浙江省嘉興市六校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省嘉興市六校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，.故選：C.2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】命題“，”的否定是“，”.故選：C.3.設(shè)命題p：，（其中m為常數(shù)），則“命題p為真命題”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由命題p為真命題，得，解得，顯然，所以“命題p為真命題”是“”的充分不必要條件.故選：A.4.已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則等于（）A.3 B.2 C. D.【答案】D【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，所以，即，則，解得.故選：D.5.已知，，且，則的最小值為（）A.5 B.6 C.7 D.9【答案】A【解析】，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以的最小值為5.故選：A.6.若函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】由題函數(shù)定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱，又由于故為上的偶函數(shù)，由于只有一個零點(diǎn)，因此，故，解得.故選：D.7.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)猜測校運(yùn)會長跑比賽中最終獲得冠軍的運(yùn)動員.甲說：“冠軍是李亮或張正”；乙說：“冠軍是林帥或張正”；丙說：“林帥和李亮都不是冠軍”；丁說：“陳奇是冠軍”．結(jié)果出來后，只有兩個人的推斷是正確的，則冠軍是（）A.林帥 B.李亮 C.陳奇 D.張正【答案】C【解析】對A，若林帥獲得冠軍，則乙正確，甲、丙、丁都錯誤，故A錯誤；對B，若李亮獲得冠軍，則甲正確，乙、丙、丁錯誤，故B錯誤；對C，若陳奇獲得冠軍，則丙、丁正確，甲、乙錯誤，故C正確；對D，若張正獲得冠軍，則甲、乙、丙正確，丁錯誤，故D錯誤.故選：C.8.已知函數(shù)是冪函數(shù)，對任意的且，滿足，若，則的值（）A.恒大于0 B.恒小于0C.等于0 D.無法判斷【答案】B【解析】由題可知：函數(shù)是冪函數(shù)，則或，又對任意的且，滿足，所以函數(shù)為(0，+∞)的增函數(shù)，故，所以，又，所以為單調(diào)遞增的奇函數(shù)，由，則，所以，則.故選：B.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.已知，且，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對于選項(xiàng)A：由不等式的基本性質(zhì)“若，則”可知，選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B：可取，則有，此時(shí)，所以選項(xiàng)B錯誤；對于選項(xiàng)C：因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)增加，且，所以，故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D：因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以選項(xiàng)D正確.故選：ACD.10.在棱長為的正方體中，點(diǎn)、分別在線段和上（含端點(diǎn)），則下列命題正確的是（）A.長的最小值為B.三棱錐的體積為定值C.有且僅有一條直線與垂直D.當(dāng)點(diǎn)、為線段中點(diǎn)時(shí)，則為等腰三角形【答案】ABD【解析】對于A，由點(diǎn)所在線段分別在兩個平行平面、上，且為異面直線，其間距最小值為異面直線的距離，即兩個平面間的距離，即長的最小值為，A對；對于B，由，其中表示到平面的距離，顯然為定值，而的中，底與邊上的高均為定值，由此可知面積為定值，綜合上述，四面體的體積為定值，B對；對于C，點(diǎn)在平面上的射影的軌跡為線段，平面，平面，所以，則的一個充要條件，當(dāng)射影位于線段上的任意位置時(shí)，過作的垂線，所得垂足記為，則，根據(jù)以上垂直關(guān)系可知，，、平面，所以平面，平面，從而.于是這樣的直線不唯一，C錯；對于D，以點(diǎn)為原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系，當(dāng)、分別為、的中點(diǎn)時(shí)，則、、，所以，，同理可得，，此時(shí)，為等腰三角形，D對.故選：ABD.11.已知函數(shù)，若，恒成立，則（）A.函數(shù)是奇函數(shù) B.函數(shù)是增函數(shù)C.，是真命題 D.m可以為0【答案】ABC【解析】函數(shù)的定義域?yàn)镽，對于A，，，函數(shù)是奇函數(shù)，A正確；對于B，函數(shù)R上單調(diào)遞增，則函數(shù)在R上單調(diào)遞減，而在R上單調(diào)遞增，因此函數(shù)在R上單調(diào)遞增，函數(shù)是增函數(shù)，B正確；對于C，，，因此，，是真命題，C正確；對于D，由選項(xiàng)C知，，解得，D錯誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知冪函數(shù)在上是減函數(shù)，則的值為___________．【答案】【解析】是冪函數(shù)，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，，在上遞減，符合題意；當(dāng)時(shí)，，在上遞增，不符合題意，舍去.綜上所述，的值為.13.計(jì)算：________．【答案】1【解析】.14.如圖，已知棱長為的正方體，頂點(diǎn)在平面內(nèi)，其余頂點(diǎn)都在平面同側(cè)，且頂點(diǎn)到平面的距離分別為，則等于_______．【答案】【解析】設(shè)，顯然是的中點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，到的距離為4，所以到的距離分別為2，而到的距離為2，因此，即，設(shè)平面，所以，因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，又平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，因此有平面，而，所以平面平面，平面平面，，所以，在平面的射影，與共線，顯然，如圖所示：由，，由（負(fù)值舍去），四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知集合，．（1）判斷是否為集合中的元素，并說明理由；（2）若全集，求，．解：（1）不是集合中的元素，理由如下：由可得，解得或，所以，或，因此，.（2）且，所以，或，又因，故.16.設(shè)奇函數(shù)，（為自然對數(shù)的底數(shù)，）.（1）求的定義域和；（2），求函數(shù)的值域.【答案】（1），定義域?yàn)榻猓海?）因?yàn)?，令，可得，可知的定義域?yàn)椋灰驗(yàn)槭瞧婧瘮?shù)，則，解得，可得，則，即，可知是奇函數(shù).綜上所述：.（2）由（1）可知，令，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；可知，即，且在定義域內(nèi)為增函數(shù)，則，所以的值域?yàn)?17.已知函數(shù).（1）求關(guān)于的不等式的解集；（2）若在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1），即，即，當(dāng)時(shí)，原不等式解得；當(dāng)時(shí)，原不等式無解；當(dāng)時(shí)，原不等式解得；綜上所述：當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.（2），即，即，，，由題意可知只需即可，令，則當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號成立.，18.已知是定義在上的函數(shù)，且，.（1）求函數(shù)的解析式；（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并用定義證明；（3）求函數(shù)在上的值域.解：（1）因?yàn)?，，所以，得，所?（2）的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對稱，又，所以為奇函數(shù).（3）設(shè)，則.因?yàn)?，所以，所以，即，所以在上單調(diào)遞增.又，所以函數(shù)在上的值域?yàn)?19.對于正整數(shù)，如果個整數(shù)滿足，且，則稱數(shù)組為的一個“正整數(shù)分拆”.記均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個數(shù)為均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個數(shù)為.（1）寫出整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”；（2）對于給定的整數(shù)，設(shè)是的一個“正整數(shù)分拆”，且，求的最大值；（3）對所有的正整數(shù)，證明:；并求出使得等號成立的的值.(注:對于的兩個“正整數(shù)分拆”與，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，稱這兩個“正整數(shù)分拆”是相同的.)解：（1）整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”為：，，，，.（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，時(shí)，最大為；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，時(shí)，最大為；綜上所述：為偶數(shù)，最大為，為奇數(shù)時(shí)，最大為.（3）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，至少存在一個全為1的拆分，故；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)是