《直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系-直線與圓的位置關(guān)系》教材分析

高中數(shù)學(xué)精選資源2/22.5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系一、本節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖二、重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：運(yùn)用直線和圓的方程判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.難點(diǎn)：運(yùn)用直線與圓的方程解決簡單的問題.三、教科書編寫意圖及教學(xué)建議在本節(jié)，教科書運(yùn)用直線和圓的方程判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，并解決簡單的問題.圖形之間的位置關(guān)系，既可以直觀定性描述，也可以嚴(yán)格定量刻畫.定量刻畫的方法既可以完全運(yùn)用代數(shù)的方法，通過運(yùn)算求解，得到圖形的性質(zhì)；也可以綜合使用幾何方法、代數(shù)方法，得到圖形的性質(zhì).在本節(jié)的教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)初中學(xué)習(xí)圖形與幾何的經(jīng)驗(yàn)以及本章前面所學(xué)內(nèi)容，類比用直線的方程研究兩條直線的位置關(guān)系，研究運(yùn)用直線和圓的方程判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.需要注意的是，對(duì)于直線與圓相切、圓與圓相切的位置關(guān)系，我們可以從它們只有一個(gè)公共點(diǎn)的情況進(jìn)行判斷.但對(duì)一般曲線來說，隨著后續(xù)的學(xué)習(xí)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，上述判斷方法不一定正確.也就是說，相切與相交是兩種不同的位置關(guān)系，相切不是相交的特殊情況，相切是相交的極限狀態(tài).2.5.1直線與圓的位置關(guān)系1.節(jié)引言的教學(xué)本節(jié)引言引導(dǎo)學(xué)生回顧初中學(xué)習(xí)平面幾何的經(jīng)驗(yàn)，以及本章前面所學(xué)內(nèi)容，提出本節(jié)研究的問題：利用直線和圓的方程，通過定量計(jì)算判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，意在讓學(xué)生體會(huì)這種研究思路的邏輯必然，自已能提出研究問題.教學(xué)中要注意引導(dǎo)學(xué)生自主回顧初中所學(xué)知識(shí)，明確直線與圓的三種位置關(guān)系，三種位置關(guān)系的劃分標(biāo)準(zhǔn)是直線與圓公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).同時(shí)提醒學(xué)生注意，這種位置關(guān)系的判定是定性描述，初中的方法無法做到定量刻畫.2.關(guān)于第91頁的“思考”思考欄目提出兩個(gè)問題，一個(gè)是從幾何角度說明判斷方法，這是定性描述；另一個(gè)是通過直線與圓的方程如何研究它們之間的位置關(guān)系.根據(jù)學(xué)生初中所學(xué)知識(shí)，判斷直線與圓的位置關(guān)系可以用公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，也可以通過比較圓心到直線的距離和半徑的大小進(jìn)行判斷.結(jié)合本章的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，利用直線與圓的方程判斷它們之間的位置關(guān)系有兩種思路：一是根據(jù)直線與圓的方程組成的方程組實(shí)數(shù)解的情況進(jìn)行判斷；二是利用直線與圓的方程求得圓心到直線的距離，依據(jù)圓心到直線的距離和半徑的大小關(guān)系進(jìn)行判斷.3.例1的教學(xué)1讓學(xué)生體驗(yàn)如何判斷直線與圓的位置關(guān)系.教科書給出的第一種方法是依據(jù)“直線與圓的方程組成的方程組有無實(shí)數(shù)解、有幾組實(shí)數(shù)解”，這是最直接的判斷，是完全的代數(shù)方法.通過方程組研究曲線間的位置關(guān)系，這是坐標(biāo)法的重要體現(xiàn)，具有普適性.通過求出兩交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間距離公式求弦長，也是坐標(biāo)法的直接運(yùn)用，具有程序性、普適性.第二種方法是利用直線與圓的方程，求得圓心到直線的距離，然后比較圓心到直線的距離和半徑的大小關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系.它充分利用圖形的幾何性質(zhì)，主體仍是坐標(biāo)法，其中的弦長是利用勾股定理求得.兩種不同解法中學(xué)生應(yīng)能體會(huì)到，利用圖形的幾何性質(zhì)，有助于簡化計(jì)算.教科書在例1的解答后總結(jié)了判斷直線與圓位置關(guān)系的兩種方法.方法一：計(jì)算直線與圓的方程組成的方程組是否有實(shí)數(shù)解：如果有實(shí)數(shù)解，直線與圓有公共點(diǎn).有兩組不同的實(shí)數(shù)解時(shí)，直線與圓相交；有兩組相同的實(shí)數(shù)解時(shí)，直線與圓相切；沒有實(shí)數(shù)解時(shí)，直線與圓相離.方法二：計(jì)算圓的圓心到直線的距離d，比較圓心到直線的距離d和半徑r的大小關(guān)系：如果d<r，直線與圓相交；如果d=r，直線與圓相切；如果d>r，直線與圓相離.方法一是直接運(yùn)用直線和圓的方程組成的方程組有無實(shí)數(shù)解的情況判斷直線與圓的位置關(guān)系，是完全代數(shù)的方法；方法二是利用圖形中的相關(guān)幾何量（圓心到直線的距離、圓的半徑）的大小判斷直線與圓的位置關(guān)系，涉及圓心到直線距離的計(jì)算，教學(xué)時(shí)教師要重視引導(dǎo)學(xué)生展開討論、比較、歸納.4.例2及圓的切線的教學(xué)直線與圓相切是直線與圓特殊而又重要的位置關(guān)系.學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)是用直線與圓只有一個(gè)共點(diǎn)來刻畫直線與圓相切，這種用公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)刻畫相切關(guān)系在直線與圓的關(guān)系中沒有問題.但我們知道，這種對(duì)切線的理解存在局限性.事實(shí)上切線是割線的極限情況，可以借助信息技術(shù)讓學(xué)生感知由割線向切線的動(dòng)態(tài)演變過程，明確切線是割線的極限位置，體會(huì)極限思想.從例2的分析與解答中讓學(xué)生體會(huì)如何利用待定系數(shù)法求圓的切線方程.例2提供了兩種解答，學(xué)生能從中再次體會(huì)兩種思路的差異.方法一設(shè)出切線方程后，利用“圓心到切線的距離等于半徑”這一圓的切線的性質(zhì)，將幾何性質(zhì)與代數(shù)方法結(jié)合；方法二設(shè)出切線方程后，直接聯(lián)立切線與圓的方程，利用方程組解有兩組相等的實(shí)數(shù)解確定斜率k的值，這是完全代數(shù)的方法.例2的解答中要注意分析過程，在已知切線過定點(diǎn)的情況下求切線方程就是求切線斜率k這個(gè)代數(shù)量.一方面直線與圓相切就是直線與圓有唯一公共點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的代數(shù)形式就是聯(lián)立的方程組有兩組相等的實(shí)數(shù)解；另一方面直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于半徑.此時(shí)產(chǎn)生了兩種不同的解法.我們應(yīng)看到利用坐標(biāo)法求切線方程的最大優(yōu)點(diǎn)是方便利用待定系數(shù)法實(shí)現(xiàn)代數(shù)運(yùn)算.需要注意的是，提醒學(xué)生結(jié)合圖示可知，過圓外一點(diǎn)作圓的切線有兩條，而且要注意對(duì)直線斜率不存在的情況進(jìn)行討論.例1與例2都給出兩種解法，這些解法有助于學(xué)生進(jìn)一步理解“適當(dāng)?shù)乩脠D形的幾何性質(zhì)，有助于簡化計(jì)算.”體會(huì)圖形的性質(zhì)在解析幾何問題解決中的作用，強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合思想.例1與例2都是運(yùn)用方程研究直線與圓的位置關(guān)系的問題.5.例3的教學(xué)例3與例4是直線與圓的方程在實(shí)際生活中的應(yīng)用，這兩個(gè)問題的解決首先需要學(xué)生自己建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，然后在平面直角坐標(biāo)系中將問題涉及的幾何元素：點(diǎn)、直線、圓用坐標(biāo)或方程表示，利用這些坐標(biāo)或方程將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算解決代數(shù)問題，最后將代數(shù)結(jié)論“翻譯”為幾何結(jié)論.這體現(xiàn)了用坐標(biāo)法研究問題的基本思想與完整過程，也就是用坐標(biāo)法解決平面幾何問題的“三步曲”：第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何要素，如點(diǎn)、直線、圓，把平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問題；第三步：把代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.例3體現(xiàn)了圓的方程的應(yīng)用以及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，首先把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，解決數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而解決實(shí)際問題.具體做法是，先建立平面直角坐標(biāo)系，求出圓拱橋所在圓的方程；然后，利用圓的方程求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，得到線段的長度；最后解釋它的實(shí)際意義圓拱橋上支柱的高.這是用坐標(biāo)法解決問題的基本過程，這一過程沒有特殊的技巧，凸顯了坐標(biāo)法解決問題的普適性.在例3后，教科書提出“思考”：如果不建立平面直角坐標(biāo)系，你能解決這個(gè)問題嗎？下面我們給出用綜合法解決這個(gè)問題的過程：如圖1，過點(diǎn)作，垂足為H.由已知，.點(diǎn)C為圓拱所在圓的圓心.在Rt△AOC中，有.設(shè)圓拱所在圓C的半徑是r，則有，解得r=14.5.在Rt△中，有.因?yàn)椋谑怯?又，于是有.所以支柱的高度約為3.86（m）可以看到，運(yùn)用綜合法需要添加多條輔助線，有一定的技巧，而且求解過程中利用了垂徑定理，并多次使用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，過程比較復(fù)雜.6.例4的教學(xué)例4是直線與圓的位置關(guān)系在解決現(xiàn)實(shí)問題中的具體應(yīng)用，說明利用方程研究直線與圓的位置關(guān)系有一定的實(shí)際意義，體現(xiàn)研究直線與圓位置關(guān)系的必要性.例4的解答首先是建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求出暗礁所在區(qū)域邊緣所在圓的方程，以及輪船返港航線所在直線方程，利用方程判斷直線與圓的位置，進(jìn)而確定輪船是否有觸礁危險(xiǎn).學(xué)生通過例4的分析與解答，再一次體驗(yàn)并鞏固用坐標(biāo)法解決實(shí)際問題的思想與完整過程.在不建立直角坐標(biāo)系的情況下例4也是可以解決的，為此教科書提出“你還能用其他方法解決上述問題嗎？”下面給出解答過程：如圖2，設(shè)輪船開始位于x軸上的A點(diǎn)，港口位于y軸上的B點(diǎn).利用平面幾何知識(shí)，在Rt△AOB中，原點(diǎn)O到直線AB的距離即為斜邊AB上的高.因?yàn)?，根?jù)勾股定理，有.設(shè)點(diǎn)O到AB的距離為d，則，所以.因?yàn)?4>20，所以這艘輪船不必改變航線，不會(huì)有觸礁的危險(xiǎn).在完成例3與例4分析與解答的基礎(chǔ)上，教科書總結(jié)了用坐標(biāo)法解決問題的一般步驟，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生討論、交流、歸納.用坐標(biāo)法解決幾何問題時(shí)，先用坐標(biāo)和方程表示相應(yīng)的幾何元素：點(diǎn)、直線、圓，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；然后通過代數(shù)運(yùn)算解決代數(shù)問題；最后解釋代數(shù)運(yùn)算結(jié)果的幾何含義，得到幾何問題的結(jié)論.這就是用坐標(biāo)法解決平面幾何問題的“三步曲”，意在讓學(xué)生反復(fù)體驗(yàn)“三步曲”.學(xué)生在此之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了向量知識(shí)，了解向量法在幾何問題解決中的作用，教科書在本小節(jié)最后的“邊空”提出了一個(gè)思考問題：“比較坐標(biāo)法與向量法，它們在解決兒何問題時(shí)，有什么異同點(diǎn)？”教師可引導(dǎo)學(xué)生回顧向量法是如何研究解決幾