第8章 代數(shù)系統(tǒng)-《離散數(shù)學(xué)（微課版）》教學(xué)課件

《離散數(shù)學(xué)》第八章代數(shù)系統(tǒng)歷史人物本章導(dǎo)讀及學(xué)習(xí)要求代數(shù)系統(tǒng)代數(shù)系統(tǒng)的基本運(yùn)算性質(zhì)內(nèi)容導(dǎo)航CONTENTS同態(tài)與同構(gòu)代數(shù)系統(tǒng)的應(yīng)用

8.1

8.2

8.3

8.4作業(yè)

8.5本章導(dǎo)讀從”算術(shù)”到”代數(shù)”，是思維層次的一個(gè)飛躍。從初等代數(shù)到高等代數(shù)，再到抽象代數(shù)。抽象代數(shù)(Abstractalgebra)又稱近世代數(shù)(Modernalgebra)，是以群論為發(fā)端的近代代數(shù)的統(tǒng)稱，它是一門(mén)研究各種抽象的公理化代數(shù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)科，主要研究對(duì)象是代數(shù)結(jié)構(gòu)，比如群、環(huán)、域、模等。本章導(dǎo)讀被譽(yù)為天才數(shù)學(xué)家的伽羅瓦是近世代數(shù)最重要的創(chuàng)始人之一。他深入研究了一個(gè)方程能用根式求解所必須滿足的本質(zhì)條件，他提出的“伽羅瓦域”、“伽羅瓦群”和“伽羅瓦理論”都是近世代數(shù)所研究的最重要的課題。伽羅瓦群理論被公認(rèn)為十九世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)成就之一。諾特在抽象代數(shù)和理論物理學(xué)上作出了杰出的貢獻(xiàn)。她建立了環(huán)、域和域上的代數(shù)理論，為抽象代數(shù)的建立奠定了基礎(chǔ)，推動(dòng)抽象代數(shù)成為一門(mén)數(shù)學(xué)的獨(dú)立分支，被稱作“抽象代數(shù)之母”。艾米·諾特埃瓦里斯特·伽羅瓦本章導(dǎo)讀中國(guó)數(shù)學(xué)家在抽象代數(shù)學(xué)的研究始于19世紀(jì)30年代，已在許多方面取得了有意義和重要的成果，其中尤以曾炯、華羅庚和周煒良的工作更為顯著。函數(shù)域上的代數(shù)曾炯華羅庚典型群周煒良代數(shù)幾何,周氏環(huán)重點(diǎn)1運(yùn)算封閉性及代數(shù)系統(tǒng)的證明2子代數(shù)的判定3運(yùn)算律的驗(yàn)證和特殊元的計(jì)算4同態(tài)和同構(gòu)的證明難點(diǎn)1特殊元的計(jì)算2同態(tài)映射的構(gòu)建3代數(shù)系統(tǒng)與子代數(shù)的關(guān)系

學(xué)習(xí)要求歷史人物本章導(dǎo)讀及學(xué)習(xí)要求代數(shù)系統(tǒng)代數(shù)系統(tǒng)的基本運(yùn)算性質(zhì)內(nèi)容導(dǎo)航CONTENTS同態(tài)與同構(gòu)代數(shù)系統(tǒng)的應(yīng)用

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8.4作業(yè)

8.5諾特-基本生平艾米·諾特（1882-1935），德國(guó)數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)界的雅典娜，最偉大的女?dāng)?shù)學(xué)家1882年3月23日出生在德國(guó)大學(xué)城愛(ài)爾蘭根的一個(gè)猶太人家庭，父親馬克思·諾特是位頗有名氣的數(shù)學(xué)家。1900年，由于父親的關(guān)系，諾特獲準(zhǔn)在愛(ài)爾蘭根大學(xué)旁聽(tīng)。但直到1904年才成為數(shù)學(xué)系的全日制學(xué)生，并于1907年以優(yōu)異的成績(jī)通過(guò)了博士考試，成為第一位女?dāng)?shù)學(xué)博士。1916年，希爾伯特親自邀請(qǐng)諾特來(lái)到哥廷根大學(xué)執(zhí)教。但當(dāng)時(shí)的性別偏見(jiàn)使得諾特?zé)o法獲得一個(gè)正式的教職，3年后，諾特憑借自己卓越的工作成果升任講師。作為猶太人，1933年諾特被迫逃離納粹德國(guó)，加入美國(guó)布林莫爾學(xué)院。1935年，她不幸死于一次外科手術(shù)，年僅53歲。追悼會(huì)上，愛(ài)因斯坦為她寫(xiě)了訃文，韋爾為她寫(xiě)了長(zhǎng)篇悼詞。諾特-研究成就諾特的數(shù)學(xué)思想直接影響了20世紀(jì)30年代以后代數(shù)學(xué)乃至代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)、代數(shù)論、代數(shù)幾何的發(fā)展。她的早期工作主要研究代數(shù)不變式及微分不變式。1916年后，她接觸戴德金等人的工作，開(kāi)始由古典代數(shù)學(xué)向抽象代數(shù)學(xué)過(guò)渡。諾特在希爾伯特、克萊因的相對(duì)論研究的思想影響下，于1918年發(fā)表了兩篇重要論文，一篇是把黎曼幾何和廣義相對(duì)論中常用的微分不變式問(wèn)題化為代數(shù)不變式問(wèn)題，一篇是把物理學(xué)中守恒律同不變性聯(lián)系起來(lái)，被稱為“諾特定理”。1920年以后，諾特開(kāi)始走上自己獨(dú)立創(chuàng)建“抽象代數(shù)學(xué)”的道路。她從不同領(lǐng)域的相似現(xiàn)象出發(fā)，把不同的對(duì)象加以抽象化、公理化，然后用統(tǒng)一的方法加以處理，得出一般性的理論，用她的這種理論又能處理各個(gè)不同領(lǐng)域的特殊性的問(wèn)題。諾特的這套理論也就是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的“環(huán)”和“理想”的系統(tǒng)理論，完成于1926年。1927－1935年，諾特研究非交換代數(shù)與非交換算術(shù)。諾特-抗?fàn)幒徒逃Z特的一生充滿抗?fàn)帲核斨鐣?huì)的偏見(jiàn)，默默工作，取得了重大的成就，盡管如此，她仍然只拿著一點(diǎn)微薄的薪水，維持簡(jiǎn)樸的生活。諾特的學(xué)術(shù)論文只有40多篇，她對(duì)抽象代數(shù)學(xué)發(fā)展所產(chǎn)生的巨大影響，并不完全出自她的論文，更重要的還是出自她與同事、學(xué)生的接觸、交往、合作與講課。她的講課技巧并不高明，既匆忙又不連貫。但是，她常詳細(xì)敘述自己尚末最終定型的新想法，其中充滿了深刻的哲理，也充滿了不同凡響的創(chuàng)造激情。她很喜愛(ài)自己的學(xué)生，在她身邊形成了一個(gè)熙熙攘攘的“家庭”，這些學(xué)生被稱為“諾特的孩子們”。其中有十幾位學(xué)生后來(lái)成為著名數(shù)學(xué)家（包括范·德·瓦爾登，曾炯）。諾特的事跡一直鼓舞著全世界，例如，國(guó)際著名數(shù)學(xué)家丘成桐教授發(fā)起了“丘成桐女子中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽”，面向全球女子中學(xué)生，旨在培養(yǎng)女性數(shù)學(xué)家。獎(jiǎng)項(xiàng)命名為“諾特獎(jiǎng)”，以紀(jì)念偉大的女性數(shù)學(xué)家艾米?諾特。丘成桐教授說(shuō)，“女孩子學(xué)數(shù)學(xué)一樣很厲害，要相信自己。很多時(shí)候，社會(huì)上對(duì)女性數(shù)學(xué)家的成就不足夠尊重，導(dǎo)致她們對(duì)自己的信心不足。我希望通過(guò)這個(gè)競(jìng)賽，讓女學(xué)生增加自信心，讓她們曉得她們其實(shí)是很了不起的，有能力改變數(shù)學(xué)的發(fā)展，就像偉大的數(shù)學(xué)家諾特那樣。”

曾炯-基本生平1897年生于江西省新建縣。1929年3月入哥廷根大學(xué)攻讀數(shù)學(xué),師從抽象代數(shù)的奠基人女?dāng)?shù)學(xué)家艾米

諾特

(E.Noether);1934年2月獲哲學(xué)博士學(xué)位(當(dāng)時(shí)哥廷根大學(xué)數(shù)學(xué)系是哲學(xué)院的一部分)。1935年7月回國(guó)。先后受聘于浙江大學(xué)、北洋大學(xué)、西安臨大(后搬遷到漢中成立西北聯(lián)大)。

1938年7月,國(guó)立西北工學(xué)院成立,曾炯之教授在西工執(zhí)教。1939年下半年后，應(yīng)邀前往西康技藝?？茖W(xué)校任教。1940年11月在西昌逝世,終年43歲。曾炯（字炯之，1897~1940），中國(guó)數(shù)學(xué)家，我國(guó)最早從事抽象代數(shù)研究的學(xué)者。曾炯-研究成就曾炯之用德文撰寫(xiě)發(fā)表了三篇震動(dòng)世界數(shù)壇的著名論文,創(chuàng)建了五大定理和一大層次,是世界上對(duì)近世代數(shù)發(fā)展有重大貢獻(xiàn)的十一位代數(shù)學(xué)家中唯一的一個(gè)中國(guó)人?！墩摵瘮?shù)域上的可除代數(shù)》：1933年，《哥廷根大學(xué)學(xué)報(bào)》，定理1和定理2《函數(shù)域上的代數(shù)》：1934年，《哥廷根大學(xué)學(xué)報(bào)》，定理3和定理4《論交換域的擬代數(shù)閉性的層次理論》：1936年，《中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)學(xué)報(bào)》，定理5+層次論曾炯-心懷祖國(guó)，醉心教育五四運(yùn)動(dòng)時(shí)期，曾炯曾多次與學(xué)友走上街頭宣傳愛(ài)國(guó)救國(guó)之理。他上街演說(shuō)，反對(duì)軍閥戰(zhàn)爭(zhēng)，反對(duì)“二十一條”。曾炯曾多次遭到反動(dòng)勢(shì)力爪牙的毆打，一次，他身穿的粗布大褂都被撕成了碎片。諾特和曾炯師生第一次見(jiàn)面時(shí)，諾特問(wèn)：“你很象日本人！是嗎？”

曾炯回答：“不，先生，我是中國(guó)人！”“呵，對(duì)不起，大家都說(shuō)日本留學(xué)生最用功，學(xué)得最好！”“先生，是的，學(xué)習(xí)如同逆水行舟，不進(jìn)則退，我愿跟世界各國(guó)的同學(xué)們比一比！”“好！祝你成功！”“謝謝先生！”曾炯在西康技藝?？茖W(xué)校任教時(shí)，因?yàn)殚L(zhǎng)期深夜工作，患了肺病，但仍然堅(jiān)持給學(xué)生上課，上完課又去醫(yī)院，直到逝世。歷史人物本章導(dǎo)讀及學(xué)習(xí)要求代數(shù)系統(tǒng)代數(shù)系統(tǒng)的基本運(yùn)算性質(zhì)內(nèi)容導(dǎo)航CONTENTS同態(tài)與同構(gòu)代數(shù)系統(tǒng)的應(yīng)用

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8.4作業(yè)

8.5代數(shù)運(yùn)算

代數(shù)運(yùn)算

一些已知的常用二元運(yùn)算

如何定義二元運(yùn)算？

運(yùn)算表舉例

一元運(yùn)算

擴(kuò)展：一般意義上的n元代數(shù)運(yùn)算

N元運(yùn)算舉例

星期一星期二星期三星期四星期五1微積分離散數(shù)學(xué)微積分大學(xué)英語(yǔ)微積分2微積分離散數(shù)學(xué)微積分大學(xué)英語(yǔ)微積分3軍事理論大學(xué)英語(yǔ)大學(xué)體育離散數(shù)學(xué)大學(xué)體育4軍事理論大學(xué)英語(yǔ)大學(xué)體育離散數(shù)學(xué)大學(xué)體育代數(shù)系統(tǒng)

代數(shù)系統(tǒng)的判定

解題小貼士同類型的代數(shù)系統(tǒng)

子代數(shù)

子代數(shù)子代數(shù)是抽象代數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的概念，通過(guò)研究子代數(shù)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，可以得到原代數(shù)系統(tǒng)的某些重要性質(zhì)。例如在群論中，通過(guò)對(duì)子群的研究，可解決一些典型的計(jì)數(shù)問(wèn)題，且至今尚未發(fā)現(xiàn)其它更為簡(jiǎn)單和有效的方法。

解題小貼士子代數(shù)的判定

歷史人物本章導(dǎo)讀及學(xué)習(xí)要求代數(shù)系統(tǒng)代數(shù)系統(tǒng)的基本運(yùn)算性質(zhì)內(nèi)容導(dǎo)航CONTENTS同態(tài)與同構(gòu)代數(shù)系統(tǒng)的應(yīng)用

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8.4作業(yè)

8.5代數(shù)系統(tǒng)的基本運(yùn)算性質(zhì)問(wèn)題1：宇宙中總共有多少個(gè)代數(shù)系統(tǒng)？問(wèn)題2：如何才能全面的研究這些代數(shù)系統(tǒng)？問(wèn)題3：如何分類？問(wèn)題4：代數(shù)系統(tǒng)中有哪些基本的性質(zhì)？

分類根據(jù)特征或性質(zhì)運(yùn)算定律或特殊元結(jié)合律和交換律

除數(shù)集上的加法和乘法，集合的并和交運(yùn)算，命題的合取和析取外，還可以構(gòu)造哪些運(yùn)算分別滿足結(jié)合律或交換律？?jī)绲嚷珊拖ヂ?/p>

考慮前面提到的各類運(yùn)算：數(shù)集上的加法和乘法，集合的并和交運(yùn)算，命題的合取和析取，及其它自擬的運(yùn)算，是否滿足冪等律或消去律？是否含有冪等元或可消去元？二元運(yùn)算律的判定

二元運(yùn)算律的判定

二元運(yùn)算律的判定

二元運(yùn)算律的判定

二元運(yùn)算律的判定根據(jù)運(yùn)算表判定二元運(yùn)算律的一些簡(jiǎn)單方法：二元運(yùn)算“*”滿足交換律當(dāng)且僅當(dāng)其運(yùn)算表對(duì)稱。二元運(yùn)算“*”滿足消去律當(dāng)且僅當(dāng)其運(yùn)算表中同一行(列)中的元素互不相同。二元運(yùn)算“*”滿足冪等律當(dāng)且僅當(dāng)其運(yùn)算表中主對(duì)角線上的元素與行/列表頭相同。結(jié)論分配律和吸收律

分配律和吸收律示例

分配律和吸收律的判定

分配律和吸收律的判定

分配律和吸收律的判定

二元運(yùn)算的特殊元冪等元可消去元

單位元零元逆元單位元（幺元）

單位元（幺元）

如何證明元素相等？如何證明唯一性？

零元

零元

單位元和零元的判定

單位元和零元的判定

首先假設(shè)單位元、零元存在，然后代入表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算，推出可能的結(jié)果，最后驗(yàn)證其是否是單位元、零元。并非基本運(yùn)算，如何找到單位元或零元？單位元和零元的判定

逆元

逆元的判定

逆元

逆元

逆元的判定

逆元的判定

運(yùn)算表判斷特殊元的方法

abcaabcbabcccbcoabcabaabbbbcacc

abcaabcbbacccac運(yùn)算表判斷特殊元的方法例8.10(續(xù),a)

abcaabcbabcccbc單位元零元逆元

無(wú)單位元，所以無(wú)可逆元運(yùn)算表判斷特殊元的方法例8.10(續(xù),b)abcabaabbbbcacc單位元零元逆元

無(wú)單位元，所以無(wú)可逆元運(yùn)算表判斷特殊元的方法例8.10(續(xù),b)單位元零元逆元

abcaabcbbacccac特殊元判定方法冪等元冪等元查看對(duì)角線元素，運(yùn)算結(jié)果與行列表頭相同的為冪等元?？上ピ罂上ピ铱上ピ?/p>

結(jié)論：根據(jù)運(yùn)算表判斷特殊元的方法特殊元的判定

特殊元的判定

特殊元的判定

特殊元的計(jì)算方法直接假設(shè)某元素是單位元、零元、可逆元、冪等元及可消去元，然后根據(jù)定義進(jìn)行計(jì)算，最后驗(yàn)證。同時(shí)可利用特殊元之間的關(guān)系：可逆元均為可消去元；單位元和零元也是冪等元。解題小貼士歷史人物本章導(dǎo)讀及學(xué)習(xí)要求代數(shù)系統(tǒng)代數(shù)系統(tǒng)的基本運(yùn)算性質(zhì)內(nèi)容導(dǎo)航CONTENTS同態(tài)與同構(gòu)代數(shù)系統(tǒng)的應(yīng)用

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8.4作業(yè)

8.5同態(tài)與同構(gòu)的定義描述某一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)的性質(zhì)：運(yùn)算定律和特殊元素如何進(jìn)一步描述兩個(gè)不同代數(shù)系統(tǒng)的聯(lián)系或其相似性？*奇偶奇奇偶偶偶偶10110000

在兩個(gè)集合間建立對(duì)應(yīng)關(guān)系在兩個(gè)運(yùn)算間建立對(duì)應(yīng)關(guān)系同構(gòu)同態(tài)與同構(gòu)的定義

同態(tài)與同構(gòu)的判定

同態(tài)與同構(gòu)的判定

同態(tài)與同構(gòu)的判定

多二元運(yùn)算同態(tài)與同構(gòu)的定義

思考：若代數(shù)系統(tǒng)包含多個(gè)二元運(yùn)算時(shí)如何判斷同態(tài)？同態(tài)像的性質(zhì)

同態(tài)的性質(zhì)定理

思考：為什么一定要滿同態(tài)？同態(tài)的性質(zhì)定理

同態(tài)的性質(zhì)定理

如果兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)之間是滿同態(tài)的，則兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)在許多方面相似，包括運(yùn)算定律和特殊元。而如果兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)是同構(gòu)的，它們具有完全相同的代數(shù)性質(zhì)。因此在同構(gòu)的意義下，兩個(gè)同構(gòu)的代數(shù)系統(tǒng)可以看作是相同的代數(shù)系統(tǒng)。同態(tài)與同構(gòu)是代數(shù)系統(tǒng)中一個(gè)非常重要的概念，它體現(xiàn)了兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)之間的某種聯(lián)系，這個(gè)概念會(huì)沿用到后續(xù)關(guān)于群環(huán)域以及格與布爾代數(shù)的學(xué)習(xí)。歷史人物本章導(dǎo)讀及學(xué)習(xí)要求代數(shù)系統(tǒng)代數(shù)系統(tǒng)的基本運(yùn)算性質(zhì)內(nèi)容導(dǎo)航CONTENTS同態(tài)與同構(gòu)代數(shù)系統(tǒng)的應(yīng)用

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8.4作業(yè)

8.5代數(shù)系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)