”；②不是函數(shù)的“2級(jí)關(guān)聯(lián)范圍”；③函數(shù)總存在“3級(jí)關(guān)聯(lián)范圍”；④函數(shù)不存在“4級(jí)關(guān)聯(lián)范圍”．其中正確的為（）A.①③ B.①④ C.②③ D.②④【答案】A【解析】【分析】本題考查了新定義，一次函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)．推出在時(shí)，，即，即可判斷①；推出在時(shí)，，即，即可判斷②；③設(shè)當(dāng)，則，當(dāng)函數(shù)存在“3級(jí)關(guān)聯(lián)范圍”時(shí)，整理得，即可判斷③；設(shè)，則，當(dāng)函數(shù)存在“4級(jí)關(guān)聯(lián)范圍”時(shí)，，求出m和n的值，即可判斷④．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∵，∴y隨x的增大而減小，∴在時(shí)，，即，∴是函數(shù)的“1級(jí)關(guān)聯(lián)范圍”；故①正確，符合題意；②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∵對(duì)稱(chēng)軸為y軸，，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，∴在時(shí)，，即，∴是函數(shù)的“2級(jí)關(guān)聯(lián)范圍”，故②不正確，不符合題意；③∵，∴該反比例函數(shù)圖象位于第一象限，且在第一象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。O(shè)當(dāng)，則，當(dāng)函數(shù)存在“3級(jí)關(guān)聯(lián)范圍”時(shí)，整理得：，∵，，∴總存在，∴函數(shù)總存在“3級(jí)關(guān)聯(lián)范圍”；故③正確，符合題意；④函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，∵，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，設(shè)，則，當(dāng)函數(shù)存在“4級(jí)關(guān)聯(lián)范圍”時(shí)，，解得：，∴是函數(shù)的“4級(jí)關(guān)聯(lián)范圍”，∴函數(shù)存在“4級(jí)關(guān)聯(lián)范圍”，故④不正確，不符合題意；綜上：正確的有①③，故選：A．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．）11.分解因式：x2－9＝______．【答案】(x＋3)(x－3)【解析】【詳解】解：x2-9=（x+3）（x-3），故答案：（x+3）（x-3）.12.在科技創(chuàng)新的強(qiáng)力驅(qū)動(dòng)下，中國(guó)高鐵事業(yè)飛速發(fā)展，高鐵技術(shù)已經(jīng)領(lǐng)跑世界．截至2023年底，我國(guó)高鐵營(yíng)業(yè)里程達(dá)到．?dāng)?shù)據(jù)45000用科學(xué)記數(shù)法表示為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值大于1的數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值大于1的數(shù)的方法：將原數(shù)化為的形式，其中，n為整數(shù)，n的值等于把原數(shù)變?yōu)閍時(shí)小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)．【詳解】解：數(shù)據(jù)45000用科學(xué)記數(shù)法表示，故答案為：．13.正十二邊形的內(nèi)角和等于______度．【答案】##1800度【解析】【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：，∴正十二邊形的內(nèi)角和等于．故答案為：．14.命題“若，則”是______命題．（填“真”或“假”）【答案】假【解析】【分析】本題主要考查了真假命題的判斷以及不等式的性質(zhì)，根據(jù)，可得出，進(jìn)而可判斷出若，則是假命題．【詳解】解：∵∴，∴若，則是假命題，故答案為：假．15.某個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大．請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)符合上述條件的函數(shù)表達(dá)式：______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已知條件解題即可．【詳解】解：根據(jù)題意有：，故答案為：（答案不唯一）16.在中，，，，分別是的中點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】9【解析】【分析】本題考查了三角形的中位線(xiàn)定理，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊且等于第三邊的一半．根據(jù)三角形的中位線(xiàn)定理得出，即可解答．【詳解】解：∵，，，分別是的中點(diǎn)，∴，∴的周長(zhǎng)，故答案為：9．17.在探究“反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)”時(shí)，小明先將直角邊長(zhǎng)為5個(gè)單位長(zhǎng)度的等腰直角三角板擺放在平面直角坐標(biāo)系中，使其兩條直角邊分別落在軸負(fù)半軸、軸正半軸上（如圖所示），然后將三角板向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，小明發(fā)現(xiàn)兩點(diǎn)恰好都落在函數(shù)的圖象上，則的值為_(kāi)_____．【答案】2或3【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)，平移，解一元二次方程．先得出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，再得出平移后點(diǎn)A和點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)平移后兩點(diǎn)恰好都落在函數(shù)的圖象上，列出方程求解即可．【詳解】解：∵，∴，設(shè)平移后點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，∴，∵兩點(diǎn)恰好都落在函數(shù)的圖象上，∴把代入得：，解得：或．故答案為：2或3．18.如圖，在中，，，直線(xiàn)，是上的動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外），射線(xiàn)交于點(diǎn)．在射線(xiàn)上取一點(diǎn)，使得，作，交射線(xiàn)于點(diǎn)．設(shè)，．當(dāng)時(shí)，______；在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為_(kāi)_____．【答案】①.2②.【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例．易得，則，得出，代入數(shù)據(jù)即可求出；根據(jù)，得出，設(shè)，則，通過(guò)證明，得出，則，進(jìn)而得出，結(jié)合，可得，代入各個(gè)數(shù)據(jù)，即可得出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式．【詳解】解：∵，，∴，∴，∴，即，∵，∴；∵，∴，即，整理得：，設(shè)，∵，∴，∵，∴，∴，即，整理得：，∴，∵，∴，即，整理得：，故答案為：2，．三、解答題（本大題共10小題，共96分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟等．）19.計(jì)算：（1）；（2）．【答案】（1）2（2）【解析】【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，整式的混合運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算順序和運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）先將絕對(duì)值，算術(shù)平方根，負(fù)整數(shù)冪化簡(jiǎn)，再進(jìn)行計(jì)算即可；（2）先根據(jù)去括號(hào)法則和完全平方公式將括號(hào)展開(kāi)，再合并同類(lèi)項(xiàng)即可．【小問(wèn)1詳解】解：；【小問(wèn)2詳解】解：．20.（1）解方程：；（2）解不等式組：【答案】（1），（2）【解析】【分析】本題考查了解一元二次方程，解一元一次不等式組．（1）先移項(xiàng)，再用直接開(kāi)平方法即可求解；（2）先分別求解兩個(gè)不等式，再根據(jù)口訣“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到”即可寫(xiě)出不等式組的解集．【詳解】（1）解：，，或，解得：．（2）解：，由①可得：，由②可得：，∴原不等式組的解集為．21.如圖，在矩形中，是的中點(diǎn)，連接．求證：（1）；（2）．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊對(duì)等角．（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，再根據(jù)中點(diǎn)的定義得出，即可根據(jù)求證；（2）根據(jù)全等的性質(zhì)得出，根據(jù)等邊對(duì)等角即可求證．【小問(wèn)1詳解】證明：∵四邊形是矩形，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴小問(wèn)2詳解】證明：∵，∴，∴．22.一只不透明的袋子中裝有1個(gè)白球、1個(gè)紅球和1個(gè)綠球，這些球除顏色外都相同．（1）將球攪勻，從中任意摸出1個(gè)球，摸到白球的概率是______；（2）將球攪勻，從中任意摸出1個(gè)球，記錄顏色后放回、攪勻，再?gòu)闹腥我饷?個(gè)球．求2次摸到的球顏色不同的概率．（請(qǐng)用“畫(huà)樹(shù)狀圖”或“列表”等方法寫(xiě)出分析過(guò)程）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了列表法或樹(shù)狀圖法求概率，列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹(shù)狀圖法適用于兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)還要注意是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．（1）直接利用概率公式，即可解答；（2）根據(jù)題意列出表格，數(shù)出所有的情況數(shù)和符合條件的情況數(shù)，再根據(jù)概率公式，即可解答．【小問(wèn)1詳解】解：∵袋子中一共有3個(gè)球，其中只有一個(gè)白球，∴摸到白球的概率，故答案為：；【小問(wèn)2詳解】解：根據(jù)題意列出表格如下：

白紅綠白（白，白）（白，紅）（白，綠）紅（紅，白）（紅，紅）（紅，綠）綠（綠，白）（綠，紅）（綠，綠）由表可知，一共有9種等可能的情況，2次摸到的球顏色不同的情況有6種，∴2次摸到的球顏色不同的概率．23.“五谷者，萬(wàn)民之命，國(guó)之重寶．”夯實(shí)糧食安全根基，需要強(qiáng)化農(nóng)業(yè)科技支撐．農(nóng)業(yè)科研人員小李在試驗(yàn)田里種植了新品種大麥，為考察麥穗長(zhǎng)度的分布情況，開(kāi)展了一次調(diào)查研究．【確定調(diào)查方式】（1）小李計(jì)劃從試驗(yàn)田里抽取100個(gè)麥穗，將抽取的這100個(gè)麥穗的長(zhǎng)度作為樣本，下面的抽樣調(diào)查方式合理的是______；（只填序號(hào)）①抽取長(zhǎng)勢(shì)最好的100個(gè)麥穗的長(zhǎng)度作為樣本②抽取長(zhǎng)勢(shì)最差的100個(gè)麥穗的長(zhǎng)度作為樣本③隨機(jī)抽取100個(gè)麥穗的長(zhǎng)度作為樣本【整理分析數(shù)據(jù)】（2）小李采用合理的調(diào)查方式獲得該試驗(yàn)田100個(gè)麥穗的長(zhǎng)度（精確到0.1cm），并將調(diào)查所得的數(shù)據(jù)整理如下：試驗(yàn)田100個(gè)麥穗長(zhǎng)度頻率分布表長(zhǎng)度頻率0.040.450.300.09合計(jì)1根據(jù)以上圖表信息，解答下列問(wèn)題：①頻率分布表中的______；②請(qǐng)把頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整；（畫(huà)圖后請(qǐng)標(biāo)注相應(yīng)數(shù)據(jù)）【作出合理估計(jì)】（3）請(qǐng)你估計(jì)長(zhǎng)度不小于的麥穗在該試驗(yàn)田里所占比例為多少．【答案】（1）③（2）①0.12，頻數(shù)分布直方圖見(jiàn)詳解（3）【解析】【分析】本題主要考查了抽樣調(diào)查的合理性，補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖的相關(guān)知識(shí)，掌握抽樣調(diào)查以及讀懂頻數(shù)分布直方圖是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)抽樣調(diào)查的特點(diǎn)回答即可．（2）①用1減去其他頻率即可求出m的值．②先求出麥穗長(zhǎng)度頻率分布在之間的頻數(shù)，然后即可補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖（3）把長(zhǎng)度不小于的麥穗的頻率相加即可求解．【詳解】解：（1）∵抽樣調(diào)查方式樣本的選取需要的是廣泛性和可靠性，∴抽樣調(diào)查方式合理的是隨機(jī)抽取100個(gè)麥穗的長(zhǎng)度作為樣本，故答案為：③（2）①頻率分布表中的，故答案為：0.12，②麥穗長(zhǎng)度頻率分布在之間的頻數(shù)有：，頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)全如下：（3），故長(zhǎng)度不小于的麥穗在該試驗(yàn)田里所占比例為．24.如圖，在中，．（1）尺規(guī)作圖：作的角平分線(xiàn)，在角平分線(xiàn)上確定點(diǎn)，使得；（不寫(xiě)作法，保留痕跡）（2）在（1）的條件下，若，，，則的長(zhǎng)是多少？（請(qǐng)直接寫(xiě)出的值）【答案】（1）見(jiàn)詳解（2）【解析】【分析】（1）作的角平分線(xiàn)和線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)相交于點(diǎn)D，即為所求．（2）過(guò)點(diǎn)D作交與點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作交與點(diǎn)F，先利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理證明四邊形為正方形，設(shè)，則，，以為等量關(guān)系利用勾股定理解出x，在利用勾股定理即可求出．【小問(wèn)1詳解】解：如下圖：即為所求．【小問(wèn)2詳解】過(guò)點(diǎn)D作交與點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作交與點(diǎn)F，則，又∵∴四邊形為矩形，∵是的平分線(xiàn)，∴，∴四邊形為正方形，∴，設(shè)，∴，，在中，，在中，，∵∴∴解得：，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了作角平分線(xiàn)以及垂直平分線(xiàn)，角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理，正方形的判定以及勾股定理的應(yīng)用，作出圖形以及輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．25.某校積極開(kāi)展勞動(dòng)教育，兩次購(gòu)買(mǎi)兩種型號(hào)的勞動(dòng)用品，購(gòu)買(mǎi)記錄如下表：A型勞動(dòng)用品（件）B型勞動(dòng)用品（件）合計(jì)金額（元）第一次20251150第二次1020800（1）求兩種型號(hào)勞動(dòng)用品的單價(jià)；（2）若該校計(jì)劃再次購(gòu)買(mǎi)兩種型號(hào)的勞動(dòng)用品共40件，其中A型勞動(dòng)用品購(gòu)買(mǎi)數(shù)量不少于10件且不多于25件．該校購(gòu)買(mǎi)這40件勞動(dòng)用品至少需要多少元？（備注：A，B兩種型號(hào)勞動(dòng)用品的單價(jià)保持不變）【答案】（1）A種型號(hào)勞動(dòng)用品單價(jià)20元，B種型號(hào)勞動(dòng)用品單價(jià)為30元（2）該校購(gòu)買(mǎi)這40件勞動(dòng)用品至少需要1100元【解析】【分析】本題考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，不等式的實(shí)際應(yīng)用，一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．（1）設(shè)A種型號(hào)勞動(dòng)用品單價(jià)為x元，B種型號(hào)勞動(dòng)用品單價(jià)為y元，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，列出方程組求解即可；（2）設(shè)夠買(mǎi)A種型號(hào)勞動(dòng)用品a件，則夠買(mǎi)B種型號(hào)勞動(dòng)用品件，根據(jù)題意得出，設(shè)購(gòu)買(mǎi)這40件勞動(dòng)用品需要W元，列出W關(guān)于a的表達(dá)式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解答．【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)A種型號(hào)勞動(dòng)用品單價(jià)為x元，B種型號(hào)勞動(dòng)用品單價(jià)為y元，，解得：，答：A種型號(hào)勞動(dòng)用品單價(jià)為20元，B種型號(hào)勞動(dòng)用品單價(jià)為30元．【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)夠買(mǎi)A種型號(hào)勞動(dòng)用品a件，則夠買(mǎi)B種型號(hào)勞動(dòng)用品件，根據(jù)題意可得：，設(shè)購(gòu)買(mǎi)這40件勞動(dòng)用品需要W元，，∵，∴W隨a的增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，W取最大值，，∴該校購(gòu)買(mǎi)這40件勞動(dòng)用品至少需要1100元．26.如圖，是的直徑，內(nèi)接于，，的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）求的度數(shù)．【答案】（1）見(jiàn)詳解（2）【解析】【分析】本題主要考查了圓周角定理，相似三角形的判定以及性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角等知識(shí)，掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由等弧所對(duì)的圓周角相等可得出，再由等邊對(duì)等角得出，等量代換可得出，又，即可得出．（2）連接，由直徑所對(duì)的圓周角等于得出，設(shè)，即，由相似三角形的性質(zhì)可得出，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得出，即可得出的值，進(jìn)一步即可得出答案．【小問(wèn)1詳解】證明：∵∴，∵，∴，∴，又∵∴，【小問(wèn)2詳解】連接，如下圖：∵為直徑，∴，設(shè)，∴，由（1）知：∴，∵四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，∴，即，解得：27.【操作觀察】如圖，在四邊形紙片中，，，，，．折疊四邊形紙片，使得點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)始終落在上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，折痕與分別交于點(diǎn)．【解決問(wèn)題】（1）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求的長(zhǎng)；（2）設(shè)直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，正切的相關(guān)應(yīng)用，結(jié)合題意畫(huà)出圖形是解題的關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)C作，則，，再求出，根據(jù)勾股定理求出，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)A重合時(shí)，由折疊的性質(zhì)可得出垂直平分，N與D重合，則有，設(shè)，則，再利用勾股定理即可得出．（2）分兩種情況，當(dāng)點(diǎn)F在上時(shí)和當(dāng)點(diǎn)F在的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，設(shè)，，則，利用三個(gè)角的正切值相等表示出個(gè)線(xiàn)段的長(zhǎng)度，最后利用線(xiàn)段的和差關(guān)系求解即可．【小問(wèn)1詳解】解：如圖1，過(guò)點(diǎn)C作，則