【模塊1】（數(shù)與式）教師版

模塊一數(shù)與式

第一講實(shí)數(shù)

知識(shí)梳理夯實(shí)基礎(chǔ)

知識(shí)點(diǎn)1：實(shí)數(shù)的分類

正整數(shù)

整數(shù)零無理數(shù)的幾種常見形式

有理數(shù)負(fù)整數(shù)(1)開方開不盡的數(shù)的方根,如7，32，12等;

實(shí)數(shù)正分?jǐn)?shù)(2)π及化簡后含π的數(shù);

分?jǐn)?shù)有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)

負(fù)分?jǐn)?shù)(3)構(gòu)造型的數(shù),如0.1010010001…(相鄰兩個(gè)1

正無理數(shù)之間依次多一個(gè)0)等;

無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)(4)某些三角函數(shù)值,如sin60°,cos45°等.

負(fù)無理數(shù)

正實(shí)數(shù)

實(shí)數(shù)零

負(fù)實(shí)數(shù)

知識(shí)點(diǎn)2：實(shí)數(shù)的相關(guān)概念

1、數(shù)軸

（1）數(shù)軸的三要素:原點(diǎn)、和。例：

（2）實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)。

2、相反數(shù)

（1）定義：只有不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)。

（2）a的相反數(shù)是，特殊地，0的相反數(shù)是。

（3）實(shí)數(shù)a，b互為相反數(shù)ab0。

（4）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。

3、絕對(duì)值

（1）定義：在數(shù)軸上，表示數(shù)a的點(diǎn)到的距離，叫做數(shù)a的絕對(duì)值，記作a。

a0

若a0，則a

（2）aa0或

若a0，則a

a0

4、倒數(shù)

（1）定義：如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的乘積為，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)互為倒數(shù)。

（2）實(shí)數(shù)a，b互為倒數(shù)ab1。

（3）非零實(shí)數(shù)a的倒數(shù)為，0沒有倒數(shù)，倒數(shù)等于它本身的數(shù)是。

知識(shí)點(diǎn)3：科學(xué)計(jì)數(shù)法

科學(xué)記數(shù)法的表示形式為，其中1a10，n為整數(shù)。

用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值較大的數(shù)：當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值大于等于10時(shí)，n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)

減去1；

用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值較小的數(shù)：當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值小于1時(shí)，n是一個(gè)負(fù)整數(shù)，它的絕對(duì)值

等于原數(shù)左起第一個(gè)非零數(shù)字前面零的個(gè)數(shù)(含整數(shù)位上的零)。

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溫馨提示：

將含有計(jì)數(shù)（量）單位的數(shù)字用科學(xué)記數(shù)法表示時(shí),應(yīng)先把計(jì)數(shù)單位轉(zhuǎn)化為數(shù)字，

把計(jì)量單位轉(zhuǎn)化為題目要求的單位，再用科學(xué)記數(shù)法來表示。常考的計(jì)數(shù)單位

有：1千=103，1萬=104，1億=108；?？嫉挠?jì)量單位有：1mm=10-3m，1m106m，

1nm109m等。

知識(shí)點(diǎn)4：近似數(shù)

1、定義：一個(gè)與很接近的數(shù)叫做近似數(shù)。

2、精確度：一般由“四舍五入”法取近似數(shù)，“四舍五入”到哪一位,就說這個(gè)近似數(shù)精確到

哪一位。

知識(shí)點(diǎn)5：平方根、算術(shù)平方根與立方根

名稱定義性質(zhì)

一般地,如果一個(gè)數(shù)的

一個(gè)正數(shù)a的平方根有兩個(gè)，它們互

平方等于aa0，那么

平方根為；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平

這個(gè)數(shù)就叫做a的平方方根。

根。

算術(shù)平當(dāng)a0時(shí),是有意義的，一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根是一個(gè)正數(shù)；0的算術(shù)

方根它表示a的算術(shù)平方根.平方根是，即0=。

一般地，如果一個(gè)數(shù)的正數(shù)的立方根是一個(gè)正數(shù)；負(fù)數(shù)的立方根是

立方根立方等于a，那么這個(gè)數(shù)一個(gè)負(fù)數(shù)；0的立方根是0。立方根具有唯一

就叫做a的立方根.性。

易失分點(diǎn)

a的“雙重非負(fù)性”

a具有雙重非負(fù)性:①被開方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù),即a≥0;②a是非負(fù)數(shù),即a≥0。

知識(shí)點(diǎn)6：實(shí)數(shù)的運(yùn)算

1、加、減、乘、除、乘法的運(yùn)算法則

（1）加法法則：

同號(hào)兩數(shù)相加，取與加數(shù)相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；

絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕

對(duì)值，互為相反數(shù)的兩數(shù)相加和為零；

一個(gè)數(shù)與零相加，仍得這個(gè)數(shù)。

（2）減法法則：

減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。

（3）乘法法則：

兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘；

任何數(shù)與0相乘仍得0。

（4）除法法則：

除以一個(gè)不為0的數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

（5）幾種常見的運(yùn)算：

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乘方：anaa…a（n個(gè)a相乘）

零次冪：任何非零數(shù)的零次冪都為1，即a01a0

-1的奇、偶次冪：-1的偶次冪為1，奇次冪為-1。

負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：任何不為零的數(shù)的-p(p為正整數(shù))次冪，等于這個(gè)數(shù)p次冪的倒數(shù)；特別地，一個(gè)

11

不為零的數(shù)的-1次冪是其倒數(shù)。即ap（a0，p為正整數(shù)），a1a0

apa

2、運(yùn)算律：

(1)加法運(yùn)算律

加法交換律:abba；

加法結(jié)合律:abcabc。

(2)乘法運(yùn)算律

乘法交換律:abba；

乘法結(jié)合律:abcabc；

分配律:abcabac。

3、實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算順序

(1)計(jì)算每一小項(xiàng)的值(如零次冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、開方、絕對(duì)值、乘方等)；

(2)根據(jù)原式中的運(yùn)算符號(hào)進(jìn)行實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算(先乘除，后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)內(nèi)的，同級(jí)運(yùn)

算按照從左到右的順序進(jìn)行)；

(3)寫出算式的結(jié)果。

知識(shí)點(diǎn)7：實(shí)數(shù)的大小比較

數(shù)軸法將兩個(gè)數(shù)表示在同一數(shù)軸上，右邊點(diǎn)表示的數(shù)總比左邊點(diǎn)表示的數(shù)大。

正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的

類別法

反而小。

設(shè)，是兩個(gè)任意實(shí)數(shù)，則；；

差值法abab0abab0ab

ab0ab

平方法若ab≥0，則ab(用于二次根式的估值及含有根式的實(shí)數(shù)的大小比較).

a

作商法1?若b>0，則a>b；若b<0，則a<b.

b

估算法對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)a，b，先估算出a，b兩數(shù)的范圍，再進(jìn)行比較.

把要比較的兩個(gè)數(shù)進(jìn)行適當(dāng)放大或縮小，使復(fù)雜的問題得以簡化，來達(dá)到比較

放縮法

兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的目的.

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直擊中考勝券在握

31

1．實(shí)數(shù)tan45°，，0，，，，sin60°，0．3131131113…（相鄰兩個(gè)3之間依次多一個(gè)1），其中

353

無理數(shù)的個(gè)數(shù)是（8）9

A．4B．3C．2D．1

【答案】B

【解析】

試題分析：掌握無理數(shù)的三種形式：①開方開不盡的數(shù)，②無限不循環(huán)小數(shù)，③含有π的數(shù)，結(jié)合題意判斷即

可．根據(jù)無理數(shù)的定義可得無理數(shù)有：﹣π，sin60°，0．3131131113…（相鄰兩個(gè)3之間依次多一個(gè)1），共3

3

個(gè)5

考點(diǎn)：無理數(shù)

2．（2021·山東·膠州市初級(jí)實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模）38的相反數(shù)（）

1

．．2．2．

A2BCD2

【答案】B

【分析】

先計(jì)算出38=2，再求出2的相反數(shù)即可．

【詳解】

解：∵38=2，2的相反數(shù)是-2，

∴38的相反數(shù)是-2，

故選：B．

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了立方根和相反數(shù)，求出38=2是解答此題的關(guān)鍵．

3．（2021·廣東·珠海市文園中學(xué)三模）實(shí)數(shù)-3的絕對(duì)值是（）

1

A．3B．3C．3D．

3

【答案】C

【分析】

直接利用絕對(duì)值的性質(zhì)分析得出答案．

【詳解】

解：實(shí)數(shù)3的絕對(duì)值是3．

故選：C．

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了絕對(duì)值，正確掌握絕對(duì)值的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

4．（2019·山東·寧津縣育新中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）下列說法①﹣5的絕對(duì)值是5；②﹣1的相反數(shù)是1；③0的

1

倒數(shù)是0；④64的立方根是±4，⑤是無理數(shù)，⑥4的算術(shù)平方根是2，其中正確的個(gè)數(shù)為（）

3

A．2B．3C．4D．5

第4頁共62頁.

【答案】B

【分析】

根據(jù)絕對(duì)值、相反數(shù)、倒數(shù)、立方根、無理數(shù)、算術(shù)平方根的概念及性質(zhì)逐一進(jìn)行分析即可得.

【詳解】

①﹣5的絕對(duì)值是5，正確；②﹣1的相反數(shù)是1，正確；③0沒有倒數(shù)，錯(cuò)誤；④64的立方根是4，錯(cuò)誤，

1

⑤不是無理數(shù)，是有理數(shù)，錯(cuò)誤，⑥4的算術(shù)平方根是2，正確，

3

故選B．

【點(diǎn)睛】

本題考查了絕對(duì)值、相反數(shù)、倒數(shù)、立方根、無理數(shù)、算術(shù)平方根等，熟練掌握各相關(guān)概念以及性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

5．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）下列各數(shù)：4，2.8，0，4，其中比3小的數(shù)是（）

A．4B．4C．0D．2.8

【答案】A

【分析】

根據(jù)正數(shù)比負(fù)數(shù)大，正數(shù)比0大，負(fù)數(shù)比0小，兩個(gè)負(fù)數(shù)中，絕對(duì)值大的反而小解答即可．

【詳解】

解：∵∣﹣4∣=4，4＞3＞2.8，

∴﹣4＜﹣3＜﹣2.8＜0＜∣﹣4∣，

∴比﹣3小的數(shù)為﹣4，

故選：A．

【點(diǎn)睛】

本題考查有理數(shù)大小比較，熟知有理數(shù)的比較大小的法則是解答的關(guān)鍵．

27

6．（2020·陜西·一模）﹣的立方根是（）

64

3349

A．﹣B．C．﹣D．

48916

【答案】A

【分析】

如果一個(gè)數(shù)x的立方等于a，那么x是a的立方根，根據(jù)此定義求解即可．

【詳解】

27333333

解：∵，

64444444

327

∴的立方等于

464

273

∴的立方根等于

644

故選A．

第5頁共62頁.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了一個(gè)數(shù)的立方根，解題時(shí)先找出所要求的這個(gè)數(shù)是哪一個(gè)數(shù)的立方，由于開立方和立方是互逆運(yùn)

算，用立方的方法求這個(gè)數(shù)的立方根．需要注意的是立方根與原數(shù)的性質(zhì)符號(hào)相同．

7．（2021·四川涼山·中考真題）81的平方根是（）

A．3B．3C．9D．9

【答案】A

【分析】

先求得81=9，再根據(jù)平方根的定義求出即可．

【詳解】

81=9，

9的平方根是3，

故選A．

【點(diǎn)睛】

本題考查了算術(shù)平方根的定義，求一個(gè)數(shù)的平方根，能熟記算術(shù)平方根的定義的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．

8．（2021·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）實(shí)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示．如果ab0，那么下列結(jié)論

正確的是（）

a

A．a(chǎn)cB．a(chǎn)c0C．a(chǎn)bc0D．1

b

【答案】C

【分析】

根據(jù)a+b=0，確定原點(diǎn)的位置，根據(jù)實(shí)數(shù)與數(shù)軸即可解答．

【詳解】

解：∵a+b=0，

∴原點(diǎn)在a，b的中間，

如圖，

a

由圖可得：|a|＜|c|，a+c＞0，abc＜0，1，

b

故選：C．

【點(diǎn)睛】

本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，解決本題的關(guān)鍵是確定原點(diǎn)的位置．

9．下面不等式正確的是（）

2313

A．B．C．(8)2(7)2D．0.911.1

34611

【答案】B

【分析】

第6頁共62頁.

根據(jù)正數(shù)大于負(fù)數(shù)、兩負(fù)數(shù)相比較，絕對(duì)值越大則值越小，結(jié)合選項(xiàng)即可作出判斷．

【詳解】

2323

解：A、|-|＜|-|，故-＞-，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

3434

1313

B、＜，故|-|＜|-|，故本選項(xiàng)正確；

611611

C、（-8）2=64，（-7）2=49，故（-8）2＞（-7）2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、|-0.91|=0.91，|-1.1|=1.1，0.91＜1.1，故-0.91＞-1.1，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．

故選B．

【點(diǎn)睛】

此題考查了有理數(shù)的大小比較，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是掌握正數(shù)大于負(fù)數(shù)、兩負(fù)數(shù)相比較，絕對(duì)值越大

則值越小，難度一般．

10．（2019·天津?yàn)I海新·中考模擬）若a30，b6，c365則下列關(guān)系正確的為()

A．a(chǎn)bcB．cbaC．bacD．bca

【答案】C

【解析】

【分析】

先估算出30和365的取值范圍，再進(jìn)行比較即可得答案.

【詳解】

∵25<30<36，

∴5<30<6，即5<a<6，

∵b=6，

∴b=6，

∵64<65<125，

∴4<365<5，即4<c<5，

∴b>a>c，

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查無理數(shù)的估算，熟練掌握估算方法是解題關(guān)鍵.

11．（2019·福建南安·中考模擬）已知m2＝4+23，則以下對(duì)|m|的估算正確的（）

A．2＜|m|＜3B．3＜|m|＜4C．4＜|m|＜5D．5＜|m|＜6

【答案】A

【分析】

首先根據(jù)完全平方根式，將m2展開可得m的絕對(duì)值的大小.

【詳解】

：∵m2＝4+23＝（3+1）2，

∴m＝±（3+1），

第7頁共62頁.

∴|m|＝3+1，

∵1＜3＜2，

∴2＜|m|＜3．

故選A．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查學(xué)生的的完全平方展開式的用法，關(guān)鍵在于將實(shí)數(shù)分成兩個(gè)數(shù)的平法和.

12．設(shè)a為最小的正整數(shù)，b是最大的負(fù)整數(shù)，c是絕對(duì)值最小的數(shù)，d是倒數(shù)等于自身的有理數(shù)，則a-b+c-d

的值為（）

A．1B．3C．1或3D．2或-1

【答案】C

【解析】解：由題意得，a1，b1，c0，d1，

當(dāng)d1時(shí)，abcd1（1）011，

當(dāng)d1時(shí)，abcd1（1）0（-1）3，

故選C。

13．（2020濱州中考）冠狀病毒的直徑約為80～120納米，1納米＝1.0109米，若用科學(xué)記數(shù)法表示110納

米，則正確的結(jié)果是（）

A．1.1109米B．1.1108米C．1.1107米D．1.1106米

【答案】C

【分析】

絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10-n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用

的是負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，指數(shù)n由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．

【詳解】

解：110納米=110×10-9米=1.1×10-7米．

故選：C．

【點(diǎn)睛】

本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10-n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的

數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．

14．第七次全國人口普查結(jié)果顯示，我國具有大學(xué)文化程度的人口超218000000人．?dāng)?shù)據(jù)218000000用科學(xué)記

數(shù)法表示為（）

A．218106B．21.8107C．2.18108D．0.218109

【答案】C

【分析】

用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時(shí)，一般形式為a10n，其中1a10，n為整數(shù)，據(jù)此判斷即可．

【詳解】

解：218000000=2.18108，

故選：C．

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【點(diǎn)睛】

此題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為a10n，其中1a10，確定a和n的值是解題關(guān)鍵．

15．（2021·江蘇儀征·八年級(jí)期中）下列說法正確的是（）

A．近似數(shù)4.80精確到十分位

B．近似數(shù)5000萬精確到個(gè)位

C．近似數(shù)4.51萬精確到0.01

D．1.15×104精確到百位

【答案】D

【分析】

一個(gè)近似數(shù)四舍五入到哪一位，那么就說這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位，帶有單位的近似數(shù)與用科學(xué)記數(shù)法表示的近

似數(shù)要由最后一位在原數(shù)中的位置確定，再逐一分析各選項(xiàng)從而可得答案.

【詳解】

解：近似數(shù)4.80精確到百分位，故A不符合題意；

近似數(shù)5000萬精確到萬位，故B不符合題意；

近似數(shù)4.51萬精確到百位，故C不符合題意；

1.15×104精確到百位，正確，故D符合題意；

故選D

【點(diǎn)睛】

本題考查的是近似數(shù)的精確度問題，掌握近似數(shù)的精確度是解本題的關(guān)鍵.

2511

16．（2021·山東膠州·八年級(jí)期中）比較大?。篲__．（用“＞”，“＜”或“＝”填空）

33

【答案】>

【分析】

2511113

先求出113，然后利用作差法得到0，即可得到答案．

333

【詳解】

2

解：∵3291111，

∴113，

2511113

∴0，

333

2511

∴，

33

故答案為：＞．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了實(shí)數(shù)比較大小，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握實(shí)數(shù)比較大小的方法．

17．（2021·浙江·杭州第十四中學(xué)附屬學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）若實(shí)數(shù)a，b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，e是12

的整數(shù)部分，f是5的小數(shù)部分，則代數(shù)式abcdef的值是___．

第9頁共62頁.

【答案】4-

【分析】

根據(jù)互為相反數(shù)、互為倒數(shù)、無理數(shù)的整數(shù)部分、小數(shù)部分的意義求解即可．

【詳解】

解：∵實(shí)數(shù)a、b互為相反數(shù)，

∴a+b=0，

∵c、d互為倒數(shù)，

∴cd=1，

∵3＜12＜4，

∴12的整數(shù)部分為3，e=3，

∵2＜5＜3，

∴5的小數(shù)部分為5-2，即f=5-2，

∴abcdef=0+1-3+5-2=

故答案為：4-5．

【點(diǎn)睛】

本題考查相反數(shù)、倒數(shù)、無理數(shù)的估算，掌握相反數(shù)、倒數(shù)的意義，以及無理數(shù)的整數(shù)部分、小數(shù)部分的表示方

法是解決問題的關(guān)鍵．

18．（2021·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）在如圖所示的數(shù)軸上，點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱，C、A兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別

是5和1，則點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為__．

【答案】25

【分析】

根據(jù)對(duì)稱的意義得到AC＝AB＝51，可得答案．

【詳解】

解：∵點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱，AC＝51，

∴AB＝51，

∴點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是15115125，

故答案為：25．

【點(diǎn)睛】

本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，利用AB＝AC得出點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是解題關(guān)鍵．

19．（2021·四川廣元·中考真題）如圖，實(shí)數(shù)5，15，m在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，點(diǎn)B關(guān)于原

點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為D．若m為整數(shù)，則m的值為________．

第10頁共62頁.

【答案】-3

【分析】

先求出D點(diǎn)表示的數(shù)，再得到m的取值范圍，最后在范圍內(nèi)找整數(shù)解即可．

【詳解】

解：∵點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為D，點(diǎn)B表示的數(shù)為15，

∴點(diǎn)D表示的數(shù)為15，

∵A點(diǎn)表示5，C點(diǎn)位于A、D兩點(diǎn)之間，

∴15m5，

∵m為整數(shù)，

∴m3；

故答案為：3．

【點(diǎn)睛】

本題考查了數(shù)軸上點(diǎn)的特征，涉及到相反數(shù)的性質(zhì)、對(duì)無理數(shù)進(jìn)行估值、確定不等式組的整數(shù)解等問題，解決本

題的關(guān)鍵是牢記相關(guān)概念和性質(zhì)，本題蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的思想方法．

20．（2021·江蘇溧陽·七年級(jí)期中）數(shù)軸上有兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b，且a>0，b＜0，a+b＜0，則四個(gè)數(shù)a，b，-a，-b的大

小關(guān)系為____（用“＜”號(hào)連接）．

【答案】baab

【分析】

根據(jù)a與b的關(guān)系，在數(shù)軸上表示它們的位置，然后根據(jù)在數(shù)軸上右邊的數(shù)比左邊的數(shù)大解答即可.

【詳解】

∵a>0，b＜0，a+b＜0，

∴四個(gè)數(shù)a，b，-a，-b在數(shù)軸上的分布為：

∴b<-a<a<-b.

故答案為b<-a<a<-b.

【點(diǎn)睛】

本題考查了相反數(shù)在數(shù)軸上的分布特點(diǎn)，實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，以及利用數(shù)軸比較實(shí)數(shù)的大小，根據(jù)a與b的關(guān)系，

在數(shù)軸上表示它們的位置是解答本題的關(guān)鍵.

21．（2021·麗水中考）計(jì)算：|2021|(3)04．

【答案】2020

【分析】

第11頁共62頁.

先計(jì)算絕對(duì)值、零指數(shù)冪和算術(shù)平方根，最后計(jì)算加減即可；

【詳解】

解：|2021|(3)04

202112，

2020．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算順序及相關(guān)運(yùn)算法則．

2021

22．（2021·金華）計(jì)算：1+84sin45+2．

【答案】1

【分析】

利用乘方的意義,二次根式的化簡,特殊角的函數(shù)值,絕對(duì)值的化簡,化簡后合并計(jì)算即可

【詳解】

2

解：原式12242

2

122222

1．

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次根式的化簡,特殊角的三角函數(shù)值,絕對(duì)值的化簡等知識(shí)，熟練運(yùn)用各自的運(yùn)算法則化簡是解題的

關(guān)鍵．

2

01

23．（2021·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：|12|2sin45(3.14)．

2

【答案】4

【分析】

根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，零次冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪進(jìn)行運(yùn)算即可．

【詳解】

2

01

|12|2sin45(3.14)

2

2

21214

2

21214

4

【點(diǎn)睛】

本題考查了絕對(duì)值的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，零次冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟知以上運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．

11

24．（2019·四川達(dá)州·中考真題）a是不為1的有理數(shù)，我們把稱為a的差倒數(shù)，如2的差倒數(shù)為1，

1a12

11

1的差倒數(shù)，已知a5，a是a的差倒數(shù)，a是a的差倒數(shù)，a是a的差倒數(shù)…，依此類推，a的

1(1)212132432019

值是（）

第12頁共62頁.

144

A．5B．C．D．

435

【答案】D

【分析】

根據(jù)差倒數(shù)的定義分別求出前幾個(gè)數(shù)便不難發(fā)現(xiàn)，每3個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，用2019除以3，根據(jù)余數(shù)

的情況確定出與a2019相同的數(shù)即可得解．

【詳解】

＝

解：a15，

111

a2，

1a1154

114

a

31a15，

21

4

11

a5

41a4，

31

5

…

14

∴數(shù)列以5,,三個(gè)數(shù)依次不斷循環(huán)，

45

20193673，

4

aa

201955

故選D．

【點(diǎn)睛】

本題是對(duì)數(shù)字變化規(guī)律的考查，理解差倒數(shù)的定義并求出每3個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵．

25．觀察下列等式：

211

第一個(gè)等式：a；

113222221221

211

第二個(gè)等式：a；

213222(22)2221231

211

第三個(gè)等式：a；

313232(23)2231241

211

第四個(gè)等式：a；

413242(24)2241251

按上述規(guī)律，回答下列問題：

（1）請(qǐng)寫出第六個(gè)等式：a6==；

（2）用含n的代數(shù)式表示第n個(gè)等式：an==；

（3）a1+a2+a3+a4+a5+a6=（得出最簡結(jié)果）；

（4）計(jì)算：a1+a2+…+an．

第13頁共62頁.

26112n11142n12

【答案】（1），；（2），；（3）；（4）．

13262(26)2261271132n2(2n)22n12n11433(2n11)

【詳解】

試題分析：（1）根據(jù)已知4個(gè)等式可得；

（2）根據(jù)已知等式得出答案；

（3）利用所得等式的規(guī)律列出算式，然后兩兩相消，計(jì)算化簡后的算式即可得；

（4）根據(jù)已知等式規(guī)律，列項(xiàng)相消求解可得．

6

211

試題解析：（1）由題意知，a6=2=，

1326226261271

6

211

故答案為2，；

1326226261271

n

211

（2）an=2=，

132n22n2n12n11

n

211

故答案為2，；

132n22n2n12n11

1111111114

（3）原式=...==，

212212212312612712127143

14

故答案為；

43

n1

1111111122

（4）原式=...==．

212212212312n12n11212n1132n11

模塊一數(shù)與式

第二講整式與因式分解

知識(shí)梳理夯實(shí)基礎(chǔ)

知識(shí)點(diǎn)1：整式的相關(guān)概念

1、單項(xiàng)式：

用數(shù)字或字母的表示的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式。單獨(dú)一個(gè)數(shù)字或字母也是單項(xiàng)式。

(1)單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的。

(2)一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母指數(shù)的叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。

2、多項(xiàng)式：

幾個(gè)單項(xiàng)式的叫做多項(xiàng)式。其中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，不含字母的項(xiàng)叫

做。

一個(gè)多項(xiàng)式含有幾項(xiàng)，這個(gè)多項(xiàng)式就是幾項(xiàng)式，多項(xiàng)式中次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，就是這個(gè)多項(xiàng)

式的次數(shù)。

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式。

知識(shí)點(diǎn)2：整式的運(yùn)算

1.加減運(yùn)算

(1)整式加減運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是、合并同類項(xiàng)。

第14頁共62頁.

(2)同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)，所有的常數(shù)項(xiàng)都是同

類項(xiàng)。

合并同類項(xiàng)的法則:同類項(xiàng)的系數(shù)相加，字母和字母的不變。

去括號(hào)法則:

如果括號(hào)前面是“+”，去括號(hào)時(shí)括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)都不改變符號(hào)；

如果括號(hào)前面是“-”，去括號(hào)時(shí)括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)都改變符號(hào)。

添括號(hào)法則:

所添括號(hào)前面是“+”,括到括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)都不改變符號(hào)；

所添括號(hào)前面是“-”，括到括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)都改變符號(hào)。

2、重要公式：常用變形：

2

2222

完全平方公式：abab2aba2b2a+b2aba2+b2ab+2ab

22

平方差公式：2222

abababa+b=ab+4abab=ab4ab

3、冪的運(yùn)算

性質(zhì)1、同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。amanamn（m，n為正整數(shù)）

nm

性質(zhì)2、冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。amamnan（m，n為正整數(shù)）

n

性質(zhì)3、積的乘方等于各因式乘方的積。abanbn（m，n為正整數(shù)）

性質(zhì)4、同底數(shù)冪相除,底數(shù)不變,指數(shù)相減。amanamn（a0，mn）

4、乘法運(yùn)算

單項(xiàng)式與單項(xiàng)單項(xiàng)式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，作為積的因式；對(duì)于只在一個(gè)

式的乘法法則單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)。

單項(xiàng)式與多項(xiàng)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用單項(xiàng)式分別去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積

式的乘法法則相加，如m(a+b+c)=。

多項(xiàng)式與多項(xiàng)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的

式的乘法法則每一項(xiàng)，再把所得的積，如(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.

知識(shí)點(diǎn)3：代數(shù)式及其求值

用加、減、乘、除及乘方等運(yùn)算符號(hào)把連接而成的式子，叫做代數(shù)式。

代數(shù)式求值：

①直接代入法：把已知字母的值代入代數(shù)式，并按原來的運(yùn)算順序計(jì)算求值。

②化簡后求值：先對(duì)所求代數(shù)式進(jìn)行去括號(hào)、合并同類項(xiàng)等化簡，在把已知字母的值帶入化簡后的

代數(shù)式計(jì)算求值。

③整體代入法：先觀察已知條件和所求代數(shù)式的關(guān)系，再將所求代數(shù)式變形(一般會(huì)用到提公因式、

平方差公式、完全平方公式)，最后把已知代數(shù)式看成一個(gè)整體代入變形后的代數(shù)式中求值。

知識(shí)點(diǎn)4：因式分解

1、定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的的形式，叫做因式分解。

2、方法

(1)提公因式法

(2)公式法

第15頁共62頁.

3.因式分解的步驟（注意：因式分解一定要分解到底）

(1)多項(xiàng)式為兩項(xiàng)或三項(xiàng)時(shí)，步驟如下:

十字相乘法：

頭尾分解，交叉相

乘，求和湊中，觀

察實(shí)驗(yàn)。

(2)多項(xiàng)式為四項(xiàng)及以上時(shí)，通常需先分組，分組后再利用提公因式法或公式法進(jìn)行分解。

直擊中考勝券在握

ab2c3

1．單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)分別是（）

3

1

A．-1和5B．和6C．-和5D．-和6

333

【答案】D

【分析】

由題意直接根據(jù)單項(xiàng)式的系數(shù)（數(shù)字因數(shù)）和次數(shù)（所有字母的指數(shù)的和）進(jìn)行分析即可．

【詳解】

ab2c3

解：單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)分別是-和6.

33

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查單項(xiàng)式的系數(shù)、次數(shù)，熟練掌握單項(xiàng)式的系數(shù)、次數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．

2．（2021·黑龍江·哈爾濱市第十七中學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）下列運(yùn)算正確的是（）

A．a(chǎn)-3?a2＝a5B．（x3）3＝x6

C．x5+x5＝x10D．（﹣a2b）5＝﹣a10b5

【答案】D

【分析】

根據(jù)同底數(shù)冪相乘，冪的乘方，合并同類項(xiàng)，積的乘方運(yùn)算法則逐項(xiàng)計(jì)算，即可求解．

【詳解】

1

解：A、a3a2a1，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

a

3

B、x3x9，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C、x5x52x5，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

5

D、a2ba10b5，故本選項(xiàng)正確，符合題意；

故選：D

【點(diǎn)睛】

第16頁共62頁.

本題主要考查了同底數(shù)冪相乘，冪的乘方，合并同類項(xiàng)，積的乘方運(yùn)算，熟練掌握同底數(shù)冪相乘，冪的乘方，合

并同類項(xiàng)，積的乘方運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．

1

3．（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算(mn3)2n2的結(jié)果是（）

2

111

A．4m2n6B．﹣m2n4C．m2n4D．﹣m5n4

444

【答案】C

【分析】

直接利用整式的除法運(yùn)算法則以及積的乘方運(yùn)算法則分別化簡得出答案．

【詳解】

1

解：原式＝m2n6÷n2

4

1

＝m2n4．

4

故選：C．

【點(diǎn)睛】

此題主要考查整式的乘除，解題的關(guān)鍵是熟知其運(yùn)算法則．

4．（2021·山東泰安·中考真題）下列運(yùn)算正確的是（）

3

A．2x23x35x5B．2x6x3

2

C．xyx2y2D．3x223x49x2

【答案】D

【分析】

分別根據(jù)合并同類項(xiàng)法則、積的乘方運(yùn)算法則、完全平方公式、平方差公式進(jìn)行判斷即可．

【詳解】

解：A、x2和x3不是同類項(xiàng)，不能合并，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

3

B、2x8x3，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

2

C、xyx22xyy2，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、3x223x(23x)(23x)49x2，此選項(xiàng)正確，

故選：D．

【點(diǎn)睛】

本題考查了同類項(xiàng)、積的乘方、完全平方公式、平方差公式，熟記公式，掌握運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵．

5．（2021·黑龍江·哈爾濱市蕭紅中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）下列運(yùn)算中，正確的是（）

343

A．a(chǎn)3a2a6B．a(chǎn)2a5a10C．2a316a12D．a(chǎn)b2a3b6

【答案】D

【分析】

分別計(jì)算出各項(xiàng)的結(jié)果，再進(jìn)行判斷即可．

【詳解】

第17頁共62頁.

A.、a3a2a5，故原選項(xiàng)錯(cuò)誤；

3

B、a2a5a11，故原選項(xiàng)錯(cuò)誤；

4

C、2a316a12，故原選項(xiàng)錯(cuò)誤；

3

D、ab2a3b6計(jì)算正確．

故選D．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方以及積的乘方，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．

6．（甘肅省天水市秦安縣古城農(nóng)業(yè)中學(xué)2019-2020學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如圖，將圖1中陰影部分無

重疊、無縫隙地拼成圖2，根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積關(guān)系得到的等式是()

A．a(chǎn)2－b2＝(a＋b)(a－b)B．a(chǎn)2＋2ab＋b2＝(a＋b)2

C．a(chǎn)2－2ab＋b2＝(a－b)2D．(a＋b)2－(a－b)2＝4ab

【答案】C

【分析】

分別表示出兩圖中陰影部分的面積，根據(jù)面積相等，即可解答．

【詳解】

解：圖1中陰影部分的面積為：a2-2ab+b2，圖2中陰影部分的面積為：（a-b）2，

所以a2-2ab+b2=（a-b）2，

故選C．

【點(diǎn)睛】

本題考查了完全平方公式與幾何圖形面積的關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是分別計(jì)算出兩圖中陰影部分的面積．

7．（2021·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方體的每條棱上放置相同數(shù)目的小球，設(shè)每條棱上的小球數(shù)為m，下

列代數(shù)式表示正方體上小球總數(shù)，則表達(dá)錯(cuò)誤的是（）

A．12(m1)B．4m8(m2)C．12(m2)8D．12m16

【答案】A

第18頁共62頁.

【分析】

先根據(jù)規(guī)律求出小球的總個(gè)數(shù),再將選項(xiàng)逐項(xiàng)化簡求值即可解題.

【詳解】

解:由題可知求小球的總數(shù)的方法會(huì)按照不同的計(jì)數(shù)方法而規(guī)律不同,比如可以按照一共有12條棱,去掉首尾銜接

處的小球,則每條棱上剩下12(m-2)個(gè)小球,加上銜接處的8個(gè)小球,則小球的個(gè)數(shù)為12(m2)812m16,

選項(xiàng)B中4m8(m2)12m16,故B,C,D均正確,

故本題選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圖形的規(guī)律,合并同類項(xiàng),需要學(xué)生具有較強(qiáng)的邏輯抽象能力,能夠不重不漏的表示出小球的總數(shù)是解

題關(guān)鍵.

8．（2021·山西襄汾·八年級(jí)期中）若2021m5，2021n8，則20212mn（）

258

A．B．2C．3D．

825

【答案】A

【分析】

運(yùn)用同底數(shù)冪的除法以及冪的乘方逆運(yùn)算計(jì)算即可．

【詳解】

解：2021m5，2021n8，

25

20212mn20212m2021n(2021m)22021n528．

8

故選：A．

【點(diǎn)睛】

本題考查了同底數(shù)冪的除法以及冪的乘方的逆運(yùn)算，熟記兩個(gè)運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．

9．（2021·山東惠民·八年級(jí)階段練習(xí)）下列計(jì)算中錯(cuò)誤的是（）

A．(ab)(ba)a2b2B．(ab)(ab)a2b2

C．(ab)(ba)a22abb2D．(ab)2(ab)24ab

【答案】B

【分析】

根據(jù)平方差公式和完全平方公式判斷即可；

【詳解】

(ab)(ba)a2b2，故A正確；

(ab)(ab)ababa2b22ab，故B錯(cuò)誤；

(ab)(ba)a22abb2，故C正確；

(ab)2a22abb24ab(ab)24ab，故D正確；

故選B．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平方差公式和完全平方公式的應(yīng)用，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵．

第19頁共62頁.

1

10．（2021·上海松江·七年級(jí)期中）已知xy2，xy，那么x3y3x2y2xy3的值為（）

2

1313

A．3B．6C．D．

24

【答案】D

【分析】

根據(jù)完全平方公式求出x2y25，再把原式因式分解后可代入求值．

【詳解】

1

解：因?yàn)閤y2，xy，

2

2

所以xy4，

x2y242xy5

所以x3y3x2y2xy3

xyx23xyy2

11

53

22

13

4

故選：D

【點(diǎn)睛】

考核知識(shí)點(diǎn)：因式分解的應(yīng)用．靈活應(yīng)用完全平方公式進(jìn)行變形是解題的關(guān)鍵．

2

11．如果m2m5，那么代數(shù)式mm2m2的值為（）

A．-6B．-1C．9D．14

【答案】D

【分析】

先利用整式的乘法與加減法、完全平方公式化簡所求代數(shù)式，再將已知等式作為整體代入即可得．

【詳解】

2

解：mm2m2，

m22mm24m4，

2m22m4，

由m2m5得：2m22m10，

則原式10414，

故選：D．

【點(diǎn)睛】

本題考查了整式的乘法與加減法、完全平方公式、代數(shù)式求值，熟練掌握整式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．

12．（2021·遼寧鐵西·八年級(jí)期中）若c2﹣a2﹣2ab﹣b2＝10，a+b+c＝﹣5，則a+b﹣c的值是（）

A．2B．5C．20D．9

第20頁共62頁.

【答案】A

【分析】

對(duì)式子進(jìn)行因式分解，求解即可．

【詳解】

解：c2a22abb210，

c2(ab)210

(c