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文檔簡介
福建省尤溪縣2025屆高考數(shù)學四模試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.tan570°=()A. B.- C. D.2.定義在上的奇函數(shù)滿足,若,,則()A. B.0 C.1 D.23.設(shè),則(
)A.10 B.11 C.12 D.134.設(shè)函數(shù),若函數(shù)有三個零點,則()A.12 B.11 C.6 D.35.已知向量,,則與共線的單位向量為()A. B.C.或 D.或6.函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點,則a的值為()A.3 B.-3 C.2 D.-27.已知函數(shù),若,且,則的取值范圍為()A. B. C. D.8.記單調(diào)遞增的等比數(shù)列的前項和為,若,,則()A. B. C. D.9.已知等差數(shù)列的前n項和為,,則A.3 B.4 C.5 D.610.關(guān)于函數(shù),下列說法正確的是()A.函數(shù)的定義域為B.函數(shù)一個遞增區(qū)間為C.函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱D.將函數(shù)圖像向左平移個單位可得函數(shù)的圖像11.函數(shù)在的圖像大致為A. B. C. D.12.設(shè)分別為的三邊的中點,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.展開式中的系數(shù)為_________.14.已知復數(shù)對應的點位于第二象限,則實數(shù)的范圍為______.15.已知函數(shù),若關(guān)于的方程在定義域上有四個不同的解,則實數(shù)的取值范圍是_______.16.如圖,在復平面內(nèi),復數(shù),對應的向量分別是,,則_______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知拋物線,過點的直線交拋物線于兩點,坐標原點為,.(1)求拋物線的方程;(2)當以為直徑的圓與軸相切時,求直線的方程.18.(12分)已知函數(shù)().(1)討論的單調(diào)性;(2)若對,恒成立,求的取值范圍.19.(12分)在①,②,③這三個條件中任選一個,補充在下面問題中,求的面積的值(或最大值).已知的內(nèi)角,,所對的邊分別為,,,三邊,,與面積滿足關(guān)系式:,且,求的面積的值(或最大值).20.(12分)已知多面體中,、均垂直于平面,,,,是的中點.(1)求證:平面;(2)求直線與平面所成角的正弦值.21.(12分)設(shè),,其中.(1)當時,求的值;(2)對,證明:恒為定值.22.(10分)設(shè)函數(shù),直線與函數(shù)圖象相鄰兩交點的距離為.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)在中,角所對的邊分別是,若點是函數(shù)圖象的一個對稱中心,且,求面積的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
直接利用誘導公式化簡求解即可.【詳解】tan570°=tan(360°+210°)=tan210°=tan(180°+30°)=tan30°=.故選:A.【點睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值,主要考查誘導公式的應用,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】
首先判斷出是周期為的周期函數(shù),由此求得所求表達式的值.【詳解】由已知為奇函數(shù),得,而,所以,所以,即的周期為.由于,,,所以,,,.所以,又,所以.故選:C【點睛】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性和周期性,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】
根據(jù)題中給出的分段函數(shù),只要將問題轉(zhuǎn)化為求x≥10內(nèi)的函數(shù)值,代入即可求出其值.【詳解】∵f(x),∴f(5)=f[f(1)]=f(9)=f[f(15)]=f(13)=1.故選:B.【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)中求函數(shù)的值,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】
畫出函數(shù)的圖象,利用函數(shù)的圖象判斷函數(shù)的零點個數(shù),然后轉(zhuǎn)化求解,即可得出結(jié)果.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示,令,由圖可得關(guān)于的方程的解有兩個或三個(時有三個,時有兩個),所以關(guān)于的方程只能有一個根(若有兩個根,則關(guān)于的方程有四個或五個根),由,可得的值分別為,則故選B.【點睛】本題考查數(shù)形結(jié)合以及函數(shù)與方程的應用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力,屬于??碱}型.5、D【解析】
根據(jù)題意得,設(shè)與共線的單位向量為,利用向量共線和單位向量模為1,列式求出即可得出答案.【詳解】因為,,則,所以,設(shè)與共線的單位向量為,則,解得或所以與共線的單位向量為或.故選:D.【點睛】本題考查向量的坐標運算以及共線定理和單位向量的定義.6、A【解析】
求出,對分類討論,求出單調(diào)區(qū)間和極值點,結(jié)合三次函數(shù)的圖像特征,即可求解.【詳解】,若,,在單調(diào)遞增,且,在不存在零點;若,,在內(nèi)有且只有一個零點,.故選:A.【點睛】本題考查函數(shù)的零點、導數(shù)的應用,考查分類討論思想,熟練掌握函數(shù)圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.7、A【解析】分析:作出函數(shù)的圖象,利用消元法轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù),構(gòu)造函數(shù)求得函數(shù)的導數(shù),利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值,即可得到結(jié)論.詳解:作出函數(shù)的圖象,如圖所示,若,且,則當時,得,即,則滿足,則,即,則,設(shè),則,當,解得,當,解得,當時,函數(shù)取得最小值,當時,;當時,,所以,即的取值范圍是,故選A.點睛:本題主要考查了分段函數(shù)的應用,構(gòu)造新函數(shù),求解新函數(shù)的導數(shù),利用導數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性和最值是解答本題的關(guān)鍵,著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想方法,以及分析問題和解答問題的能力,試題有一定的難度,屬于中檔試題.8、C【解析】
先利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到的值,再根據(jù)的方程組可得的值,從而得到數(shù)列的公比,進而得到數(shù)列的通項和前項和,根據(jù)后兩個公式可得正確的選項.【詳解】因為為等比數(shù)列,所以,故即,由可得或,因為為遞增數(shù)列,故符合.此時,所以或(舍,因為為遞增數(shù)列).故,.故選C.【點睛】一般地,如果為等比數(shù)列,為其前項和,則有性質(zhì):(1)若,則;(2)公比時,則有,其中為常數(shù)且;(3)為等比數(shù)列()且公比為.9、C【解析】
方法一:設(shè)等差數(shù)列的公差為,則,解得,所以.故選C.方法二:因為,所以,則.故選C.10、B【解析】
化簡到,根據(jù)定義域排除,計算單調(diào)性知正確,得到答案.【詳解】,故函數(shù)的定義域為,故錯誤;當時,,函數(shù)單調(diào)遞增,故正確;當,關(guān)于的對稱的直線為不在定義域內(nèi),故錯誤.平移得到的函數(shù)定義域為,故不可能為,錯誤.故選:.【點睛】本題考查了三角恒等變換,三角函數(shù)單調(diào)性,定義域,對稱,三角函數(shù)平移,意在考查學生的綜合應用能力.11、B【解析】
由分子、分母的奇偶性,易于確定函數(shù)為奇函數(shù),由的近似值即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè),則,所以是奇函數(shù),圖象關(guān)于原點成中心對稱,排除選項C.又排除選項D;,排除選項A,故選B.【點睛】本題通過判斷函數(shù)的奇偶性,縮小考察范圍,通過計算特殊函數(shù)值,最后做出選擇.本題較易,注重了基礎(chǔ)知識、基本計算能力的考查.12、B【解析】
根據(jù)題意,畫出幾何圖形,根據(jù)向量加法的線性運算即可求解.【詳解】根據(jù)題意,可得幾何關(guān)系如下圖所示:,故選:B【點睛】本題考查了向量加法的線性運算,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
變換,根據(jù)二項式定理計算得到答案.【詳解】的展開式的通項為:,,取和,計算得到系數(shù)為:.故答案為:.【點睛】本題考查了二項式定理,意在考查學生的計算能力和應用能力.14、【解析】
由復數(shù)對應的點,在第二象限,得,且,從而求出實數(shù)的范圍.【詳解】解:∵復數(shù)對應的點位于第二象限,∴,且,∴,故答案為:.【點睛】本題主要考查復數(shù)與復平面內(nèi)對應點之間的關(guān)系,解不等式,且是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
由題意可在定義域上有四個不同的解等價于關(guān)于原點對稱的函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點,運用參變分離和構(gòu)造函數(shù),進而借助導數(shù)分析單調(diào)性與極值,畫出函數(shù)圖象,即可得到所求范圍.【詳解】已知定義在上的函數(shù)若在定義域上有四個不同的解等價于關(guān)于原點對稱的函數(shù)與函數(shù)f(x)=lnx-x(x>0)的圖象有兩個交點,聯(lián)立可得有兩個解,即可設(shè),則,進而且不恒為零,可得在單調(diào)遞增.由可得時,單調(diào)遞減;時,單調(diào)遞增,即在處取得極小值且為作出的圖象,可得時,有兩個解.故答案為:【點睛】本題考查利用利用導數(shù)解決方程的根的問題,還考查了等價轉(zhuǎn)化思想與函數(shù)對稱性的應用,屬于難題.16、【解析】試題分析:由坐標系可知考點:復數(shù)運算三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)或【解析】試題分析:本題主要考查拋物線的標準方程、直線與拋物線的相交問題、直線與圓相切問題等基礎(chǔ)知識,同時考查考生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力以及數(shù)形結(jié)合思想.第一問,設(shè)出直線方程與拋物線方程聯(lián)立,利用韋達定理得到y(tǒng)1+y2,y1y2,,代入到中解出P的值;第二問,結(jié)合第一問的過程,利用兩種方法求出的長,聯(lián)立解出m的值,從而得到直線的方程.試題解析:(Ⅰ)設(shè)l:x=my-2,代入y2=2px,得y2-2pmy+4p=1.(*)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=2pm,y1y2=4p,則.因為,所以x1x2+y1y2=12,即4+4p=12,得p=2,拋物線的方程為y2=4x.…5分(Ⅱ)由(Ⅰ)(*)化為y2-4my+2=1.y1+y2=4m,y1y2=2.…6分設(shè)AB的中點為M,則|AB|=2xm=x1+x2=m(y1+y2)-4=4m2-4,①又,②由①②得(1+m2)(16m2-32)=(4m2-4)2,解得m2=3,.所以,直線l的方程為,或.…12分考點:拋物線的標準方程、直線與拋物線的相交問題、直線與圓相切問題.18、(1)①當時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;②當時,在上單調(diào)遞增;(2).【解析】
(1)求出函數(shù)的定義域和導函數(shù),,對討論,得導函數(shù)的正負,得原函數(shù)的單調(diào)性;(2)法一:由得,分別運用導函數(shù)得出函數(shù)(),的單調(diào)性,和其函數(shù)的最值,可得,可得的范圍;法二:由得,化為令(),研究函數(shù)的單調(diào)性,可得的取值范圍.【詳解】(1)的定義域為,,①當時,由得,得,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;②當時,恒成立,在上單調(diào)遞增;(2)法一:由得,令(),則,在上單調(diào)遞減,,,即,令,則,在上單調(diào)遞增,,在上單調(diào)遞減,所以,即,(*)當時,,(*)式恒成立,即恒成立,滿足題意法二:由得,,令(),則,在上單調(diào)遞減,,,即,當時,由(Ⅰ)知在上單調(diào)遞增,恒成立,滿足題意當時,令,則,所以在上單調(diào)遞減,又,當時,,,使得,當時,,即,又,,,不滿足題意,綜上所述,的取值范圍是【點睛】本題考查對于含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性的討論,不等式恒成立時,求解參數(shù)的范圍,屬于難度題.19、見解析【解析】
若選擇①,結(jié)合三角形的面積公式,得,化簡得到,則,又,從而得到,將代入,得.又,∴,當且僅當時等號成立.∴,故的面積的最大值為,此時.若選擇②,,結(jié)合三角形的面積公式,得,化簡得到,則,又,從而得到,則,此時為等腰直角三角形,.若選擇③,,則結(jié)合三角形的面積公式,得,化簡得到,則,又,從而得到,則.20、(1)見解析;(2).【解析】
(1)取的中點,連接、,推導出四邊形為平行四邊形,可得出,由此能證明平面;(2)由,得平面,則點到平面的距離等于點到平面的距離,在平面內(nèi)過點作于點,就是到平面的距離,也就是點到平面的距離,由此能求出直線與平面所成角的正弦值.【詳解】(1)取的中點,連接、,、分別為、的中點,則且,、均垂直于平面,且,則,且,所以,四邊形為平行四邊形,則,平面,平面,因此,平面;(2)由,平面,平面,平面,點到平面的距離等于點到平面的距離,在平面內(nèi)過點作于點,平面,平面,,,,平面,即就是到平面的距離,也就是點到平面的距離,設(shè),則到平面的距離,,因此,直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查線面平行的證明,考查線面角的正弦值的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想,是中檔題.21、(1)1(2)1【解析】分析:(1)當時可得,可得.(2)先得到關(guān)系式,累乘可得,從而可得,即為定值.詳解:(1)當時,,又,所以.(2)即,由累乘可得,又,所以.即恒為定值1.點睛:本題考
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