浙江省七彩陽光新高考研究聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省七彩陽光新高考研究聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字．3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效．4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙．選擇題部分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.樣本數(shù)據(jù)3，3，4，4，5，5，6，7的第75百分位數(shù)是（）A.6.5 B.6 C.5.5 D.5【答案】C【解析】因為，所以樣本數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是第6個數(shù)和第7個數(shù)的平均數(shù)即.故選:C．2.已知向量，，且，則（）A. B.4 C. D.8【答案】A【解析】，，，∵，∴，，所以，故選：A．3.將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲2次，則朝上面的兩個點數(shù)之積為偶數(shù)的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲2次，樣本空間，共有36個樣本點，記“朝上面的兩個點數(shù)之積為偶數(shù)”為事件，則事件，有27個樣本點，所求概率為，故選：D．4.在三棱錐中，D，E分別為PA，BC的中點，，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】.故選：D．5.已知直線與，若，則，之間的距離是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由于，故，解得，故與，故兩直線間距離為，故選：C6.某次知識競賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個問題中，選手若能連續(xù)正確回答出2個問題，則停止答題，晉級下一輪．假設(shè)甲選手正確回答出每個問題的概率都是0.8，且每個問題的回答結(jié)果相互獨立，則甲選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪的概率為（）A.0.256 B.0.128 C.0.064 D.0.0256【答案】B【解析】記為“第次正確回答出問題”，則，故選：B．7.人造地球衛(wèi)星的運行軌道是以地球中心F為一個焦點的橢圓．如果衛(wèi)星當(dāng)作質(zhì)點，地球當(dāng)作半徑為R的球體，衛(wèi)星軌道的近地點（距離地面最近的點）A距離地面為，遠(yuǎn)地點（距離地面最遠(yuǎn)的點）B距離地面為，且F，A，B在同一直線上，則衛(wèi)星軌道的離心率為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)橢圓的長半軸，短半軸，半焦距分別為，則由題意得，解得，所以該橢圓形軌道的離心率.故選：A.8.點P是所在平面外一點，，，，則點到平面距離的最大值是（）A. B.6 C. D.8【答案】B【解析】設(shè)AB的中點為，則，所以，因為，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，作，垂足為，因為平面，所以，因為，平面，所以平面，作，垂足為，則平面，所以，又，平面，所以平面，即為所求的距離，在中，，由等面積知，故當(dāng)最大時，達(dá)到最大，即時，．故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.有一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，其平均數(shù)、中位數(shù)、方差、極差分別記為，，，,由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，…，,其中,其平均數(shù)、中位數(shù)、方差、極差分別記為，，，，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】A．，A正確；B．新樣本數(shù)據(jù)的順序與原樣本數(shù)據(jù)相同，即中位數(shù)滿足，B正確；C．根據(jù)方差性質(zhì)，有成立，C錯誤；D．若是，，…，中最大（或最小）值，則對應(yīng)也是，，…，中最大（或最?。┲担詷O差滿足，D正確.故選：ABD．10.已知，分別是橢圓的左、右焦點，點是上的任意一點，則下列結(jié)論成立的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】，，，，，設(shè)，，則，，A．，范圍是，故A正確；B．設(shè)，則，故B錯誤；C．設(shè)為原點，則；故C正確；D．和最大值為，最小值為，所以的最大值為，最小值為，，故D正確.故選：ACD.11.如圖，棱長為1的正方體中，則下列說法正確的是（）A.若點P滿足，則點到平面的距離等于B.若點滿足，則的最小值是C.若點滿足，則的最小值是D.若點滿足，則的最小值是【答案】BD【解析】對于A，如圖，根據(jù)題意可得，點在線段上，平面平面，所以點到平面的距離即是平面與平面的距離，由正方體的性質(zhì)可知，垂直平面和平面，并被這兩個平面三等分，所求距離為，故A錯誤；對于B，如圖，將對角面繞翻折與平面重合，此時中，，，故B正確；對于C，由得，平面上點的軌跡是阿波羅尼斯圓，空間中點的軌跡則是球面，球心在直線上，，半徑為，所以的最小值為，故C錯誤；對于D，因為，所在平面上點的軌跡是橢圓，在空間中點的軌跡則是橢球，橢圓中心為的中點，焦距為，長軸長為2，短軸長也為，所以的最小值為，故D正確.故選：BD．非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.直線經(jīng)過的定點坐標(biāo)是__________．【答案】【解析】化直線方程為：，即定點坐標(biāo)為．故答案為：.13.已知某組數(shù)據(jù)為x，y，8，10，11．它的平均數(shù)為8，方差為6，則的值為__________．【答案】65【解析】因為x，y，8，10，11．它的平均數(shù)為8，所以，由，得，則，可得：.故答案為：65.14.已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，，分別為的兩個焦點，動點P在上（異于的左、右頂點），的重心為G，若直線與的斜率之積為非零常數(shù)，則______．【答案】【解析】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，點，，則代入中，得①又因為，即，即②比較得，，即，，又，即，解得．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在平面直角坐標(biāo)系中，直線的傾斜角為45°，且經(jīng)過點．（1）求與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積；（2）若直線，且到的距離為，求的方程．解：（1）直線的斜率是，．其方程為：，直線與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)為和，則所求三角形面積為：．（2）直線的斜率是，設(shè)其方程為，所以，得或，所以的方程為或．16.在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱平面，，為線段AD的中點，為PC上的一點，且．（1）求直線EF與平面所成角的正弦值；（2）求平面與平面的夾角的余弦值．解：（1）連接AC，因為底面是正方形，側(cè)棱平面，以為原點，DA，DC，DP所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，平面，平面，，，，取平面的法向量為，，，又，，而，，記直線EF與平面所成的角為，則，所以直線EF與平面所成角的正弦值為．（2）設(shè)平面的法向量為，，，，，即，令，則取，易知平面，取平面的法向量為，記平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為．17.已知橢圓的右頂點和下頂點，過其右焦點的直線交橢圓于B，D兩點．（1）求的值；（2）若的角平分線交直線于點，證明：E，A，B三點共線．解：（1）由得，，所以，，即，故橢圓方程為，將代入橢圓方程得，所以.（2）設(shè)直線傾斜角為，則，得，所以直線為，得，又，所以直線斜率為，直線斜率為，所以，故E，A，B三點共線．18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓和圓．（1）求圓O與圓C的外公切線的長；（2）過圓C上的任意一點P作圓O的兩條切線，切點分別是A，B，設(shè)．①求的值；②求圓心C到直線AB的距離的取值范圍．解：（1）圓心，半徑為,圓心O0,0，半徑為，故，所以外公切線長為．（2）①設(shè)點，則滿足，得，所以，而，得，所以．②設(shè)點，以為直徑的圓方程為，即，所以兩圓的公共弦所在的直線方程為．圓心到直線AB的距離為，又因為點在圓上，即，，所以，設(shè)，且，由對勾函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，得的最小值為，，,最大值為，所以的取值范圍為．19.在平面內(nèi)，若點P，Q分別是直線l與圓C上的動點，則稱的最小值為直線l與圓C的“線圓距離”，類比到空間中，若點P，Q分別是平面內(nèi)與球M表面上的動點，則稱的最小值為平面與球M的“面球距離”．如圖，在直四棱柱中，，，，，點在線段AD上，且，點在線段上．（1）求直線CD與外接圓的“線圓距離”；（2）求平面與三棱錐外接球的“面球距離”；（3）當(dāng)平面與三棱錐外接球的“面球距離”為零時，求的最大值．解：（1）以A為原點，AB，AD，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，在平面上，外接圓的圓心為的中點，即，且，故外接圓方程為：，直線CD的方程為，即，圓心2,1到