勾股定理回顧與思考教案

勾股定理回顧與思考（教案）（北師大版八年級(jí)第一章）渭南市臨渭區(qū)三馬路中學(xué)孫莉玲教學(xué)目標(biāo)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)對(duì)直角三角形的特殊性質(zhì)全面進(jìn)行總結(jié)。讓學(xué)生回顧本章的知識(shí)，同時(shí)重溫這些知識(shí)尤其是勾股定理的獲得和驗(yàn)證的過程，在勾股定理及其逆定理應(yīng)用過程中，體會(huì)各種數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用。了解勾股定理的歷史。能力訓(xùn)練要求體會(huì)在結(jié)論獲得和驗(yàn)證過程中的數(shù)形結(jié)合的思想方法。在回顧與思考的過程中，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，鼓勵(lì)學(xué)生要善于思考、善于創(chuàng)新。情感與價(jià)值觀要求在反思和交流的過程中，體驗(yàn)學(xué)習(xí)帶來(lái)的無(wú)盡樂趣。通過對(duì)勾股定理歷史的了解，培養(yǎng)學(xué)生的愛國(guó)主義精神，體驗(yàn)科學(xué)給人類帶來(lái)的力量。教學(xué)重點(diǎn)回顧并思考勾股定理及其逆定理的獲得和驗(yàn)證過程；總結(jié)直角三角形邊、角之間分別存在的關(guān)系。在勾股定理及其逆定理應(yīng)用過程中，體會(huì)各種數(shù)學(xué)思想方法。教學(xué)難點(diǎn)在勾股定理及其逆定理應(yīng)用過程中，體會(huì)各種數(shù)學(xué)思想方法。建立本章的知識(shí)框架圖。教學(xué)方法交流與反思-----合作與探究教具準(zhǔn)備無(wú)教學(xué)過程創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課活動(dòng)一：展示兩幅圖片，第一幅圖片為20XX年在我國(guó)北京召開的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的場(chǎng)景，值得一提的是這次大會(huì)的會(huì)徽，為著名的趙爽弦圖。第二幅圖片為我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授提議的向宇宙發(fā)射的勾股定理的圖形，用來(lái)與外星人聯(lián)系。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說(shuō)過：“把勾股定理送到外星球，與外星人進(jìn)行數(shù)學(xué)交流”。勾股定理是反映自然界基本規(guī)律的一條重要結(jié)論，它有著悠久的歷史，在數(shù)學(xué)的發(fā)展中起著重要作用，在現(xiàn)實(shí)世界中有著廣泛的應(yīng)用。勾股定理的發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證及應(yīng)用的過程蘊(yùn)含了豐富的文化價(jià)值。這節(jié)課，我們將通過回顧與思考中的幾個(gè)問題更進(jìn)一步了解勾股定理的歷史和它的廣泛應(yīng)用。設(shè)計(jì)意圖：這樣的導(dǎo)入富有科學(xué)特色和濃郁的數(shù)學(xué)氣息，激起學(xué)生強(qiáng)烈的興趣和求知欲。二、反思交流，探求新知，：一、議一議：1、直角三角形的邊、角之間分別存在什么關(guān)系？⑴在△ABC中，∠C＝90o，a，b，c為三角形的三邊，則角與角之間的關(guān)系：∠A＋∠B＝90o邊與邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2⑵在△ABC中，a，b，c為三角形的三邊，如果∠A＋∠B＝90o，則三角形為直角三角形。a2+b2=c2則三角形為直角三角形。活動(dòng)三：回顧勾股定理及直角三角形的判別條件如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。直角三角形的判別條件：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)游戲：叫一列學(xué)生玩常見勾股數(shù)的接龍游戲。3、4、5；6、8、10；9、12、15；15、20、25；5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41等。二、方格紙中勾股定理的驗(yàn)證方法一：分割為四個(gè)直角三角形和一個(gè)小正方形。方法二：補(bǔ)成大正方形，用大正方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積。方法三：將幾個(gè)小塊拼成一個(gè)正方形，如圖中兩塊紅色（或綠色）可拼成一個(gè)小正方形。方法四：利用皮克公式正方形周邊上的格點(diǎn)數(shù)a=12，正方形內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)b=13，所以，正方形C的面積為：S=1/2a+b-1.三、史話勾股定理的證明1、三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)，創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，也稱為“弦圖”，這是我國(guó)對(duì)勾股定理最早的證明.它用幾何圖形來(lái)證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系,體現(xiàn)了以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何的緊密結(jié)合.2、傳說(shuō)古希臘的畢達(dá)哥拉斯用下面的兩個(gè)圖形證明了勾股定理,你能直接觀察驗(yàn)證勾股定理嗎？活動(dòng)：通過本章的學(xué)習(xí)，你還知道勾股定理的哪些證明方法？請(qǐng)同學(xué)們介紹。1、美國(guó)總統(tǒng)伽菲爾德的證明.他的方法直觀、簡(jiǎn)捷、易懂、明了。2、劉徽的“青朱出入圖”，證明不需用任何數(shù)學(xué)符號(hào)和文字，更不需進(jìn)行運(yùn)算，隱含在圖中的勾股定理便清晰地呈現(xiàn)，整個(gè)證明單靠移動(dòng)幾塊圖形而得出，被稱為“無(wú)字證明”.3、著名畫家達(dá)芬奇的證明同學(xué)們，通過了解勾股定理的歷史，我們感受到古代數(shù)學(xué)家的偉大成就和勾股定理豐富的文化價(jià)值，希望同學(xué)們?cè)诮窈蟮膶W(xué)習(xí)中善于探索，善于創(chuàng)新，并且把這些成就發(fā)揚(yáng)光大。四、欣賞美麗的勾股樹，感受數(shù)學(xué)圖形之美，創(chuàng)造之美。五、拓展與應(yīng)用勾股定理中的思想方法數(shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)問題的靈魂．正解的運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法也是成功解題的關(guān)鍵．尤其是在運(yùn)用勾股定理解題時(shí)，更應(yīng)注重思想方法的運(yùn)用，那么你知道運(yùn)用勾股定理解題應(yīng)注重哪些思想方法呢？為了幫助同學(xué)們能清楚地知道這一問題，現(xiàn)就常用的思想方法舉例說(shuō)明，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考．類型之一、分類討論思想已知一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)是和，求第三邊的長(zhǎng)．分析已知一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)，并沒有指明是直角邊還是斜邊，因此要分類討論．解當(dāng)和是兩條直角邊時(shí)，則利用勾股定理求得第三條邊即斜邊是＝5；當(dāng)是直角邊，是斜邊時(shí)，仍由勾股定理求得另一條直角邊是㎝．說(shuō)明求解本題許多同學(xué)往往受勾3股4弦5的思維定勢(shì)，而誤認(rèn)為和就是直角三角形的兩條直角邊，斜邊當(dāng)然是了，從而漏掉一解導(dǎo)致錯(cuò)誤．構(gòu)造直角三角形解題類型之二轉(zhuǎn)化思想臺(tái)階中的最值問題空間圖形的距離最短問題是勾股定理在實(shí)際生活中的具體應(yīng)用，一般地求距離最短問題要把“立體圖形”轉(zhuǎn)化為“平面圖形”，再利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，以及“勾股定理”等知識(shí)來(lái)解決問題，這類問題涉及的幾何體主要有長(zhǎng)方體、正方體、圓柱等。1、臺(tái)階中的最值問題如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別等于５cm，3cm和1cm，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物。請(qǐng)你想一想，這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)，最短線路是多少？解：臺(tái)階展開成平面如圖所示，連接AB因?yàn)锽Ｃ＝３×３＋１×３＝１２，AC=5，所以AB2=AC2+BC2=169，ＡＢ＝１３㎝，所以螞蟻爬行的最短路線為１３㎝。BBACABA類型之三方程思想3、如圖，在波平如鏡的湖面上，有一朵美麗的紅蓮，它高出水面3尺。突然，一陣大風(fēng)吹過，紅蓮被吹至一邊，花朵剛好齊及水面，如果知道紅蓮移動(dòng)的水平距離為6尺，請(qǐng)問水深多少？分析：由題意，我們知在圖1-1中為AB湖水的深度，AC為荷花的長(zhǎng)，△ABC為直角三角形．解：設(shè)水深為x尺，則荷花的長(zhǎng)為（x+3）尺，由勾股定理得：62+x2=（x+3）2解得：x=4.5,所以這個(gè)湖的水深為4.5尺．類型之四數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用勾股定理及其逆用解決有關(guān)航海問題的應(yīng)用題，首先要能從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，畫出圖形，結(jié)合其他知識(shí)求出直角三角形的未知邊或相關(guān)的量。A35°⌒BC例如：甲、乙兩船從港口A同時(shí)出發(fā)，甲船以30海里/小時(shí)的速度向北偏東35°的方向航行，乙船以40海里/小時(shí)的速度另一個(gè)方向航行,2A35°⌒BC解：如圖所示，在△ABC中，因?yàn)锳C=2×30=60，AB=2×40=80，BC=100，所以AC2+BC2=602+802=3600+6400=10000=1002=BC2，所以△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°.由于180°－35°－90°=55°，所以乙船航行的方向是南偏東55°。六、跟蹤練習(xí)1、已知一個(gè)Rt△ABC的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊長(zhǎng)的平方是2、有一個(gè)圓柱，它的高等于13厘米，底面半徑等于3厘米.一只螞蟻從距底面1米的A點(diǎn)爬行到對(duì)角B點(diǎn)處去食物，需要爬行的最短路程是多少？(π的值取3).解：將圓柱的側(cè)面展開成平面圖形，連接AB因?yàn)椋粒茫剑保常保剑保博M，BC=３×３＝９㎝，所以AB2=AC2+BC2=２２５，ＡＢ＝１５㎝，所以螞蟻爬行的最短路線為１５㎝。CAB七、CAB1、通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)活動(dòng)你有哪些收獲？2、通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你獲得了那些