浙江省湖州市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省湖州市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，即，解得，即，由，解得，即，所以.故選：A.2.已知，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋?，則.故選：D.3.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由不等式，可得，構(gòu)成集合，又由，解得，構(gòu)成集合，則集合是集合的真子集，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.4.圖中實(shí)線是某景點(diǎn)收支差額關(guān)于游客量的圖像，由于目前虧損，景點(diǎn)決定降低成本，同時(shí)提高門票價(jià)格，決策后的圖像用虛線表示，以下能說明該事實(shí)的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，虛線值減小，說明成本提高了，不滿足題意，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，兩函數(shù)圖象平行，說明票價(jià)不變，不合題意，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，值不變，說明成本不變，不滿足題意，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，虛線值變大，說明成本見減小，又因?yàn)樘摼€的傾斜角變大，說明提高了門票的價(jià)格，符合題意，D正確.故選：D.5.已知函數(shù)，則使成立的實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，，得，解得：，所以不等式的解集為.故選：C.6.已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得，可得，且，又由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，所以.故選：A.7.我們知道，每一個(gè)音都是由純音合成的，純音的數(shù)學(xué)模型是．已知某音是由3個(gè)不同的純音合成，其函數(shù)為，則（）A. B.的最大值為C.的最小正周期為 D.在上是增函數(shù)【答案】D【解析】A.，故A錯(cuò)誤；B.，當(dāng)，時(shí)，函數(shù)取得最大值1，，當(dāng)，時(shí)，函數(shù)取得最大值，，當(dāng)，時(shí)，函數(shù)取得最大值，由，但三個(gè)函數(shù)不能同時(shí)取得最大值，所以函數(shù)的最大值小于，故B錯(cuò)誤；C.的最小正周期為，的最小正周期為，的最小正周期為，所以函數(shù)的最小正周期為，故C錯(cuò)誤；D.，，，所以函數(shù)，，在都是單調(diào)遞增函數(shù)，則函數(shù)在上是增函數(shù)，故D正確.故選：D.8.已知函數(shù)（）的零點(diǎn)為，函數(shù)（）的零點(diǎn)為，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)；而函數(shù)，且函數(shù)的零點(diǎn)為，所以，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于A，因?yàn)楹瘮?shù)的零點(diǎn)為，所以，所以，所以，故A正確；對(duì)于，故C正確；對(duì)于，故D正確.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9.給出下列四個(gè)選項(xiàng)中，其中正確的選項(xiàng)有（）A.若角終邊過點(diǎn)且，則B.設(shè)角為銳角（單位為弧度），則C.命題“，使得”的否定是：“，均有”D.若，，則“”是“”的充分不必要條件【答案】ABD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：由題意可得：，解得，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：設(shè)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，單位圓與x軸正方向的交線為A，作軸，角為銳角，可知：等于的長(zhǎng)，，則，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：“，使得”的否定是：“，均有”，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：由可得，故充分性成立，若成立，則不一定成立，如，所以“”是“”的充分不必要條件，故D正確.故選：ABD.10.若，，，則下列命題正確的是（）A.若且，則 B.若且，則C.若，則 D.【答案】BD【解析】對(duì)于A：當(dāng)，時(shí)，滿足且，但，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)榍?，所以，故，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，所以，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)?，所以，故D正確．故選：BD．11.筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用，現(xiàn)有一個(gè)筒車按逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)．每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)5圈，如圖，將該筒車抽象為圓，筒車上的盛水桶抽象為圓上的點(diǎn)，已知圓的半徑為，圓心距離水面，且當(dāng)圓上點(diǎn)從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)）開始計(jì)算時(shí)間，點(diǎn)的高度隨時(shí)間（單位秒）變化時(shí)滿足函數(shù)模型，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的初相為 B.1秒時(shí)，函數(shù)的相位為0C.4秒后，點(diǎn)第一次到達(dá)最高點(diǎn) D.7秒和15秒時(shí)，點(diǎn)高度相同【答案】BC【解析】由題意知，函數(shù)模型中，，，，所以，又，得，顯然，所以，即函數(shù)的初相為，故A錯(cuò)誤；因?yàn)椋?秒時(shí)，，所以函數(shù)的相位為，故B正確；4秒時(shí)，，點(diǎn)第一次到達(dá)最高點(diǎn)，故C正確；，，所以7秒和15秒時(shí)，點(diǎn)高度不相同，故D錯(cuò)誤．故選：BC．12.已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)，都滿足，且，則下列說法正確的是（）A.是偶函數(shù) B.C. D.【答案】ACD【解析】因?yàn)椋?，得，因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；令，則，即，所以，故A正確；令，則，所以，令，則，所以，則，所以函數(shù)周期為，則，所以，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.對(duì)數(shù)函數(shù)的反函數(shù)是________.【答案】【解析】由于同底的指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，所以的反函數(shù)為.14.已知扇形的圓心角是，半徑是3，則該扇形的面積是______.【答案】【解析】由題意，在扇形中，弧長(zhǎng)，扇形面積.15.設(shè)函數(shù)，，則函數(shù)的值域是______．【答案】【解析】，，令，設(shè)，設(shè)，，因?yàn)?，則，，，即，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又也為增函數(shù)，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，，所以函數(shù)的值域?yàn)?16.已知，其中，且，若函數(shù)在區(qū)間上有且只有三個(gè)零點(diǎn)，則的范圍為______．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的周期為，再由可知，函數(shù)的一條對(duì)稱軸是，所以，，得，，又，所以，所以，當(dāng)，，由函數(shù)在區(qū)間上有且只有三個(gè)零點(diǎn)，所以，解得：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知集合，．（1）求和；（2）若集合，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）由不等式，解得，所以，又由，解得，可得，所以，，則.（2）由集合，且，可得，則滿足，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍．18.在平面直角坐標(biāo)系中，角的始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊過點(diǎn)．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）由題意得，，則；另解：由角終邊過點(diǎn)，得，，則.（2）由題意得，，，，，.19.隨著電動(dòng)汽車研發(fā)技術(shù)的日益成熟，電動(dòng)汽車的普及率越來越高．某型號(hào)電動(dòng)汽車在封閉路段進(jìn)行測(cè)試，限速（不含）．經(jīng)多次測(cè)試得到，該汽車每小時(shí)耗電量（單位：）與速度（單位：）的數(shù)據(jù)如下表所示．01030700132533759275為了描述國(guó)道上該汽車每小時(shí)耗電量與速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：，，．（1）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)選出你認(rèn)為最符合表格所列數(shù)據(jù)實(shí)際的函數(shù)模型，并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）在本次測(cè)試報(bào)告中，該電動(dòng)汽車的最長(zhǎng)續(xù)航里程為．若測(cè)試過程為勻速運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)計(jì)算本次測(cè)試時(shí)的車速為何值時(shí)，該電動(dòng)汽車電池所需的容量（單位：）最小？并計(jì)算出該最小值．解：（1）對(duì)于，當(dāng)時(shí)，它無意義，所以不符合題意；對(duì)于，它顯然是個(gè)減函數(shù)，所以不符合題意，故選．根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，則有，解得，當(dāng)時(shí)，．（2）設(shè)車速為，所用時(shí)間為，所耗電量，要使得續(xù)航里程最長(zhǎng)，則耗電量達(dá)到最小，即．所以當(dāng)測(cè)試員控制的車速為，該電動(dòng)汽車的電池所需的最小容量為．20.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)．（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明；（2）解關(guān)于的不等式．解：（1）因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，則，即，解得，所以，故在上是遞減函數(shù)．證明：任取，，且，，，，，即，故是定義在上的遞減函數(shù).（2），，是上的減函數(shù)，，，.21.2023年12月1日，“民族魂·中國(guó)夢(mèng)——陽光下成長(zhǎng)”2023年浙江省中小學(xué)生藝術(shù)節(jié)閉幕式暨頒獎(jiǎng)晚會(huì)在湖州大劇院舉行．為迎接藝術(shù)節(jié)閉幕式的到來，承辦方計(jì)劃將場(chǎng)地內(nèi)一處扇形荒地進(jìn)行改造．已知該扇形荒地的半徑為20米，圓心角，承辦方初步計(jì)劃將其中的（如下左圖，點(diǎn)位于弧上，，分別位于半徑，）區(qū)域改造為花卉區(qū)，扇形荒地內(nèi)其余區(qū)域改造為草坪區(qū)．（1）承辦方進(jìn)一步計(jì)劃將，設(shè)計(jì)為觀光步道，其寬度忽略不計(jì)．若觀光步道造價(jià)為元/米，請(qǐng)你設(shè)計(jì)觀光步道的造價(jià)預(yù)算，確保觀光步道最長(zhǎng)時(shí)仍有資金保障；（2）因某種原因，承辦方修改了最初的改造計(jì)劃，將花卉區(qū)設(shè)計(jì)為矩形（如下右圖，其中，位于半徑上，位于半徑上）．為美觀起見，承辦方最后決定將四邊形設(shè)計(jì)為正方形．求此時(shí)花卉區(qū)的面積．解：（1）設(shè)，，過點(diǎn)做的垂線交于，則，，，所以，，則，所以預(yù)算應(yīng)該設(shè)定為元．（2）由題意得，，因?yàn)?，可得，則，所以，所以.22.已知函數(shù)滿足，函數(shù)．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若關(guān)于的方程有四個(gè)不同的