第05講 等腰三角形的性質(zhì)與判定-【暑假自學(xué)課】2022年新八年級數(shù)學(xué)暑假課（蘇科版）

第05講等腰三角形的性質(zhì)與判定【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解等腰三角形的有關(guān)概念，探索并掌握性質(zhì)及判定方法?！净A(chǔ)知識】一．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個元素中，從中任意取出兩個元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個元素為結(jié)論．二．等腰三角形的判定判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．【簡稱：等角對等邊】說明：①等腰三角形是一個軸對稱圖形，它的定義既作為性質(zhì)，又可作為判定辦法．②等腰三角形的判定和性質(zhì)互逆；③在判定定理的證明中，可以作未來底邊的高線也可以作未來頂角的角平分線，但不能作未來底邊的中線；④判定定理在同一個三角形中才能適用．三．等腰三角形的判定與性質(zhì)1、等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有關(guān)問題中，會遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時，有時作哪條線都可以，有時不同的做法引起解決問題的復(fù)雜程度不同，需要具體問題具體分析．3、等腰三角形性質(zhì)問題都可以利用三角形全等來解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴全等三角形的思維定勢，凡可以直接利用等腰三角形的問題，應(yīng)當(dāng)優(yōu)先選擇簡便方法來解決．【考點剖析】一．等腰三角形的性質(zhì)（共7小題）1．（2021秋?盱眙縣期末）如果等腰三角形兩邊長是5cm和2cm，那么它的周長是（）A．7cm B．9cm C．9cm或12cm D．12cm2．（2021秋?撫遠(yuǎn)市期末）等腰三角形的兩邊長分別為3和6，則這個三角形的周長是（）A．15 B．12 C．12或15 D．93．（2022春?鼓樓區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，∠A＝α，∠B＝∠C，點D是△ABC外一點，E，F(xiàn)分別在AB，AC上，ED與AC交于點G，且∠D＝∠B，若∠1＝2∠2，則∠EGF的度數(shù)為（）A．180°﹣2α B．60°α C．90°α D．30°α4．（2022春?鎮(zhèn)江期中）三角形的三邊長為2，a，5，如果這個三角形中有兩條邊相等，那么它的周長是．5．（2022春?金湖縣校級月考）在△ABC中，∠C＝30°，且∠A＝∠B；求∠A的度數(shù)．6．（2022春?睢寧縣月考）一個等腰三角形的兩條邊長為4，7，那么它的周長是多少？7．（2021秋?邗江區(qū)期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線DE分別交AC、AB于點D、E．（1）若∠A＝50°，求∠CBD的度數(shù)；（2）若AB＝7，△CBD周長為12，求BC的長．二．等腰三角形的判定（共7小題）8．（2021秋?儀征市期末）在△ABC中，∠A＝100°，當(dāng)∠B＝°時，△ABC是等腰三角形．9．（2021秋?靖江市期末）已知a，b是△ABC的兩條邊長，且a2+b2﹣2ab＝0，則△ABC的形狀是（）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．銳角三角形 D．不確定10．（2021秋?濱海縣期末）用三根木棒首尾相連圍成一個等腰三角形，其中兩根木棒的長度分別為3cm和6cm，則第三根木棒長為cm．11．（2021秋?泗陽縣期中）如圖，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC．（1）求證：AB＝AC；（2）若點H是BC的中點，求證：AH⊥AD．12．（2021秋?鼓樓區(qū)校級期末）下列長度的三條線段能組成等腰三角形的是（）A．1，2，3 B．3，4，5 C．2，2，3 D．2，2，413．（2021秋?龍華區(qū)校級期末）如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，點A、B在格點上，要找一個格點C，使△ABC是等腰三角形（AB是其中一腰），則圖中符合條件的格點有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個14．（2020秋?定西期末）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC邊上的兩個動點，其中點P從點A開始沿A→B方向運動，且速度為每秒1cm，點Q從點B開始沿B→C→A方向運動，且速度為每秒2cm，它們同時出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時間為t秒．（1）當(dāng)點Q在邊BC上運動時，出發(fā)幾秒后，△PQB是等腰三角形？（2）當(dāng)點Q在邊CA上運動時，出發(fā)幾秒后，△BCQ是以BC或BQ為底邊的等腰三角形？三．等腰三角形的判定與性質(zhì)（共6小題）15．（2020秋?綠園區(qū)期末）如圖，直線l分別與直線AB、CD相交于點E、F，EG平分∠BEF交直線CD于點G，若∠1＝∠BEF，若EF＝3，則FG為（）A．4 B．3 C．5 D．1.516．（2021?建湖縣二模）若一條長為32cm的細(xì)線能圍成一邊長等于8cm的等腰三角形，則該等腰三角形的腰長為cm．17．（2021秋?句容市期末）如圖，BD平分∠ABC，DE∥BC交BA于點E，若DE，則EB＝．18．（2021秋?射陽縣校級期末）已知：如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O，且MN∥BC，分別交AB、AC于點M、N．求證：MN＝BM+CN．19．（2021秋?盱眙縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于點D，點E是AB的中點，連結(jié)DE．（1）求證：△ABD是等腰三角形；（2）求∠BDE的度數(shù)．20．（2021秋?蘇州期末）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，∠B＝62°，AB+BD＝CD，則∠BAC的度數(shù)為（）A．87° B．88° C．89° D．90°【過關(guān)檢測】一．選擇題（共6小題）1．（2021秋?溧陽市期末）若等腰三角形邊長別為6cm和3cm，則該等腰三角形的周長是（）A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm2．（2021秋?江陰市期末）等腰三角形的周長為21cm，其中一邊長為5cm，則該等腰三角形的底邊長為（）A．5cm B．11cm C．8cm或5cm D．11cm或5cm3．（2022?陜西模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，點E為AC的中點，連接DE．若△ABC的周長為20cm，則△CDE的周長為（）A．10cm B．12cm C．14cm D．16cm4．（2022?黔東南州模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD為△ABC的高．若∠CBD＝20°，則∠BAC的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．60°5．（2021秋?鼓樓區(qū)校級期末）下列長度的三條線段能組成等腰三角形的是（）A．1，2，3 B．3，4，5 C．2，2，3 D．2，2，46．（2021秋?靖江市期末）已知a，b是△ABC的兩條邊長，且a2+b2﹣2ab＝0，則△ABC的形狀是（）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．銳角三角形 D．不確定二．填空題（共3小題）7．（2021秋?溧水區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線交于點O，MN經(jīng)過點O，且MN∥BC，分別交AB、AC于點M、N．若BM＝3cm，MN＝5cm，則CN＝cm．8．（2021秋?寧津縣期末）如圖，△ABC中，∠A＝∠ACB，CP平分∠ACB，BD，CD分別是△ABC的兩外角的平分線，下列結(jié)論中：①CP⊥CD；②∠P∠A；③BC＝CD；④∠D＝90°∠A；⑤PD∥AC．其中正確的結(jié)論是（直接填寫序號）．9．（2021秋?東城區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分線分別交ED于點G、F，若BE＝3，CD＝4，ED＝5，則FG的長為．三．解答題（共3小題）10．（2022春?無錫期中）如圖①，△ABC的角平分線BD、CE相交于點P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度數(shù)；（2）如圖②，過P點作直線MN，分別交AB和AC于點M和N，且MN平行于BC，試求∠MPB+∠NPC的度數(shù)（用含∠A的代數(shù)式表示）；（3）將（2）中的直線MN繞點P旋轉(zhuǎn)，分別交線段AB