離散型隨機(jī)變量的均值課件（2）高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

離散型隨機(jī)變量的均值（2）

復(fù)習(xí)引入1.離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…XnPp1p2…pi…Pnx1p1＋x2p2＋…＋xnpn加權(quán)平均數(shù)平均水平2.兩點(diǎn)分布的期望一般地，如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝____.p3.離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)如果X是一個(gè)隨機(jī)變量，則E(aX＋b)＝__________.aE(X)＋b例1：

猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來(lái)猜歌名.某嘉賓參加猜歌名節(jié)目，猜對(duì)每首歌曲的歌名相互獨(dú)立，猜對(duì)三首歌曲A,B,C歌名的概率及猜對(duì)時(shí)獲得相應(yīng)的公益基金如下表所示.規(guī)則如下:按照A,B,C的順序猜，只有猜對(duì)當(dāng)前歌曲的歌名才有資格猜下一首.求嘉賓獲得的公益基金總額X的分布列及均值.例題歌曲ABC猜對(duì)的概率0.80.60.4獲得的公益基金額/元100020003000課本65頁(yè)

分別用A,B,C表示猜對(duì)歌曲A,B,C歌名的事件，則A,B,C相互獨(dú)立.解：由題意可得，X的可能取值為0，1000，3000，6000，分別用A,B,C表示猜對(duì)歌曲A,B,C歌名的事件，則A,B,C相互獨(dú)立.解：由題意可得，X的可能取值為0，1000，3000，6000，X的分布列如下表所示：X0100030006000P0.20.320.2880.192X的均值為思考：如果改變猜歌的順序，獲得公益基金的均值是否相同？如果不同，你認(rèn)為哪個(gè)順序獲得的公益基金均值最大？如果按ACB的順序來(lái)猜歌，獲得的公益基金的均值是多少？解：分別用A,B,C表示猜對(duì)歌曲A,B,C歌名的事件，則A,B,C相互獨(dú)立X0100040006000P0.20.480.1280.192X的分布列如下表所示：按由易到難的順序來(lái)猜歌，獲得的公益基金的均值最大.X0100040006000P0.20.480.1280.192X的分布列如下表所示：X的均值為某地最近出臺(tái)一項(xiàng)機(jī)動(dòng)車駕照考試規(guī)定：每位考試者一年之內(nèi)最多有4次參加考試的機(jī)會(huì)，一旦某次考試通過(guò)，即可領(lǐng)取駕照，不再參加以后的考試，否則就一直考到第4次為止．如果李明決定參加駕照考試，設(shè)他每次參加考試通過(guò)的概率依次為0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年內(nèi)李明參加駕照考試次數(shù)X的分布列和X的均值．解：X的取值分別為1,2,3,4.X＝1表明李明第一次參加駕照考試就通過(guò)了，故P(X＝1)＝0.6.X＝2表明李明第一次考試未通過(guò)，第二次通過(guò)了，故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.練習(xí)X＝3表明李明第一、二次考試未通過(guò)，第三次通過(guò)了，故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.X＝4表明李明第一、二、三次考試都未通過(guò)，故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)×1＝0.024.所以李明一年內(nèi)參加考試次數(shù)X的分布列為X1234P0.60.280.0960.024所以X的均值為E(X)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544.例題例2：根據(jù)天氣預(yù)報(bào)，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.01.該地區(qū)某工地上有一臺(tái)大型設(shè)備，遇到大洪水時(shí)要損失60000元，遇到小洪水時(shí)要損失10000元.為保護(hù)設(shè)備，有以下3種方案:方案1運(yùn)走設(shè)備，搬運(yùn)費(fèi)為3800元；方案2建保護(hù)圍墻，建設(shè)費(fèi)為2000元，但圍墻只能防小洪水；方案3不采取措施.工地的領(lǐng)導(dǎo)該如何決策呢?課本65頁(yè)分析：決策目標(biāo)為總損失（即投入費(fèi)用與設(shè)備損失之和）越小越好.根據(jù)題意，各種方案在不同狀態(tài)下的總損失如下表所示.沒(méi)有洪水概率0.010.250.74總損失/元方案1380038003800方案26200020002000方案360000100000解：設(shè)方案1、方案2、方案3的總損失分別為X1,X2,X3.采用方案1,無(wú)論有無(wú)洪水，都損失3800元.因此采用方案2,遇到大洪水時(shí)，總損失為2000+60000=62000元；沒(méi)有大洪水時(shí)，總損失為2000元.因此采用方案3,有∴因此,從期望損失最小的角度,應(yīng)采取方案2.值得注意的是，上述結(jié)論是通過(guò)比較“期望總損失”而得出的.一般地，我們可以這樣來(lái)理解“期望總損失”:如果問(wèn)題中的天氣狀況多次發(fā)生，那么采用方案2將會(huì)使總損失減到最小.不過(guò)，因?yàn)楹樗欠癜l(fā)生以及洪水發(fā)生的大小都是隨機(jī)的，所以對(duì)于個(gè)別的一次決策，采用方案2也不一定是最好的.解：課本67頁(yè)1.甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同一種零件，它們生產(chǎn)的產(chǎn)量相同，在1h內(nèi)生產(chǎn)出的次品數(shù)分別為X1，X2，其分布列分別為甲機(jī)床次品數(shù)的分布列乙機(jī)床次品數(shù)的分布列X10123P0.40.30.20.1X2012P0.30.50.2哪臺(tái)機(jī)床更好?請(qǐng)解釋你所得出結(jié)論的實(shí)際含義.由此可知，1h內(nèi)甲機(jī)床平均生產(chǎn)1個(gè)次品，乙機(jī)床平均生產(chǎn)0.9個(gè)次品，所以乙機(jī)床相對(duì)更好.練習(xí)隨堂檢測(cè)解析：試驗(yàn)次數(shù)X的可能取值為1,2,3，所以X的分布列為3.在一個(gè)不透明的紙袋里裝有5個(gè)大小相同的小球，其中有1個(gè)紅球和4個(gè)黃球，規(guī)定每次從袋中任意摸出一球，若摸出的是黃球則不再放回，直到摸出紅球?yàn)橹?，求摸球次?shù)X的均值.

解：由題意得，X可能的取值為1,2,3,4,5，則X12345PP(X=4)=，P(X=5)=.P(X=1)=，P(X=2)=，P(X=3)=，

故X的分布列為X12345P由離散型隨機(jī)變量均值的定義知E(X)=(1+2+3+4+5)×=3.故X的分布列為4.某衛(wèi)視綜藝節(jié)目中有一個(gè)環(huán)節(jié)叫“超級(jí)猜猜猜”，規(guī)則如下：在這一環(huán)節(jié)中嘉賓需要猜三道題目，若三道題目中猜對(duì)一道題目可得1分，若猜對(duì)兩道題目可得3分，若是三道題目完全猜對(duì)可得6分，若三道題目全部猜錯(cuò)，則扣掉4分.如果某嘉賓猜對(duì)這三道題目的概率分別為，，，且三道題目之間相互獨(dú)立.求該嘉賓在該環(huán)節(jié)中所得分?jǐn)?shù)的分布列與均值.解：根據(jù)題意，設(shè)X表示該嘉賓所得分?jǐn)?shù)，則X的可能取值為－4，1，3，6.所以X的分布列為5.某商場(chǎng)經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客采用的付款期數(shù)X的分布列為X12345P0.40.20.20.10.1商場(chǎng)經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤(rùn)為200元；分2期或3期付款，其利潤(rùn)為250元；分4期或5期付款，其利潤(rùn)為300元.Y表示經(jīng)銷一件該商品的利潤(rùn).(1)求事件A“購(gòu)買該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；(2)求Y的分布列及均值E(Y).X12345P0.40.20.20.10.1解：Y的可能取值為200元，250元，300元.P(Y＝200)＝P(X＝1)＝0.4，P(Y＝250)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，P(Y＝300)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＝0.1＋0.1＝0.2，因此Y的分布列為Y200250300P0.40.40.2E(Y)＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240(元).課堂小結(jié) 1.