【模塊1】（數(shù)與式）教師版

模塊一數(shù)與式

第一講實數(shù)

知識梳理夯實基礎(chǔ)

知識點1：實數(shù)的分類

正整數(shù)

整數(shù)零無理數(shù)的幾種常見形式

有理數(shù)負整數(shù)(1)開方開不盡的數(shù)的方根,如7，32，12等;

實數(shù)正分數(shù)(2)π及化簡后含π的數(shù);

分數(shù)有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)

負分數(shù)(3)構(gòu)造型的數(shù),如0.1010010001…(相鄰兩個1

正無理數(shù)之間依次多一個0)等;

無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)(4)某些三角函數(shù)值,如sin60°,cos45°等.

負無理數(shù)

正實數(shù)

實數(shù)零

負實數(shù)

知識點2：實數(shù)的相關(guān)概念

1、數(shù)軸

（1）數(shù)軸的三要素:原點、和。例：

（2）實數(shù)和數(shù)軸上的點。

2、相反數(shù)

（1）定義：只有不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)。

（2）a的相反數(shù)是，特殊地，0的相反數(shù)是。

（3）實數(shù)a，b互為相反數(shù)ab0。

（4）互為相反數(shù)的兩個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點到原點的距離。

3、絕對值

（1）定義：在數(shù)軸上，表示數(shù)a的點到的距離，叫做數(shù)a的絕對值，記作a。

a0

若a0，則a

（2）aa0或

若a0，則a

a0

4、倒數(shù)

（1）定義：如果兩個實數(shù)的乘積為，那么這兩個實數(shù)互為倒數(shù)。

（2）實數(shù)a，b互為倒數(shù)ab1。

（3）非零實數(shù)a的倒數(shù)為，0沒有倒數(shù)，倒數(shù)等于它本身的數(shù)是。

知識點3：科學計數(shù)法

科學記數(shù)法的表示形式為，其中1a10，n為整數(shù)。

用科學記數(shù)法表示絕對值較大的數(shù)：當原數(shù)的絕對值大于等于10時，n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)

減去1；

用科學記數(shù)法表示絕對值較小的數(shù)：當原數(shù)的絕對值小于1時，n是一個負整數(shù)，它的絕對值

等于原數(shù)左起第一個非零數(shù)字前面零的個數(shù)(含整數(shù)位上的零)。

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溫馨提示：

將含有計數(shù)（量）單位的數(shù)字用科學記數(shù)法表示時,應(yīng)先把計數(shù)單位轉(zhuǎn)化為數(shù)字，

把計量單位轉(zhuǎn)化為題目要求的單位，再用科學記數(shù)法來表示。?？嫉挠嫈?shù)單位

有：1千=103，1萬=104，1億=108；?？嫉挠嬃繂挝挥校?mm=10-3m，1m106m，

1nm109m等。

知識點4：近似數(shù)

1、定義：一個與很接近的數(shù)叫做近似數(shù)。

2、精確度：一般由“四舍五入”法取近似數(shù)，“四舍五入”到哪一位,就說這個近似數(shù)精確到

哪一位。

知識點5：平方根、算術(shù)平方根與立方根

名稱定義性質(zhì)

一般地,如果一個數(shù)的

一個正數(shù)a的平方根有兩個，它們互

平方等于aa0，那么

平方根為；0的平方根是0；負數(shù)沒有平

這個數(shù)就叫做a的平方方根。

根。

算術(shù)平當a0時,是有意義的，一個正數(shù)的算術(shù)平方根是一個正數(shù)；0的算術(shù)

方根它表示a的算術(shù)平方根.平方根是，即0=。

一般地，如果一個數(shù)的正數(shù)的立方根是一個正數(shù)；負數(shù)的立方根是

立方根立方等于a，那么這個數(shù)一個負數(shù)；0的立方根是0。立方根具有唯一

就叫做a的立方根.性。

易失分點

a的“雙重非負性”

a具有雙重非負性:①被開方數(shù)a必須是非負數(shù),即a≥0;②a是非負數(shù),即a≥0。

知識點6：實數(shù)的運算

1、加、減、乘、除、乘法的運算法則

（1）加法法則：

同號兩數(shù)相加，取與加數(shù)相同的符號，并把絕對值相加；

絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕

對值，互為相反數(shù)的兩數(shù)相加和為零；

一個數(shù)與零相加，仍得這個數(shù)。

（2）減法法則：

減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。

（3）乘法法則：

兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；

任何數(shù)與0相乘仍得0。

（4）除法法則：

除以一個不為0的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。

（5）幾種常見的運算：

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乘方：anaa…a（n個a相乘）

零次冪：任何非零數(shù)的零次冪都為1，即a01a0

-1的奇、偶次冪：-1的偶次冪為1，奇次冪為-1。

負整數(shù)指數(shù)冪：任何不為零的數(shù)的-p(p為正整數(shù))次冪，等于這個數(shù)p次冪的倒數(shù)；特別地，一個

11

不為零的數(shù)的-1次冪是其倒數(shù)。即ap（a0，p為正整數(shù)），a1a0

apa

2、運算律：

(1)加法運算律

加法交換律:abba；

加法結(jié)合律:abcabc。

(2)乘法運算律

乘法交換律:abba；

乘法結(jié)合律:abcabc；

分配律:abcabac。

3、實數(shù)的混合運算順序

(1)計算每一小項的值(如零次冪、負整數(shù)指數(shù)冪、開方、絕對值、乘方等)；

(2)根據(jù)原式中的運算符號進行實數(shù)的混合運算(先乘除，后加減，有括號的先算括號內(nèi)的，同級運

算按照從左到右的順序進行)；

(3)寫出算式的結(jié)果。

知識點7：實數(shù)的大小比較

數(shù)軸法將兩個數(shù)表示在同一數(shù)軸上，右邊點表示的數(shù)總比左邊點表示的數(shù)大。

正數(shù)大于0，0大于負數(shù)，正數(shù)大于一切負數(shù)；兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的

類別法

反而小。

設(shè)，是兩個任意實數(shù)，則；；

差值法abab0abab0ab

ab0ab

平方法若ab≥0，則ab(用于二次根式的估值及含有根式的實數(shù)的大小比較).

a

作商法1?若b>0，則a>b；若b<0，則a<b.

b

估算法對任意兩個正實數(shù)a，b，先估算出a，b兩數(shù)的范圍，再進行比較.

把要比較的兩個數(shù)進行適當放大或縮小，使復(fù)雜的問題得以簡化，來達到比較

放縮法

兩個實數(shù)大小的目的.

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直擊中考勝券在握

31

1．實數(shù)tan45°，，0，，，，sin60°，0．3131131113…（相鄰兩個3之間依次多一個1），其中

353

無理數(shù)的個數(shù)是（8）9

A．4B．3C．2D．1

【答案】B

【解析】

試題分析：掌握無理數(shù)的三種形式：①開方開不盡的數(shù)，②無限不循環(huán)小數(shù)，③含有π的數(shù)，結(jié)合題意判斷即

可．根據(jù)無理數(shù)的定義可得無理數(shù)有：﹣π，sin60°，0．3131131113…（相鄰兩個3之間依次多一個1），共3

3

個5

考點：無理數(shù)

2．（2021·山東·膠州市初級實驗中學一模）38的相反數(shù)（）

1

．．2．2．

A2BCD2

【答案】B

【分析】

先計算出38=2，再求出2的相反數(shù)即可．

【詳解】

解：∵38=2，2的相反數(shù)是-2，

∴38的相反數(shù)是-2，

故選：B．

【點睛】

此題主要考查了立方根和相反數(shù)，求出38=2是解答此題的關(guān)鍵．

3．（2021·廣東·珠海市文園中學三模）實數(shù)-3的絕對值是（）

1

A．3B．3C．3D．

3

【答案】C

【分析】

直接利用絕對值的性質(zhì)分析得出答案．

【詳解】

解：實數(shù)3的絕對值是3．

故選：C．

【點睛】

此題主要考查了絕對值，正確掌握絕對值的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

4．（2019·山東·寧津縣育新中學七年級階段練習）下列說法①﹣5的絕對值是5；②﹣1的相反數(shù)是1；③0的

1

倒數(shù)是0；④64的立方根是±4，⑤是無理數(shù)，⑥4的算術(shù)平方根是2，其中正確的個數(shù)為（）

3

A．2B．3C．4D．5

第4頁共62頁.

【答案】B

【分析】

根據(jù)絕對值、相反數(shù)、倒數(shù)、立方根、無理數(shù)、算術(shù)平方根的概念及性質(zhì)逐一進行分析即可得.

【詳解】

①﹣5的絕對值是5，正確；②﹣1的相反數(shù)是1，正確；③0沒有倒數(shù)，錯誤；④64的立方根是4，錯誤，

1

⑤不是無理數(shù)，是有理數(shù)，錯誤，⑥4的算術(shù)平方根是2，正確，

3

故選B．

【點睛】

本題考查了絕對值、相反數(shù)、倒數(shù)、立方根、無理數(shù)、算術(shù)平方根等，熟練掌握各相關(guān)概念以及性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

5．（2022·全國·九年級專題練習）下列各數(shù)：4，2.8，0，4，其中比3小的數(shù)是（）

A．4B．4C．0D．2.8

【答案】A

【分析】

根據(jù)正數(shù)比負數(shù)大，正數(shù)比0大，負數(shù)比0小，兩個負數(shù)中，絕對值大的反而小解答即可．

【詳解】

解：∵∣﹣4∣=4，4＞3＞2.8，

∴﹣4＜﹣3＜﹣2.8＜0＜∣﹣4∣，

∴比﹣3小的數(shù)為﹣4，

故選：A．

【點睛】

本題考查有理數(shù)大小比較，熟知有理數(shù)的比較大小的法則是解答的關(guān)鍵．

27

6．（2020·陜西·一模）﹣的立方根是（）

64

3349

A．﹣B．C．﹣D．

48916

【答案】A

【分析】

如果一個數(shù)x的立方等于a，那么x是a的立方根，根據(jù)此定義求解即可．

【詳解】

27333333

解：∵，

64444444

327

∴的立方等于

464

273

∴的立方根等于

644

故選A．

第5頁共62頁.

【點睛】

此題主要考查了一個數(shù)的立方根，解題時先找出所要求的這個數(shù)是哪一個數(shù)的立方，由于開立方和立方是互逆運

算，用立方的方法求這個數(shù)的立方根．需要注意的是立方根與原數(shù)的性質(zhì)符號相同．

7．（2021·四川涼山·中考真題）81的平方根是（）

A．3B．3C．9D．9

【答案】A

【分析】

先求得81=9，再根據(jù)平方根的定義求出即可．

【詳解】

81=9，

9的平方根是3，

故選A．

【點睛】

本題考查了算術(shù)平方根的定義，求一個數(shù)的平方根，能熟記算術(shù)平方根的定義的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．

8．（2021·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示．如果ab0，那么下列結(jié)論

正確的是（）

a

A．a(chǎn)cB．a(chǎn)c0C．a(chǎn)bc0D．1

b

【答案】C

【分析】

根據(jù)a+b=0，確定原點的位置，根據(jù)實數(shù)與數(shù)軸即可解答．

【詳解】

解：∵a+b=0，

∴原點在a，b的中間，

如圖，

a

由圖可得：|a|＜|c|，a+c＞0，abc＜0，1，

b

故選：C．

【點睛】

本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，解決本題的關(guān)鍵是確定原點的位置．

9．下面不等式正確的是（）

2313

A．B．C．(8)2(7)2D．0.911.1

34611

【答案】B

【分析】

第6頁共62頁.

根據(jù)正數(shù)大于負數(shù)、兩負數(shù)相比較，絕對值越大則值越小，結(jié)合選項即可作出判斷．

【詳解】

2323

解：A、|-|＜|-|，故-＞-，故本選項錯誤；

3434

1313

B、＜，故|-|＜|-|，故本選項正確；

611611

C、（-8）2=64，（-7）2=49，故（-8）2＞（-7）2，故本選項錯誤；

D、|-0.91|=0.91，|-1.1|=1.1，0.91＜1.1，故-0.91＞-1.1，故本選項錯誤．

故選B．

【點睛】

此題考查了有理數(shù)的大小比較，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是掌握正數(shù)大于負數(shù)、兩負數(shù)相比較，絕對值越大

則值越小，難度一般．

10．（2019·天津濱海新·中考模擬）若a30，b6，c365則下列關(guān)系正確的為()

A．a(chǎn)bcB．cbaC．bacD．bca

【答案】C

【解析】

【分析】

先估算出30和365的取值范圍，再進行比較即可得答案.

【詳解】

∵25<30<36，

∴5<30<6，即5<a<6，

∵b=6，

∴b=6，

∵64<65<125，

∴4<365<5，即4<c<5，

∴b>a>c，

故選C.

【點睛】

本題主要考查無理數(shù)的估算，熟練掌握估算方法是解題關(guān)鍵.

11．（2019·福建南安·中考模擬）已知m2＝4+23，則以下對|m|的估算正確的（）

A．2＜|m|＜3B．3＜|m|＜4C．4＜|m|＜5D．5＜|m|＜6

【答案】A

【分析】

首先根據(jù)完全平方根式，將m2展開可得m的絕對值的大小.

【詳解】

：∵m2＝4+23＝（3+1）2，

∴m＝±（3+1），

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∴|m|＝3+1，

∵1＜3＜2，

∴2＜|m|＜3．

故選A．

【點睛】

本題主要考查學生的的完全平方展開式的用法，關(guān)鍵在于將實數(shù)分成兩個數(shù)的平法和.

12．設(shè)a為最小的正整數(shù)，b是最大的負整數(shù)，c是絕對值最小的數(shù)，d是倒數(shù)等于自身的有理數(shù)，則a-b+c-d

的值為（）

A．1B．3C．1或3D．2或-1

【答案】C

【解析】解：由題意得，a1，b1，c0，d1，

當d1時，abcd1（1）011，

當d1時，abcd1（1）0（-1）3，

故選C。

13．（2020濱州中考）冠狀病毒的直徑約為80～120納米，1納米＝1.0109米，若用科學記數(shù)法表示110納

米，則正確的結(jié)果是（）

A．1.1109米B．1.1108米C．1.1107米D．1.1106米

【答案】C

【分析】

絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學記數(shù)法表示，一般形式為a×10-n，與較大數(shù)的科學記數(shù)法不同的是其所使用

的是負整數(shù)指數(shù)冪，指數(shù)n由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．

【詳解】

解：110納米=110×10-9米=1.1×10-7米．

故選：C．

【點睛】

本題考查用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10-n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的

數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．

14．第七次全國人口普查結(jié)果顯示，我國具有大學文化程度的人口超218000000人．數(shù)據(jù)218000000用科學記

數(shù)法表示為（）

A．218106B．21.8107C．2.18108D．0.218109

【答案】C

【分析】

用科學記數(shù)法表示較大的數(shù)時，一般形式為a10n，其中1a10，n為整數(shù)，據(jù)此判斷即可．

【詳解】

解：218000000=2.18108，

故選：C．

第8頁共62頁.

【點睛】

此題主要考查了用科學記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為a10n，其中1a10，確定a和n的值是解題關(guān)鍵．

15．（2021·江蘇儀征·八年級期中）下列說法正確的是（）

A．近似數(shù)4.80精確到十分位

B．近似數(shù)5000萬精確到個位

C．近似數(shù)4.51萬精確到0.01

D．1.15×104精確到百位

【答案】D

【分析】

一個近似數(shù)四舍五入到哪一位，那么就說這個近似數(shù)精確到哪一位，帶有單位的近似數(shù)與用科學記數(shù)法表示的近

似數(shù)要由最后一位在原數(shù)中的位置確定，再逐一分析各選項從而可得答案.

【詳解】

解：近似數(shù)4.80精確到百分位，故A不符合題意；

近似數(shù)5000萬精確到萬位，故B不符合題意；

近似數(shù)4.51萬精確到百位，故C不符合題意；

1.15×104精確到百位，正確，故D符合題意；

故選D

【點睛】

本題考查的是近似數(shù)的精確度問題，掌握近似數(shù)的精確度是解本題的關(guān)鍵.

2511

16．（2021·山東膠州·八年級期中）比較大?。篲__．（用“＞”，“＜”或“＝”填空）

33

【答案】>

【分析】

2511113

先求出113，然后利用作差法得到0，即可得到答案．

333

【詳解】

2

解：∵3291111，

∴113，

2511113

∴0，

333

2511

∴，

33

故答案為：＞．

【點睛】

本題主要考查了實數(shù)比較大小，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握實數(shù)比較大小的方法．

17．（2021·浙江·杭州第十四中學附屬學校八年級階段練習）若實數(shù)a，b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，e是12

的整數(shù)部分，f是5的小數(shù)部分，則代數(shù)式abcdef的值是___．

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【答案】4-

【分析】

根據(jù)互為相反數(shù)、互為倒數(shù)、無理數(shù)的整數(shù)部分、小數(shù)部分的意義求解即可．

【詳解】

解：∵實數(shù)a、b互為相反數(shù)，

∴a+b=0，

∵c、d互為倒數(shù)，

∴cd=1，

∵3＜12＜4，

∴12的整數(shù)部分為3，e=3，

∵2＜5＜3，

∴5的小數(shù)部分為5-2，即f=5-2，

∴abcdef=0+1-3+5-2=

故答案為：4-5．

【點睛】

本題考查相反數(shù)、倒數(shù)、無理數(shù)的估算，掌握相反數(shù)、倒數(shù)的意義，以及無理數(shù)的整數(shù)部分、小數(shù)部分的表示方

法是解決問題的關(guān)鍵．

18．（2021·全國·八年級專題練習）在如圖所示的數(shù)軸上，點C與點B關(guān)于點A對稱，C、A兩點對應(yīng)的實數(shù)分別

是5和1，則點B對應(yīng)的實數(shù)為__．

【答案】25

【分析】

根據(jù)對稱的意義得到AC＝AB＝51，可得答案．

【詳解】

解：∵點C與點B關(guān)于點A對稱，AC＝51，

∴AB＝51，

∴點B對應(yīng)的數(shù)是15115125，

故答案為：25．

【點睛】

本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，利用AB＝AC得出點B對應(yīng)的實數(shù)是解題關(guān)鍵．

19．（2021·四川廣元·中考真題）如圖，實數(shù)5，15，m在數(shù)軸上所對應(yīng)的點分別為A，B，C，點B關(guān)于原

點O的對稱點為D．若m為整數(shù)，則m的值為________．

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【答案】-3

【分析】

先求出D點表示的數(shù)，再得到m的取值范圍，最后在范圍內(nèi)找整數(shù)解即可．

【詳解】

解：∵點B關(guān)于原點O的對稱點為D，點B表示的數(shù)為15，

∴點D表示的數(shù)為15，

∵A點表示5，C點位于A、D兩點之間，

∴15m5，

∵m為整數(shù)，

∴m3；

故答案為：3．

【點睛】

本題考查了數(shù)軸上點的特征，涉及到相反數(shù)的性質(zhì)、對無理數(shù)進行估值、確定不等式組的整數(shù)解等問題，解決本

題的關(guān)鍵是牢記相關(guān)概念和性質(zhì)，本題蘊含了數(shù)形結(jié)合的思想方法．

20．（2021·江蘇溧陽·七年級期中）數(shù)軸上有兩個實數(shù)a,b，且a>0，b＜0，a+b＜0，則四個數(shù)a，b，-a，-b的大

小關(guān)系為____（用“＜”號連接）．

【答案】baab

【分析】

根據(jù)a與b的關(guān)系，在數(shù)軸上表示它們的位置，然后根據(jù)在數(shù)軸上右邊的數(shù)比左邊的數(shù)大解答即可.

【詳解】

∵a>0，b＜0，a+b＜0，

∴四個數(shù)a，b，-a，-b在數(shù)軸上的分布為：

∴b<-a<a<-b.

故答案為b<-a<a<-b.

【點睛】

本題考查了相反數(shù)在數(shù)軸上的分布特點，實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，以及利用數(shù)軸比較實數(shù)的大小，根據(jù)a與b的關(guān)系，

在數(shù)軸上表示它們的位置是解答本題的關(guān)鍵.

21．（2021·麗水中考）計算：|2021|(3)04．

【答案】2020

【分析】

第11頁共62頁.

先計算絕對值、零指數(shù)冪和算術(shù)平方根，最后計算加減即可；

【詳解】

解：|2021|(3)04

202112，

2020．

【點睛】

本題主要考查實數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握實數(shù)的混合運算順序及相關(guān)運算法則．

2021

22．（2021·金華）計算：1+84sin45+2．

【答案】1

【分析】

利用乘方的意義,二次根式的化簡,特殊角的函數(shù)值,絕對值的化簡,化簡后合并計算即可

【詳解】

2

解：原式12242

2

122222

1．

【點睛】

本題考查了二次根式的化簡,特殊角的三角函數(shù)值,絕對值的化簡等知識，熟練運用各自的運算法則化簡是解題的

關(guān)鍵．

2

01

23．（2021·全國·九年級專題練習）計算：|12|2sin45(3.14)．

2

【答案】4

【分析】

根據(jù)絕對值的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，零次冪，負整數(shù)指數(shù)冪進行運算即可．

【詳解】

2

01

|12|2sin45(3.14)

2

2

21214

2

21214

4

【點睛】

本題考查了絕對值的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，零次冪，負整數(shù)指數(shù)冪，熟知以上運算是解題的關(guān)鍵．

11

24．（2019·四川達州·中考真題）a是不為1的有理數(shù)，我們把稱為a的差倒數(shù)，如2的差倒數(shù)為1，

1a12

11

1的差倒數(shù)，已知a5，a是a的差倒數(shù)，a是a的差倒數(shù)，a是a的差倒數(shù)…，依此類推，a的

1(1)212132432019

值是（）

第12頁共62頁.

144

A．5B．C．D．

435

【答案】D

【分析】

根據(jù)差倒數(shù)的定義分別求出前幾個數(shù)便不難發(fā)現(xiàn)，每3個數(shù)為一個循環(huán)組依次循環(huán)，用2019除以3，根據(jù)余數(shù)

的情況確定出與a2019相同的數(shù)即可得解．

【詳解】

＝

解：a15，

111

a2，

1a1154

114

a

31a15，

21

4

11

a5

41a4，

31

5

…

14

∴數(shù)列以5,,三個數(shù)依次不斷循環(huán)，

45

20193673，

4

aa

201955

故選D．

【點睛】

本題是對數(shù)字變化規(guī)律的考查，理解差倒數(shù)的定義并求出每3個數(shù)為一個循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵．

25．觀察下列等式：

211

第一個等式：a；

113222221221

211

第二個等式：a；

213222(22)2221231

211

第三個等式：a；

313232(23)2231241

211

第四個等式：a；

413242(24)2241251

按上述規(guī)律，回答下列問題：

（1）請寫出第六個等式：a6==；

（2）用含n的代數(shù)式表示第n個等式：an==；

（3）a1+a2+a3+a4+a5+a6=（得出最簡結(jié)果）；

（4）計算：a1+a2+…+an．

第13頁共62頁.

26112n11142n12

【答案】（1），；（2），；（3）；（4）．

13262(26)2261271132n2(2n)22n12n11433(2n11)

【詳解】

試題分析：（1）根據(jù)已知4個等式可得；

（2）根據(jù)已知等式得出答案；

（3）利用所得等式的規(guī)律列出算式，然后兩兩相消，計算化簡后的算式即可得；

（4）根據(jù)已知等式規(guī)律，列項相消求解可得．

6

211

試題解析：（1）由題意知，a6=2=，

1326226261271

6

211

故答案為2，；

1326226261271

n

211

（2）an=2=，

132n22n2n12n11

n

211

故答案為2，；

132n22n2n12n11

1111111114

（3）原式=...==，

212212212312612712127143

14

故答案為；

43

n1

1111111122

（4）原式=...==．

212212212312n12n11212n1132n11

模塊一數(shù)與式

第二講整式與因式分解

知識梳理夯實基礎(chǔ)

知識點1：整式的相關(guān)概念

1、單項式：

用數(shù)字或字母的表示的代數(shù)式叫做單項式。單獨一個數(shù)字或字母也是單項式。

(1)單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個單項式的。

(2)一個單項式中，所有字母指數(shù)的叫做這個單項式的次數(shù)。

2、多項式：

幾個單項式的叫做多項式。其中，每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫

做。

一個多項式含有幾項，這個多項式就是幾項式，多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)，就是這個多項

式的次數(shù)。

單項式與多項式統(tǒng)稱為整式。

知識點2：整式的運算

1.加減運算

(1)整式加減運算的實質(zhì)是、合并同類項。

第14頁共62頁.

(2)同類項：所含字母相同，并且相同字母的也相同的項叫做同類項，所有的常數(shù)項都是同

類項。

合并同類項的法則:同類項的系數(shù)相加，字母和字母的不變。

去括號法則:

如果括號前面是“+”，去括號時括號內(nèi)的各項都不改變符號；

如果括號前面是“-”，去括號時括號內(nèi)的各項都改變符號。

添括號法則:

所添括號前面是“+”,括到括號內(nèi)的各項都不改變符號；

所添括號前面是“-”，括到括號內(nèi)的各項都改變符號。

2、重要公式：常用變形：

2

2222

完全平方公式：abab2aba2b2a+b2aba2+b2ab+2ab

22

平方差公式：2222

abababa+b=ab+4abab=ab4ab

3、冪的運算

性質(zhì)1、同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。amanamn（m，n為正整數(shù)）

nm

性質(zhì)2、冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。amamnan（m，n為正整數(shù)）

n

性質(zhì)3、積的乘方等于各因式乘方的積。abanbn（m，n為正整數(shù)）

性質(zhì)4、同底數(shù)冪相除,底數(shù)不變,指數(shù)相減。amanamn（a0，mn）

4、乘法運算

單項式與單項單項式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，作為積的因式；對于只在一個

式的乘法法則單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個。

單項式與多項單項式與多項式相乘，用單項式分別去乘多項式的每一項，再把所得的積

式的乘法法則相加，如m(a+b+c)=。

多項式與多項多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項分別乘以另一個多項式的

式的乘法法則每一項，再把所得的積，如(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.

知識點3：代數(shù)式及其求值

用加、減、乘、除及乘方等運算符號把連接而成的式子，叫做代數(shù)式。

代數(shù)式求值：

①直接代入法：把已知字母的值代入代數(shù)式，并按原來的運算順序計算求值。

②化簡后求值：先對所求代數(shù)式進行去括號、合并同類項等化簡，在把已知字母的值帶入化簡后的

代數(shù)式計算求值。

③整體代入法：先觀察已知條件和所求代數(shù)式的關(guān)系，再將所求代數(shù)式變形(一般會用到提公因式、

平方差公式、完全平方公式)，最后把已知代數(shù)式看成一個整體代入變形后的代數(shù)式中求值。

知識點4：因式分解

1、定義：把一個多項式化為幾個整式的的形式，叫做因式分解。

2、方法

(1)提公因式法

(2)公式法

第15頁共62頁.

3.因式分解的步驟（注意：因式分解一定要分解到底）

(1)多項式為兩項或三項時，步驟如下:

十字相乘法：

頭尾分解，交叉相

乘，求和湊中，觀

察實驗。

(2)多項式為四項及以上時，通常需先分組，分組后再利用提公因式法或公式法進行分解。

直擊中考勝券在握

ab2c3

1．單項式的系數(shù)和次數(shù)分別是（）

3

1

A．-1和5B．和6C．-和5D．-和6

333

【答案】D

【分析】

由題意直接根據(jù)單項式的系數(shù)（數(shù)字因數(shù)）和次數(shù)（所有字母的指數(shù)的和）進行分析即可．

【詳解】

ab2c3

解：單項式的系數(shù)和次數(shù)分別是-和6.

33

故選：D.

【點睛】

本題主要考查單項式的系數(shù)、次數(shù)，熟練掌握單項式的系數(shù)、次數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．

2．（2021·黑龍江·哈爾濱市第十七中學校八年級階段練習）下列運算正確的是（）

A．a(chǎn)-3?a2＝a5B．（x3）3＝x6

C．x5+x5＝x10D．（﹣a2b）5＝﹣a10b5

【答案】D

【分析】

根據(jù)同底數(shù)冪相乘，冪的乘方，合并同類項，積的乘方運算法則逐項計算，即可求解．

【詳解】

1

解：A、a3a2a1，故本選項錯誤，不符合題意；

a

3

B、x3x9，故本選項錯誤，不符合題意；

C、x5x52x5，故本選項錯誤，不符合題意；

5

D、a2ba10b5，故本選項正確，符合題意；

故選：D

【點睛】

第16頁共62頁.

本題主要考查了同底數(shù)冪相乘，冪的乘方，合并同類項，積的乘方運算，熟練掌握同底數(shù)冪相乘，冪的乘方，合

并同類項，積的乘方運算法則是解題的關(guān)鍵．

1

3．（2022·浙江·九年級專題練習）計算(mn3)2n2的結(jié)果是（）

2

111

A．4m2n6B．﹣m2n4C．m2n4D．﹣m5n4

444

【答案】C

【分析】

直接利用整式的除法運算法則以及積的乘方運算法則分別化簡得出答案．

【詳解】

1

解：原式＝m2n6÷n2

4

1

＝m2n4．

4

故選：C．

【點睛】

此題主要考查整式的乘除，解題的關(guān)鍵是熟知其運算法則．

4．（2021·山東泰安·中考真題）下列運算正確的是（）

3

A．2x23x35x5B．2x6x3

2

C．xyx2y2D．3x223x49x2

【答案】D

【分析】

分別根據(jù)合并同類項法則、積的乘方運算法則、完全平方公式、平方差公式進行判斷即可．

【詳解】

解：A、x2和x3不是同類項，不能合并，此選項錯誤；

3

B、2x8x3，此選項錯誤；

2

C、xyx22xyy2，此選項錯誤；

D、3x223x(23x)(23x)49x2，此選項正確，

故選：D．

【點睛】

本題考查了同類項、積的乘方、完全平方公式、平方差公式，熟記公式，掌握運算法則是解答的關(guān)鍵．

5．（2021·黑龍江·哈爾濱市蕭紅中學八年級階段練習）下列運算中，正確的是（）

343

A．a(chǎn)3a2a6B．a(chǎn)2a5a10C．2a316a12D．a(chǎn)b2a3b6

【答案】D

【分析】

分別計算出各項的結(jié)果，再進行判斷即可．

【詳解】

第17頁共62頁.

A.、a3a2a5，故原選項錯誤；

3

B、a2a5a11，故原選項錯誤；

4

C、2a316a12，故原選項錯誤；

3

D、ab2a3b6計算正確．

故選D．

【點睛】

本題主要考查同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方以及積的乘方，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．

6．（甘肅省天水市秦安縣古城農(nóng)業(yè)中學2019-2020學年八年級上學期期中數(shù)學試題）如圖，將圖1中陰影部分無

重疊、無縫隙地拼成圖2，根據(jù)兩個圖形中陰影部分的面積關(guān)系得到的等式是()

A．a(chǎn)2－b2＝(a＋b)(a－b)B．a(chǎn)2＋2ab＋b2＝(a＋b)2

C．a(chǎn)2－2ab＋b2＝(a－b)2D．(a＋b)2－(a－b)2＝4ab

【答案】C

【分析】

分別表示出兩圖中陰影部分的面積，根據(jù)面積相等，即可解答．

【詳解】

解：圖1中陰影部分的面積為：a2-2ab+b2，圖2中陰影部分的面積為：（a-b）2，

所以a2-2ab+b2=（a-b）2，

故選C．

【點睛】

本題考查了完全平方公式與幾何圖形面積的關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是分別計算出兩圖中陰影部分的面積．

7．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，正方體的每條棱上放置相同數(shù)目的小球，設(shè)每條棱上的小球數(shù)為m，下

列代數(shù)式表示正方體上小球總數(shù)，則表達錯誤的是（）

A．12(m1)B．4m8(m2)C．12(m2)8D．12m16

【答案】A

第18頁共62頁.

【分析】

先根據(jù)規(guī)律求出小球的總個數(shù),再將選項逐項化簡求值即可解題.

【詳解】

解:由題可知求小球的總數(shù)的方法會按照不同的計數(shù)方法而規(guī)律不同,比如可以按照一共有12條棱,去掉首尾銜接

處的小球,則每條棱上剩下12(m-2)個小球,加上銜接處的8個小球,則小球的個數(shù)為12(m2)812m16,

選項B中4m8(m2)12m16,故B,C,D均正確,

故本題選A.

【點睛】

本題考查了圖形的規(guī)律,合并同類項,需要學生具有較強的邏輯抽象能力,能夠不重不漏的表示出小球的總數(shù)是解

題關(guān)鍵.

8．（2021·山西襄汾·八年級期中）若2021m5，2021n8，則20212mn（）

258

A．B．2C．3D．

825

【答案】A

【分析】

運用同底數(shù)冪的除法以及冪的乘方逆運算計算即可．

【詳解】

解：2021m5，2021n8，

25

20212mn20212m2021n(2021m)22021n528．

8

故選：A．

【點睛】

本題考查了同底數(shù)冪的除法以及冪的乘方的逆運算，熟記兩個運算法則是解答本題的關(guān)鍵．

9．（2021·山東惠民·八年級階段練習）下列計算中錯誤的是（）

A．(ab)(ba)a2b2B．(ab)(ab)a2b2

C．(ab)(ba)a22abb2D．(ab)2(ab)24ab

【答案】B

【分析】

根據(jù)平方差公式和完全平方公式判斷即可；

【詳解】

(ab)(ba)a2b2，故A正確；

(ab)(ab)ababa2b22ab，故B錯誤；

(ab)(ba)a22abb2，故C正確；

(ab)2a22abb24ab(ab)24ab，故D正確；

故選B．

【點睛】

本題主要考查了平方差公式和完全平方公式的應(yīng)用，準確分析判斷是解題的關(guān)鍵．

第19頁共62頁.

1

10．（2021·上海松江·七年級期中）已知xy2，xy，那么x3y3x2y2xy3的值為（）

2

1313

A．3B．6C．D．

24

【答案】D

【分析】

根據(jù)完全平方公式求出x2y25，再把原式因式分解后可代入求值．

【詳解】

1

解：因為xy2，xy，

2

2

所以xy4，

x2y242xy5

所以x3y3x2y2xy3

xyx23xyy2

11

53

22

13

4

故選：D

【點睛】

考核知識點：因式分解的應(yīng)用．靈活應(yīng)用完全平方公式進行變形是解題的關(guān)鍵．

2

11．如果m2m5，那么代數(shù)式mm2m2的值為（）

A．-6B．-1C．9D．14

【答案】D

【分析】

先利用整式的乘法與加減法、完全平方公式化簡所求代數(shù)式，再將已知等式作為整體代入即可得．

【詳解】

2

解：mm2m2，

m22mm24m4，

2m22m4，

由m2m5得：2m22m10，

則原式10414，

故選：D．

【點睛】

本題考查了整式的乘法與加減法、完全平方公式、代數(shù)式求值，熟練掌握整式的運算法則是解題關(guān)鍵．

12．（2021·遼寧鐵西·八年級期中）若c2﹣a2﹣2ab﹣b2＝10，a+b+c＝﹣5，則a+b﹣c的值是（）

A．2B．5C．20D．9

第20頁共62頁.

【答案】A

【分析】

對式子進行因式分解，求解即可．

【詳解】

解：c2a22abb210，

c2(ab)210

(c