線代復(fù)習(xí)課 歡迎加入湘潭大學(xué)期末考試復(fù)習(xí)資料庫研發(fā)工作室QQ群：928812498

1復(fù)習(xí)主要內(nèi)容:行列式;矩陣;向量組及其線性相關(guān)性;線性方程組;矩陣對角化;二次型及其有定性.歡迎加入湘潭大學(xué)期末考試復(fù)習(xí)資料庫研發(fā)工作室QQ群：928812498班級集體復(fù)印復(fù)習(xí)資料超級便宜！！拒絕高價壟斷！??！請各班學(xué)委/班長先聯(lián)系群主哦！湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院23一、行列式要求:熟悉行列式的定義,性質(zhì),行列式展開.會計算排列的逆序數(shù),會確定行列式中某一項的符號會用行列式的性質(zhì),展開定理計算行列式例是2階矩陣且，則排列6754231的逆序數(shù)為:六階行列式中,項的符號為4

例四階方陣，其中

均為四維列向量，且則（）解則51．用行列式的性質(zhì)

行列式計算方法計算階行列式：行和相等類型.對低階行列式的計算,用行列式的性質(zhì)化為上三角行列式.2.行列式按行按列展開.6二、矩陣要求:熟悉矩陣的定義,運算(含分塊運算),逆矩陣,矩陣方程,矩陣秩,初等變換.會矩陣的各種運算,會計算矩陣的逆,會解簡單的矩陣方程;會求矩陣的秩,會用初等變換化矩陣為階梯型掌握可逆矩陣的各種關(guān)系特別注意:矩陣乘法不滿足交換律,消去律.7n階方陣A可逆的一些充分必要條件A可逆當且僅當當且僅當R(A)=n;當且僅當A的特征值不等于0;

當且僅當A的列(行)向量組線性無關(guān);當且僅當齊次線性方程組Ax=0只有零解;當且僅當A的伴隨矩陣可逆;當且僅當A與單位矩陣等價8例A,B為三階方陣,且，其中求

解法:1直接求出矩陣A,再求2直接分解出矩陣因式A-E,由已知分解因式,得9例已知其中求

解法:1直接求出矩陣2左乘矩陣A,化簡方程,得出同樣的結(jié)論10例初等行變換化矩陣為階梯型11三.向量組的線性相關(guān)性掌握向量組的線性相關(guān),線性無關(guān),線性組合,線性表示的定義,性質(zhì),判定方法．會求向量組的秩,向量的最大無關(guān)組,并用最大無關(guān)組線性表示其余向量.A的列向量組線性相關(guān)當且僅當Ax=0有非零解，當且僅當某一向量是其余向量的線性組合,當且僅當A的秩小于A的列數(shù).A的列向量組線性無關(guān)當且僅當Ax=0只有零解，當且僅當沒有一向量能由其余向量的線性表出,當且僅當A的秩等于A的列數(shù).12線性組合與線性表示能由向量組線性表示當且僅當非齊次線性方程組有解向量當且僅當向量組與向量組等價當且僅當向量組與向量組的秩相同.13秩的求法把向量組作為列向量組成矩陣，求矩陣的秩;最大線性無關(guān)組的求法把向量組作為列向量組成矩陣，化矩陣為階梯型矩陣，每個階梯上第一個非零元所在的列對應(yīng)的向量組即為其中一個最大無關(guān)組最大無關(guān)組線性表出其余向量把向量組作為列向量組成矩陣，化矩陣為行最簡型后，觀察得出.14例求向量組,的秩及一個極大線性無關(guān)組，并用極大無關(guān)組線性表出其余向量。1.p為何值時，向量組線性無關(guān)；2.p為何值時，向量組線性相關(guān).例15四.線性方程組掌握齊次線性方程組有非零解的充分必要條件.非齊次線性方程組有解的充分必要條件.掌握線性方程組的解的結(jié)構(gòu).會求基礎(chǔ)解系.Ax=0只有零解當且僅當A的秩等于未知量的個數(shù)即當且僅當A的秩等于A的列數(shù).Ax=0有非零解當且僅當A的秩小于未知量的個數(shù)即當且僅當A的秩小于A的列數(shù).16

當Ax=0有非零解時,解向量對加法與數(shù)乘運算是封閉的.其解空間的維數(shù)等于n-r(A).即基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)等于n-r(A).

Ax=b有解當且僅當系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩,且分別得到方程組有唯一解及無窮多解.

當Ax=b有解時,其解之差為對應(yīng)的齊次線性方程組的解.17線性方程組的解法求的解,化系數(shù)矩陣A為最簡行階梯型,由系數(shù)矩陣的秩及A的列數(shù)確定基礎(chǔ)解系中向量個數(shù),寫出基礎(chǔ)解系,得到方程組的通解.求的解,化增廣矩陣為最簡行階梯型,由增廣矩陣的秩及A的秩確定方程組是否有解,有解時是唯一解還是無窮多解.當有無窮多解時,確定基礎(chǔ)解系中向量個數(shù),得到方程組的通解.18當取何值時，線性方程組無解，有解？在有解時求出所有解？19五.相似矩陣熟悉方陣的特征值與特征向量的定義,性質(zhì)及求法;熟悉矩陣對角化的充分必要條件,會把方陣對角化;會用正交變換化對稱矩陣為對角矩陣;熟悉相似矩陣保持的矩陣不變性;理解正交矩陣20方陣的特征值與特征向量

有非零解,為屬于特征值的特征向量.則特征值為特征方程的特征向量為的所有非零解.為A特征值,非零向量x的根,屬于特征值21若A有特征值則kA有特征值有特征值A(chǔ)可逆時,有特征值有特征值有特征值進一步,可得等的一個特征值.22相似矩陣相似矩陣有相同的秩,相同的行列式,相同的特征值.但相似矩陣的相同特征值對應(yīng)的特征向量通常不同.若A與B相似,則特征值的特征向量分別為且,若的非零解.而23為三階矩陣,為線性無關(guān)的三維列向量，且，.求，使2.證明相似，并求的特征值；例3.求可逆矩陣P,使為對角矩陣.

解1.由得B.242.由線性無關(guān),則矩陣可逆則A與B相似.則A的特征值等于B的特征值.3.求可逆矩陣Q,使則可得25例設(shè)相似,求

解:由A與B相似,則

得方程組,解得.26二次型及其有定性會準確寫出二次型的矩陣A,會求二次型的秩與慣性指數(shù),會用可逆的線性變換化二次型為標準型,會判定二次型的有定性.1.寫出二次型的矩陣A,求A的特征值及對應(yīng)的兩兩正交的單位特征向量;2.配方.化二次型為標準型的方法27二次型的有定性的判定1.定義判定.3.A負定當且僅當-A正定,得到負定的充分必要條件;4.類似得到對稱矩陣A