精-品解析：廣東省深圳市龍華區(qū)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)龍華區(qū)中小學(xué)2023-2024學(xué)年第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試卷高一數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.半徑為的圓中，弧長(zhǎng)為的圓弧所對(duì)的圓心角的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可得.【詳解】由弧長(zhǎng)公式得.故選：B.2.函數(shù)定義域是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】直接求定義域即可.【詳解】由得，定義域是.故選：D3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】求得方程的解為或，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】將代入中可得，即“”是“”的充分條件；由，得，即或，所以“”不是“”的必要條件，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A．4.已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】借助指數(shù)、對(duì)數(shù)與冪函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合中間值即可比較大小.【詳解】由，，，可得，故選：C.5.如圖，直線l和圓C，當(dāng)l從l0開(kāi)始在平面上繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)到（轉(zhuǎn)到角不超過(guò)90°）時(shí)，它掃過(guò)的圓內(nèi)陰影部分的面積S是時(shí)間t的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)的圖像大致是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可知：S變化情況為“一直增加，先慢后快，過(guò)圓心后又變慢”，據(jù)此確定函數(shù)的大致圖像即可.【詳解】觀察可知面積S變化情況為“一直增加，先慢后快，過(guò)圓心后又變慢”，對(duì)應(yīng)的函數(shù)的圖象是變化率先變大再變小，由此知D符合要求.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)圖像，函數(shù)圖像的變化趨勢(shì)等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.6.定義一種運(yùn)算：．已知函數(shù)，為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)（）A向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】A【解析】【分析】先明確的解析式，再根據(jù)函數(shù)圖象變換的法則直接寫(xiě)出結(jié)論.【詳解】由題可知函數(shù)，將其圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得到函數(shù)的圖象.故選：A7.如圖，有三個(gè)相同的正方形相接，若，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1，由圖可得，結(jié)合兩角和的正切公式計(jì)算即可求解.【詳解】設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1，由圖可得，則且，所以.故選：B.8.設(shè)集合，，若，則的取值范圍是（）A. B.C.且 D.【答案】C【解析】【分析】確定，根據(jù)可推得函數(shù)與函數(shù)的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，即無(wú)解，結(jié)合基本不等式即可求得答案.【詳解】由得，，所以集合，集合.等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)沒(méi)有交點(diǎn)，即無(wú)解，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，又因?yàn)椋郧?，故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列各組函數(shù)中，是相同函數(shù)的是（）A.與 B.與C.與 D.與【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的三要素，特別是定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同，可判斷函數(shù)是否為相同函數(shù)，由此一一判斷各選項(xiàng)中的函數(shù)，即可得答案.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，與的定義域都為R，對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，二者是相同函數(shù)；對(duì)于B選項(xiàng)，函數(shù)定義域是，函數(shù)的定義域是，定義域不同，不是相同函數(shù)；對(duì)于C選項(xiàng)，與的定義域都為R，對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，二者是相同函數(shù)；對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)椋x域不同，不是相同函數(shù)，故選：AC.10.已知非零實(shí)數(shù)，滿足，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)A，由等價(jià)于即可得；對(duì)B、C、D，構(gòu)造對(duì)應(yīng)函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，等價(jià)于，即，當(dāng)時(shí)，顯然成立，A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，函數(shù)在定義域內(nèi)不是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，不一定成立，B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)在上是減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，在內(nèi)是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以，D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的值域是 B.的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C.在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減 D.方程有且僅有兩根【答案】BD【解析】【分析】用換元法和反函數(shù)定義域求原函數(shù)值域判斷A；用奇偶性定義判斷B；對(duì)于C用舉反例的方法排除；利用函數(shù)單調(diào)性與零點(diǎn)存在定理判斷D.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的定義域是，令(且)，函數(shù)(且)的值域?yàn)榛?，所以的值域是，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以函?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，B正確；對(duì)于C，在函數(shù)的定義域內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)，，不滿足單調(diào)遞減的定義，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，則，易得在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以在和上單調(diào)遞減，又，，，，所以在與上各存在唯一零點(diǎn)，即方程有且僅有兩根，故D正確.故選：BD.12.已知函數(shù)（，），為的零點(diǎn)，且在上單調(diào)遞減，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.若，則C.是偶函數(shù) D.的取值范圍是【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)A，將代入結(jié)合題目條件可得的值；對(duì)B，由函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形，且即可得；對(duì)C，由無(wú)法判斷奇偶性可得；對(duì)D，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可得.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由是的零點(diǎn)得，所以，即，因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，函數(shù)圖象是中心對(duì)稱圖形，由得是函數(shù)的對(duì)稱中心，所以，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，奇偶性無(wú)法判斷，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，由A選項(xiàng)得，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，，解得（），所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)無(wú)解，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知集合，，則____．【答案】##【解析】【分析】由交集的定義和運(yùn)算直接得出結(jié)果.【詳解】集合，所以.故答案為：14.設(shè)均為實(shí)數(shù)，且，則____________.【答案】##【解析】【分析】等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，求出的值，代入，利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)即可求出值.【詳解】，取對(duì)數(shù)得，，；.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)指數(shù)冪的化簡(jiǎn)求值，對(duì)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)知識(shí)的考查.15.如圖，單位圓被點(diǎn)，，，…，平均分成份，以軸的正半軸為始邊，（…）為終邊的角記為，則=____，=____．（說(shuō)明：∑是一個(gè)連加符號(hào)，…）【答案】①.②.##【解析】【分析】根據(jù)題意，可先確定的值，再求三角函數(shù)值.【詳解】由題意得，所以，所以.單位圓被平均分成12份，則，，所以.故答案為：；16.已知且，若函數(shù)中至少存在兩點(diǎn)，使關(guān)于軸對(duì)稱，則的取值范圍是____．【答案】【解析】【分析】結(jié)合一次函數(shù)單調(diào)性對(duì)參數(shù)的取值范圍進(jìn)行分類討論，根據(jù)題意可知當(dāng)時(shí)才會(huì)滿足題意，再結(jié)合一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速率之間的關(guān)系可得，即可求得的取值范圍.詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，且時(shí)，；而單調(diào)遞減，且，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)不存在兩點(diǎn)使其關(guān)于軸對(duì)稱，所以不滿足題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)不存在兩點(diǎn)使其關(guān)于軸對(duì)稱，所以不滿足題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)，存在使其關(guān)于軸對(duì)稱，滿足題意；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，易知與關(guān)于軸對(duì)稱，要存在兩點(diǎn)使其關(guān)于軸對(duì)稱，則需當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，再由一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速率之間的關(guān)系可得，即.綜上所述，的取值范圍是故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于將存在兩點(diǎn)使其關(guān)于軸對(duì)稱的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成直線關(guān)于軸對(duì)稱的直線與令一段圖象有交點(diǎn)，即可得出結(jié)果.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17.（1）計(jì)算：；（2）已知角終邊上一點(diǎn)，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用指數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算出答案；（2）先根據(jù)三角函數(shù)定義求出，再利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)后代入求值.【詳解】（1）（2）因?yàn)闉榻墙K邊上一點(diǎn)，所以，.18.已知函數(shù)的一條對(duì)稱軸為．（1）求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞增區(qū)間【答案】18.19.，【解析】【分析】（1）由正弦函數(shù)的對(duì)稱軸結(jié)合得出即可；（2）方法一：先求出當(dāng)時(shí)，，再由正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解出x的范圍；方法二：整體直接代入正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再求出x范圍.【小問(wèn)1詳解】依題意得（），所以（），因?yàn)椋?【小問(wèn)2詳解】法一：由（1）得，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)或時(shí)，單調(diào)遞增，解得此時(shí)或，故在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，.法二：由（1）得，解（）得（），因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，.19.如圖，給出函數(shù)的部分圖象．（1）請(qǐng)?jiān)趫D中同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出函數(shù)的圖象．設(shè)與在軸左邊的交點(diǎn)為，試用二分法求出的橫坐標(biāo)的近似解（精確度為0.3）；（2）用表示，中的較大者，記為，請(qǐng)寫(xiě)出的解析式．【答案】（1）函數(shù)圖像見(jiàn)解析，（2）.（或）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理，進(jìn)行計(jì)算，確定零點(diǎn)所在的區(qū)間，當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)度小于或等于時(shí)，可以用區(qū)間內(nèi)的任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)作為問(wèn)題的答案；（2）數(shù)形結(jié)合，先確定方程的解，再判斷各區(qū)間上與的大小.【小問(wèn)1詳解】如圖.令，則當(dāng)時(shí)，方程的近似解等價(jià)于求函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)，因?yàn)?，，所以，由零點(diǎn)存在定理可知，.又因?yàn)?，所以，由零點(diǎn)存在定理可知.又因?yàn)椋?，由零點(diǎn)存在定理可知.因?yàn)?，所以可取?【小問(wèn)2詳解】由，得，或.結(jié)合（1）的圖象，可得.（或）20.已知函數(shù)，且．（1）若，求方程的解；（2）若對(duì)，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）令，利用換元法將原方程轉(zhuǎn)化為，則或，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解；（2）令，原不等式可轉(zhuǎn)變?yōu)樵谏虾愠闪?，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論，求出即可求解.【小問(wèn)1詳解】令，則，當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，即，得，有或，則或，所以或.【小問(wèn)2詳解】法一：令，由，得，依題意得恒成立，因?yàn)?，所以在上恒成立，令，?duì)稱軸，①當(dāng)時(shí)，即，，得.所以.②當(dāng)，即，，得.所以.綜上所述，取值范圍為.法二：令，由，得，依題意得恒成立，令，①當(dāng)時(shí)，易知在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，所以此時(shí)沒(méi)有最小值，即不存在使得不等式恒成立.②當(dāng)時(shí)，易知在上單調(diào)遞增，故恒成立，解得，即當(dāng)時(shí)，不等式恒成立.③當(dāng)時(shí)，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，要使原不等式成立，須使恒成立，解得綜上所述，的取值范圍為.法三：令，由，得，依題意得恒成立，因?yàn)椋栽谏虾愠闪?，由，得，①?dāng)時(shí)，恒成立，R；②當(dāng)，，所以在上恒成立，令，，則，在上單調(diào)遞減，所以，所以，的取值范圍為.③當(dāng)，，所以在上恒成立，令，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，，時(shí)等號(hào)成立，即，所以，的取值范圍為綜上所述，的取值范圍為.21.如圖所示，某開(kāi)發(fā)區(qū)有一塊邊長(zhǎng)為的正方形空地．當(dāng)?shù)卣?jì)劃將它改造成一個(gè)體育公園，在半徑為的扇形上放置健身器材，并在剩余區(qū)域中修建一個(gè)矩形運(yùn)動(dòng)球場(chǎng)，其中是弧上一點(diǎn)，分別在邊上．設(shè)，球場(chǎng)的面積．（1）求的解析式；（2）若球場(chǎng)平均每平方米的造價(jià)為元，問(wèn)：當(dāng)角為多少時(shí)，球場(chǎng)的造價(jià)最低．【答案】（1）（2），球場(chǎng)的造價(jià)最低【解析】【分析】（1）如圖，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為.由三角函數(shù)的定義表示出，進(jìn)而表示出，即可求解；（2）令，則，由題意可得球場(chǎng)的造價(jià)為，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可求解.【小問(wèn)1詳解】過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為.由題意得：，，所以，，所以.【小問(wèn)2詳解】依題意得球場(chǎng)的造價(jià)，令，因?yàn)椋?，所以，故，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，球場(chǎng)的造價(jià)最低.22.若函數(shù)的定義域?yàn)?，若?duì)于給定的正實(shí)數(shù)，存在，使得，則稱函數(shù)在上具有性質(zhì)．（1）若函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)，求正整數(shù)的最小值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)，