《電工電子技術基礎》課件-第4章

4.1正弦交流電的基本概念

4.2單一元件的交流電路

4.3正弦穩(wěn)態(tài)電路分析4.4功率與功率因數的提高

4.5諧振電路

習題

4.1正弦交流電的基本概念

4.1.1復數一個復數A可以表示為以下形式：(代數式)(三角形式)(指數形式)(極坐標形式)式中，為虛數單位，a為實部，b為虛部，r為復數的模，j為幅角。其中復數的三角形式、指數形式、極坐標形式并無本質區(qū)別，但極坐標形式最為簡潔。可利用以下關系式對極坐標形式與代數式進行轉換:

(－π≤ψ≤π)a=rcosψb=rsinψ復數A可以與復平面上的一個點對應，常用原點至該點的向量表示，如圖4.1.1所示。

圖4.1.1復數的向量表示下面介紹復數的運算。復數的相加和相減必須用代數形式進行，即A1±A2=(a1+jb1)±(a2+jb2)=(a1±a2)+j(b1±b2)復數的加、減法運算可以按向量求和的平行四邊形(或三角形)原則而得，如圖4.1.2所示。

圖4.1.2向量的加、減法運算復數的乘、除法運算用指數形式較為方便。復數相乘運算為復數相除運算為復數的乘、除表示模的放大或縮小，輻角表示逆時針旋轉或順時針旋轉。如jA表示把復數A逆時針旋轉，表示把復數A順時針旋轉。如果兩個復數A1和A2相等，則a1=a2和b1=b2或者有r1=r2和ψ1=ψ2一個復數系數的方程可以求出一個復數解，或是求出兩個實數解。4.1.2正弦量的三要素將按正弦規(guī)律變化的電動勢、電壓、電流統(tǒng)稱為正弦量。對于周期性變化的物理量，它們的參考方向代表了正半周的方向，而負半周時其參考方向與實際方向相反。正弦電流的一般表達式為i=Imsin(ωt+ψi)(4.1.1)式中，幅值Im、角頻率ω和初相位ψi稱為正弦量的三要素。

1.周期、頻率、角頻率

正弦量變化一周所需的時間(秒)稱為周期，而每秒內變化的次數稱為頻率f，它的單位是赫［茲］(Hz)。周期與頻率互為倒數，即(4.1.2)

世界上多數國家的電網都采用50Hz(工頻)，但也有國家(美國、日本等)采用60Hz。例如，三相異步電動機通常使用工頻電源，但在變頻調速時，其電源頻率在幾赫茲～幾百赫茲。除了周期和頻率之外，還可以用角頻率ω來表示，即它的單位是弧度/秒(rad/s)。(4.1.3)

2.幅值與有效值用i、u、e表示瞬時值，而用Im、Um及Em表示幅值。幅值只表示瞬時值的最大值，而二倍幅值稱為峰-峰值。在工程中用有效值來定義正弦量的大小。有效值是利用電流熱效應來規(guī)定的，一個直流I和一個交流i在單位時間內(一個周期)流過同一電阻R產生的熱效應相等，就把這個I稱為交流i的有效值。所以即(4.1.4)該式適用于周期性變化的電流。將i=Imsin(ωt+ψi)代入上式，則類似地，可以得出電壓和電動勢的有效值如下:

為強調有效值的作用，將正弦表達式改寫為有效值用大寫字母表示，與直流情況相同。交流電氣設備銘牌上的額定電壓和電流，交流電壓和電流表的讀數均為有效值，如220V和380V等。

3.初相位和相位差

將ωt+ψi稱為相位(角)，它反映了正弦量的變化進程。當t=0時，相位被稱為初相角或初相位。初相角與計時零點的選取有關，通常規(guī)定|ψi|≤180°或|ψi|≤π為主值范圍。在線性時不變電路中，如果激勵同頻，則響應同頻，但其初相位則不一定相同。如圖4.1.3所示，某元件的電壓、電流表達式如下:

圖4.1.3

u和i的初相位不同在討論該元件電壓電流關系式時，就要討論相位差φ，即j=(ωt+ψu)－(ωt+ψi)=ψu－ψi

j表示u超前i的角度，相位差為初相之差，與計時零點無關。它也有類似的主值范圍的規(guī)定。如果j>0，則稱u超前i;如果j<0，則稱u滯后于i;如果j=0，則稱u和i同相。如果|j|=π/2，則稱u和i正交;如果|j|=π，則稱u和i反相。由于穩(wěn)態(tài)響應的頻率相同，因此應多關注正弦量的有效值和初相位。直流電路只有有效值(它本身)而無初相位。同時，交流電壓表和電流表只讀有效值，所以要強調交流電相位的概念。4.1.3正弦量的相量表示正弦量的相量將有效值和初相位有機地結合起來。正弦量的相量規(guī)定為即相量是一個復數，復數的模為正弦量的有效值，幅角為正弦量的初相。電流相量用(有效值相量)表示，使它既區(qū)別于一般復數，又區(qū)別于正弦量的有效值。注意，相量只用來表示正弦量，而不是等于正弦量。要熟練掌握正弦量和相量之間的相互轉換。將相量在復平面上表示的圖形稱為相量圖，畫出圖4.1.3中的電壓和電流的相量圖于圖4.1.4中。

圖4.1.4相量圖下面用一個例題來說明相量的作用。

【例4.1.1】已知：和，求i=i1+i2。解

(1)用三角函數計算。其中:

(2)用相量形式計算。將i=i1+i2化成相量形式，即其中：于是通過比較可知，兩種方法并無實質性的區(qū)別，但在形式上實現了有益的轉換，使計算過程更直觀，更簡單。相量可簡化同頻正弦量的計算，有助于微分方程特解的求解。但相量是復數，請牢記復數運算原則。這里也體現了相量法的基本思路:將已知正弦量轉化成已知相量，用相量形式的元件電壓電流關系和相量形式的基爾霍夫定律求未知相量。如果需要的話，再轉化成正弦量。練習與思考

4.1.1已知復數A＝-2＋j3，B=3+j4，試求A+B，A-B，AB和A/B。

4.1.2已知相量，，，，并已知ω，寫出正弦量i1，i2，i3和i4。

4.1.3寫出下列正弦量的相量，并計算。

(1)

(2)

(3)

4.1.4電流

(1)試指出它的頻率、周期、角頻率、幅值、有效值以及初相位。

(2)畫出i波形圖。

(3)如果i的參考方向選得相反，再回答(1)。

4.1.5已知i1=5sin(314t+45°)A，試問i1和i2的相位差是多少？哪個超前，哪個滯后？

4.1.6指出下列各式的錯誤，并加以糾正:

(1)i=5sin(ωt-30°)A＝5e-j30A

(2)

(3)

4.1.7已知和，試用相量表達式計算i=i1+i2，并畫出相量圖。4.2單一元件的交流電路

分析正弦穩(wěn)態(tài)響應時，需要確定元件電壓、電流的相量關系，以及電路中的功率和能量，而元件的電壓、電流關系是正弦穩(wěn)態(tài)分析的基本依據。4.2.1電阻元件的交流電路

圖4.2.1(a)所示電路中，電壓和電流采用關聯參考方向。設電阻元件的電壓、電流為標準正弦表達式，則

圖4.2.1電阻元件的交流電路由歐姆定律可得對比上式可以看出，電壓和電流不但同角頻率且同初相位，其有效值之比為說明電阻元件的電壓有效值與電流有效值之比仍為電阻R。將其寫成相量形式，，，得該式為相量形式的歐姆定律，從數學形式上看，它和u=Ri和U=RI相同，但其含意完全不同?；?4.2.1)由復數乘法原則，式(4.2.1)的模關系(即有效值關系)，式(4.2.1)的幅角關系(即初相關系)，只需牢記相量關系式，并按復數運算原則計算就可得到有效值和初相的關系。根據元件功率定義式，可得出電阻元件的瞬時功率，用小寫字母表示，即p=ui=2UIsin2(ωt+ψi)=UI［1-cos2(ωt+ψi)］由式(4.2.2)可知，p由兩部分組成，一部分是常數UI，另一部分是幅值為UI、并以2倍角頻率變化的正弦量，波形如圖4.2.1(d)所示。

(4.2.2)由于電阻的u和i同相，它們同時為正、同時為負，因此瞬時功率始終大于等于零。這表示電阻元件一直取用電能而將其轉化為其他形式的能量。將一個周期內電路所消耗的電能平均值定義為平均功率，用P表示，即它是瞬時功率中的恒定分量，充分地反映了電阻元件所吸收的功率，也稱為有功功率，其單位用W(瓦)、kW(千瓦)表示。4.2.2電感元件的交流電路

圖4.2.2(a)所示電路中，設電感元件的電壓、電流為標準正弦表達式，即則由電感元件的電壓、電流關系可得

(4.2.4)對比上式可以看出，電感元件的電壓、電流角頻率相同，但相位上u超前，其有效值之比為由此可知，電感元件的電壓有效值與電流有效值之比為ωL，稱為感抗，單位為歐。它表示電感元件對正弦交流電的阻礙能力。當電感L一定時，XL與頻率f成正比。如果將恒定直流看做T=∞，f=0，則XL=0，這與恒定直流電路中電感相當于短路吻合。

將其寫成相量形式，和，則上式既表示電壓的有效值等于電流的有效值與感抗的乘積，也表示其電壓較電流超前。電壓與電流的相量圖如圖4.2.2(c)所示。或(4.2.5)電感元件的瞬時功率為p=ui=2UIsin(ωt+ψi+90°)·sin(ωt+ψi)=UIsin2(ωt+ψi)由此可見，電感元件的瞬時功率仍是一個幅值為UI、并以2倍角頻率變化的正弦量，波形如圖4.2.2(d)所示。

圖4.2.2電感元件的交流電路將電壓、電流的一個T分成4個，在第一個和第三個內，p是正的(u，i同正負);在第二個和第四個內，p是負的(u和i一正一負)。當p>0時，電感元件從電源吸收電能并以磁場形式儲存起來;當p<0時，電感元件放出它吸收的電能，把能量歸還給電源。當i=±Im時，其功率p必是從正半周到負半周的過零點，儲存的磁場能量最大;而當i過零點時，其功率p必是從負半周到正半周的過零點，儲存的磁場能量為零。電感元件的平均功率為對正弦量而言，在其整數個周期內取定積分，其值一定為零。電感元件在正弦交流電路中沒有消耗電能，只是電源與電感元件間不斷地交換功率。用無功功率QL來衡量交換功率的最大值，即

無功功率的單位是乏(var)或千乏(kvar)。(4.2.6)(4.2.7)4.2.3電容元件的交流電路

圖4.2.3(a)是一個線性電容元件的正弦交流電路，電壓和電流仍為關聯參考方向，仍用標準正弦表達式，由電容元件的電壓、電流關系可得(4.2.8)由上式可知，電容元件的電壓、電流角頻率相同，但相位上i超前，其有效值之比為由此可知，電容元件的電壓有效值與電流有效值之比為，稱為容抗，單位為歐。它表示電容元件對正弦交流電的阻礙能力。當電容C一定時，XC與頻率f成反比，如果將恒定直流看做T=∞，f=0，則XC=∞，這與恒定直流電路中電容相當于開路吻合。電容元件有隔直流、通交流的作用。將其寫成相量形式，和，則

上式既表示電壓的有效值等于電流的有效值與容抗的乘積，也表示在相位上電壓較電流滯后?；?4.2.9)根據元件功率的定義式，其瞬時功率為由上式可見，p是一個以2ω為角頻率隨時間而變化的正弦量，其幅值為UI，波形如圖4.2.3(d)所示。

圖4.2.3電容元件的交流電路在第一個和第三個內，電壓絕對值上升，電容從電源吸收電能并用電場形式儲存起來，被充電。在第二個和第四個內，電壓絕對值下降，電容元件將吸收的電能釋放出來，是放電。當p經過正半周到負半周的零點時，電容電壓的絕對值最大，儲能最多;當p經過負半周到正半周的零點時，電容電壓過零點，儲能為零。對電容元件而言，平均功率為這說明電容元件不消耗電能，它只是不停地與電源之間互相交換能量。無功功率是交換功率的最大值。為了同電感元件的無功功率相比較，有電容元件的功率為負，與電感元件正好相反。無功的正負表示了電容元件與電感元件交換功率的時刻正好相反。(4.2.10)(4.2.11)練習與思考

4.2.1指出下列各式哪些正確，哪些錯誤？

①②③

④⑤⑥

4.2.2在電容元件的正弦交流電路中，C=1μF，f=50Hz。

(1)已知，求電流i。

(2)已知，求電流i。

4.2.3在電感元件的正弦交流電路中，L=0.2H，f=50Hz。

(1)已知，求電壓u。

(2)已知，求i。4.3正弦穩(wěn)態(tài)電路分析

比較電阻、電感和電容元件電壓電流關系式的時域表達式與相量形式，可以發(fā)現其時域關系式有著較大的差別，但相量關系式確有相似之處，可以用復阻抗來統(tǒng)一它們的電壓電流關系的相量形式。4.3.1阻抗復阻抗(簡稱阻抗)定義為元件電壓相量與元件電流相量之比，即或(4.3.1)該表達式用阻抗來表示元件電壓電流關系的相量形式。電阻、電感、電容元件的阻抗分別是ZR=R，ZL=jωL，。Z是復數，但不是相量，更沒有正弦量與之對應。如寫成Z=|Z|∠φ，則|Z|為阻抗的模，而j為阻抗角;如Z=R+jX，則R為實部，是電阻，X為虛部，是電抗。該定義式也可推廣到無源二端網絡。4.3.2相量形式的基爾霍夫定律對于電路中任一結點，有∑i=0當式中的電流都是同頻率的正弦量時，則相量形式為即任一結點上同頻正弦電流所對應相量的代數和為零。式(4.3.2)稱為相量形式的KCL。(4.3.2)對于電路中任一回路，有∑u=0當式中的電壓都是同頻率的正弦量時，則相量形式為即任一回路中同頻正弦電壓所對應相量的代數和為零。式(4.3.3)稱為相量形式的KVL。(4.3.3)4.3.3二組關系式的類比現將基爾霍夫定律和元件的電壓電流關系式，在電阻電路中的時域表達式和正弦穩(wěn)態(tài)電路中的相量關系式重述如下。電阻電路的時域表達式正弦穩(wěn)態(tài)的相量表達式電阻元件的VCR電阻、電感、電容元件的VCR

理想電壓源理想電壓源理想電流源理想電流源us=f(t)(已知)i由KCL決定由KCL決定iS=f(t)(已知)u由KVL決定(已知相量)(已知相量)由KVL決定通過比較可知，二組關系式的數學關系完全相同，只需將電阻電路關系式中的u、i、R分別用、和Z來替換，就可得出正弦穩(wěn)態(tài)分析中的相量關系式;反之亦然。因此，可將電阻電路由上述關系式為基礎的各種分析方法和定理都照搬到正弦穩(wěn)態(tài)分析中，只需將變量替換后，就可得到相應的公式和電路。但要注意，這種關系式的相同是數學形式上的，而不是物理含義上的;且電阻電路的計算屬實數運算，而相量關系則是復數運算。

【例4.3.1】將圖4.3.1所示的兩個電阻并聯的電路與兩阻抗并聯的電路作一類比。圖4.3.1例4.3.1的圖

解兩個電阻或兩阻抗并聯時，其電路的基本關系式如下:

由基本關系得出的并聯規(guī)律:

只需知道兩個電阻并聯的基本方程和相關公式，用、、、、Zeq、Z1、Z2來分別替代u、i、i1、i2、Req、R1、R2，就可直接寫出兩阻抗并聯時的基本方程和相關公式。注意:i=i1+i2與表達式對應，但、、是復數，一般而言，I≠I1+I2，不可盲目套用電阻電路的結論。

【例4.3.2】圖4.3.2所示電路中，XL=XC=R，且已知電流表A1的讀數為1A，試問A2和A3的讀數為多少？圖4.3.2例4.3.2的圖解題思路：一般情況下不計電表對電路的影響，即電流表相當于短路，電壓表相當于開路。由于電表僅讀有效值，因此不能直接用相量關系式。如果電路中沒有任何一個角度給出，那么可設某物理量的初相為0°，該物理量應能很好地聯系已知量和未知量。一般，并聯電路中設并聯電壓的初相為0°，而串聯電路中設串聯電流的初相為0°。

解設，則

由KCL：

A1測I1為1A，所以，故A3的讀數為1A。

，故A2的讀數為1.41A。

【例4.3.3】圖4.3.3所示RLC串聯電路中，已知R=40Ω，L=127mH，C=40μF，設。(1)求電流i及uR，uC，uL;(2)作相量圖。圖4.3.3例4.3.3的圖

解電阻、電感、電容三元件串聯，即三阻抗串聯，套用電阻串聯的公式。

(1)XL=ωL=314×127×10－3Ω=40Ω串聯等效阻抗為Z=ZR+ZL+ZC=R+j(XL－XC)

=(40－j40)Ω

等效阻抗Z=R+jX，X<0，則為容性負載;如果X>0，則為感性負載。于是：i=5.5sin(314t+75°)AuR=220sin(314t+75°)VuL=220sin(314t+165°)VuC=440sin(314t-15°)V注意:但U≠UR+UL+UC

(2)電壓和電流的相量圖如圖4.3.3(b)所示，電壓相量即KVL的相量形式。

【例4.3.4】在圖4.3.4中，已知，試求：(1)等效阻抗Z；(2)電路中的、、。圖4.3.4例4.3.4的圖

解阻抗串并聯與電阻串并聯公式相仿。等效阻抗為(2)

【例4.3.5】圖4.3.5(a)中，已知電壓表V、V1、V2的讀數為100V，電流表的讀數為1A。求參數R、L、C，并作出電路相量圖。(ω=314rad/s)圖4.3.5例4.3.5的圖

解

(1)將電表移去后，該電路為RLC串聯電路。如果相量關系式中只涉及復數的乘除法，則可對相量關系式取模運算。本題中已知電壓和電流有效值，以及所求參數都與模有直接關系。串聯電路中電流相同，阻抗之比即電壓相量之比，然后取模，即

得R=86.6Ω，L=0.159H

(2)直接用相量關系式列寫電路方程，串聯電路設，則，，由KVL得所以

由得注意，一個復數關系式，可寫出兩個實數關系式，既可以是模和幅角的關系，也可以是實部和虛部的關系。

(3)仍設，由KVL和元件VCR畫出相量圖如圖4.3.5(b)所示。由于U=U1=U2，組成等邊三角形，由相量圖得，，后同(2)。相量圖的特點是直觀，特別當相量圖為等邊、等腰、直角三角形時更方便。即使是一般三角形，也可用三角中的余弦、正弦定理來分析。

【例4.3.6】求圖4.3.6所示電路中的iL，圖中。圖4.3.6例4.3.6的圖

解(1)用疊加定理求解，畫出兩理想電源單獨作用的電路，如圖4.3.7所示。圖4.3.7兩理想電源單獨作用時的電路圖

(2)用戴維寧定理求解，求的電路圖如圖4.3.8所示。圖4.3.8求的電路圖

(3)用支路電流法求解，如圖4.3.9所示。解得

圖4.3.9用支路電流法求的圖

(4)用電壓源模型與電流源模型的互換來求，如圖4.3.10所示。圖4.3.10用電壓源和電流源等效求的圖

練習與思考

4.3.1計算下列各題，并說明電路的性質：

(1)，Z=(5－j5)Ω，＝？

(2)，，R

＝？X

＝？

4.3.2

RLC串聯電路中，是否會出現UL>U，UC>U，UR>U的情況?

4.3.3在圖4.3.11所示電路中，判斷電路圖中的電壓、電流和電路的阻抗模的答案對不對。圖4.3.11練習與思考4.3.3的圖

4.3.4在圖4.3.12所示電路中，試求各電路的阻抗，并指出電壓u是超前還是滯后于i。圖4.3.12練習與思考4.3.4的圖4.4功率與功率因數的提高

4.4.1功率

圖4.4.1所示的二端網絡，為方便起見，設，。其中j為u超前i的角度。當N為無源二端網絡時，j為阻抗角。其瞬時功率圖4.4.1二端網絡p=ui

=2UIsin(ωt+j)·sinωt

=UI［cosj－cos(2ωt+j)］

=UIcosj(1－cos2ωt)+UIsinj·sin2ωt

它是一個頻率為正弦電壓(或電流)頻率2倍的非正弦周期量。如果N為無源二端網絡，則第一項始終大于或等于零，代表了等效電阻所消耗的瞬時功率，是不可逆的;第二項是可逆的，代表了等效電抗與外電路交換的功率，在一個周期內，它的均值為零。為全面、確切地反映正弦穩(wěn)態(tài)電路中功率的特點，功率又具體分為有功功率、無功功率及視在功率三種。

(1)有功功率(平均功率)和功率因數:(4.4.1)該式表明二端網絡所消耗的有功功率不僅與端電壓、端電流的有效值的乘積有關，還與cosj有關，而cosj稱為功率因數。功率因數是衡量傳輸電能效果的一個重要指標，它表示傳輸系統(tǒng)有功功率所占的比例，功率因數越高，傳輸效果越好。

(2)無功功率:Q=UIsinj

(4.4.2)它是瞬時功率可逆部分的振幅，用來衡量二端網絡與外部電路交換功率的規(guī)模。

(3)視在功率S=UI=|Z|I2

(4.4.3)類似于瞬時功率的定義，規(guī)定為電壓和電流有效值的乘積，其單位為V·A(伏安)，kV·A(千伏安)。變壓器的容量就是以額定電壓和額定電流的乘積，即額定視在功率SN=UNIN來表示的。電阻元件：cos0°=1，則P=UI=RI2，Q=0，S=UI。電容元件：cos90°=0，則P=0，Q=UI=XLI2，S=UI。電感元件：cos(-90°)=0，則P=0，Q=-UI=-XCI2，S=UI。

當RLC串聯時，由相量圖可知，Ucosj=UR，P=UIcosj=URI=RI2，仍只有電阻元件消耗有功功率;同理，Usinj=UL-UC，Q=UIsinj=ULI-UCI=(XL-XC)I2，說明電感消耗正的無功，電容消耗負的無功(相當于發(fā)出)。進一步推廣，可以認為二端網絡消耗的有功功率就是網絡內每個電阻消耗的有功功率之和，二端網絡消耗的無功功率就是整個網絡內每個電感和每個電容所消耗的無功功率之和。4.4.2功率的測量

圖4.4.2是電動式功率表的接線圖。圖中固定線圈的匝數較少，導線較粗，與負載串聯，作為電流線圈;可動線圈的匝數較多，導線較細，與負載并聯，作為電壓線圈。由于并聯線圈用于測負載電壓，因此串有高阻值的倍壓器，可忽略其感抗，認為電流i2與u同相。當測量交流功率時，其功率表指針的偏轉角α表示為α=I2I1cosj=KUIcosj=KP(4.4.4)

可見，電動式功率表指針的偏轉角α與電路的有功功率P成正比。圖4.4.2功率表的接線圖如果將電動式功率表的兩個線圈中的一個反接，指針將反向偏轉，就不能讀出功率的數值。因此，為保證功率表正確連接，在兩個線圈的始端標以“*”號，這兩端均連在電源的同一端。功率表的電壓線圈和電流線圈各有其量程。改變電壓量程的方法和電壓表一樣，即改變倍壓器的電阻值。電流線圈常常由兩個相同的線圈組成，當兩個線圈并聯時，電流量程要比串聯時大一倍。同理，電動式功率表也可測量直流功率。

【例4.4.1】以RLC串聯電路為例，說明規(guī)定無功功率正負的合理性。

答為方便起見，設，則，如圖4.4.3所示。將一個周期分成4個，在0～內，|iL|↑，|uC|↓，所以WL↑，WC↓，說明電容放出電能，而電感吸收電能。在第二個內，|iL|↓，|uC|↑，所以WL↓，WC↑，說明電容吸收電能，而電感放出電能。第三個與第一個相同，第四個與第二個相同。圖4.4.3例4.4.1的圖在任何時刻，當電感吸收電能時，電容就放出電能;當電感放出電能時，電容一定吸收電能。當電路既有電感元件，又有電容元件時，它們可以相互交換電能，這樣就減少了與外電路的能量交換。當電感的無功功率規(guī)定為正時，電容的無功功率就應規(guī)定為負。

【例4.4.2】圖4.4.4是用三表法(交流電壓表、電流表及功率表)測電感線圈參數R、L的實驗電路。已知電壓表的讀數為220V，電流表的讀數為2.2A，功率表的讀數為48.4W，工頻電源，求R、L的值。

圖4.4.4例4.4.2的圖解Z=|Z|∠j=R+jωL功率表測線圈吸收的有功功率，有

【例4.4.3】圖4.4.5中，當S閉合時，電流表讀數為10A，功率表讀數為1000W；當S打開后，電流表讀數為I=12A，功率表讀數為P′=1600W，試求Z1和Z2。

圖4.4.5例4.4.3的圖

解因j1>0，所以Z1為感性，設Z1=R1+jX1=|Z1|∠j1(X1>0)；而Z2可以是感性也可以是容性，設Z2=R2±jX2=|Z2|∠j2(X2>0)。當S閉合時，Z1被短路，有當S打開時，Z1和Z2串聯，則依題意，

即

由于X=14.58Ω，X2=19.6Ω，即X<X2，而Z1為感性，則Z2為容性，應有±X=X1－X2，即X1=±X+X2

X1=X+X2=(14.58+19.6)Ω=34.18ΩX1=－X+X2=(－14.58+19.6)Ω=5.02Ω則所求為

Z1=R1+jX1=(1.11+j34.18)Ω或Z1=R1+jX1=(1.11+j5.02)ΩZ2=R2－jX2=(10－j19.6)Ω注意:要全面考慮問題，沒有依據不要輕率下結論。4.4.3功率因數的提高在正弦交流電路中，電路消耗的有功功率P=UIcosj，而j與電路參數和電源頻率有關。功率因數低會帶來兩方面的影響：

(1)使線路損耗增大。由P=UIcosj知，當P與U一定時，I與cosj成反比。設線路電阻為r，則線路有功損耗為I2r，所以功率因數低，則線路損耗增大。線路損耗(簡稱線損)是電網重要的經濟指標。

(2)使電源利用率低。發(fā)電設備輸出功率P=UNINcosj，其中，UN、IN是額定電壓和額定電流，不允許超過；cosj為負載的功率因數，如果功率因數低，就降低了發(fā)電設備的利用率。例如，容量為1000kV·A的變壓器，如果cosj=1，能提供1000kW的有功功率，而cosj=0.6時，則只能提供600kW的有功功率。因此，希望提高功率因數。但功率因數取決于負載，大量感性負載的電流按正弦規(guī)律變化，其儲能也周期地發(fā)生變化，就需要與外界交換電能。例如生產中大量使用的異步電動機在額定負載時的功率因數為0.7～0.9，其輕載和空載時就更低。從技術經濟觀點出發(fā)，既要保證感性負載所需的無功功率，又要減小電源與負載之間的能量互換。按照供電規(guī)則，高壓供電的工業(yè)企業(yè)的平均功率因數不低于0.95，其他單位不低于0.9。提高功率因數常見的方法就是在電感性負載兩端并聯靜電電容器(設置在用戶或變電所內)，其電路圖和相量圖如圖4.4.6所示。

圖4.4.6通過電容器與電感性負載并聯來提高功率因數并聯電容器前后，和不變，但電壓u與電流i之間的相位差j減小，即cosj

變大。所謂功率因數提高，是指電源的功率因數，或是并聯電容器后的整個負載(包括電容器)的功率因數提高了，而原先的電感性負載的功率因數不變。并聯電容器后，電感所需無功功率大部分或全部由電容器來提供，從而大大減少了與發(fā)電設備的能量交換，提高了發(fā)電設備的利用率。同時，并聯電容器以后的線路中的電流也減少了，從而減少了有功損耗。而且電容器本身并不消耗有功功率，所以整個負載的有功功率不變。

【例4.4.4】有一電感性負載，其功率P=20kW，功率因數cosj1=0.6，接在220V、50Hz的工頻電源上。(1)如果將功率因數提高到cosj=0.9，試求并聯電容量和電容器并聯前后的線路電流;(2)如果功率因數從0.9提高到1，試問并聯電容器還需增加多少。

解

(a)先用相量圖得出以下公式：I1sinj1=Isinj+IC

I1cosj1=Icosj且有功功率為P=UI1cosj1=UIcosj

電容電流為IC=ωCU

由此得(4.4.5)

(b)直接用相量關系式，設，則(j1為阻抗角)由KCL得所以Icosj=I1cosj1－Isinj=－I1sinj+ωCU由此得

(1)cosj1=0.6，φ=53；cosφ=0.9，φ=25.8°。所需電容值為并聯電容前的線路電流(即負載電流)為并聯電容后的線路電流為

(2)如果將cosj由0.9提高到1，則需要增加的電容值為可見，當功率因數接近1時再繼續(xù)提高，則所需電容量很大，因此一般不要求提高到1。練習與思考

4.4.1在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，電感元件和電容元件不僅阻抗相差一個負號，而且無功功率也一正一負，但在電阻電路中卻沒有類似的情況，為什么？

4.4.2一個無源二端網絡由若干個電阻和一個電容元件組成，能判斷無功功率的正負嗎？

4.4.3為什么不用串聯電容器來提高功率因數？

4.4.4功率因數提高后，線路電流減小了，瓦時計會走得慢些(省電)嗎？

4.4.5試用相量圖說明并聯電容過大，功率因數下降的原因。4.5諧振電路

在電阻電路中，無源二端網絡可以用一個電阻來等效；類似地、由電阻、電感、電容元件組成的無源二端網絡，在正弦穩(wěn)態(tài)分析中可以用一個復阻抗來等效，此二端網絡的端電壓與端電流一般而言是不同相的。如果調節(jié)電路的參數或電源頻率而使它們同相，則這時電路就會發(fā)生諧振現象。典型的諧振電路有兩種，即串聯諧振電路和并聯諧振電路。下面先討論串聯諧振電路的諧振條件及諧振特征。4.5.1串聯諧振由電阻、電感、電容元件串聯的電路中，當XL=XC或(4.5.1)時，Z=R+j(XL－XC)=R即Z為純電阻，此時電源電壓u和串聯電流i同相。這時電路發(fā)生串聯諧振。由式(4.5.1)可得諧振頻率為(4.5.2)當電源頻率f與電路參數L和C滿足上述關系時，將發(fā)生諧振。調節(jié)L、C或f都能使電路發(fā)生諧振。當電路發(fā)生串聯諧振時，其特征如下:

(1)電路的阻抗Z0=R，其模較不發(fā)生諧振時的模要小。

(2)電路中的電流與電壓同相，當U一定時，最大。

(3)由于，因而，但，此時見相量圖4.5.1。當XL0=XC0>R時，UC0和UL0都大于電源電壓U，這樣在電力工程中就可能發(fā)生擊穿線圈和電容器絕緣的現象，所以應加以避免。但在無線電工程中則恰好利用諧振來獲得高電壓，使電感或電容元件上的電壓為電源電壓的幾十倍或更高。

圖4.5.1串聯諧振時的相量圖通常用品質因數Q來表示諧振時電容或電感的電壓是電源電壓的倍數，即例如，Q=100，U=6mV，則UC0=UL0=600mV。(4.5.3)

(4)發(fā)生諧振時，阻抗等效為純電阻，所以該電路只消耗有功功率，不消耗無功功率。此時，表明電感放出多少電能，電容就吸收多少電能；而電容放出多少電能，電感也全部吸收。根據功率和能量的關系，此時電感和電容元件上的總儲能一直保持不變。串聯諧振在無線電中的應用較多，圖4.5.2(a)是接收機里典型的輸入電路，它的作用是將需要收聽的信號從天線所收到的許多頻率不同的信號中選出來，而將其他信號盡量加以抑制。輸入電路的主要部分是天線線圈L1和電感線圈L與可變電容器C組成的串聯諧振電路。天線所接收的各種頻率不同的信號都會在LC諧振電路中感應出相應的電動勢e1，e2，e3，…，如圖4.5.2(b)所示，圖中R是線圈的電阻。設各種頻率的電動勢有效值相同，則改變電容C，對所需信號頻率調到串聯諧振，那么在LC回路中該頻率電流最大，在可變電容器兩端該頻率的電壓也較高。而其他頻率的信號雖然也在接收機里出現，但由于沒有發(fā)生諧振，其電路的電流很小，在電容上的電壓也很小，這樣就起到了選擇信號和抑制干擾的作用。

圖4.5.2接收機的輸入電路

【例4.5.1】有一線圈(L=4mH，R=50Ω)與電容器(C＝160pF)串聯，接入220V的電源。(1)求諧振頻率和諧振時電容上的電壓和電流；(2)當頻率減少10％時，求電流與電容器上的電壓。解(1)XL0=2πf0L=2×3.14×200×103×4×10-3Ω=5000ΩXC0=XL0=5000ΩUC0=XC0I=5000×4.4V=22000V

(2)頻率減少10％時,XL=4500Ω，XC=5500Ω

可見，偏置10％的諧振頻率，I和UC就大大減少。4.5.2并聯諧振圖4.5.3是線圈(RL串聯)和電容器(電容C)并聯電路，其等效阻抗為通常線圈的電阻很小，在諧振時，ωL>>R，則上式可寫成(4.5.4)當電源角頻率ω調到ω0時，或(4.5.5)時，發(fā)生并聯諧振。其特征如下:

圖4.5.3并聯諧振電路

(1)由式(4.5.4)知，諧振時電路的阻抗為(4.5.6)

為純電阻，其模較不發(fā)生諧振時大。

(2)電源電壓與電路中干路上的電流同相。當U一定時，為最小值。

(3)諧振時，，并聯支路上的電流為而并聯諧振的相量圖如圖4.5.4所示。

圖4.5.4并聯諧振的相量圖類似地，規(guī)定IC0或I10與I0的比值為電路的品質因數，即并聯諧振在天線工程和工業(yè)電子技術中應用較多。例如，利用并聯諧振組成正弦波振蕩電路的選頻電路。(4.5.7)

【例4.5.2】圖4.5.3所示的并聯電路中，L=0.25mH，R=25Ω，C=85pF，試求諧振角頻率ω0、品質因數Q和諧振時電路的阻抗模|Z0|。

解

練習與思考

4.5.1在RLC串聯電路中，試說明頻率低于和高于諧振頻率時，等效阻抗的性質(感性或容性)。

4.5.2當RLC串聯電路諧振時，說明電容和電感元件上的總儲能不隨時間變化的原因。本章小結本章用相量法作為分析正弦穩(wěn)態(tài)響應的基本方法，將電阻電路分析與正弦穩(wěn)態(tài)分析的類比作為基本思路，這樣正弦穩(wěn)態(tài)分析就可以復制電阻電路的分析。注意復數、實數運算原則的區(qū)別，關注正弦分析中的特色問題(各種功率和諧振現象)。本章知識點

(1)正弦量三要素。

(2)正弦量的相量及復數運算原則。

(3)相量形式的基爾霍夫定律和相量形式的元件電壓電流關系。

(4)電阻電路與正弦穩(wěn)態(tài)分析的類比原則。

(5)相量法分析的基本思路。

(6)正弦電路中的有功功率、無功功率、功率因數與視在功率。

(7)串、并聯諧振電路分析。習題

4.1已知正弦量的相量式如下：，，，。試求各正弦量的瞬時值表達式，并畫出相量圖。

4.2已知兩同頻(f=1000Hz)正弦量的相量分別為，。求：(1)u1和u2的瞬時值表達式；(2)u1和u2的相位差。

4.3已知三個同頻正弦電壓分別為求：(1)；(2)u1+u2+u3。

4.4在電感元件的正弦交流電路中，L=50mH，f=1000Hz。試求：

(1)當時，?

(2)當時，?

4.5交流接觸器的線圈為RL串聯電路，其數據為380V、30mA、50Hz，線圈電阻1.2kΩ，求線圈電感L。

4.6有RLC串聯的正弦交流電路，已知XL=2XC=3R=3Ω，I=2A，試求UR、UL、UC、U。

4.7圖4.1所示電路中，，R=30Ω，L=0.1H，C=10μF,求uad和ubd。圖4.1習題4.7的圖

4.8圖4.2所示電路中，I1=I2=10A，求I和US。圖4.2習題4.8的圖

4.9在同頻電源作用下，在圖4.3(a)中，已知I=10A，R=10Ω，求圖4.3(b)所示電路中的I1和圖4.3(c)所示電路中的I2和UC。圖4.3習題4.9的圖

4.10在圖4.3.2所示電路中，XL=XC=2R，且已知電流表A2的讀數為5A，求A1和A3的讀數。

4.11計算圖4.4(a)中的、和，并作相量圖;計算圖4.4(b)中的、和，并作相量圖。圖4.4習題4.11