2025年高考數(shù)學一輪專題復習全套考點突破和專題檢測專題05 冪函數(shù)與二次函數(shù)4題型分類-備2025年高考數(shù)學一輪專題復習全套考點突破和專題檢測（解析版）

專題05冪函數(shù)與二次函數(shù)4題型分類1、冪函數(shù)的定義一般地，（為有理數(shù)）的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量，冪為因變量，指數(shù)為常數(shù)的函數(shù)稱為冪函數(shù).2、冪函數(shù)的特征：同時滿足一下三個條件才是冪函數(shù)①的系數(shù)為1；

②的底數(shù)是自變量；

③指數(shù)為常數(shù).（3）冪函數(shù)的圖象和性質3、常見的冪函數(shù)圖像及性質：函數(shù)圖象定義域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調性在上單調遞增在上單調遞減，在上單調遞增在上單調遞增在上單調遞增在和上單調遞減公共點4、二次函數(shù)解析式的三種形式（1）一般式：；（2）頂點式：；其中，為拋物線頂點坐標，為對稱軸方程.（3）零點式：，其中，是拋物線與軸交點的橫坐標.5、二次函數(shù)的圖像二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，對稱軸方程為，頂點坐標為.（1）單調性與最值①當時，如圖所示，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當時，；②當時，如圖所示，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減，當時，（2）與軸相交的弦長當時，二次函數(shù)的圖像與軸有兩個交點和，.6、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值閉區(qū)間上二次函數(shù)最值的取得一定是在區(qū)間端點或頂點處.對二次函數(shù)，當時，在區(qū)間上的最大值是，最小值是，令：（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則；（4）若，則.（一）冪函數(shù)的定義及其圖像1、冪函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象的畫法如下：①當時，其圖象可類似畫出；②當時，其圖象可類似畫出；③當時，其圖象可類似畫出．題型1：冪函數(shù)的定義及其圖像1-1．（2024·江西·模擬預測）已知冪函數(shù)的圖象過點，則（

）A．0 B．2 C．4 D．5【答案】C【分析】根據(jù)冪函數(shù)的形式及過定點即可求解.【詳解】解：因為為冪函數(shù)所以又的圖象過點即解得所以故選：C.1-2．（2024高三·河北·學業(yè)考試）已知冪函數(shù)的圖象過點，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．9【答案】B【分析】設冪函數(shù)為，代入點計算得到，計算得到答案.【詳解】設冪函數(shù)為，圖象過點，故，故，，.故選：B1-3．（2024高一下·湖北宜昌·期中）已知函數(shù)且的圖象經(jīng)過定點，若冪函數(shù)的圖象也經(jīng)過該點，則．【答案】【分析】根據(jù)對數(shù)型函數(shù)的性質，結合冪函數(shù)的定義進行求解即可.【詳解】因為，所以，設冪函數(shù)，因為冪函數(shù)的圖象經(jīng)過，所以，因此，故答案為：1-4．（2024高一·全國·課后作業(yè)）已知冪函數(shù)（且互質）的圖象關于y軸對稱，如圖所示，則（

）A．p，q均為奇數(shù)，且B．q為偶數(shù)，p為奇數(shù)，且C．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且D．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的單調性可判斷出；根據(jù)函數(shù)的奇偶性及，互質可判斷出為偶數(shù)，為奇數(shù).【詳解】因為函數(shù)的定義域為，且在上單調遞減，所以0，因為函數(shù)的圖象關于y軸對稱，所以函數(shù)為偶函數(shù)，即p為偶數(shù)，又p、q互質，所以q為奇數(shù)，所以選項D正確，故選：D.1-5．（2024高一上·陜西西安·期中）冪函數(shù)中a的取值集合C是的子集，當冪函數(shù)的值域與定義域相同時，集合C為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別求出各冪函數(shù)的定義域和值域，得到答案.【詳解】當時，定義域和值域均為，符合題意；時，定義域為，值域為，故不合題意；時，定義域為，值域為，符合題意；時，定義域與值域均為R，符合題意；時，定義域為R，值域為，不符合題意；時，定義域與值域均為R，符合題意.故選：C（二）冪函數(shù)性質的綜合應用函數(shù)圖象定義域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調性在上單調遞增在上單調遞減，在上單調遞增在上單調遞增在上單調遞增在和上單調遞減公共點題型2：冪函數(shù)性質的綜合應用2-1．（2024高一上·上海楊浦·期末）已知，若冪函數(shù)奇函數(shù)，且在上為嚴格減函數(shù)，則.【答案】-1【分析】根據(jù)冪函數(shù)在上為嚴格減函數(shù)，可得，再由冪函數(shù)奇函數(shù)即可得答案.【詳解】解：因為冪函數(shù)在上為嚴格減函數(shù)，所以，所以，又因為冪函數(shù)奇函數(shù)，且，所以，故答案為：-12-2．（2024高三上·寧夏固原·期中）已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在上遞減，則實數(shù)（

）A． B．或 C． D．【答案】A【分析】由冪函數(shù)定義以及性質即可求出.【詳解】因為是冪函數(shù)，所以，解得或，又因為在上單調遞減，則.故選：A2-3．（2024·海南·模擬預測）已知為冪函數(shù)，則（

）．A．在上單調遞增 B．在上單調遞減C．在上單調遞增 D．在上單調遞減【答案】B【分析】首先根據(jù)冪函數(shù)的定義求出參數(shù)的值，即可得到函數(shù)解析式，再分析其性質.【詳解】因為是冪函數(shù)，所以，解得或，所以或，對于，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減；對于，函數(shù)在上單調遞減，且為奇函數(shù)，故在上單調遞減；故只有B選項“在上單調遞減”符合這兩個函數(shù)的性質．故選：B2-4．（2024·江蘇）已知y=f(x)是奇函數(shù)，當x≥0時，，則f(-8)的值是.【答案】【分析】先求，再根據(jù)奇函數(shù)求【詳解】，因為為奇函數(shù)，所以故答案為：【點睛】本題考查根據(jù)奇函數(shù)性質求函數(shù)值，考查基本分析求解能力，屬基礎題.2-5．（2024高三·全國·課后作業(yè)）已知冪函數(shù)（m為正整數(shù)）的圖像關于y軸對稱，且在上是嚴格減函數(shù)，求滿足的實數(shù)a的取值范圍．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)以及函數(shù)的性質，可確定參數(shù)m的取值，結合冪函數(shù)的單調性，分類討論求解不等式，可得答案.【詳解】因為函數(shù)在上是嚴格減函數(shù)，所以，解得．由m為正整數(shù)，則或,又函數(shù)的圖像關于y軸對稱，得是偶函數(shù)，而當時，，為奇函數(shù)，不符題意，當時，，為偶函數(shù)，于是．因為為奇函數(shù)，在與上均為嚴格減函數(shù)，所以等價于或或，解得或，即.（三）二次方程的實根分布及條件一般情況下需要從以下4個方面考慮：（1）開口方向；（2）判別式；（3）對稱軸與區(qū)間端點的關系；（4）區(qū)間端點函數(shù)值的正負.題型3：二次方程的實根分布及條件3-1．（2024高三·全國·階段練習）方程的一根在區(qū)間內(nèi)，另一根在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，由二次函數(shù)根的分布性質有，，，求得的取值范圍.【詳解】令，由二次函數(shù)根的分布性質，若一根在區(qū)間內(nèi)，另一根在區(qū)間（3，4）內(nèi)，只需，即，解不等式組可得，即的取值范圍為，故選：C.【點睛】本題考查了二次函數(shù)根的分布性質，屬于中檔題.3-2．（2024高三·全國·專題練習）關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，且，那么的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】說明時，不合題意，從而將化為，令，結合其與x軸有兩個交點，且分布在1的兩側，可列不等式即可求得答案.【詳解】當時，即為，不符合題意；故，即為，令，由于關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，且，則與x軸有兩個交點，且分布在1的兩側，故時，，即，解得，故，故選：D3-3．（2024高一·江蘇·課后作業(yè)）設a為實數(shù)，若方程在區(qū)間上有兩個不相等的實數(shù)解，則a的取值范圍是（

）.A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)方程根的分布結合二次函數(shù)的圖象列出不等式組求解即可.【詳解】令，由方程在區(qū)間上有兩個不相等的實數(shù)解可得，即或，解得，故選：C（四）二次函數(shù)“動軸定區(qū)間”、“定軸動區(qū)間”問題（1）要熟練掌握二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值或值域的求法，特別是含參數(shù)的兩類問題——動軸定區(qū)間和定軸動區(qū)間，解法是抓住“三點一軸”，三點指的是區(qū)間兩個端點和區(qū)間中點，一軸指對稱軸.即注意對對稱軸與區(qū)間的不同位置關系加以分類討論，往往分成：①軸處在區(qū)間的左側；②軸處在區(qū)間的右側；③軸穿過區(qū)間內(nèi)部（部分題目還需討論軸與區(qū)間中點的位置關系），從而對參數(shù)值的范圍進行討論.（2）對于二次方程實根分布問題，要抓住四點，即開口方向、判別式、對稱軸位置及區(qū)間端點函數(shù)值正負.題型4：二次函數(shù)“動軸定區(qū)間”、“定軸動區(qū)間”問題4-1．（2024高一上·海南·期中）已知在區(qū)間上的值域為.(1)求實數(shù)的值；(2)若不等式

當上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)區(qū)間討論的對稱軸的位置，滿足值域是，求出a；（2）運用換元法構造函數(shù)根據(jù)單調性求解.【詳解】（1）函數(shù)是開口向上，對稱軸為的二次函數(shù)，根據(jù)的圖像有：當時，在上的最小值，不符合，舍；當時，在上的最小值或（舍），，，滿足題意；當時，在上的最小值（舍），；（2）由(1)，，不等式為，即，令，則，

在時恒成立，令，是對稱軸為開口向上的拋物線，在時單調遞減，，，即k的取值范圍是；綜上，.4-2．（2024·浙江）設函數(shù).（1）當時，求函數(shù)在上的最小值的表達式；（2）已知函數(shù)在上存在零點，，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【詳解】（1）將函數(shù)進行配方，利用對稱軸與給定區(qū)間的位置關系，通過分類討論確定函數(shù)在給定區(qū)間上的最小值，并用分段函數(shù)的形式進行表示；（2）設定函數(shù)的零點，根據(jù)條件表示兩個零點之間的不等關系，通過分類討論，分別確定參數(shù)的取值情況，利用并集原理得到參數(shù)的取值范圍.試題解析：（1）當時，，故其對稱軸為.當時，.當時，.當時，.綜上，（2）設為方程的解，且，則.由于，因此.當時，，由于和，所以.當時，，由于和，所以.綜上可知，的取值范圍是.考點：1.函數(shù)的單調性與最值；2.分段函數(shù)；3.不等式性質；4.分類討論思想.4-3．（2024高一上·海南·期末）已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值2和最小值1.(1)求的值；(2)不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)若且方程有三個不同的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質，分類討論函數(shù)的單調性，結合已知列出方程組，即可得出；（2）由已知可轉化為在上恒成立.根據(jù)基本不等式即可求出實數(shù)的取值范圍；（3）由已知可推得有三個不同的實數(shù)解.令，作出的函數(shù)圖象，可得.結合函數(shù)圖象，該方程一個根大于0小于1，一個根大于等于1.令，根據(jù)二次函數(shù)的性質與圖象，即可得出不等關系，進而求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由已知可得.當時，在上為增函數(shù)，所以，解得；當時，在上為減函數(shù)，所以，解得.由于，所以.（2）由（1）知，所以在上恒成立，即，因為，所以在上恒成立，即在上恒成立，又，當且僅當時取等號.所以，即.所以求實數(shù)的范圍為.（3）方程化為，化為，且.令，則方程化為.作出的函數(shù)圖象因為方程有三個不同的實數(shù)解，所以有兩個根，且一個根大于0小于1，一個根大于等于1.設，記，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質可得，或，解得.所以實數(shù)的取值范圍為.【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)構成復合函數(shù)的函數(shù)特性，即可得出零點的分布情況.4-4．（2024·浙江）已知函數(shù)，記是在區(qū)間上的最大值.（1）證明：當時，；（2）當，滿足，求的最大值.【答案】（1）詳見解析；（2）.【詳解】（1）分析題意可知在上單調，從而可知，分類討論的取值范圍即可求解.；（2）分析題意可知，再由可得，，即可得證.試題解析：（1）由，得對稱軸為直線，由，得，故在上單調，∴，當時，由，得，即，當時，由，得，即，綜上，當時，；（2）由得，，故，，由，得，當，時，，且在上的最大值為，即，∴的最大值為..考點：1.二次函數(shù)的性質；2.分類討論的數(shù)學思想.4-5．（2024高一上·浙江·階段練習）已知函數(shù)．(1)當時，解方程；(2)當時，記函數(shù)在上的最大值為，求的最小值．【答案】(1)和1(2)【分析】（1）分與兩種情況，結合二次方程求解即可；（2）根據(jù)分段函數(shù)中的二次函數(shù)性質，分析可得最大值在中取得，再根據(jù)區(qū)間端點與對稱軸的關系分情況討論，數(shù)形結合分析函數(shù)的最大值，進而求得的解析式，從而得到最小值即可.【詳解】（1）當時，令．當時，，解得：當時，，解得：故方程的解為：和1；（2），其中，因為對稱軸為，開口向下；對稱軸為，開口向上，于是最大值在中取得．當，即時，在上單調遞減．；當，即時，在上單調遞增，在上單調遞減，；當，即時，在上單調遞減，上單調遞增，在上單調遞減，；當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，一、單選題1．（2024高一·全國·假期作業(yè)）關于x的方程有兩個實數(shù)根，，且，那么m的值為（

）A． B． C．或1 D．或4【答案】A【分析】，利用韋達定理可得答案.【詳解】關于x的方程有兩個實數(shù)根，，解得：，關于x的方程有兩個實數(shù)根，，，，，即，解得：或舍去故選：A.2．（2024·山東）關于函數(shù)，以下表達錯誤的選項是（

）A．函數(shù)的最大值是1 B．函數(shù)圖象的對稱軸是直線C．函數(shù)的單調遞減區(qū)間是 D．函數(shù)圖象過點【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質，直接進行求解即可.【詳解】，最大值是1，A正確；對稱軸是直線，B正確；單調遞減區(qū)間是，故C錯誤；令的，故在函數(shù)圖象上，故D正確，故選：C3．（2024·浙江）若函數(shù)在區(qū)間[0,1]上的最大值是M,最小值是m,則的值A．與a有關，且與b有關 B．與a有關，但與b無關C．與a無關，且與b無關 D．與a無關，但與b有關【答案】B【詳解】因為最值在中取，所以最值之差一定與無關，選B．【名師點睛】對于二次函數(shù)的最值或值域問題，通常先判斷函數(shù)圖象對稱軸與所給自變量閉區(qū)間的關系，結合圖象，當函數(shù)圖象開口向上時，若對稱軸在區(qū)間的左邊，則函數(shù)在所給區(qū)間內(nèi)單調遞增；若對稱軸在區(qū)間的右邊，則函數(shù)在所給區(qū)間內(nèi)單調遞減；若對稱軸在區(qū)間內(nèi)，則函數(shù)圖象頂點的縱坐標為最小值，區(qū)間端點距離對稱軸較遠的一端取得函數(shù)的最大值．4．（2024·新疆阿勒泰·三模）已知函數(shù)則函數(shù)，則函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由可知圖像與的圖像關于軸對稱，由的圖像即可得出結果.【詳解】因為，所以圖像與的圖像關于軸對稱，由解析式，作出的圖像如圖從而可得圖像為B選項.故選：B.5．（2024·湖南婁底·模擬預測）已知函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】將函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，轉化為且在區(qū)間上恒成立可求解.【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，所以且在區(qū)間上恒成立，所以，解得或.故選：B6．（2024·海南·模擬預測）已知函數(shù)，，的圖象如圖所示，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由函數(shù)圖象可確定大小關系，結合指數(shù)函數(shù)單調性可得結果.【詳解】由圖象可知：，.故選：C.7．（2024高一上·寧夏吳忠·階段練習）已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．B． C． D．【答案】D【分析】結合二次函數(shù)和分段函數(shù)性質，研究給定函數(shù)的單調性，再借助單調性求解不等式作答.【詳解】因為開口向下的二次函數(shù)，對稱軸為，故函數(shù)在上單調遞減；為開口向上的二次函數(shù)，對稱軸為，故函數(shù)在上單調遞減，且，因此函數(shù)在R上單調遞減，則，即，解得或，所以實數(shù)的取值范圍是。故選：D8．（2024高三·河北·專題練習）設，二次函數(shù)的圖象為下列之一，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由二次函數(shù)的性質得該函數(shù)的對稱軸不能為軸，當開口向上時，對稱軸，進而得該函數(shù)圖象，進而結合函數(shù)圖象過坐標原點且開口向下即可得答案.【詳解】由題知，，所以二次函數(shù)的圖象不關于軸對稱，故排除第一、二個函數(shù)圖象，當時，該二次函數(shù)的對稱軸為，故第四個圖象也不滿足題意，當時，該二次函數(shù)的對稱軸為，開口向下，故第三個函數(shù)圖象滿足題意.此時函數(shù)圖象過坐標原點，故，解得，由于，故.故選：B9．（2024高三下·河南新鄉(xiāng)·開學考試）已知函數(shù)若的最小值為6，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由基本不等式求得在時的最小值是6，因此時函數(shù)的最小值不小于6，根據(jù)二次函數(shù)性質分類討論求解．【詳解】因為當時，，當且僅當時，等號成立，所以當時，，當時，的最小值大于或等于6.當時，在上單調遞減，則.由得；當時，.由得.綜合可得.故選：C．10．（2024·全國·模擬預測）已知x，，滿足，，則（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】令，，易得為奇函數(shù)且為增函數(shù)，再由和，變形得到，求解．【詳解】解：令，，則，∴為奇函數(shù)．∵，∴．又∵，∴，∴，．又∵在R上單調遞增，∴，即．故選：B．11．（2024·貴州畢節(jié)·二模）已知，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的單調性即可解出的范圍.【詳解】，根據(jù)指數(shù)函數(shù)在上單調遞減得，，根據(jù)冪函數(shù)在上單調遞增知，則，，根據(jù)對數(shù)函數(shù)在上單調遞減得，綜上.故選：D.12．（2024高三·全國·專題練習）已知a，b，c∈R，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f（4）>f（1），則（

）A．a(chǎn)>0，4a＋b＝0 B．a(chǎn)<0，4a＋b＝0C．a(chǎn)>0，2a＋b＝0 D．a(chǎn)<0，2a＋b＝0【答案】A【分析】由已知得f(x)的圖象的對稱軸為x＝2且f(x)先減后增，可得選項.【詳解】由f(0)＝f（4），得f(x)＝ax2＋bx＋c圖象的對稱軸為x＝－＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)>f（1），f（4）>f（1），∴f(x)先減后增，于是a>0，故選：A.【點睛】本題考查二次函數(shù)的對稱軸，單調性，屬于基礎題.13．（2024·浙江）已知函數(shù)f(x)=x2+bx，則“b＜0”是“f(f(x))的最小值與f(x)的最小值相等”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】試題分析：由題意知，最小值為．令，則，當時，的最小值為，所以“”能推出“的最小值與的最小值相等”；當時，的最小值為0，的最小值也為0，所以“的最小值與的最小值相等”不能推出“”．故選A．考點：充分必要條件．14．（2024高三·全國·專題練習）如果函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則的最大值為（

）A．16 B．18 C．25 D．【答案】B【分析】分，，，結合二次函數(shù)的單調性與基本不等式即可求解.【詳解】當時，在區(qū)間上單調遞減，則，所以，沒有最大值，舍去；當時，拋物線的對稱軸為.當時，據(jù)題意，可得，即..當且僅當且，得，等號成立；當時，拋物線開口向下，據(jù)題意得，，即..當且僅當且，得，故應舍去.要使得取得最大值，應有.因為在上單調遞減.所以.綜上所述，的最大值為18.故選：B.15．（2024·陜西）對二次函數(shù)（為非零整數(shù)），四位同學分別給出下列結論，其中有且僅有一個結論是錯誤的，則錯誤的結論是A．是的零點 B．1是的極值點C．3是的極值 D．點在曲線上【答案】A【詳解】若選項A錯誤時，選項B、C、D正確，，因為是的極值點，是的極值，所以，即，解得：，因為點在曲線上，所以，即，解得：，所以，，所以，因為，所以不是的零點，所以選項A錯誤，選項B、C、D正確，故選A．【考點定位】1、函數(shù)的零點；2、利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．16．（2024·四川樂山·一模）已知冪函數(shù)和，其中，則有下列說法：①和圖象都過點；②和圖象都過點；③在區(qū)間上，增長速度更快的是；④在區(qū)間上，增長速度更快的是.則其中正確命題的序號是（

）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④【答案】A【分析】由冪函數(shù)的性質進行分析判斷即可【詳解】冪函數(shù)的圖象過定點，①正確，在區(qū)間上，越大增長速度更快，③正確，故選：A.17．（2024·河北衡水·模擬預測）已知冪函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，則（

）A．8 B．4 C．2 D．1【答案】A【分析】由奇函數(shù)定義域的對稱性得，然后可得函數(shù)解析式，計算函數(shù)值．【詳解】因為冪函數(shù)在上是奇函數(shù)，所以，所以，所以，故選：A．18．（2024·北京東城·一模）下列函數(shù)中，定義域與值域均為R的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)和反比例函數(shù)的性質判斷.【詳解】A.函數(shù)的定義域為，值域為R；B.函數(shù)的定義域為R，值域為；C.函數(shù)的定義域為R，值域為R；D.函數(shù)的定義域為，值域為，故選：C二、多選題19．（2024·江蘇·模擬預測）若函數(shù)，且，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用冪函數(shù)的性質及函數(shù)的單調性的性質，結合特殊值法及構造函數(shù)法即可求解.【詳解】由冪函數(shù)的性質知，在上單調遞增.因為,所以，即，，所以．故A正確；令，則，故B錯誤；令，則由函數(shù)單調性的性質知，在上單調遞增，在上單調遞增，所以在上單調遞增，因為，所以，即，于是有，故C正確；令，則，所以因為，故D錯誤．故選：AC.20．（2024·吉林長春·模擬預測）已知冪函數(shù)圖像經(jīng)過點，則下列命題正確的有（

）A．函數(shù)為增函數(shù) B．函數(shù)為偶函數(shù)C．若，則 D．若，則【答案】BD【分析】先代點求出冪函數(shù)的解析式，根據(jù)冪函數(shù)的性質直接可得單調性和奇偶性，可判斷A，B，由，可判斷C，假設，對不等式進行證明，即可判斷D.【詳解】將點代入函數(shù)得：，則.所以，顯然在定義域上為減函數(shù)，所以A錯誤；，所以為偶函數(shù)，所以B正確；當時，，即，所以C錯誤；當若時，假設，整理得，化簡得，，即證明成立，利用基本不等式，，因為，故等號不成立，成立；即成立，所以D正確.故選：BD.21．（2024高一上·重慶·階段練習）已知關于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列結論正確的是（

）A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有實數(shù)根的充要條件是m∈{m|m<1或m>9}B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一負根的充要條件是m∈{m|m<0}C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有兩正實數(shù)根的充要條件是m∈{m|0<m≤1}D．方程x2＋(m－3)x＋m＝0無實數(shù)根的必要條件是m∈{m|m>1}【答案】BCD【分析】根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關系和充要條件和必要條件的定義，依次判斷每個選項的正誤得到答案.【詳解】方程x2＋(m－3)x＋m＝0有實數(shù)根的充要條件是，解得，A錯誤；方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一負根的充要條件是，解得，B正確；方程x2＋(m－3)x＋m＝0有兩正實數(shù)根的充要條件是，解得，C正確；方程x2＋(m－3)x＋m＝0無實數(shù)根的充要條件是，解得，，故必要條件是m∈{m|m>1}，故D正確.故選：BCD.22．（2024高一上·湖南長沙·期中）設二次函數(shù)的值域為，下列各值（或式子）中一定大于的有（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】由二次函數(shù)的性質與基本不等式求解即可【詳解】因為二次函數(shù)的值域為，所以，所以，解得，所以，由于，，當且僅當時取等號，所以，對于A：，故A錯誤；對于B：，故B正確；對于C：令，則，故C錯誤；對于D：，，故D正確；故選：BD三、填空題23．（2024高一上·全國·期末）已知冪函數(shù)的圖象關于原點對稱，則滿足成立的實數(shù)a的取值范圍為.【答案】【分析】利用冪函數(shù)的定義及性質求出m值，再解一元二次不等式即可得解.【詳解】因函數(shù)是冪函數(shù)，則，解得或，當時，是偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱，與已知的圖象關于原點對稱矛盾，當時，是奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，于是得，不等式化為：，即，解得：，所以實數(shù)a的取值范圍為.故答案為：24．（2024高一上·四川眉山·期中）下面命題：①冪函數(shù)圖象不過第四象限；②圖象是一條直線；③若函數(shù)的定義域是，則它的值域是；④若函數(shù)的定義域是，則它的值域是；⑤若函數(shù)的值域是，則它的定義域一定是．其中不正確命題的序號是．【答案】②③④⑤【分析】根據(jù)函數(shù)的性質以及函數(shù)定義域值域等性質分別進行判斷即可．【詳解】解：冪函數(shù)圖象不過第四象限，①正確；圖象是直線上去掉點，②錯誤；函數(shù)的定義域是，則它的值域是，③錯誤；函數(shù)的定義域是，則它的值域是，④錯誤；若函數(shù)的值域是，則它的定義域也可能是，⑤錯誤，故答案為：②③④⑤．【點睛】本題主要考查命題的真假判斷，利用函數(shù)的性質以及函數(shù)定義域，值域，單調性的性質是解決本題的關鍵，屬于基礎題．25．（2024高三上·河北衡水·周測）已知，，若對，，，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)，，，由求解.【詳解】因為對，，，所以只需即可，因為，，所以，，由，解得故答案為：.【點睛】本題主要考查不等式恒能成立問題以及函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題.26．（2024高三上·福建三明·期中）已知，則實數(shù)的取值范圍是【答案】【分析】由題意利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調性，求出實數(shù)的取值范圍．【詳解】已知，或①；，②；，③．綜合①②③，求得實數(shù)的取值范圍為．故答案為：﹒27．（2024高三下·上海嘉定·階段練習）已知函數(shù)，若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】判斷單調遞增，討論或，根據(jù)分段函數(shù)的值域可得且，解不等式即可求解.【詳解】由函數(shù)單調遞增，①當時，若，有，而，此時函數(shù)的值域不是；②當時，若，有，而，若函數(shù)的值域為，必有，可得．則實數(shù)的取值范圍為．故答案為：28．（2024高三·全國·專題練習）不等式的解集為：．【答案】【分析】不等式變形為，即，構造函數(shù)，判斷出函數(shù)得單調性，再根據(jù)函數(shù)的單調性解不等式即可.【詳解】不等式變形為，所以，令，則有，因為函數(shù)在R上單調遞增，所以在R上單調遞增，則，解得，故不等式的解集為．故答案為：.29．（2024高一上·全國·課后作業(yè)）已知冪函數(shù)，若，則a的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)題意得到冪函數(shù)的定義域和單調性，得到不等式的等價不等式組，即可求解.【詳解】由冪函數(shù)，可得函數(shù)的定義域為，且是遞減函數(shù)，因為，可得，解得，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：30．（2024·上海閔行·一模）已知二次函數(shù)的值域為，則函數(shù)的值域為．【答案】【分析】由二次函數(shù)的值域為，分析求出參數(shù)，然后代入中求出值域即可【詳解】由二次函數(shù)的值域為得：解得：或（舍去）所以因為所以函數(shù)的值域為：故答案為：.31．（2024·貴州畢節(jié)·模擬預測）寫出一個同時具有下列性質①②③的非常值函數(shù).①在上恒成立；②是偶函數(shù)；③.【答案】（答案不唯一，形如均可）【分析】結合①②可聯(lián)想到函數(shù)是奇函數(shù)，再由③結合聯(lián)想冪函數(shù)寫出解析式作答.【詳解】由②知，函數(shù)可以是奇函數(shù)，由①知，函數(shù)在上可以是減函數(shù)，由③結合①②，令，顯然，滿足①；是偶函數(shù)，滿足②；，滿足③，所以.故答案為：32．（2024·新疆阿勒泰·一模）已知二次函數(shù)（a，b為常數(shù)）滿足，且方程有兩等根，在上的最大值為，則的最大值為.【答案】1【分析】由有兩等根，可得得，由可得為對稱軸，可得，則可得到的解析式，對分類討論，利用函數(shù)單調性可得的最大值.【詳解】解：已知方程有兩等根，即有兩等根，，解得；，得，是函數(shù)圖象的對稱軸.而此函數(shù)圖象的對稱軸是直線，，故，若在上的最大值為，當時，在上是增函數(shù)，，當時，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，，綜上，的最大值為1.故答案為：1.33．（2024·湖北）為實數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值記為.當時，的值最小.【答案】．【詳解】因為函數(shù)，所以分以下幾種情況對其進行討論：①當時，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，所以；②當時，此時，，而，所以；③當時，在區(qū)間上遞增，在上遞減．當時，取得最大值；④當時，在區(qū)間上遞增，當時，取得最大值，則在上遞減，上遞增，即當時，的值最?。蚀鸢笧椋海键c：本題考查分段函數(shù)的最值問題和函數(shù)在區(qū)間上的最值問題，屬高檔題．四、解答題34．（2024高三下·上海浦東新·階段練習）已知.(1)若，，解關于的不等式；(2)若，在上的最大值為，最小值為，求證：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意求出，將用表示，然后再把分類討論，結合一元二次不等式的解法即可得出答案；（2）利用反證法證明，若等于0，得到也等于0，所以等于，得到（2）與互為相反數(shù)，不合題意；若不為0，由，解得，代入中，求出二次函數(shù)的對稱軸，假設對稱軸小于或大于2，即可得到對稱軸在區(qū)間的左外側或右外側，得到為單調函數(shù)，函數(shù)的最值在，取到，把2和代入得到最值互為相反數(shù)，不合題意，所以假設錯誤，綜上，得證；【詳解】（1）解：因為，所以，又因，所以，所以，則不等式即為，即，若，則不等式的解集為；若，則不等式的解集為；若，當時，則不等式的解集為；當時，則不等式的解集為；當時，則不等式的解集為；（2）解：若，則，，當時，則無解，所以；若時，由，得，對稱軸為，假設，，，區(qū)間，在對稱軸的左外側或右外側，所以在，上是單調函數(shù)，則的最值必在，處取到，，，，所以假設錯誤，則，綜上，得到.35．（2024高一下·貴州黔東南·開學考試）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且時，，.(1)求在區(qū)間上的解析式；(2)若對，則，使得成立，求的取值范圍.【答案】(1)，(2)【分析】（1）設，由奇函數(shù)的定義可得出，即可得出函數(shù)在區(qū)間上的解析式；（2）求得函數(shù)在區(qū)間上的值域為，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調性，可得出，即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：設，則，，即當時，.（2）解：當時，；當時，；又因為，所以，函數(shù)在上的值域為，在上單調遞減，在上單調遞增，當時，，，因為，則，使得成立，則，解得.36．（2024高一上·河南平頂山·期末）已知函數(shù)．(1)利用函數(shù)單調性的定義證明是單調遞增函數(shù)；(2)若對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用單調性的定義，取值、作差、整理、定號、得結論，即可得證.（2）令，根據(jù)x的范圍，可得t的范圍，原式等價為，，只需即可，分別討論、和三種情況，根據(jù)二次函數(shù)的性質，計算求值，分析即可得答案.【詳解】（1）由已知可得的定義域為，任取，且，則，因為，，，所以，即，所以在上是單調遞增函數(shù)．（2），令，則當時，，所以．令，，則只需．當，即時，在上單調遞增，所以，解得，與矛盾，舍去；當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，所以，解得；當即時，在上單調遞減，所以，解得，與矛盾，舍去．綜上，實數(shù)的取值范圍是．37．（2024高一上·貴州畢節(jié)·期末）已知函數(shù)．(1)當時，解關于x的不等式；(2)函數(shù)在上的最大值為0，最小值是，求實數(shù)a和t的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）代入解不等式組可得答案；（2）由題意，結合最大值為0最小值是分、數(shù)形結合可得答案.【詳解】（1）當時，不等式，即為，即，所以，所以或，所以原不等式的解集為．（2），由題意或，這時解得，若，則，所以；若，即，所以，則，綜上，或．38．（2024高一上·遼寧大連·期中）已知值域為的二次函數(shù)滿足，且方程的兩個實根滿足．(1)求的表達式；(2)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)可以判斷函數(shù)的對稱軸，再根據(jù)函數(shù)的值域可以確定二次函數(shù)的頂點坐標，則可設，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系，結合已知進行求解，求出的值，即可得出的表達式；（2）根據(jù)題意，可以判斷出函數(shù)在區(qū)間上的單調性，由，求得，進而可知的對稱軸方程為，結合二次函數(shù)的圖象與性質以及單調性，得出，即可求出的取值范圍.【詳解】（1）解：由，可得的圖象關于直線對稱，函數(shù)的值域為，所以二次函數(shù)的頂點坐標為，所以設，根據(jù)根與系數(shù)的關系，可得，，因為方程的兩個實根滿足則，解得：，所以.（2）解：由于函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，又，即，所以的對稱軸方程為，則，即，故的取值范圍為.39．（2024高三上·全國·階段練習）已知函數(shù)為偶函數(shù).（1）求的值；（2）設函數(shù)，是否存在實數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的最小值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【分析】（1）根據(jù)題意得出，代入函數(shù)解析式，從而求出的值；（2）根據(jù)（1）得出，利用換元得出二次函數(shù)，討論對稱軸與區(qū)間的關系即可求出的值.【詳解】（1）由題意知函數(shù)的定義域為，因為為偶函數(shù)，所以對任意的恒成立，即對任意的恒成立，即對任意的恒成立，即對任意的恒成立，所以，解得.（2）由（1）知所以，令，則，其對稱軸為，①當，即時，在上單調遞減，所以，由，解得，此時不滿足，此時不存在符合題意的值；②當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，所以，由，解得或，又，所以；③當，即時，在上單調遞增，所以，由，解得，不滿足，此時不存在符合題意的值.綜上所述，存在，使得函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.40．（2024高一上·湖南衡陽·期末）二次函數(shù)為偶函數(shù)，，且恒成立．(1)求的解析式；(2)，記函數(shù)在上的最大值為，求的最小值．【答案】(1)；(2).【分析】(1)設，由，恒成立，列出不等式組，求解即可；(2)分，，和，求出的解析式，即可得的最小值.【詳解】（1）解：依題設，由，得，，得恒成立，∴，得，所以，又，所以，∴；（2）解：由題意可得：，，若，則，則在[0,1]上單調遞增，所以；若，當，即時，在[0,1]上單調遞增，當，只須比較與的大小，由，得：，此時，時，，此時，綜上，，時，，時，，時，，綜上可知：的最小值為．41．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，當時，設的最大值為，求的最小值．【答案】最小值為．【分析】根據(jù)絕對值三角不等式可得，結合不等式即可確定等號成立的條件，即可求解.【詳解】令，分別取，1，2，可得，，．由，利用絕對值三角不等式可得，因此當，時，，當且僅當時取等號，而，得在上的最大值為，說明等號能成立．故的最小值為．42．（2024高一上·廣東·期中）已知函數(shù)，(1)當時，①求函數(shù)單調遞增區(qū)間；②求函數(shù)在區(qū)間的值域；(2)當時，記