初中數(shù)學(xué)模型-經(jīng)典幾何模型之“阿氏圓”

【模型背景】“PA+k·PB”型的最值問題是近幾年中考考查的熱點(diǎn)更是難點(diǎn)。當(dāng)k1時(shí)，即可轉(zhuǎn)化為“PA+PB”之和最短問題，就可用我們常見的“飲馬問題”模型來處理，即可以轉(zhuǎn)化為軸對(duì)稱問題來處理。而當(dāng)k取任意不為1的正數(shù)時(shí)，若再以常規(guī)的軸對(duì)稱思想來解決問題，則無(wú)法進(jìn)行，因此必須轉(zhuǎn)換思路。此類問題的處理通常以動(dòng)點(diǎn)P所在圖像的不同來分類，一般分為2類研究。P在直線上運(yùn)動(dòng)和P在圓上運(yùn)動(dòng)。P在直線上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為“胡不歸”問題P在圓周上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為“阿氏圓”問題?！灸Ｐ陀蓙怼俊鞍⑹蠄A”又稱“阿波羅尼斯圓”，已知平面上兩點(diǎn)A、B，則所有滿PA=k·PB（k≠1）P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”。連接PA、PB，則當(dāng)“PA+k·PB”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？故如何確定“k·PB2OBOCOC=k·r，則可說明△BPO與△PCO相似，即k·PB=PC。故本題求“PA+k·PB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+PC”的最小值，其中與AC為定點(diǎn),P為動(dòng)點(diǎn)，故當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，“PA+PC”值最小。如圖3【破解策略詳細(xì)步驟解析】O（kO相連），即連OB、OP；OPOBOPOAkOPOBCOCOP；（核心關(guān)鍵步驟 【核心步驟另單獨(dú)解析】 （構(gòu)造出△PCO∽△BPOOCOP，進(jìn)而推出OP2OBOC，即 AP、BPAP1BP2解答：2CPCP=2，AC=6，BC=4CP1CP1 目中是求“AP1BP”其中的“k=1ACCP1 CBDCD=1CDCPPD1P如何移動(dòng)，，△PCD PD1BPAP1BP=AP+PDA、DA、P AC2AC22

=37（BP1PA3）2COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5PCD上一點(diǎn)，求2PA+PB的最小值.OPOP=6OA=3OB=5 5題目求的“2A+PB，、 OH=12OAOPAP1P如何移動(dòng)，△PAO與△HPO PH=2PA2PA+PB=PH+PBH、BH、P、B

=13.（AP6PBOH2OH231AC=6，BC=8，AB=10，⊙C4D是⊙CAD、BDAD1BD2解答：CDCD=4，CB=8，CA=6CD1CD2，題目求的是 “AD1BD”，其中的“k1CD1CBCB HCH=2CHCDHD1P如何移動(dòng)，△DHO與△BDC HD1BDAD1BD=AD+DHH、AH、D、A CH2AC線時(shí)最小，AD1CH2AC2

.（BD2AD3CD=2AD2BD3件“CD=22，Dr=2的⊙C上，下面步驟完全與上相同，故略。43AP1PB2解答：2CPCP2CP1CB HCH=1CHCPPH1P △PCH與△BCPPH1BPAP1PB=AP+PHH、A CH2ACCH2AC2

BP2AP32 2 、 22

2動(dòng)”指的是“動(dòng)點(diǎn)P”，“兩定”不是指A、C，而是要看問題 PD+4PC”問題中224為動(dòng)點(diǎn)，C、D才是定點(diǎn)，故本題應(yīng)該比較BP1，BP 2，故選擇在BD上24

2BHBPPH

2P2 2DBP

2PD4

PD+4PC

2PD422

PD+4PC

24PM2PM2MC

(1(1)2(7 5

.（PD1PC22271ABCD4，∠B=60°，⊙B2，P為⊙B

3PD6PC 3，BP1，故在BD上取點(diǎn)H，使得BH=3， BHBPPH

3

3

3PD6PC

3 HMHM2MC

（PD1PC2的第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且∠BPA=1352PD+PC的最小值是？解答：P2然后下面過程略，42= 3（PH+PC）=3CH，利用∠CBA=60°BC=8，可以求出BH=4，進(jìn)而可知HM=1，CM=4 故CH=733 32：如圖，等邊△ABC6，內(nèi)切圓記為⊙O，P是⊙O2PB+PC的7 72ACFGB，EOGEOBGyHEH，HFEA，E，F(xiàn)，HE，H的坐標(biāo)；E為圓心，EHM為⊙E上一動(dòng)點(diǎn)，求1AM+CM2答案：（1）yx22x

（2）G（-2,4）（3）①