廣東省深圳市坪山區(qū)2023-2024學(xué)年上學(xué)期九年級(jí)數(shù)學(xué)期末模擬試卷

第1頁(yè)/共1頁(yè)2023-2024學(xué)年第一學(xué)期深圳市坪山區(qū)九年級(jí)數(shù)學(xué)期末模擬試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題給出4個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的）1.如圖所示的物體，其主視圖是（

）A．B．C．D．2.在中，，，，則的值為（

）A． B． C． D．3.關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根為，則的值為（

）A.1B.-1C.2D.-24.菱形，矩形，正方形都具有的性質(zhì)是（

）A.四條邊相等，四個(gè)角相等 B.對(duì)角線相等C.對(duì)角線互相垂直 D.對(duì)角線互相平分5.寒假即將來(lái)臨，小明和小亮每人要從甲、乙、丙三個(gè)社區(qū)中隨機(jī)選取一個(gè)社區(qū)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，那么小明和小亮選到同一社區(qū)參加實(shí)踐活動(dòng)的概率為（

）A． B． C． D．6.如圖是小明設(shè)計(jì)用手電來(lái)測(cè)量某古城墻高度的示意圖，點(diǎn)P處放一水平的平面鏡，光線從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端C處，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且測(cè)得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么該古城墻的高度是（

）A．6米 B．8米 C．18米 D．24米7.反比例函數(shù)與在同一坐標(biāo)系的圖象可能為（

）A. B. C. D.8.如圖，小強(qiáng)從熱氣球上的A點(diǎn)測(cè)量一棟高樓頂部的仰角，測(cè)量這棟高樓底部的俯角，熱氣球與高樓的水平距離為米，則這棟高樓的高BC為（

）米．A．45 B．60 C．75 D．90如圖，在中，，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊運(yùn)動(dòng)，速度為；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿邊運(yùn)動(dòng)，速度為；如果P、Q兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么經(jīng)過(guò)（

）秒時(shí)與相似．A．2秒 B．4秒 C．或秒 D．2或4秒10.二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，圖象過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線x＝1，下列結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時(shí)，.其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）11．若，則．12.在一個(gè)不透明的袋子中有除顏色外均相同的6個(gè)白球和若干黑球，通過(guò)多次摸球試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率約為30%，估計(jì)袋中黑球有________個(gè)．13.如圖，小明在打網(wǎng)球時(shí)，使球恰好能打過(guò)網(wǎng)（網(wǎng)高0.8m），而且落在離網(wǎng)4m的位置上，則根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可知，球拍擊球的高度為_(kāi)_______m．如圖是某商場(chǎng)自動(dòng)扶梯的示意圖，自動(dòng)扶梯AB的傾斜角為30°，在自動(dòng)扶梯下方地面C處測(cè)得扶梯頂端B的仰角為60°，A、C之間的距離為6m，則自動(dòng)扶梯的垂直高度BD=m．（結(jié)果保留根號(hào)）．15.如圖所示是一塊含30°，60°，90°的直角三角板，直角頂點(diǎn)O位于坐標(biāo)原點(diǎn)，斜邊AB垂直于x軸，頂點(diǎn)A在函數(shù)的圖象上，頂點(diǎn)B在函數(shù)的圖象上，∠ABO＝30°，則_____．三、解答題（本大題共8小題，共55分）16.計(jì)算：．17.解下列方程：(1)；(2)．18.某中學(xué)決定增設(shè)“禮儀”“陶藝”“園藝”“廚藝”及“編程”等五門校本課程以提升課后服務(wù)質(zhì)量，促進(jìn)學(xué)生全面健康發(fā)展．學(xué)校面向七年級(jí)參與課后服務(wù)的部分學(xué)生開(kāi)展了“你選修哪門課程？（要求必須選修一門且只能選修一門）”的隨機(jī)問(wèn)卷調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖：請(qǐng)結(jié)合上述信息，解答下列問(wèn)題：(1)共有_______名學(xué)生參與了本次問(wèn)卷調(diào)查；(2)“陶藝”在扇形統(tǒng)計(jì)圖中所對(duì)應(yīng)的圓心角是_______度；(3)小剛和小強(qiáng)分別從“禮儀”“陶藝”“編程”這三門校本課程中任選一門，請(qǐng)用列表法或畫樹(shù)狀圖法求出兩人恰好選到同一門課程的概率．19.如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊上的點(diǎn)，AE=BC，DF⊥AE，垂足為F，連接DE，（1）求證：△ABE≌△DFA．（2）如果AD＝10，AB＝6，求sin∠EDF的值．20.脫貧攻堅(jiān)的收官之年，老李在駐村干部的幫助下，利用網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)進(jìn)行“直播帶貨”，銷售一批成本為每件30元的商品，按單價(jià)不低于成本價(jià)，且不高于60元銷售，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示．銷售單價(jià)x（元）304045銷售數(shù)量y（件）1008070(1)求該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式．(2)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，才能使銷售該商品每天獲得的利潤(rùn)w（元）最大？最大利潤(rùn)是多少元？21．如圖1，是一款手機(jī)支架圖片，由底座、支撐板和托板構(gòu)成．圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，量得托板長(zhǎng)，支撐板長(zhǎng)，底座長(zhǎng)，托板AB連接在支撐板頂端點(diǎn)C處，且，托板可繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)，支撐板可繞D點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)．如圖2，若．(參考數(shù)值，，)(1)求點(diǎn)C到直線的距離(精確到0.1cm)；(2)求點(diǎn)A到直線的距離(精確到0.1cm)．22.【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】如圖1，已知和均為等邊三角形，在上，在上，易得線段和的數(shù)量關(guān)系是______．（2）將圖1中的繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，直線和直線交于點(diǎn)．①判斷線段和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②圖2中的度數(shù)是______．（3）【探究拓展】如圖3，若和均為等腰直角三角形，，，，直線和直線交于點(diǎn)，分別寫出的度數(shù)，線段、間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．如圖，拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（3，0），D（﹣1，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B在y軸正半軸上，且OB=OD．求拋物線的解析式；如圖1，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)E，對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)M，連接BE，AB，請(qǐng)?jiān)趻佄锞€的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)Q，使，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)C作軸，交拋物線于點(diǎn)F，連接BF，點(diǎn)G是x軸上一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)N，使以點(diǎn)B，F(xiàn)，G，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2023-2024學(xué)年第一學(xué)期廣東省深圳市坪山區(qū)九年級(jí)數(shù)學(xué)期末模擬試卷參考答案一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題給出4個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的）1.如圖所示的物體，其主視圖是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】把從正面看到的平面圖形畫出來(lái)即可.【詳解】解：從正面可以看到的平面圖形是故選A2.在中，，，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意知的正弦為，計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵∴的正弦值為故選D．3.關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根為，則的值為（

）A.1B.-1C.2D.-2【答案】A【解析】【分析】把方程根代入方程可以求出字母系數(shù)的值．【詳解】由題意，把=1代入方程有：1+k-2=0，解得：k=1，故選：A．4.菱形，矩形，正方形都具有的性質(zhì)是（

）A.四條邊相等，四個(gè)角相等 B.對(duì)角線相等C.對(duì)角線互相垂直 D.對(duì)角線互相平分【答案】D【解析】【分析】根據(jù)菱形、矩形及正方形的性質(zhì)可直接進(jìn)行排除選項(xiàng)．【詳解】解：A、不正確，矩形的四邊不相等，菱形的四個(gè)角不相等；B、不正確，菱形的對(duì)角線不相等；C、不正確，矩形的對(duì)角線不垂直；D、正確，三者均具有此性質(zhì)；故選D．寒假即將來(lái)臨，小明和小亮每人要從甲、乙、丙三個(gè)社區(qū)中隨機(jī)選取一個(gè)社區(qū)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，那么小明和小亮選到同一社區(qū)參加實(shí)踐活動(dòng)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：畫樹(shù)狀圖得：∵共有9種等可能的結(jié)果，小明和小亮選到同一社區(qū)參加實(shí)踐活動(dòng)的有3種情況，∴小明和小亮選到同一社區(qū)參加實(shí)踐活動(dòng)的概率為：故選B6.如圖是小明設(shè)計(jì)用手電來(lái)測(cè)量某古城墻高度的示意圖，點(diǎn)P處放一水平的平面鏡，光線從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端C處，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且測(cè)得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么該古城墻的高度是（

）A．6米 B．8米 C．18米 D．24米【答案】B【分析】由鏡面反射的知識(shí)可得∠APB=∠CPD，結(jié)合∠ABP=∠CDP即可得到△ABP∽△CDP，接下來(lái)，由相似三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例可得，至此，本題不難求解.【詳解】解：由鏡面反射原理知∠APB=∠CPD.∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP=∠CDP.∵∠ABP=∠CDP，∠APB=∠CPD，∴△ABP∽△CDP，∴AB∶BP=CD∶DP.∵AB=1.2米，BP=1.8米，DP=12米，，∴CD==8（米）.故該古城墻的高度是8米.故選B.7.反比例函數(shù)與在同一坐標(biāo)系的圖象可能為（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】比例系數(shù)相同，兩個(gè)函數(shù)必有交點(diǎn)，然后根據(jù)比例系數(shù)的符號(hào)確定正確選項(xiàng)即可．【詳解】解：k＞0時(shí)，一次函數(shù)y＝﹣kx+1的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，反比例函數(shù)的兩個(gè)分支分別位于第一、三象限，選項(xiàng)B符合；k＜0時(shí)，一次函數(shù)y＝﹣kx+1的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，反比例函數(shù)的兩個(gè)分支分別位于第二、四象限，無(wú)選項(xiàng)符合．故選：B．8.如圖，小強(qiáng)從熱氣球上的A點(diǎn)測(cè)量一棟高樓頂部的仰角，測(cè)量這棟高樓底部的俯角，熱氣球與高樓的水平距離為米，則這棟高樓的高BC為（

）米．A．45 B．60 C．75 D．90【答案】B【分析】由求出的值，由求出的值，對(duì)計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵∴米∵∴米∴米故選B．如圖，在中，，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊運(yùn)動(dòng)，速度為；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿邊運(yùn)動(dòng)，速度為；如果P、Q兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么經(jīng)過(guò)（

）秒時(shí)與相似．A．2秒 B．4秒 C．或秒 D．2或4秒【答案】C【分析】設(shè)經(jīng)過(guò)秒時(shí),與相似,則,利用兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似進(jìn)行分類討論：當(dāng)時(shí),,即當(dāng)時(shí),,即然后解方程即可求出答案．【詳解】解：設(shè)經(jīng)過(guò)秒時(shí),與相似,則,當(dāng)時(shí),,即解得：當(dāng)時(shí),,即解得：綜上所述：經(jīng)過(guò)或秒時(shí),與相似故選：C10.二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，圖象過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線x＝1，下列結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時(shí)，.其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】由拋物線的開(kāi)口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷．【詳解】解：①對(duì)稱軸位于x軸的右側(cè)，則a，b異號(hào)，即．拋物線與y軸交于正半軸，則．．故①正確；②∵拋物線開(kāi)口向下，．∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，時(shí)，，而，即，故②正確；③時(shí)，，而故③正確；④由拋物線的對(duì)稱性質(zhì)得到：拋物線與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)是（3，0）．∴當(dāng)時(shí)，故④正確．綜上所述，正確的結(jié)論有4個(gè)．故選D．二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）11．若，則．【答案】【分析】根據(jù)等式性質(zhì)，在兩邊都加上1，則問(wèn)題可解．【詳解】解：根據(jù)等式的性質(zhì)，兩邊都加上1，即可得，通分得．故答案為：．在一個(gè)不透明的袋子中有除顏色外均相同的6個(gè)白球和若干黑球，通過(guò)多次摸球試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率約為30%，估計(jì)袋中黑球有________個(gè)．【答案】14【分析】根據(jù)摸到白球的頻率約為30%，用6除以30%得到總球數(shù)，再計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵摸到白球的頻率約為30%，∴不透明的袋子中一共有球?yàn)椋?÷30%=20（個(gè)），黑球有20-6=14（個(gè)），故答案為：14．13.如圖，小明在打網(wǎng)球時(shí)，使球恰好能打過(guò)網(wǎng)（網(wǎng)高0.8m），而且落在離網(wǎng)4m的位置上，則根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可知，球拍擊球的高度為_(kāi)_______m．【答案】【解析】【分析】根據(jù)球網(wǎng)和擊球時(shí)球拍的垂直線段平行即可知，根據(jù)其相似比即可求解．【詳解】解：，，，，（米，故答案為：1.6．14.如圖是某商場(chǎng)自動(dòng)扶梯的示意圖，自動(dòng)扶梯AB的傾斜角為30°，在自動(dòng)扶梯下方地面C處測(cè)得扶梯頂端B的仰角為60°，A、C之間的距離為6m，則自動(dòng)扶梯的垂直高度BD=m．（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)得到BC＝AC＝6cm，根據(jù)三角函數(shù)定義即可求解．【詳解】解：∵∠BAC＋∠ABC＝∠BCD＝60°，又∠BAC＝30°，∴∠ABC＝30°，∴BC＝AC＝6cm，在Rt△BCD中，cm故答案為：．15.如圖所示是一塊含30°，60°，90°的直角三角板，直角頂點(diǎn)O位于坐標(biāo)原點(diǎn)，斜邊AB垂直于x軸，頂點(diǎn)A在函數(shù)的圖象上，頂點(diǎn)B在函數(shù)的圖象上，∠ABO＝30°，則_____．【答案】﹣3【解析】【分析】設(shè)AC＝a，則OA＝2a，可得OC＝a，根據(jù)直角三角形30°角的性質(zhì)和勾股定理分別計(jì)算點(diǎn)A和B的坐標(biāo)，寫出A和B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入解析式求出和的值，相比即可．【詳解】解：如圖，Rt△AOB中，∠B＝30°，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝60°，∵AB⊥x軸，∴∠ACO＝90°，∴∠AOC＝30°，設(shè)AC＝a，則OA＝2a，∴OC＝a，∴A（a，a），∵頂點(diǎn)A在函數(shù)（x＞0）的圖象上，∴a×a＝a2，在Rt△BOC中，OB＝2OC＝2a，∴BC＝＝3a，∴B（a，﹣3a），∵頂點(diǎn)B在函數(shù)（x＞0）的圖象上，∴﹣3a×a＝﹣3，∴＝﹣3，故答案為：﹣3．三、解答題（本大題共8小題，共55分）16.計(jì)算：．【答案】【解析】【分析】先進(jìn)行冪的運(yùn)算、去絕對(duì)值、及零次冪的運(yùn)算，同時(shí)將特殊角的三角函數(shù)值代入，然后化簡(jiǎn)求值即可．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】題目主要考察計(jì)算能力，主要有冪的運(yùn)算、去絕對(duì)值、及零次冪和特殊三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵是對(duì)這些運(yùn)算的熟練及對(duì)特殊三角函數(shù)值的記憶．17.解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）原方程根據(jù)公式法求解即可；（2）原方程利用分解因式法求解．【詳解】（1）方程中，，∴，∴，∴；（2）原方程可變形為，∴或，解得．18.某中學(xué)決定增設(shè)“禮儀”“陶藝”“園藝”“廚藝”及“編程”等五門校本課程以提升課后服務(wù)質(zhì)量，促進(jìn)學(xué)生全面健康發(fā)展．學(xué)校面向七年級(jí)參與課后服務(wù)的部分學(xué)生開(kāi)展了“你選修哪門課程？（要求必須選修一門且只能選修一門）”的隨機(jī)問(wèn)卷調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖：請(qǐng)結(jié)合上述信息，解答下列問(wèn)題：(1)共有_______名學(xué)生參與了本次問(wèn)卷調(diào)查；(2)“陶藝”在扇形統(tǒng)計(jì)圖中所對(duì)應(yīng)的圓心角是_______度；(3)小剛和小強(qiáng)分別從“禮儀”“陶藝”“編程”這三門校本課程中任選一門，請(qǐng)用列表法或畫樹(shù)狀圖法求出兩人恰好選到同一門課程的概率．【答案】(1)(2)(3)小剛和小強(qiáng)兩人恰好選到同一門課程的概率為【分析】（1）用“禮儀”的人數(shù)除以占比得到總?cè)藬?shù)；（2）用“陶藝”的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)再乘以即可求解；（3）用畫樹(shù)狀圖法求得概率即可求解．【詳解】（1）解：（人）故答案為：．（2）“陶藝”在扇形統(tǒng)計(jì)圖中所對(duì)應(yīng)的圓心角是，故答案為：．（3）把“禮儀”“陶藝”“編程”三門校本課程分別記為A、B、C共有9種等可能的結(jié)果，其中小剛和小強(qiáng)兩人恰好選到同一門課程的結(jié)果有3種，∴小剛和小強(qiáng)兩人恰好選到同一門課程的概率為．19.如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊上的點(diǎn)，AE=BC，DF⊥AE，垂足為F，連接DE，（1）求證：△ABE≌△DFA．（2）如果AD＝10，AB＝6，求sin∠EDF的值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)矩形的對(duì)邊平行且相等得到AD=BC=AE，∠DAF=∠AEB．再結(jié)合一對(duì)直角相等即可證明三角形全等；

（2）根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等以及勾股定理，可以求得DF，EF的長(zhǎng)；再根據(jù)勾股定理求得DE的長(zhǎng)，運(yùn)用三角函數(shù)定義求解．【詳解】(1)在矩形中，，．，,．．(2)由(1)知．．在直角中，，．在Rt中，，．20.脫貧攻堅(jiān)的收官之年，老李在駐村干部的幫助下，利用網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)進(jìn)行“直播帶貨”，銷售一批成本為每件30元的商品，按單價(jià)不低于成本價(jià)，且不高于60元銷售，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示．銷售單價(jià)x（元）304045銷售數(shù)量y（件）1008070(1)求該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式．(2)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，才能使銷售該商品每天獲得的利潤(rùn)w（元）最大？最大利潤(rùn)是多少元？【答案】(1)y=-2x+160；(2)銷售單價(jià)定為55元時(shí)，該商品每天獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1250元【分析】（1）設(shè)該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，用待定系數(shù)法求解即可；根據(jù)每件的利潤(rùn)乘以銷售量等于利潤(rùn)得出w關(guān)于x的二次函數(shù)，將其寫成頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍可得答案．【詳解】（1）解：設(shè)該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，將點(diǎn)（30，100）、（40，80）代入一次函數(shù)關(guān)系式得：，解得：．∴函數(shù)關(guān)系式為y=-2x+160；（2）解：由題意得：w=（x-30）（-2x+160）=-2（x-55）2+1250，∵-2＜0，拋物線開(kāi)口向下，∴當(dāng)x＜55時(shí)，w隨x的增大而增大，∵30≤x≤60，∴當(dāng)x=55時(shí)，w有最大值，此時(shí)w=1250．21．如圖1，是一款手機(jī)支架圖片，由底座、支撐板和托板構(gòu)成．圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，量得托板長(zhǎng)，支撐板長(zhǎng)，底座長(zhǎng)，托板AB連接在支撐板頂端點(diǎn)C處，且，托板可繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)，支撐板可繞D點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)．如圖2，若．(參考數(shù)值，，)(1)求點(diǎn)C到直線的距離(精確到0.1cm)；(2)求點(diǎn)A到直線的距離(精確到0.1cm)．【答案】(1)點(diǎn)C到直線的距離約為13.8cm(2)點(diǎn)A到直線的距離約為21.5cm【分析】（1）如圖2，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為N，然后根據(jù)三角函數(shù)可得，即，最后將已知條件代入即可解答；（2）如圖2，過(guò)A作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為F，再說(shuō)明中，，，然后根據(jù)三角函數(shù)和線段的和差即可解答．【詳解】（1）解：如圖2，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為N由題意可知，，在中，，∴．答：點(diǎn)C到直線的距離約為．（2）解：如圖2，過(guò)A作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為F，∴在中，，，∴，∴．答：點(diǎn)A到直線的距離約為21.5cm．22.【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】（1）如圖1，已知和均為等邊三角形，在上，在上，易得線段和的數(shù)量關(guān)系是______．（2）將圖1中的繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，直線和直線交于點(diǎn)．①判斷線段和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②圖2中的度數(shù)是______．（3）【探究拓展】如圖3，若和均為等腰直角三角形，，，，直線和直線交于點(diǎn)，分別寫出的度數(shù)，線段、間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）①，證明見(jiàn)解析；②；（3）度，，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)可求解；（2）①由“SAS”可證，可得；②由全等三角形的性質(zhì)可得，即可解決問(wèn)題．（3）結(jié)論：，．證明，可得，，由此即可解決問(wèn)題．【小問(wèn)1詳解】解：∵和均為等邊三角形，∴，，∴，故答案為：；【小問(wèn)2詳解】如圖2中，①∵和均為等邊三角形，∴，，，∴，∴（SAS），∴；②∵，∴，設(shè)交于點(diǎn)．∵，∴，∴，故答案為：；【小問(wèn)3詳解】結(jié)論：，．理由：如圖3中，∵，，，∴，，∴，∴，，∴，∵，∴．23.如圖，拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（3，0），D（﹣1，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B在y軸正半軸上，且OB=OD．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)E，對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)M，連接BE，AB，請(qǐng)?jiān)趻佄锞€的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)Q，使，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(3)如圖2，過(guò)點(diǎn)C作軸，交拋物線于點(diǎn)F，連接BF，點(diǎn)G是x軸上一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)N，使以點(diǎn)B，F(xiàn)，G，N為頂點(diǎn)