浙江省紹興市諸暨市2023-2024學年高二上學期期末考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1浙江省紹興市諸暨市2023-2024學年高二上學期期末考試數(shù)學試題注意：1．本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分．全卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘．2．請考生按規(guī)定用筆將所有試題的答案涂、寫在答題紙上．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.雙曲線的焦點坐標是（）A B. C. D.【答案】B【解析】由題可知：雙曲線的焦點在軸上，且，，所以雙曲線的焦點坐標為故選：B2.已知是等比數(shù)列，公比為q，前n項和為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故選：B3.已知函數(shù)的導函數(shù)為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由函數(shù)，可得，因為，可得，所以，解得.故選：C.4.如圖，在平行六面體中，，，，點P在上，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，.故選：A5.已知數(shù)列的通項公式為，前n項和為，則（）A.數(shù)列為等差數(shù)列，公差為B.數(shù)列為等差數(shù)列，公差為8C.當時，數(shù)列的前n項和為D.當時，數(shù)列的前n項和為【答案】D【解析】對于A，由，得，，可知數(shù)列是首項為8，公差為的等差數(shù)列，則，則，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，故A錯誤；對于B，，而，所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差為9，故B錯誤；對于CD，當時，；當時，；當時，；所以，故C錯誤，D正確.故選：D6.已知曲線E：，則下列結論中錯誤的是（）A.曲線E關于直線對稱B.曲線E與直線無公共點C.曲線E上的點到直線的最大距離是D.曲線E與圓有三個公共點【答案】C【解析】因為曲線E的方程為，當，時，曲線E的方程為，當，時，曲線E的方程為，是焦點在上的等軸雙曲線右支的一部分.當，時，曲線E的方程為，是焦點在上的等軸雙曲線上支的一部分.作出曲線E的圖象如圖：由圖象可知曲線E關于直線對稱，曲線E與直線無公共點，故A，B正確；作的平行線與曲線E切于點，曲線E上的點到直線的最大距離是圓的半徑為，故C錯誤；圓的圓心為：，曲線E上的點到圓心的最大距離為.圓過點，如圖：曲線E與圓有三個公共點，故D正確.故選：C.7.在平面直角坐標系xOy中，點，在橢圓C：上，且直線OA，OB的斜率之積為，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】因為點，在橢圓上，所以，因為直線的斜率之積為，所以，得到，得，.故選：C8.在空間直角坐標系Oxyz中，，，若直線AB與平面xOy交于點，點P的軌跡方程為，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】依題意，，顯然，則，解得，又，即，所以.故選：B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.記為無窮等比數(shù)列的前n項和，若，則（）A. B.C.數(shù)列為遞減數(shù)列 D.數(shù)列有最小項【答案】BD【解析】對于A，設等比數(shù)列的公比為q，因為，所以，又，即，所以，且，故A錯誤；對于B，又，故B正確；對于C，若，，當n為奇數(shù)時，，此時，則，當n為偶數(shù)時，，此時，則，此時數(shù)列不單調，故C錯誤；對于D，因為，當時，此時數(shù)列單調遞增，則有最小項，無最大項；當時，若n為正奇數(shù)時，，則，此時單調遞減，則，若n為正偶數(shù)時，，則，此時單調遞增，則，故當時，的最大值為，最小值為，綜上所述，數(shù)列有最小項，故D正確.故選：BD.10.如圖，在正三棱臺中，已知，則（）A.向量，，能構成空間的一個基底B.在上的投影向量為C.AC與平面所成的角為D.點C到平面的距離是點到平面的距離的2倍【答案】AD【解析】A選項，正三棱臺中，向量，，不共線，故向量，，能構成空間的一個基底，A正確；B選項，，故，，取中點，的中點，連接，則⊥，⊥，取的中心，連接，則⊥底面，過點作平行于，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，連接，過點作⊥于點，則，因為，由勾股定理得，則，故，，故在上的投影為，B錯誤；C選項，，設平面的法向量為，則，解得，令得，故，，設AC與平面所成的角為，則，故，故AC與平面所成的角為，C錯誤；D選項，點C到平面的距離是，點到平面的距離，點C到平面的距離是點到平面的距離的2倍，D正確.故選：AD11.已知直線l：與拋物線C：交于A，B兩點，O為坐標原點，則（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BCD【解析】當時，，此時的焦點坐標為，直線也恒過點，設，，將聯(lián)立得，，由韋達定理可知，，，，∵，∴，則錯誤；由拋物線的定義可知，則正確；當時，，此時的焦點坐標為，直線恒過點，設，，將聯(lián)立得，，由韋達定理可知，，，，則，即，∴，則正確；，則正確；故選：.12.已知函數(shù)，，記，，則（）A.若正數(shù)為的從小到大的第n個極值點，則為等差數(shù)列B.若正數(shù)為的從小到大的第n個極值點，則為等比數(shù)列C.，在上有零點D.，在上有且僅有一個零點【答案】ABD【解析】由函數(shù)，可得，，對于A中，由，令，可得，解得，即所以數(shù)列的通項公式為，則（常數(shù)），所以數(shù)列為等差數(shù)列，所以A正確；對于B中，由，則，可得（常數(shù)），所以數(shù)列為等比數(shù)列，所以B正確；對于C、D中，由，令，即，顯然，且時，不是函數(shù)的零點；當，且時，可得，令，其中，且，可得，令，即，即，解得，且，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；所以當時，有極小值，且，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；所以當時，有極大值，且，所以函數(shù)的值域為，當時，函數(shù)與沒有公共點，所以函數(shù)在上沒有零點，所以C錯誤；當時，函數(shù)與只有一個公共點，即函數(shù)在上有且僅有一個零點，所以D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知：的圓心坐標為，半徑為r，則________．【答案】0【解析】，圓心為，半徑，所以，則.故答案為：14.數(shù)列滿足，，則________．【答案】【解析】由題意，易知，由，兩邊取倒數(shù)得，即，所以數(shù)列是首項，公差為2的等差數(shù)列，所以，即，則.故答案為：.15.已知函數(shù)在某點處的切線的斜率不大于1，則切點為整點（橫縱坐標均為整數(shù)）的個數(shù)是________．【答案】4【解析】由題意，，即，解得，其中的整點有0,1,2,3，共4個.故答案為：416.已知，是雙曲線C：的左右焦點，過作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為N，直線與雙曲線C交于點，且均在第一象限，若，則雙曲線C的離心率是________．【答案】或【解析】因為均在第一象限，所以垂足在漸近線上，，則，由題意可得，所以，又因，所以，即，所以，所以，故，在中，，則，在中，由余弦定理得，，即，整理得，即，解得或，當時，離心率，當時，離心率，所以雙曲線C的離心率是或.故答案為：或.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.記是公差為整數(shù)等差數(shù)列的前n項和，，且，，成等比數(shù)列．（1）求和；（2）若，求數(shù)列的前20項和．解：（1）設，由，得，所以或，由于，所以.所以，，.（2）由知：，故，由所以.18.已知圓M：，圓N經(jīng)過點，，．（1）求圓N的標準方程，并判斷兩圓位置關系；（2）若由動點P向圓M和圓N所引的切線長相等，求動點P的軌跡方程．解：（1）由題意可知：，則圓N是以為直徑的圓，則圓N的圓心，半徑，所以：，又因為圓M的圓心，半徑，可得，即，所以兩圓外離（相離）.（2）設圓M上的切點為A，圓N上的切點為B，由題意可得：，設，則，整理得，所以點P的軌跡方程為：．19.已知函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若函數(shù)在內(nèi)存在兩個極值點，求實數(shù)a的取值范圍．解：（1）當時，，定義域為令，得或，所以的單調遞增區(qū)間為：和，單調遞減區(qū)間為：（2）①當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，故只有一個極小值點，與條件矛盾，故舍去．②當時，在和上單調遞增，在上單調遞減，故有兩個極值點a和，與條件相符．③當時，和上單調遞增，在上單調遞減，故有兩個極值點a和，與條件相符．④當時，，故在上單調遞增，無極值點，舍去．⑤當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，故只有一個極大值點，與條件矛盾，故舍去．綜上可得：或20.在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的菱形，交于O，，，．（1）求P到平面的距離；（2）求鈍二面角的余弦值．解：（1）由題知，，，，，由，，，得平面．在正中，作于H，又平面,平面，所以，又AO，BD是平面ABCD內(nèi)兩相交直線，所以面，所以，點P到平面ABCD的距離為．（2）建立空間直角坐標系，由（1）知是中點，即，則，，，，，，設平面的法向量為，則，取，得，設平面的一個法向量是，則，取得，設所求鈍二面角的平面角為，則．21.物理學家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點時，給出了“牛頓數(shù)列”，它在航空航天中應用非常廣泛．其定義是：對于函數(shù)，若滿足，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列．已知，如圖，在橫坐標為的點處作的切線，切線與x軸交點的橫坐標為，用代替重復上述過程得到，一直下去，得到數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列的前n項和為，且對任意的，滿足，求整數(shù)的最小值．（參考數(shù)據(jù)：，，，）解：（1），在點處的切線方程為：令，得，所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列，故（2）令法一：錯位相減法，，兩式相減得：化簡得：故，化簡得令，則，當時，，即，當時，，即，所以從而整數(shù)；法二：裂項相消法由，設且，則，于是，得，即所以故，化簡得令，則時，，當當時，，即，當時，，即，所以從而整數(shù)22.拋物線C：，橢圓M：，．（1）若拋物線C與橢圓M無公共點，求