2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點(diǎn)突破和專題檢測(cè)專題14 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-函數(shù)的最值問題5題型分類-備2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點(diǎn)突破和專題檢測(cè)（原卷版）

專題14導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用--函數(shù)的最值問題5題型分類1.函數(shù)的最值函數(shù)最大值為極大值與靠近極小值的端點(diǎn)之間的最大者；函數(shù)最小值為極小值與靠近極大值的端點(diǎn)之間的最小者．導(dǎo)函數(shù)為（1）當(dāng)時(shí)，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．（2）當(dāng)時(shí)，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．一般地，設(shè)是定義在上的函數(shù)，在內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值可分為兩步進(jìn)行：（1）求在內(nèi)的極值（極大值或極小值）；（2）將的各極值與和比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值．注：①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點(diǎn)附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最值是對(duì)函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值；②函數(shù)的極值點(diǎn)必是開區(qū)間的點(diǎn)，不能是區(qū)間的端點(diǎn)；③函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得．2.不等式的恒成立與能成立問題（1）若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值和最大值，則不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；（2）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（小）值，且值域?yàn)椋瑒t不等式在區(qū)間D上恒成立．不等式在區(qū)間D上恒成立．（3）若函數(shù)在區(qū)間Ｄ上存在最小值和最大值，即，則對(duì)不等式有解問題有以下結(jié)論：不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；（4）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲?，如值域?yàn)?，則對(duì)不等式有解問題有以下結(jié)論：不等式在區(qū)間D上有解不等式在區(qū)間D上有解（5）對(duì)于任意的，總存在，使得；（6）對(duì)于任意的，總存在，使得；（7）若存在，對(duì)于任意的，使得；（8）若存在，對(duì)于任意的，使得；（9）對(duì)于任意的，使得；（10）對(duì)于任意的，使得；（11）若存在，總存在，使得（12）若存在，總存在，使得．（一）求函數(shù)的最值1.求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值時(shí)，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，與的各極值進(jìn)行比較得到函數(shù)的最值．2.導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．題型1：求函數(shù)的最值（不含參）1-1．（2024·全國(guó)）函數(shù)的最小值為.1-2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求在區(qū)間上的最大值；1-3．（2024·江蘇）若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則在上的最大值與最小值的和為．1-4．（2024·遼寧葫蘆島·二模）已知函數(shù)，則的最大值是．1-5．（2024·全國(guó)）函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（

）A． B． C． D．題型2：求函數(shù)的最值（含參）2-1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，．討論函數(shù)的最值；2-2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，求在內(nèi)的最大值；2-3．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中．(1)若a=2，求的單調(diào)區(qū)間；(2)已知，求的最小值．（參考數(shù)據(jù)：）2-4．（2024·天津和平·三模）已知函數(shù)，，其中.(1)若曲線在處的切線與曲線在處的切線平行，求的值；(2)若時(shí)，求函數(shù)的最小值；(3)若的最小值為，證明：當(dāng)時(shí)，.（二）根據(jù)最值求參數(shù)已知函數(shù)在某區(qū)間上的最值求參數(shù)的值(或范圍)是求函數(shù)最值的逆向思維，一般先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值點(diǎn)，探索最值點(diǎn)，根據(jù)已知最值列方程(不等式)解決問題．其中注意分類討論思想的應(yīng)用．題型3：根據(jù)最值求參數(shù)3-1．（2024高三上·廣西桂林·階段練習(xí)）已知函數(shù)在處取最大值，則實(shí)數(shù)（

）A． B．1 C． D．23-2．（2024高二下·四川綿陽(yáng)·期中）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的最大值為，求實(shí)數(shù)的值．3-3．（2024高三上·河南新鄉(xiāng)·周測(cè)）若函數(shù)f（x）＝x3﹣3x在區(qū)間（a，6﹣a2）上有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是3-4．（2024高二·貴州貴陽(yáng)·階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.3-5．（2024·山東·一模）若函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則整數(shù)的取值可以是．3-6．（2024高三上·吉林長(zhǎng)春·開學(xué)考試）函數(shù)在內(nèi)有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.3-7．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上．若該球的體積為，則該四棱錐體積的最大值是．3-8．（2024高三下·云南昆明·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上最大值為M，最小值為m，則的值是.3-9．（2024·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測(cè)）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為1，則．（三）函數(shù)單調(diào)性、極值、最值得綜合應(yīng)用求函數(shù)在區(qū)間上的最值的方法：（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則與一個(gè)為最大值，另一個(gè)為最小值；（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極值，則要求先求出函數(shù)在區(qū)間上的極值，再與、比大小，最大的為最大值，最小的為最小值；（3）若函數(shù)在區(qū)間上只有唯一的極大點(diǎn)，則這個(gè)極值點(diǎn)就是最大（最?。┲迭c(diǎn)，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常用到.題型4：函數(shù)單調(diào)性、極值、最值得綜合應(yīng)用4-1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．(1)若函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(3)求在內(nèi)的最值．4-2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知．(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值點(diǎn)；(2)求函數(shù)在上的最值．4-3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在內(nèi)的極值；(2)若函數(shù)在上的最小值為5，求實(shí)數(shù)的取值范圍．4-4．（2024·天津河北·二模）已知，函數(shù)，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)求證：函數(shù)存在極值點(diǎn)，并求極值點(diǎn)的最小值.4-5．（四川省宜賓市2023屆高三三模數(shù)學(xué)（理科）試題）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若，的最小值是，求實(shí)數(shù)m的所有可能值.（四）不等式恒成立與存在性問題1.求解不等式的恒成立問題，常用的方法有：（1）分離參數(shù)求最值；（2）直接求函數(shù)的最值；（3）端點(diǎn)優(yōu)先法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.2.在不等式恒成立或不等式有解條件下求參數(shù)的取值范圍，一般利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值或值域問題加以求解，可采用分離參數(shù)或不分離參數(shù)法直接移項(xiàng)構(gòu)造輔助函數(shù)．題型5：不等式恒成立與存在性問題5-1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若存在，使得不等式成立，則m的取值范圍為5-2．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.5-3．（2024高三上·內(nèi)蒙古呼和浩特·開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)若在R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．5-4．（2024高三上·遼寧朝陽(yáng)·階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在，使得不等式成立，求的取值范圍.5-5．（2024高三上·福建莆田·開學(xué)考試）已知函數(shù)，.(1)若不等式的解集為，求不等式的解集；(2)若對(duì)于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.5-6．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，是上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得極值．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極大值；(2)若對(duì)任意，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若對(duì)任意，，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．一、單選題1．（2024·全國(guó)）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（

）A． B． C． D．12．（2024·全國(guó)）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2024高二下·全國(guó)·專題練習(xí)）如果圓柱的軸截面周長(zhǎng)l為定值，那么圓柱的體積的最大值是（

）A． B．C． D．4．（2024高三上·河南焦作·期中）在直角坐標(biāo)系中，一個(gè)長(zhǎng)方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，將該長(zhǎng)方形繞軸旋轉(zhuǎn)，得到一個(gè)圓柱體，則該圓柱體的體積最大時(shí)，其側(cè)面積為（

）A． B． C． D．5．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知不等式有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于的不等式在內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）已知在區(qū)間上的最大值就是函數(shù)的極大值，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（2024高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知a，，關(guān)于x的不等式在R上恒成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．9．（2024高三上·江蘇鎮(zhèn)江·開學(xué)考試）對(duì)于實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、填空題10．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在直角坐標(biāo)系中，矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，將該矩形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)圓柱體，當(dāng)該圓柱體的體積最大時(shí)，其側(cè)面積為11．（2024高三上·重慶·階段練習(xí)）已知，則當(dāng)取得最大值時(shí)，．12．（2024高三上·四川成都·開學(xué)考試）已知面積為的銳角其內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，且，則邊c的最小值為．13．（2024高三上·吉林長(zhǎng)春·開學(xué)考試）函數(shù)在內(nèi)有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.14．（2024·湖北武漢·三模）已知函數(shù)，，則函數(shù)的最小值為.15．（2024·安徽安慶·二模）已知，且，則的最小值為.16．（2024·海南海口·模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)，滿足：，則的最小值為.17．（2024高三·福建泉州·階段練習(xí)）已知函數(shù)的最小值為0，則a的取值范圍為．18．（2024高三下·江蘇南通·開學(xué)考試）若函數(shù)的最小值為，則．19．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為20．（2024·山西運(yùn)城·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若函數(shù)在上存在最小值.則實(shí)數(shù)的取值范圍是.21．（2024·貴州黔東南·模擬預(yù)測(cè)）若存在實(shí)數(shù)（），使得關(guān)于x的不等式對(duì)恒成立，則b的最大值是.22．（2024高三下·陜西安康·階段練習(xí)）若不等式對(duì)恒成立，則a的取值范圍是.三、解答題23．（2024·北京）已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．24．（2004·浙江）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線l與x軸y軸所圍成的三角形面積為．(1)求切線l的方程；(2)求的最大值．25．（2004·湖南）已知函數(shù)，其中，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．26．（2024高二下·黑龍江大慶·期中）已知函數(shù).(1)若時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)求在上的最小值.27．（2024·江西）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，且滿足，.(1)求的取值范圍；(2)設(shè)，求在上的最大值和最小值.28．（2024高二下·山西朔州·階段練習(xí)）設(shè)a∈R，函數(shù)f(x)＝ax3－3x2.（1）若x＝2是函數(shù)y＝f(x)的極值點(diǎn)，求a的值；（2）若函數(shù)g(x)＝f(x)＋，x∈[0，2]，在x＝0處取得最大值，求a的取值范圍29．（2024高三上·重慶沙坪壩·開學(xué)考試）已知函數(shù).(1)設(shè)，經(jīng)過點(diǎn)作函數(shù)圖像的切線，求切線的方程；(2)若函數(shù)有極大值，無(wú)最大值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.30．（2024高三·廣東中山·階段練習(xí)）用長(zhǎng)為的鋼條圍成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的框架，要求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬之比為，問該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各為多少時(shí)，其體積最大？最大體積是多少？31．（2024高二下·廣東汕頭·期中）某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計(jì)厚度，長(zhǎng)度單位：），其中容器的中間為圓柱形，左、右兩端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器的容積為，且，假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)，已知圓柱形部分每平方米的建造費(fèi)用為3萬(wàn)元，半球形部分每平方米的建造費(fèi)用為（）萬(wàn)元，該容器的總建造費(fèi)用為萬(wàn)元.（1）寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；（2）求該容器的總建造費(fèi)用最少時(shí)的的值.32．（2023·福建）在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形的長(zhǎng)為2，寬為1，邊分別在軸、軸的正半軸上，點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合（如圖所示）．將矩形折疊，使A點(diǎn)落在線段上．(1)若折痕所在直線的斜率為，試寫出折痕所在直線的方程；(2)求折痕的長(zhǎng)的最大值．33．（2024高二下·廣東揭陽(yáng)·期末）如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其長(zhǎng)半軸為，短半軸為，計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點(diǎn)在橢圓上，記，梯形面積為．(Ⅰ)求面積關(guān)于變量的函數(shù)表達(dá)式，并寫出定義域；(Ⅱ)求面積的最大值．34．（2024·廣東廣州·一模）人們用大數(shù)據(jù)來(lái)描述和定義信息時(shí)代產(chǎn)生的海量數(shù)據(jù)，并利用這些數(shù)據(jù)處理事務(wù)和做出決策，某公司通過大數(shù)據(jù)收集到該公司銷售的某電子產(chǎn)品1月至5月的銷售量如下表.月份x12345銷售量y（萬(wàn)件）4.95.86.88.310.2該公司為了預(yù)測(cè)未來(lái)幾個(gè)月的銷售量，建立了y關(guān)于x的回歸模型：.(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)與回歸模型，求y關(guān)于x的回歸方程（的值精確到0.1）；(2)已知該公司的月利潤(rùn)z（單位：萬(wàn)元）與x，y的關(guān)系為，根據(jù)（1）的結(jié)果，問該公司哪一個(gè)月的月利潤(rùn)預(yù)報(bào)值最大？參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.35．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）為落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，堅(jiān)持五育并舉全面推進(jìn)素質(zhì)教育，某學(xué)校舉行了乒乓球比賽，其中參加男子乒乓球決賽的12名隊(duì)員來(lái)自3個(gè)不同校區(qū)，三個(gè)校區(qū)的隊(duì)員人數(shù)分別是3，4，5.本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每名隊(duì)員進(jìn)行11場(chǎng)比賽（每場(chǎng)比賽都采取5局3勝制），最后根據(jù)積分選出最后的冠軍.積分規(guī)則如下：比賽中以或取勝的隊(duì)員積3分，失敗的隊(duì)員積0分；而在比賽中以取勝的隊(duì)員積2分，失敗的隊(duì)員的隊(duì)員積1分.已知第10輪張三對(duì)抗李四，設(shè)每局比賽張三取勝的概率均為.(1)比賽結(jié)束后冠亞軍(沒有并列)恰好來(lái)自不同校區(qū)的概率是多少？(2)第10輪比賽中，記張三取勝的概率為，求出的最大值點(diǎn).36．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）5G技術(shù)對(duì)社會(huì)和國(guó)家十分重要．從戰(zhàn)略地位來(lái)看，業(yè)界一般將其定義為繼蒸汽機(jī)革命、電氣革命和計(jì)算機(jī)革命后的第四次工業(yè)革命．某科技集團(tuán)生產(chǎn)A，B兩種5G通信基站核心部件，下表統(tǒng)計(jì)了該科技集團(tuán)近幾年來(lái)在A部件上的研發(fā)投入（億元）與收益y（億元）的數(shù)據(jù)，結(jié)果如下：研發(fā)投入x（億元）12345收益y（億元）3791011(1)利用樣本相關(guān)系數(shù)r說(shuō)明是否可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系（當(dāng)時(shí)，可以認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性）；(2)求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并利用該方程回答下列問題：①若要使生產(chǎn)A部件的收益不低于15億元，估計(jì)至少需要投入多少研發(fā)資金？（精確到0.001億元）②該科技集團(tuán)計(jì)劃用10億元對(duì)A，B兩種部件進(jìn)行投資，對(duì)B部件投資元所獲得的收益y近似滿足，則該科技集團(tuán)針對(duì)A，B兩種部件各應(yīng)投入多少研發(fā)資金，能使所獲得的總收益P最大．附：樣本相關(guān)系數(shù)，回歸直線方程的斜率，截距．37．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）甲?乙兩人參加一個(gè)游戲，該游戲設(shè)有獎(jiǎng)金256元，誰(shuí)先贏滿5局，誰(shuí)便贏得全部的獎(jiǎng)金，已知每局游戲乙贏的概率為，甲贏的概率為，每局游戲相互獨(dú)立，在乙贏了3局甲贏了1局的情況下，游戲設(shè)備出現(xiàn)了故障，游戲被迫終止，則獎(jiǎng)金應(yīng)該如何分配才為合理？有專家提出如下的獎(jiǎng)金分配方案：如果出現(xiàn)無(wú)人先贏5局且游戲意外終止的情況，則甲?乙按照游戲再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部獎(jiǎng)金的概率之比分配獎(jiǎng)金.記事件A為“游戲繼續(xù)進(jìn)行下去甲獲得全部獎(jiǎng)金”，試求當(dāng)游戲繼續(xù)進(jìn)行下去，甲獲得全部獎(jiǎng)金的概率，并判斷當(dāng)時(shí)，事件A是否為小概率事件，并說(shuō)明理由.（注：若隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于，則稱隨機(jī)事件為小概率事件）38．（2024高三上·云南保山·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，函數(shù)在上恒成立，求整數(shù)a的最大值.39．（2024·甘肅臨夏·一模）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若對(duì)于任意正實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．40．（2024·河北唐山·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，求的最小值．41．（2024高三上·河南·階段練習(xí)）設(shè)且，函數(shù)，且為奇