2024-2025學(xué)年上海市寶山區(qū)區(qū)高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年上海市寶山區(qū)區(qū)高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷一、填空題（本大題共12小題）1．兩條異面直線所成角的取值范圍是.2．直線過，且的一個法向量，則直線的方程為.3．直線與直線的夾角大小為.4．若直線與互相垂直，則.5．在正方體中，與直線所成角的大小為的面對角線共有條6．在中，，，，是重心，過的平面與BC平行，，，則．7．過點(diǎn)且和原點(diǎn)距離是2的直線方程是.8．若空間中四條直線滿足，，，則下列結(jié)論一定正確的是.①、②、③、④、⑤、⑥9．學(xué)生到工廠勞動實(shí)踐，利用打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長方體挖去四棱錐后所得的幾何體，其中為長方體的中心，分別為所在棱的中點(diǎn)，，打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為.10．設(shè)，過定點(diǎn)A的動直線和過定點(diǎn)B的動直線交于點(diǎn)，則的最大值．11．如圖所示，三個半徑為的湯圓（球形）裝入半徑為的半球面碗中三個湯圓的頂端恰與碗口共面，則湯圓半徑.12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若動點(diǎn)P（a，b）到兩直線l1：y=x和l2：y=﹣x+2的距離之和為，則a2+b2的最大值為．二、單選題（本大題共4小題）13．已知，，且，則為（

）A． B． C． D．14．已知為直線上的一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．15．正四面體的體積為為其中心，正四面體EFGH與正四面體ABCD關(guān)于點(diǎn)O對稱，則這兩個正四面體的公共部分的體積為（

）A． B． C． D．16．如圖，正方體透明容器的棱長為分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上任意一點(diǎn)，下列說法正確的是（

）A．B．向量在向量上的投影向量為C．將容器的一個頂點(diǎn)放置于水平桌面上，使得正方體的12條棱所在的直線與桌面所成的角都相等，再向容器中注水，則注水過程中，容器內(nèi)水面的最大面積為D．向容器中裝入直徑為1的小球，最多可裝入512個三、解答題（本大題共5小題）17．如圖，AB是圓柱底面圓的一條直徑，，PA是圓柱的母線，，點(diǎn)C是圓柱底面圓周上的點(diǎn)，．(1)求證：BC⊥平面PAC；(2)若點(diǎn)E在PA上且，求BE與平面PAC所成角的大?。?8．直線經(jīng)過點(diǎn)，在下列條件下，求直線的方程(1)直線與直線的夾角為.(2)經(jīng)過直線的光線被直線反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn).19．箏形是指有一條對角線所在直線為對稱軸的四邊形．如圖，四邊形為箏形，其對角線交點(diǎn)為，將沿折到的位置，形成三棱錐．

(1)求到平面的距離；(2)當(dāng)時，在棱上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．20．如圖，在四面體中，平面，M，P分別是線段，的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段上，且.(1)求證：平面；(2)當(dāng)，時，求平面與平面夾角的余弦值；(3)在（2）的條件下，若為內(nèi)的動點(diǎn)，平面，且與平面所成的角最大，試確定點(diǎn)G的位置.21．現(xiàn)有一組互不相同且從小到大排列的數(shù)據(jù)：，其中．為提取反映數(shù)據(jù)間差異程度的某種指標(biāo)，今對其進(jìn)行如下加工：記，作函數(shù)，使其圖像為逐點(diǎn)依次連接點(diǎn)的折線．(1)求和的值；(2)設(shè)的斜率為，判斷的大小關(guān)系；(3)證明：當(dāng)時，；

答案1．【正確答案】【分析】由異面直線所成角的定義求解．【詳解】由異面直線所成角的定義可知：過空間一點(diǎn)，分別作相應(yīng)直線的平行線，兩條相交直線所成的直角或銳角為異面直線所成的角，故兩條異面直線所成的角的取值范圍是故答案為.2．【正確答案】【詳解】由的一個法向量，可設(shè)，則有，解得，即直線的方程為.故答案為.3．【正確答案】【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，即，又直線的傾斜角為，故直線與直線的夾角大小為.故答案為.4．【正確答案】/0.5【分析】根據(jù)垂直關(guān)系得到方程，求出.【詳解】由題意得，解得.故/0.5.5．【正確答案】【詳解】如圖所示，連接，由正方體性質(zhì)可得、都為等邊三角形，所以，所以與所成的角為，又，則與所成的角為，同理，可得為等邊三角形，則與所成的角為，又，則與所成的角為，綜上可得，與直線所成角的大小為的面對角線共有條.故答案為.6．【正確答案】/【詳解】如下圖示，若為中點(diǎn)，又是重心，則，

由題意，面，面，故，所以，而，綜上，.故7．【正確答案】或【詳解】依題意，當(dāng)斜率不存在時，直線方程為：，此時原點(diǎn)到直線的距離為2，滿足題意，當(dāng)斜率存在時，所以設(shè)直線方程為，即，又原點(diǎn)到直線的距離等于2，所以，解得．所以直線方程為或．故或．8．【正確答案】④⑥【詳解】由，，則，故①錯，④對；由，，則，故③錯，⑥對；可能垂直，也可能平行，故②、⑤錯.故④⑥.9．【正確答案】118．8【分析】根據(jù)題意可知模型的體積為長方體體積與四棱錐體積之差進(jìn)而求得模型的體積，再求出模型的質(zhì)量.【詳解】由題意得，，四棱錐O?EFG的高3cm，∴．又長方體的體積為，所以該模型體積為，其質(zhì)量為．本題考查幾何體的體積問題，理解題中信息聯(lián)系幾何體的體積和質(zhì)量關(guān)系，從而利用公式求解．10．【正確答案】9【詳解】由題意，動直線過定點(diǎn)，直線可化為，令，可得，又，所以兩動直線互相垂直，且交點(diǎn)為P，所以，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時取等號．11．【正確答案】【詳解】取半球的球心為，三個小球的球心分別為，則有，取的重心，則可有，在中，，則有，則，解得.故答案為.12．【正確答案】18【詳解】解：動點(diǎn)到兩直線和的距離之和為，，化為．分為以下4種情況：或或或．可知點(diǎn)是如圖所示的正方形的4條邊．可知：當(dāng)取點(diǎn)時，取得最大值．的最大值為18．故18．

13．【正確答案】B【詳解】因?yàn)椋?，且，則，解得，則，所以，因此，.故選：B.14．【正確答案】D【詳解】記點(diǎn)、，則，如下圖所示：

設(shè)原點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，且直線的斜率為，由題意可得，解得，故原點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，由對稱性可知，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)為線段與直線的交點(diǎn)時，等號成立，因此，的最小值為.故選：D.15．【正確答案】B【詳解】由題意結(jié)合幾何體的結(jié)構(gòu)特征可將該幾何體放于一個正方體中，如圖：分別是的中點(diǎn)，，平面，平面，則平面，同理平面，平面，故平面平面，由此可知∽，且，則，由題意可知正四面體EFGH與正四面體ABCD的公共部分的體積等于正四面體ABCD的體積減去其每個頂點(diǎn)處的小正四面體的體積，即公共部分的體積為，故選：B16．【正確答案】C【詳解】對A：由正方體性質(zhì)知：，，且、面，所以面，又面，則，由，故與不垂直，故A錯誤；對B：由題意且，若是交點(diǎn)，連接，所以，故為平行四邊形，則，，所以所成角，即為所成角，由題設(shè)，易知，在中，即夾角為，所以夾角為，故向量在向量上的投影向量為：，故B錯誤；對C：令放在桌面上的頂點(diǎn)為，若桌面時正方體的各棱所在的直線與桌面所成的角都相等，此時要使容器內(nèi)水的面積最大，即垂直于的平面截正方體的截面積最大，根據(jù)正方體的對稱性，僅當(dāng)截面過中點(diǎn)時截面積最大，此時，截面是邊長為的正六邊形，故最大面積為，故C正確；對D：由題意，第一層小球?yàn)閭€，第二層小球?yàn)椋移鏀?shù)層均為個，偶數(shù)層均為，而第一層與第二層中任意四個相鄰球的球心構(gòu)成一個棱長為1的正四棱錐，故高為，假設(shè)共有n層小球，則總高度為，且為正整數(shù)，令，則，而，故小球總共有10層，由上，相鄰的兩層小球共有個，所以正方體一共可以放個小球，故D錯誤.故選：C.17．【正確答案】(1)證明見解析(2)或或.【詳解】（1）因?yàn)榈酌?，平面，所以，因?yàn)闉橹睆?，所以，因?yàn)?，平面，所以平?（2）由（1）知，為BE與平面PAC所成角．因?yàn)椋?，所以，由勾股定理得：，，所以所以BE與平面PAC所成角為．或，所以BE與平面PAC所成角為．或所以BE與平面PAC所成角為．所以BE與平面PAC所成角為或或．18．【正確答案】(1)或(2)【詳解】（1）設(shè)直線的一個法向量為，其中不同時為，則的方程為：，由直線與直線的夾角為，則有，化簡得

，則或，此時，當(dāng)時，由可得，當(dāng)時，由可得，即；故直線的方程或；（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，則有，解得，即，由題意可得點(diǎn)在直線上，設(shè)直線為，則有，解得，即直線為，即.19．【正確答案】(1)1(2)存在；或【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定可得平面，進(jìn)而可得到平面的距離.（2）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，再設(shè)，根據(jù)線面角的空間向量求法求解即可.【詳解】（1）因?yàn)椋圆豢赡転樗倪呅蔚膶ΨQ軸，則為四邊形的對稱軸，所以垂直平分，所以，平面平面，所以平面．所以到平面的距離．（2）存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，過作平面，所以兩兩垂直，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

由（1）得平面平面，因?yàn)椋?，設(shè)，，，設(shè)平面的法向量，，所以，令，則，所以平面的一個法向量，設(shè)直線與平面所成角為，，．所以或，所以存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為或．20．【正確答案】(1)證明見解析(2)(3)點(diǎn)位于中位線靠近的八等分點(diǎn)的第3個點(diǎn)處【詳解】（1）取BD中點(diǎn)，連接PO，是BM的中點(diǎn)，，且，在線段CD上取點(diǎn)，使，連接OF，QF，，，且，，四邊形POFQ為平行四邊形，，又平面平面，平面.（2），則，，取BD中點(diǎn)，則，又平面，平面BCD，以為原點(diǎn)，OB，OC，OP所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，則，，，，所以，故，易知平面的一個法向量為，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，取，則，，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.（3）由（2）知為BD中點(diǎn)，為AD中點(diǎn)，連接OM，，點(diǎn)為內(nèi)動點(diǎn)且平面QGM，又平面AB