排列數(shù)課件(1)高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

6.2.2排列數(shù)

(1)一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，并

排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列(arrangement).1.排列的定義：2.排列問題的判斷方法：(1)元素的無重復(fù)性；(2)元素的有序性.判斷關(guān)鍵是看選出的元素有沒有順序要求.復(fù)習(xí)引入思考：研究一個排列問題，往往只需知道所有排列的個數(shù)而無需一一寫出所有的排列，那么能否不通過一一寫出所有的排列而直接“得”出所有排列的個數(shù)呢？探究一：排列數(shù)排列數(shù)：我們把從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號

表示.排列的第一個字母元素總數(shù)取出元素個數(shù)m，n所滿足的條件是：(1)

m∈N*，n∈N*

；(2)

m≤n.

例如，前面問題1是從3個不同元素中任取2個元素的排列為3×2＝6，可記作：問題2是從4個不同元素中任取3個元素的排列數(shù)為4×3×2＝24，可記作：排列數(shù)與排列的區(qū)別：一個排列就是完成一件事的一種方法，它不是數(shù)；排列數(shù)是所有排列的個數(shù)，它是一個數(shù).探究二：排列數(shù)公式探究：從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)(m≤n)是多少?我們先從特殊情況開始探究，思考從n個不同元素中任取2個元素的排列數(shù)是多少？分析：由

的意義，假定有排好順序的2個空位，從n個不同元素中取出2個元素去填空，可分為兩個步驟：第1位第2位nn-1第1步,填第1個位置的元素，從這n個不同元素中任選1個，有n種選法；第2步,填第2個位置的元素，從剩下的（n-1）個元素中任選1個，有n-1種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，2個空位的填法種數(shù)共有同理：求排列數(shù)可以按依次填3個空位來考慮：第1位第2位第3位n-2nn-1一般地：求排列數(shù)可以按依次填m個空位來考慮：…第1位第2位第3位第m位nn-1n-2例如：①第一個因數(shù)是n，后面每一個因數(shù)比它前面一個因數(shù)少1；②最后一個因數(shù)是n－m＋1；③共有m個因數(shù)．說明:(1)公式的特征：1.排列數(shù)公式:歸納總結(jié)這時，排列數(shù)公式中m＝n，有（2）階乘：正整數(shù)1到n的連乘積，叫做n的階乘，用n!表示.全排列數(shù)公式：排列數(shù)公式的連乘形式2.全排列數(shù)：（1）全排列：從n個不同素中取出n個元素的一個排列稱為n個不同元素的一個全排列.解：根據(jù)排列數(shù)公式，可得：例1：計算：例題課本P19解：1.計算：課本P20練習(xí)2.12思考：由例3可以看到，觀察這兩個結(jié)果，從中你發(fā)現(xiàn)它們的共性了嗎？證明：排列數(shù)公式的連乘形式排列數(shù)公式的階乘形式排列數(shù)公式的應(yīng)用：排列數(shù)公式有兩種形式，一是連乘形式，這種形式主要用于計算，二是階乘形式，這種形式主要用于化簡或證明（對含有字母的排列數(shù)的式子進(jìn)行變形和論證時，寫成這種形式有利于發(fā)現(xiàn)相互之間的關(guān)系）.歸納總結(jié)排列數(shù)公式的階乘形式:

證明：證明：例題求證：證明：課本P20練習(xí)例3：用0~9這10個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?例題分析：在0~9這10個數(shù)字中，因為0不能在百位上，而其他9個數(shù)字可以在任意數(shù)位上，因此0是一個特殊的元素.一般地，我們可以從特殊元素的位置入手來考慮問題.課本P19例3：用0~9這10個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?解法1：由于三位數(shù)的百位上的數(shù)字不能是0，所以可以分兩步完成：第2步，確定十位和個位上的數(shù)字，可以從剩下的9個數(shù)字中取出2個，有種取法.百位十位個位第1步，確定百位上的數(shù)字，可以從1~9這9個數(shù)字中取出1個，有種取法；根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，所求的三位數(shù)的個數(shù)為:特殊位置優(yōu)先法課本P19例3：用0~9這10個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?解法2：符合條件的三位數(shù)可以分成三類：百位十位個位0百位十位個位0百位十位個位第3類,十位上的數(shù)字是0的三位數(shù),可以從剩下的9個數(shù)字中取出2個放在百位和個位,有種取法.第2類,個位上的數(shù)字是0的三位數(shù),可以從剩下的9個數(shù)字中取出2個放在百位和十位,有種取法；第1類,每一位數(shù)字都不是0的三位數(shù),可以從1~9這9個數(shù)字中取出3個,有種取法；根據(jù)分類加法計數(shù)原理，所求三位數(shù)的個數(shù)為特殊元素優(yōu)先法課本P19例3：用0~9這10個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?解法3:從0~9這10個數(shù)字中選取3個的排列數(shù)為

，即所求三位數(shù)的個數(shù)為它們的差就是用這10個數(shù)組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù),其中0在百位上的排列數(shù)為

，間接法課本P19（1）直接法：以元素為考察對象，先滿足特殊元素的要求，再考慮一般元素(又稱為特殊元素優(yōu)先法)；或以位置為考察對象，先滿足特殊位置的要求，再考慮一般位置(又稱特殊位置優(yōu)先法)．有限制條件的排列應(yīng)用題，可以有兩種不同的計算方法：反思?xì)w納（2）間接法：先不考慮附加條件，計算出總排列數(shù)，再減去不合要求的排列數(shù)．變式1：用0到9這十個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)且是偶數(shù)?解：00變式2：用0到9這十個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)且是奇數(shù)?00在個位的有個；0在十位的有個；沒有0的有個.∴共有解：0在十位的有個；沒有0的有個.∴共有一個火車站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火車，現(xiàn)要停放4列不同的火車，共有多少種不同的停放方法?解：要停放4列不同的火車，需要從8股岔道上任選4股岔道，所以不同的停放方法有課本P20練習(xí)

隨堂檢測2.有5名同學(xué)被安排在周一至周五值日，已知同學(xué)甲只能在周一值日，那么5名同學(xué)值日順序的編排方案共有（

）A.12種 B.24種

C.48種 D.120種解析：∵同學(xué)甲只能在周一值日，∴除同學(xué)甲外的4名同學(xué)將在周二至周五值日，4.從班委會的5名成員中選出3名分別擔(dān)任班級學(xué)習(xí)委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔(dān)任文娛委員，則不同的選法共有______種.(用數(shù)字作答)由分步乘法計數(shù)原理知，共有3×12＝36(種)選法.5.用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字，(1)可以組成多少個數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)？(2)可以組成多少個數(shù)字允許重復(fù)的三位數(shù)？解：(1)分三步：①先選百位數(shù)字，由于0不能作百位數(shù)字，因此有5種選法；②十位數(shù)字有5種選法；③個位數(shù)字有4種選法.由分步計數(shù)原理知所求三位數(shù)共有5×5×4＝100(個).(2)分三步：①百位數(shù)字有5種選法；②十位數(shù)字有6種選法；③個位數(shù)字有6種選法.故所求三位數(shù)共有5×6×6＝180(個).(3)可以組成多少個數(shù)字不允許重復(fù)的三位奇數(shù)？(4)可以組成多少個數(shù)字不重復(fù)的小于1000的自然數(shù)？解：(3)分三步：①先選個位數(shù)字，有3種選法；②再選百位數(shù)字，有4種選法；③選十位數(shù)字也有4種選法，所以所求三位奇數(shù)共有3×4×4＝48(個).(4)分三類：①一位數(shù)共有6個；②兩位數(shù)共有5×5＝25(個)；③三位數(shù)共有5×5×4＝100(個).因此，比1000小的自然數(shù)共有6＋25＋100＝131(個).(5)可以組成多少個大于3000，小于5421的不重復(fù)的四位數(shù)？解：分四類：①千位數(shù)字為3，4之一時，共有2×5×4×3＝120(個)；②千位數(shù)字為5，百位數(shù)字為0，1，2，3之一時，共有4×4×3＝48(個)；③千位數(shù)字為5