《概率論第講》課件

《概率論第講》概念介紹1隨機(jī)現(xiàn)象在相同條件下，其結(jié)果不確定的現(xiàn)象。2概率隨機(jī)現(xiàn)象在一定條件下，發(fā)生某一結(jié)果的可能性大小。3統(tǒng)計(jì)規(guī)律大量重復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)現(xiàn)象的各種結(jié)果出現(xiàn)的頻率會趨于穩(wěn)定，這就是概率的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。隨機(jī)事件定義隨機(jī)事件是指在隨機(jī)試驗(yàn)中可能發(fā)生的，也可能不發(fā)生的事件。例子擲骰子，結(jié)果可能是1點(diǎn)、2點(diǎn)、...、6點(diǎn)，每個(gè)結(jié)果都是一個(gè)隨機(jī)事件。樣本空間樣本空間是所有可能結(jié)果的集合，用Ω表示。每個(gè)結(jié)果稱為一個(gè)樣本點(diǎn)，用ω表示。例如，拋一枚硬幣，樣本空間Ω={正面，反面}，樣本點(diǎn)為正面或反面。樣本空間可以是有限的，例如拋一枚硬幣的樣本空間，也可以是無限的，例如測量溫度的樣本空間。樣本空間的定義是概率論的基礎(chǔ)，它為我們提供了一個(gè)框架來描述隨機(jī)現(xiàn)象。事件運(yùn)算1并運(yùn)算A∪B，表示事件A或事件B發(fā)生2交運(yùn)算A∩B，表示事件A和事件B同時(shí)發(fā)生3差運(yùn)算A-B，表示事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生事件概率1概率定義事件發(fā)生的可能性大小0.5拋硬幣正面朝上的概率1/6擲骰子擲出6點(diǎn)的概率公理化概率概率論公理化是基于集合論的現(xiàn)代概率論基礎(chǔ)。建立在三個(gè)基本公理上，確保概率定義的合理性和一致性。公理化概率為概率計(jì)算提供了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)框架。條件概率事件A發(fā)生假設(shè)事件A和事件B存在某種聯(lián)系，那么，在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率稱為事件A在事件B發(fā)生的條件下的概率。事件B發(fā)生事件B發(fā)生的概率可能會影響事件A發(fā)生的概率。全概率公式公式P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(Bn)解釋事件A的概率等于事件A在事件B1、B2、...、Bn發(fā)生下的條件概率乘以事件B1、B2、...、Bn的概率之和。應(yīng)用計(jì)算復(fù)雜事件的概率，將復(fù)雜事件分解為多個(gè)簡單事件，然后利用全概率公式求解。貝葉斯公式基本概念貝葉斯公式是用來計(jì)算后驗(yàn)概率的公式。它將先驗(yàn)概率和似然度結(jié)合起來，計(jì)算在新的證據(jù)出現(xiàn)后，事件發(fā)生的概率。公式P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)獨(dú)立事件定義如果兩個(gè)事件的發(fā)生互相不影響，則它們被稱為獨(dú)立事件。公式如果事件A和事件B獨(dú)立，則P(A∩B)=P(A)P(B)。例子拋一枚硬幣兩次，第一次的結(jié)果不會影響第二次的結(jié)果。事件的統(tǒng)計(jì)頻率事件發(fā)生頻率隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加而趨于穩(wěn)定，最終接近事件的概率。隨機(jī)變量定義隨機(jī)變量是一個(gè)數(shù)值，其值取決于隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果。類型隨機(jī)變量可以是離散的，也可以是連續(xù)的。離散隨機(jī)變量可以取有限個(gè)值或可數(shù)無窮多個(gè)值。連續(xù)隨機(jī)變量可以在某個(gè)范圍內(nèi)取任何值。隨機(jī)變量的分布離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量的值可以是有限個(gè)或可數(shù)個(gè)值。連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量的值可以是某個(gè)區(qū)間內(nèi)的任意值。離散型隨機(jī)變量1取值有限離散型隨機(jī)變量的取值可以是有限個(gè)，或者可以是無限可數(shù)的.2可枚舉每個(gè)取值都可以用一個(gè)整數(shù)來表示，并且可以按順序排列.3常見例子擲骰子，隨機(jī)抽取樣本等.連續(xù)型隨機(jī)變量取值范圍是連續(xù)的用概率密度函數(shù)描述概率為曲線下面積概率質(zhì)量函數(shù)定義離散型隨機(jī)變量取特定值的概率。表示P(X=x)性質(zhì)非負(fù)性，所有值的概率之和為1。概率密度函數(shù)1定義連續(xù)隨機(jī)變量在某個(gè)取值范圍內(nèi)的概率由其概率密度函數(shù)積分得到2性質(zhì)概率密度函數(shù)大于或等于零，且其積分等于13應(yīng)用用于計(jì)算連續(xù)隨機(jī)變量取值落在某個(gè)范圍內(nèi)的概率數(shù)學(xué)期望定義隨機(jī)變量的期望值是該變量所有可能取值的概率加權(quán)平均值。公式E(X)=Σ(xi*P(xi))意義反映隨機(jī)變量的平均取值。方差和標(biāo)準(zhǔn)差方差方差是用來衡量隨機(jī)變量與其期望值之間的偏離程度。標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差是方差的平方根，也表示了隨機(jī)變量與其期望值之間的平均偏離程度。常見分布正態(tài)分布鐘形曲線，廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)和社會科學(xué)。泊松分布描述一定時(shí)間或空間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)。二項(xiàng)分布描述n次獨(dú)立試驗(yàn)中成功的次數(shù)。正態(tài)分布對稱性正態(tài)分布曲線關(guān)于均值對稱。均值和標(biāo)準(zhǔn)差均值決定曲線的中心位置，標(biāo)準(zhǔn)差決定曲線的形狀和寬度。廣泛應(yīng)用許多自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象可以用正態(tài)分布來描述，例如身高、血壓等。泊松分布描述在特定時(shí)間或空間內(nèi)事件發(fā)生次數(shù)的概率分布。事件發(fā)生率是恒定的，且事件之間相互獨(dú)立。應(yīng)用于各種場景，如電話呼叫中心、網(wǎng)站訪問量和自然災(zāi)害等。二項(xiàng)分布定義在n次獨(dú)立試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)只有兩種可能的結(jié)果：成功或失敗，成功的概率為p，失敗的概率為1-p，則n次試驗(yàn)中成功k次的概率稱為二項(xiàng)分布。公式P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)應(yīng)用二項(xiàng)分布在各種領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，例如：質(zhì)量控制、市場調(diào)查、生物統(tǒng)計(jì)等。隨機(jī)過程定義隨機(jī)過程是隨時(shí)間變化的隨機(jī)現(xiàn)象。應(yīng)用在金融市場、天氣預(yù)報(bào)和生物學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。馬爾科夫鏈1定義馬爾科夫鏈?zhǔn)且粋€(gè)隨機(jī)過程，其中未來的狀態(tài)只取決于當(dāng)前的狀態(tài)，而與過去的狀態(tài)無關(guān)。2性質(zhì)馬爾科夫鏈具有無記憶性，這意味著每個(gè)狀態(tài)的概率只取決于前一個(gè)狀態(tài)。3應(yīng)用馬爾科夫鏈廣泛應(yīng)用于金融、天氣預(yù)報(bào)、圖像處理等領(lǐng)域。布朗運(yùn)動無規(guī)則運(yùn)動粒子在液體或氣體中無規(guī)則運(yùn)動。隨機(jī)性粒子運(yùn)動方向和速度不可預(yù)測。應(yīng)用廣泛物理學(xué)、金融、生物學(xué)等領(lǐng)域均有應(yīng)用。泊松過程1事件獨(dú)立性每個(gè)事件的發(fā)生與之前發(fā)生的事件無關(guān)。2平穩(wěn)性在相同的時(shí)間間隔內(nèi)，事件發(fā)生的概率相同。3稀疏性在短時(shí)間間隔內(nèi)，事件發(fā)生的概率很低。統(tǒng)計(jì)推斷樣本推斷總體基于樣本數(shù)據(jù)對總體特征進(jìn)行推斷，并評估推斷的可靠性。假設(shè)檢驗(yàn)對總體特征做出假設(shè)，并通過樣本數(shù)據(jù)檢驗(yàn)假設(shè)是否成立。點(diǎn)估計(jì)1樣本均值估計(jì)總體均值2樣本方差估計(jì)總體方差3樣本比例估計(jì)總體比例區(qū)間估計(jì)1置信水平表示估計(jì)區(qū)間包含真實(shí)參數(shù)的