北京市仁和中學2023-2024學年七年級下學期期中考試數(shù)學試卷（含答案）

北京市仁和中學2023-2024學年七年級下學期期中考試數(shù)學一、選擇題（每題2分，共20分）1.不等式的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A. B.C. D.2.下列命題中，假命題是（）A.同角的補角相等B.同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直C.如果，，那么D.兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補3.下列各組數(shù)值中，哪個是方程的解（）A. B. C. D.4.如圖，，射線在內(nèi)部，下列說法一定成立的是（）A.和互余 B.和互補C.和互為對頂角 D.和相等5.如圖，下列條件中，能判斷的是（）A. B. C. D.6.如圖，由，可以得到（）A. B. C. D.7.將一個長方形的長減少，寬變成現(xiàn)在的2倍，就成為了一個正方形，設這個長方形的長為，寬為，則下列方程中正確的是（）A. B. C. D.8.實數(shù)，對應的位置如圖所示，下列式子正確的是（）A. B. C. D.9.如圖為小麗和小歐依次進入電梯時，電梯因超重而警示音響起的過程，且過程中沒有其他人進出．已知當電梯乘載的重量超過400千克時警示音響起，且小麗、小歐的重量分別為50千克、70千克．若小麗進入電梯前，電梯內(nèi)已乘載的重量為千克，則的取值范圍是（）A. B. C. D.10.已知關(guān)于的不等式組有以下說法：①當時，則不等式組的解集是；②若不等式組的解集是，則；③若不等式組無解，則；④若不等式組的整數(shù)解只有，0，1，2，則．其中正確的說法有（）A.①③ B.②④ C.①②③ D.①②③④二、填空題（每題2分，共20分）11.用不等式表示“的3倍與7的差小于11”為______．12.已知方程的三個解為方程的三個解為則方程組的解為______．13.如圖，利用工具測量角，則的大小為______．14.如圖，將含有的直角三角板的兩個頂點分別放在直尺的一組對邊上，如果，那么______°．15.下列命題中，①對頂角相等；②內(nèi)錯角相等；③平行于同一條直線的兩條直線平行；④若，則.是真命題的是______．16.如果關(guān)于的不等式的解集為，則的值是___________．17.在一本書上寫著方程組的解是，其中的值被墨漬蓋住了，但我們可解得的值為___________．18.如圖，一條公路兩次轉(zhuǎn)彎后，和原來的方向相同，如果第一次的拐角是，則第二次的拐角是__．

19.如圖，四邊形紙片，．折疊紙片，使點D落在AB上的點處，點C落在點處，折痕為．若，則______．20.某快遞公司的快遞件分為甲類件和乙類件，快遞員送甲類件每件收入1元，送乙類件每件收入2元．累計工作1小時，只送甲類件，最多可送30件，只送乙類件，最多可送10件；累計工作2小時，只送甲類件，最多可送55件，只送乙類件，最多可送20件；…，經(jīng)整理形成統(tǒng)計表如表：累計工作時長最多件數(shù)（時）種類（件）12345678甲類件305580100115125135145乙類件1020304050607080（1）如果快遞員一天工作8小時，且只送某一類件，那么他一天的最大收入為_____元；（2）如果快遞員一天累計送x小時甲類件，y小時乙類件，且x+y＝8，x，y均為正整數(shù)，那么他一天的最大收入為_____元．三、解答題（共60分，第21-24題，每題3分，第25題5分，第26-27題，每題4分，第28題6分，第29-31題，每題5分，第32-33題7分）21.解方程組22.解方程組：23.解不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來．24.解不等式組：并求出它的整數(shù)解．25.完成下列計算，并在括號內(nèi)填寫推理依據(jù)．如圖，，直線分別交、于點E和點F，過點E作交直線于點G．若，計算的度數(shù)．解：∵，∴（）．∵，∴（）．∴．26.如圖，在三角形中，平分，求的度數(shù)．27.如圖，點B、C在線段異側(cè)，E、F分別是線段、上的點，和分別交于點G和點H．已知，，．求證：．28.圍棋，起源于中國，古代稱為“弈”，是棋類鼻祖，距今已有4000多年的歷史．某商家銷售A、B兩種材質(zhì)的圍棋，每套進價分別為200元、170元，下表是近兩個月的銷售情況：銷售時段銷售數(shù)量銷售收入A種材質(zhì)B種材質(zhì)第一個月3套5套1800元第二個月4套10套3100元（1）求A、B兩種材質(zhì)的圍棋每套的售價．（2）若商家準備用不多于5400元的金額再采購A、B兩種材質(zhì)的圍棋共30套，求A種材質(zhì)的圍棋最多能采購多少套？（3）在（2）的條件下，商店銷售完這30套圍棋能否實現(xiàn)利潤為1300元的目標？請說明理由．29.已知：如圖，點D在線段上，過點D作交線段于點E，連接，過點D作于點F，過點F作交線段于點G．（1）依題意補全圖形；（2）用等式表示與的數(shù)量關(guān)系，并證明．30.解答題：解方程組時，由于，的系數(shù)及常數(shù)項的數(shù)值較大，如果用常規(guī)的代入消元法、加減消元法來解，不僅計算量大，而且易出現(xiàn)運算錯誤，而采用下面的解法則比較簡單：①②得，所以③，③①得，解得，從而，所以原方程組的解是．請你運用上述方法解方程組：．31.先閱讀絕對值不等式和的解法，再解答問題：①因為，從數(shù)軸上（如圖1）可以看出只有大于而小于6的數(shù)的絕對值小于6，所以的解集為．②因為，從數(shù)軸上（如圖2）可以看出只有小于的數(shù)和大于6的數(shù)的絕對值大于6，所以的解集為或．（1）的解集為_________，的解集為_________；（2）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足，其中m是負整數(shù)，求m的值．32.已知：如圖，直線，點A、B在直線a上（點A在點B左側(cè)），點C、D在直線b上（點C在點D左側(cè)），和相交于點E．（1）求證：；（2）分別作和的角平分線相交于點F．①結(jié)合題意，補全圖形；②用等式表示和的數(shù)量關(guān)系，并證明．33.給出如下定義：如果一個未知數(shù)的值使得方程和不等式（組）同時成立，那么這個未知數(shù)的值稱為該方程與不等式（組）的“關(guān)聯(lián)解”．例如：已知方程和不等式，對于未知數(shù)，當時，使得，同時成立，則稱是方程與不等式的“關(guān)聯(lián)解”．（1）判斷是否是方程與不等式的“關(guān)聯(lián)解”_____（填是或否）；判斷是方程與不等式（組）①，②，③中_______的“關(guān)聯(lián)解”；（只填序號）（2）如果是關(guān)于的方程與關(guān)于的不等式組的“關(guān)聯(lián)解”，那么____，的取值范圍是_______；（3）如果是關(guān)于的方程與關(guān)于的不等式組的“關(guān)聯(lián)解”，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題（每題2分，共20分）1.【答案】A【詳解】不等式的解集為，在數(shù)軸上表示如下：故選A.【點睛】本題考查了在數(shù)軸上表示一元一次不等式的解集，不等式的解集在數(shù)軸上表示的方法：＞，≥向右畫；＜，≤向左畫，在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示.2.【答案】D【分析】利用同角的補角的性質(zhì)、垂直的定義、平行線的性質(zhì)等知識分別判斷后即可．【詳解】解：A、同角的補角相等，是真命題，故本選項不符合題意；B、同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，是真命題，故本選項不符合題意；C、如果，，那么，是真命題，故本選項不符合題意；D、兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補，故原命題是假命題，故本選項符合題意；故選：D．【點睛】考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解同角的補角的性質(zhì)、垂直的定義、平行線的性質(zhì)等知識，難度不大．3.【答案】B【分析】將四個選項分別代入原方程，能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是方程的解．【詳解】解：將代入原方程，左邊右邊，選項不符合題意；將代入原方程，左邊右邊，選項符合題意；將代入原方程，左邊右邊，選項不符合題意；將代入原方程，左邊右邊，選項不符合題意．故選：．【點睛】本題主要考查了二元一次方程的解．正確利用二元一次方程的解的意義是解題的關(guān)鍵．4.【答案】A【分析】本題考查了角的互余概念、對頂角的定義，準確理解角的互余概念，對頂角的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，又∵射線在內(nèi)部，∴，∴和互余，故選A5.【答案】A【分析】由平行線的判定方法，即可判斷．【詳解】解：A.，由內(nèi)錯角相等，兩直線平行，能判斷，故A符合題意；B.不是被截成的內(nèi)錯角，不能判斷，故B不符合題意；C.不是被截成的內(nèi)錯角，不能判斷，故C不符合題意；D.不是被截成的同旁內(nèi)角，不能判斷，故D不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查平行線的判定，熟練掌握：①內(nèi)錯角相等，兩直線平行；②同位角相等，兩直線平行；③同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，是解題的關(guān)鍵．6.【答案】D【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論，此題考查了平行線的性質(zhì)，熟知“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，故選：D．7.【答案】C【分析】根據(jù)長方形的長減少寬變成現(xiàn)在的2倍，列出方程即可．【詳解】解：設這個長方形的長為，寬為，根據(jù)題意得：，故C正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了列二元一次方程，解題的關(guān)鍵是找出題目中的等量關(guān)系．8.【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)軸得出a和b的范圍，進而得出，，根據(jù)有理數(shù)運算法則逐一判斷即可．【詳解】解：由數(shù)軸可得：，，∴，，∴，，，，故A、B、C錯誤，D正確，故選：D．【點睛】本題考查了利用數(shù)軸判斷式子的正負，有理數(shù)運算和符號之間的關(guān)系，乘、除法注意：同號得正，異號得負．9.【答案】A【分析】由圖可得，小麗的重量為50千克，且進入電梯后，警示音沒有響起，小歐的重量分別為70千克．且進入電梯后，警示音響起，分別列出不等式即可求解．【詳解】由題意可知：當電梯乘載的重量超過400千克時警示音響起，小麗進入電梯前，電梯內(nèi)已乘載的重量為x千克，由圖可知：小麗的重量為50千克，且進入電梯后，警示音沒有響起，所以此時電梯乘載的重量，解得因為小歐的重量為70千克．且進入電梯后，警示音響起，所以此時電梯乘載的重量，解得因此的取值范圍是故選：A【點睛】本題考查了一元一次不等式組的應用，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到不等關(guān)系．10.【答案】C【分析】先求出各不等式的解集，再根據(jù)各小題的結(jié)論解答即可．【詳解】解：關(guān)于的不等式組，①當時，則不等式組的解集是，故本小題正確，符合題意；②若不等式組的解集是，則，故本小題正確，符合題意；③若不等式組無解，則，故本小題正確，符合題意；④若不等式組的整數(shù)解只有，0，1，2，則，故本小題錯誤，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查的是由不等式組的解集情況求參數(shù)，熟知解一元一次不等式組的基本步驟是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每題2分，共20分）11.【答案】【分析】首先表示“的3倍”為，再表示“與7的差”為，最后再表示“小于11”為．【詳解】解：∵“的3倍”為，再表示“與7的差”為，∴用不等式表示“的3倍與7的差小于11”為：，故答案為：．【點睛】本題考查由實際問題抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等關(guān)系時，要抓住題目中的關(guān)鍵詞，如“大于（小于）、不超過（不低于）、是正數(shù)（負數(shù)）”、“至少”、“最多”等等，正確選擇不等號．12.【答案】【分析】根據(jù)方程組的解的定義，能夠同時滿足方程組中的兩個方程的解是方程組的解觀察得出兩個方程的解中相同的解為方程組的解．【詳解】解：根據(jù)方程組的解的定義，能夠同時滿足方程組中的兩個方程的解是方程組的解，可知是這兩個方程中所有的解中能同時滿足兩個方程的解，∴方程組的解為，故答案為：．【點睛】此題主要是考查了方程組的解的定義，能夠熟練掌握同時滿足方程組中的兩個方程的解是方程組的解是解答此題的關(guān)鍵．13.【答案】【分析】根據(jù)對頂角的性質(zhì)解答即可.【詳解】解：量角器測量的度數(shù)為，根據(jù)對頂角相等的性質(zhì)，可得，故答案為：.【點睛】本題考查量角器的使用和對頂角的性質(zhì)，掌握對頂角相等是解題的關(guān)鍵.14.【答案】40【分析】首先根據(jù)題意求出，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖，∵∴∵∴．故答案為：40．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題時注意：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．15.【答案】①③【分析】根據(jù)對頂角的性質(zhì)判斷①；根據(jù)平行線的性質(zhì)判斷②；根據(jù)平行公理的推論判斷③；根據(jù)平方根定義判斷④．【詳解】解：①對頂角相等，是真命題；②內(nèi)錯角不一定相等，是假命題；③平行于同一條直線的兩條直線互相平行，是真命題；④若，則a不一定大于b，是假命題；故答案為：①③．【點睛】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．16.【答案】1【分析】解不等式得，結(jié)合關(guān)于的不等式的解集為，得出，解之可得答案．【詳解】解：∵，∴，則，∵關(guān)于的不等式的解集為，∴，解得，故答案為：1．【點睛】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴格遵循解不等式的基本步驟是關(guān)鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個負數(shù)不等號方向要改變．17.【答案】【分析】根據(jù)，代入中，解得；把，代入中，即可求出的值．【詳解】解：∵方程組的解是，∴代入中，解得，把，代入，得解得．故答案為：．【點睛】本題考查二元一次方程組的知識，解題的關(guān)鍵是代入中，求出．18.【答案】135【分析】兩直線平行，內(nèi)錯角相等，可知，進而得出結(jié)果．【詳解】解：道路是平行的（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）故答案為：135．【點睛】此題考查平行線的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于實際問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，利用平行線的性質(zhì)求解．19.【答案】24【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，然后利用平角的定義求解即可．【詳解】∵，∴，∵，∴，∵折疊紙片，使點D落在上的點處，∴，∴，故答案為：24．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平角的定義等知識點，熟練掌握其性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．20.【答案】①.160②.180【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)得出答案即可；（2）根據(jù)x+y＝8，x，y均為正整數(shù)，把所有收入可能都計算出，即可得出最大收入．【詳解】解：(1)由統(tǒng)計表可知:如果該快遞員一天工作8小時只送甲類件，則他的收入是1×145=145(元)如果該快遞員一天工作8小時只送乙類件，則他的收入是2×80=160(元)∴他一天的最大收入是160元;(2)依題意可知：x和y均正整數(shù)，且x+y=8①當x=1時，則y=7∴該快遞員一天的收入是1×30+2×70=30+140=170(元)；②當x=2時，則y=6∴該快遞員-天的收入是1×55+2×60=55+120=175(元)；③當x=3時，則y=5∴該快遞員一天的收入是1×80+2×50=80+100=180(元)；④當x=4時，則y=4∴該快遞員一天的收入是1×100+2×40=100+80=180(元)；⑤當x=5時，則y=3∴該快遞員一天的收入是1×115+2×30=115十60=175(元)；⑥當x=6時，則y=2∴該快遞員一天的收入是1×125+2×20=125+40=165(元)；⑦當x=7時，則y=1∴該快遞員一天的收入是1×135+2×10=135+20=155(元)綜上討論可知：他一天的最大收入為180元.故填：160；180.【點睛】本題主要考查二元一次方程的應用，在給定的“x+y＝8，x，y均為正整數(shù)”的條件下，分情況討論出最大收入即可.三、解答題（共60分，第21-24題，每題3分，第25題5分，第26-27題，每題4分，第28題6分，第29-31題，每題5分，第32-33題7分）21.【答案】【分析】利用加減消元法求解可得；【詳解】解：，得∴把代入①，得∴所以，原方程組的解為【點睛】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，解決本題的關(guān)鍵是要掌握消元的方法，即代入消元法與加減消元法．22.【答案】【分析】方程組整理后，方程組利用加減消元法求解即可．【詳解】整理得，得，解得，將代入①得：解得：∴方程組的解為：．【點睛】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，解題的關(guān)鍵是利用代入消元法或加減消元法消去一個未知數(shù)．23.【答案】，圖見解析【分析】先去括號，再移項、合并同類項、最后系數(shù)化為1即可，再在數(shù)軸上把解集表示出來．【詳解】解：去括號得，，去括號得，，合并同類項得，，系數(shù)化為1得，，解集在數(shù)軸上表示為：【點睛】本題考查了解一元一次不等式以及在數(shù)軸上表示不等式的解集，是基礎知識要熟練掌握．24.【答案】，整數(shù)解為3或4【分析】本題考查了解一元一次不等式組，不等式組的整數(shù)解．熟練掌握解一元一次不等式組，不等式組的整數(shù)解是解題的關(guān)鍵．先分別求出兩個不等式的解集，進而可得不等式組的解集，最后求整數(shù)解即可．【詳解】解：，，，解得，；，，，，解得，，∴不等式組的解集為，整數(shù)解為3或4．25.【答案】；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；垂直定義；；；【分析】由平行線的性質(zhì)得，由垂直的定義得，進而可求的度數(shù)．【詳解】解：∵，∴（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．∵，∴（垂直定義）．∴．故答案為：；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；垂直定義；；．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，垂直的定義，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．26.【答案】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，則，最后根據(jù)三角形的一個外角定于與它不相鄰兩個內(nèi)角之和，即可解答．【詳解】解：∵，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的外角定理，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，內(nèi)錯角相等；三角形的一個外角定于與它不相鄰兩個內(nèi)角之和．27.【答案】見解析【分析】先證明出，從而得到，得到，再根據(jù)條件，得出，再根據(jù)平行線的判定求解即可．【詳解】證明：證明：∵，，又∵∴，∴∴∵∴∴．【點睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．28.【答案】（1）A種材質(zhì)的圍棋每套的售價為250元，B種材質(zhì)的圍棋每套的售價為210元；（2）A種材質(zhì)的圍棋最多能采購10套；（3）商店銷售完這30套圍棋能實現(xiàn)利潤為1300元的目標；理由見解析．【分析】（1）設A種材質(zhì)的圍棋每套的售價為x元，B種材質(zhì)的圍棋每套的售價為y元，根據(jù)表格中的銷量和收入列方程組求解即可；（2）設A種材質(zhì)的圍棋采購a套，則B種材質(zhì)的圍棋采購套，根據(jù)“用不多于5400元的金額再采購A、B兩種材質(zhì)的圍棋共30套”列不等式求解即可；（3）設銷售利潤為w，根據(jù)題意列出一次函數(shù)解析式，然后利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解．【小問1詳解】解：設A種材質(zhì)的圍棋每套的售價為x元，B種材質(zhì)的圍棋每套的售價為y元，由題意得：，解得：，答：A種材質(zhì)的圍棋每套的售價為250元，B種材質(zhì)的圍棋每套的售價為210元；【小問2詳解】解：設A種材質(zhì)的圍棋采購a套，則B種材質(zhì)的圍棋采購套，由題意得：，解得：，所以a的最大值為10，答：A種材質(zhì)的圍棋最多能采購10套；【小問3詳解】解：商店銷售完這30套圍棋能實現(xiàn)利潤為1300元的目標；理由：設銷售利潤為w，由題意得：，∵，∴w隨a的增大而增大，∵a的最大值為10，∴當時，w取最大值1300，即商店銷售完這30套圍棋能實現(xiàn)利潤為1300元的目標．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式的應用以及一次函數(shù)的應用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系和不等關(guān)系，列出方程組、不等式以及一次函數(shù)解析式．29.【答案】（1）見解析；（2），證明見解析．【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，等量代換得出，根據(jù)，可知，進而可得出結(jié)論．【小問1詳解】解：圖形如下：【小問2詳解】解：，證明：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．30.【答案】【分析】仿照例子，利用加減消元法可解