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高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省臺州市三校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合,,則集合()A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)榧?,,?故選:B.2.下列關(guān)于,的關(guān)系式中,能表示是的函數(shù)的是()A. B.C. D.【答案】C【解析】對于A,,當(dāng)時,得,即,不滿足函數(shù)定義,故A錯誤;對于B,,當(dāng)時,得,即,不滿足函數(shù)定義,故B錯誤;對于C,即,滿足函數(shù)的定義,故C正確;對于D,,當(dāng)時,得,即,不滿足函數(shù)定義,故D錯誤.故選:C.3.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】D【解析】依題意得,解得,所以的定義域?yàn)?故選:D.4.若,,,則()A. B.C. D.【答案】A【解析】由函數(shù)在上單調(diào)遞減,且,則;由函數(shù)在上單調(diào)遞增,且,則,由,則.故選:A.5.已知,,則a、b、c的大小關(guān)系為()A.a<b<c B.c<a<b C.b<a<c D.c<b<a【答案】C【解析】函數(shù)是定義域R上的單調(diào)減函數(shù),且,則,即,又函數(shù)在上單調(diào)遞增,且,于是得,即,所以a、b、c的大小關(guān)系為.故選:C.6.已知實(shí)數(shù),且“”的一個必要不充分條件是“”,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】A【解析】由,得,即,由,,得,即,因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件,所以,得(等號不能同時成立),解得,即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選:A.7.過點(diǎn)與圓相切兩條直線的夾角為,則()A. B. C. D.【答案】D【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,圓心為,半徑為,若切線斜率不存在時,則直線方程為,此時,圓心到直線的距離為,不合乎題意;當(dāng)切線的斜率存在時,設(shè)切線的方程為,即,則有,整理可得,則,設(shè)兩切線的斜率分別為、,則、為關(guān)于的方程的兩根,由韋達(dá)定理可得,,所以,,所以,,由題意,,由,解得.故選:D.8.已知正實(shí)數(shù),,滿足,則的取值范圍為()A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋?,即,因?yàn)?,則,解得,當(dāng)且僅當(dāng),即或時,等號成立,所以的取值范圍為.故選:C.二、多選題:本題共3小題,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.9.下列函數(shù)既是偶函數(shù),又在上是減函數(shù)的是()A. B.C. D.【答案】BC【解析】對于A,函數(shù)的定義域?yàn)?,該函?shù)不具奇偶性,A不是;對于B,函數(shù)的定義域?yàn)镽,,是偶函數(shù),當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,B是;對于C,函數(shù)的定義域?yàn)镽,,是偶函數(shù),在上單調(diào)遞減,C是;對于D,函數(shù)的定義域?yàn)椋?,是奇函?shù),D不是.故選:BC.10.已知集合,集合,則()A. B.C. D.【答案】CD【解析】由題意得,.A.,選項(xiàng)A錯誤.B.,選項(xiàng)B錯誤.由集合與元素的關(guān)系得,,,選項(xiàng)C,D正確.故選:CD.11.如圖,在直棱柱中,各棱長均為,則下列說法正確的是()A.異面直線與所成角的正弦值為B.當(dāng)點(diǎn)M在棱上運(yùn)動時,則直線與平面所成角的最大值為C.當(dāng)點(diǎn)M在棱上運(yùn)動時,最小值為D.三棱錐外接球的表面積為【答案】BCD【解析】對于A,連接,,,四邊形為平行四邊形,,異面直線與所成角即為,,,,所以異面直線與所成角的正弦值為,故A錯誤;對于B,連接交于點(diǎn),連接,在菱形中,,因?yàn)槠矫?,平面,所以,又平面,所以平面,因?yàn)槠矫?,平面,所以平面,所以線段的長度即為點(diǎn)到平面的距離,在等邊三角形中,,則直線與平面所成角的正弦值為,當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時,取得最小值,所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為,所以直線與平面所成角的最大值為,故B正確;對于C,將四邊形與沿著棱展開得四邊形,則的最小值即為,故C正確;對于D,,,是邊長為的正三角形,的外接圓半徑,三棱錐外接球半徑,三棱錐外接球表面積,故D正確.故選:BCD.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.命題“,”的否定是______.【答案】,【解析】因?yàn)槿Q量詞命題的否定是特稱(存在)量詞命題,所以命題“,”的否定是“,”.13.已知,若,,則的最小值為__________.【答案】【解析】因?yàn)?,若,,可知,則,可得,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立,所以的最小值為.14.設(shè)函數(shù),若且,則當(dāng)取得最小值時__________.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù),又因?yàn)榍遥瑒t,所以,所以,則,則當(dāng)取得最小值時,所以,所以.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.15.已知全集,集合,.(1)求和;(2)已知,寫出集合的所有非空子集.解:(1)因?yàn)?,,則,.(2)因?yàn)槿?,,則,所以,集合的所有非空子集為:、、、、、、.16.設(shè).注:.(1)證明:;(2)若,求的最小值.解:(1),.均不為0,則,.(2)由可知.,當(dāng)且僅當(dāng)時,取等號,.的最小值為.17.已知集合,.(1)當(dāng)時,求;(2)已知“”是“”的必要條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解:(1),得,所以.,當(dāng)時,,.(2)因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾獥l件,所以.當(dāng)時,,不符合題意;當(dāng),即時,,符合題意;當(dāng)時,,所以,解得.綜上所述:.18.已知函數(shù).(1)解不等式;(2)若,試判斷的單調(diào)性,并用定義證明.解:(1)令,則,原不等式可化為,解得,即,可得,故原不等式的解集為.(2)在上為增函數(shù),證明如下:因?yàn)椋稳?,,且,則.因?yàn)?,則,,可得,即,所以函數(shù)在上為增函數(shù).19.已知函數(shù),且.(1)判斷函數(shù)的奇偶性;(2)若,試判斷函數(shù)的單調(diào)性.并求使不等式在R上恒成立的的取值范圍;(3)若,且在上的最小值為,求的值.解:(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽,,所以函數(shù)奇函數(shù).(2)由,,得,則,
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