福建歷年中考圓真題及變式題（含答案解析）

福建歷年中考圓真題及變式題

學校:姓名：班級：考號：

一、解答題

1.如圖，48為口。的直徑，。為ZJO上一點，弦/E的延長線與過點C的切線互相垂直,

垂足為。，□C4D=36°,連接8c

(1)求匚8的度數：

(2)若48=3,求EC的長.

3

2.如圖，LABC是」0的內接三角形，直徑AB=10.sinA=M，點D為線段AC上一

動點(不運動至端點A、C),作DFC1AB于F,連結BD,井延長BD交口0于點H,連

結CF.

(1)當DF經過圓心0時，求AD的長；

(2)求證：DACFnUABD；

(3)求CF-DH的最大值.

3.如圖，A8是GO的直徑，匹邊形A8CD內接于CO,。是AC的中點，DE1.BC交

8C的延長線于點E.

(1)求證：OE是IO的切線;

(2)若AB=10,BC=8,求8。的長.

4.如圖，內接于OO,4B為直徑，過點。作交6C的延長線于點尸,

交4c于點0，E為。尸上一點，連接EC,其中EC=ED.

(1)求證：石是。尸的中點；

(2)求證：￡C是。。的切線；

(3)如果0A=4,tanZBFO=i,求弦AC的長.

5.如圖，在Rt3ABe中，ZABC=90°,以AB為直徑的。。交AC邊于點。，E為BC

中點，連接OE.

(1)求證：”:與OO相切；

(2)F為4B的中點，連接。尸，BF，若。尸=1+G，BC=&B,求劣弧BZ)的長.

6.如圖，四邊形A8CO內接于OO,AC為直徑，點E在AC的延長線上，BC的延長

線交OE于點F,ZDCF=45°,EC=EF.

(1)求證：DE是O的切線；

(2)若DE=26FE=2,求。。的長.

試卷第2頁，共8頁

D

F

7.如圖，在匚48C中，已知

(1)尺規(guī)作圖：畫口48。的外接圓。(保留作圖痕跡，不寫畫法).

(2)連接08,OC,若口4=45。，BC=6,求弧8c的長.

8.如圖，四邊形ABCD內接于口0,AC與BD為對角線，DBCA=[BAD,過點A作

AEDBC交CD的延長線于點E.

(1)求證：EC=AC；

2

(2)若cosADB=y,BC=10,求DE的長.

9.已知四邊形ABCD內接于口0,DAB=90°.

(□)若AB=AD,求DACB的度數；

(□)連接AC,若AD=8,AB=6,對角線AC平分DAB,求AC的長.

10.如圖，D是AABC外接圓上的點，且B,D位于AC的兩側，DEAB,垂足為E,

DE的延長線交此圓于點EBG1AD,垂足為G,BG交DE于點H,DC,FB的延長線

交于點P,且PC=PB.

⑴求證：BAD=PCB；

(2)求證：BG//CD；

(3)設AABC外接圓的圓心為O,連接OD,OH,若弦BC的長等于圓的半徑，口(20口二

20°,求DOHD的度數.

11.己知：如圖,48為半圓的直徑，。為圓心,4。平分NB4c交弦8c于EDEJ.AC,

垂足為E.

(1)求證：DE與CX＞相切；

(2)若止=2,A/=6,求。的半徑.

12.如圖，口0與矩形488的8c邊相切于M點，與40邊相交于點及F,若EF=

CZ)=4cm,求□。的半徑.

19

13.如圖，A8與。。相切于點8,A。交。。于點C,A。的延長線交OO于點。，E

是BC。上不與RO重合的點，sin4=i.

(1)求N8ED的大??；

(2)若OO的半徑為3,點尸在A8的延長線上，且B產=3行，求證：。尸與。。相切.

14.如圖，從8。內接于口0,AO〃8C交口。于點DF48交BC于點E,交口。

于點F，連接AF，C".

試卷第4頁，共8頁

(1)求證：AC=AF；

(2)若匚。的半徑為3,ZC4F=30°,求4c的長(結果保留兀).

15.如圖，以J1BC的邊AC上一點。作。O經過點3,交AC于點。.連接80,作

0G//BD交GO于點、G,交3C于點E,連接OG交8c于點尸.

(1)當NA5O=NC時，求證：4B為。。的切線；

(2)若GB=4,GD=8,求廣。的長；

(3)若sin/GOB=g,求tanNBGf)的值.

16.如圖，力8是口。的直徑，3c切。于點3,連接CO并延長交口。于點。、E,連

接力。并延長交8c于點F.

(1)試判斷C8O與〔CE8是否相等，并證明你的結論:

BDCD

(2)求證:

H(J

17.在RtaABC中，44c8=9("OA平濟NBAC交BC于點、O,以。為圓心，OC長

為半徑作圓交3C于點O.

(1)如圖1,求證：AB為OO的切線；

(2)如圖2,彳8與。。相切于點E,連接CE交04于點凡

□試判斷線段。力與CE的關系，并說明理由.

口若OF:FC=12OC=3,求tanB的值.

18.如圖，已知OO的直徑4B=10,AC是二O的弦，過點。作OO的切線OE交AB的

延長線于點E,過點A作AO_LDE,垂足為。，與GO交于點尸，設NDAC,NCE4的

度數分別是。，夕，且0。＜。＜45。.

(1)用含。的代數式表示夕;

(2)連結O1交4c于點G,若4G=CG,求4c的長.

19.如圖，等邊三角形力3C內接于半徑長為2的口0,點尸在圓弧月8上以2倍速度從

B向月運動,點。在圓弧8c上以I倍速度從C向8運動，當點尸，O,。三點處于同

一條直線時，停止運動.

(1)求點。的運動總長度;

試卷第6頁，共8頁

(2)若M為弦P5的中點，求運動過程中CW的最大值.

20.如圖，在中，AC=BC=4,Z4CB=90°,0O是“1BC的外接圓，連接CO

并延長交。。于點O,連接80,點七是.MBC的內心.

(1)請用直尺和圓規(guī)作出點E，證明或)=OE；

(2)求線段CE長.

21.已知四邊形ABCD是UO的內接四邊形，AC是UO的直徑，DEAB,垂足為E

(1)延長DE交」O于點F,延長DC,FB交于點P,如圖1.求證：PC=PB；

(2)過點B作BG匚AD,垂足為G,BG交DE于點H,且點O和點A都在DE的左

側，如圖2.若AB=6,DH=1,□OHD=80°,求「BDE的大小.

22.如圖，四邊形力BCO內接于口。，AB=AC,BDUAC,垂足為E,點尸在8。的延長

線上，KDF=DC,連接力RCF.

(1)求證：口切C=2D￡UC；

(2)若力尸=10,BC=4布,求3匚AW的值.

23.如圖，在中，AC=BC=6,點。為48中點.在BC右側作BMJ.BC于點

B,CNJ_5c于點。.點E為射線上一動點，連結OE交BC于點凡過點C,D,

產三點作二O,交AC于點G,點"在射線CN上，且E/平分NBF”，連接EH.

BM

(爸用圖)

(1)當/8￡陀=30。時，求CG的度數.

(2)求證：HF=HG.

(3)當E”與金。的一邊平行時，求滿足條件的所有的值.

試卷第8頁，共8頁

參考答案:

1.(1)54°

唁

【分析】（1）連接OC,如圖，利用切線的性質得到。C8,可得OCU/E,所以000=

UOCA,然后利用□OG4=DO4C得至1」口0。=口04。，可求出口。。8,利用口^二口。。即

可求出口&

（2）根據同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍求出二COE,根據弧長公式、鬻即可求出

1OW

EC的長.

□8是口。的切線，

□OCUCZ),

\JAEUCD,

UOCUAE,

□口。。=口。。，

□04=。。，

□□OG4=DOAC,

□□CO8=2匚C4O=36°X2=72°,

□OB=OC,

□□5=(180°-CCO^)+2=(180°-72°)+2=54。；

答案第1頁，共36頁

I口。的直徑48=3,

口04=1.5,

\COE=2CW=2x36°=72。,

【點睛】本題主要考查了切線的性質，I員I周角定理，弧長的計算公式，根據切線的性質證得

OCUAE和掌握弧長公式是解題的關鍵.

2564

2.(1)干(2)證明見解析(3)當x=4時，CF?DH的最大值為二

【分析】(1)由AB是直徑知□ACB=90。，依據三角函數求出BC=6,由勾股定理求出AC

=8,由AB」DE知匚AFD=UACB=90。，結合UA為公共角可證UADFULABC,得出對應

邊成比例，即可求出AD的長；

AV)Ap

(2)由nADFIABC知f=結合A為〔ACF和DABD的公共角可證1ACFJIZIABD；

ABAC

(3)連接CH,先證口人(211口口1?1)得出比例式，即CF?DH=CD?AF,再設AD=x,則CD

4464

=8-x,AF=-x,從而得出CF?DH=?1(x-4)2+y,利用二次函數的性質求解可得.

【詳解】(1)當DF經過圓心0時，AF=0A=5,

□AB為直徑,AB=10,

□nACB=90°,

BC=6,

由勾股定理得：AC=VAB2-BC2=8,

□ABHDE,

舊人尸口=[^8=90。，

□□A=DA,

□UADF3LABC,

ADAF

ABAC

AFAB5x1025

匚AD=

(2)證明：由(1)得：ADFABC,

答案第2頁，共36頁

ADAFADAB

□——=——，nn即——=——，

ABACAFAC

又口口\為DACF和匚ABD的公共角,

□□ACFZI匚ABD；

（3）連接CH,如圖所示：

由(2)知□ACFDCABD,

□□ABD=DACF,

□UABD=nACH,

□□ACH=nACF,

又□□CAF=DH,

□□ACHDDHCD,

CFAF

□—=——，即CF?DH=CD?AF,

CDDH

4

設AD=x,則CD=8-x,AF=jx,

44-jo464

□CF*DH=-x(8-x)=--x2+1—x=-—(x-4)2+一,

55555

64

□當x=4時，CF?DH的最大值為彳.

【點睛】本題是圓的綜合問題，考查了圓周角定理、勾股定理、相似三角形的判定與性質、

二次函數的性質等知識；半圓綜合性強，熟練掌握圓周角定理，證明三角形相似是解題的關

鍵.

3.(1)見詳解；(2)3后

【分析】(1)連接。。，由圓周角定理可得從而得ODDBC,進而即可得到

結論；

(2)連接/C,交OO于點R利用勾股定理可得4c=6,O尸=4,再證明四邊形?；谻E

是矩形，進而即可求解.

【詳解】(1)證明：連接

答案第3頁，共36頁

□。是AC的中點，

□□48C=2口力80,

WAOD=2UABD,

□口40D=MBC,

noonffc,

UDE1BC,

□DEAOD,

uoo為半徑

□OE是。的切線；

(2)連接4C,交OD于點F,

DUACB=90°,

□心JAB'-BC2=V102-82=6-

□D是AC的中點,

□ODDJC,AF=CF=3,

□必=\la4--AF2=752-32=4，

答案第4頁，共36頁

n￡)F=5-4=l,

E=EDF=DFC=90°,

□四邊形DFCE是矩形，

口DE=CF=3,CE=DF=1,

□CD=V32+12=Vio?

'AD=CD=yf\O,

□□/OB=90。，

□BD=ylAB2-AD2=JIO2-(Vio)2=3>/io

【點睛】本題主要考查切線的判定定理，圓周角定理以及勾股定理，添加輔助線構造直角三

角形和矩形，是解題的關鍵.

4.(1)證明見解析

(2)證明見解析

喈有

【分析】(1)由圓周角定理得出ZACB=9O。，有直角三角形的性質得出NEB=N尸，得出

EC=EF,則可得出最后結論；

(2)連接OC,由等腰三角形的性質及直角三角形的性質得出NOC4+N￡>CE=90。，則

ECYOC,則可得出最后結論；

12

(3)由NA+NB=4FO+N5=90。，得出NA=/BF。，利用tanZBFO=-,求出cosA=^,

即可求出4c的長.

【詳解】(1)證明：他為OO的直徑，

.?.ZACB=90°,

?:EC=ED,

;"DCE=4EDC,

在RL.ZXA中，/DCE+/ECF=90°,

.\ZCDE+^ECF=90°,

:4CF=/F,

答案第5頁，共36頁

:.EC=EF,

F.D=EF,

??.E是。尸的中點；

（2）證明：連接OC,

NW90。，

.?.Z4+ZAZX?=90°,

vOA=OC,

.\ZA=ZOC4,

/.ZOC4+ZAZX)=90°,

?:ZADO=/CDE,

.?.NOCA+NCDE=90°,

,ZCDE=ZDCE,

NOC4+NDCE=90°,

..ECA.OC,

二.EC是。的切線；

(3)QZA+ZB=ZBra+Zfi=90°,

/.ZA=ZBFO,

tanZ.BFO=tanA=—,

2

.?.COSA=4

AQ

在RtZXACB中，Z4CB=90°,04=4,cosA=——,

AB

*7Ify

AC=A^cosA=8x—==一＞/5

石5,

答案第6頁，共36頁

【點睛】本題考查了切線的性質，相似三角形的判定和性質，三角函數，掌握圓的切線垂直

于經過切點的半徑，正確作出輔助線，是解答木題的關鍵.

5.（1）見解析；（2）邁^

3

【分析】（1）要證與口。相切，需證。E是門。的切線；為此，連接。。，證明0。DE

即可;

（2）要求應）的長，需求出口。的半徑和它所對的圓心角口80。的度數即可.

【詳解】（1）證明：如圖，連接。。，BD.

□A8為。O的直徑，

□ZADB=90°>

□N8DC=90°.

□在Rl-BDC中,E為BC的中點，

QED=-BC=EB.

2

□ZEDB=NEBD.

DOB=OD,

□/ODB=NOBD,

□ZEDB+ZODB=ZEBD+ZOBD,即/ODE=/OBE.

□ZABC=90°,

□N8E=90°,IODIDE.

□DE是OO的切線，即OE與。。相切.

姒

（2）解：如解圖，連接。尸，過點8作BG_LOf,垂足為G.

□BC=6AB,

□RtABC中，tanZ.BAC=-=v3.

AB

□Zfi4C=60o.

BD=BD,

□ZBFD=Zfi4D=60°,QBOD=2QBAD=\20°.

在mBFG中,

答案第7頁，共36頁

tanZ.BFD=---，

GF

BG=FGtanZBFD=FG-tan60°=叢GF.

□產為AB的中點，

□尸。口

□NAOF=NBOF=900.

BF=BF,

UZBDF=-ZBOF=45°,

2

□DG=BG=y/3GF.

□DF=l+>/3,

口GF+百GF=l+6

□GF=1.

QBF=GF=2.

cos60°

□在RhOB尸中,OB=OF,

□OB=BFcos45°=>/2.

,120^->/22&乃

u/,=-----------=--------.

品1803

【點睛】本題考查了切線的判定定理、圓周角定理及推論、直角三角形的判定與性質、銳角

三角函數、弧長公式等知識點，熟知相關的定理和公式是解題的關鍵.

2

6.(1)見解析；(2)-7t

【分析】(1)證：連接08,。。,由四邊形ABCD內接于OO,可得ND4B+NDCB=180。,由

NDCF+NDCB=180。,可得ND48=N￡>CF=45。.可求NDO8=2NDA8=90°.再證

4EFC=NOBC.可得“7/QB.推出NEDO=180。一/皮比)=90。.

(2)設。O=r,則OE=r+2.在RrAODE中,由勾股定理，得尸+(275『=(r+2)2,解得

r=2,cosZDOE=^=^=lZDOE=60°.利用弧長公式求即可

【詳解】(1)證：連接。8,OD.

□四邊形ABCO內接于O,

ZDAB+ZDCB=l80°.

答案第8頁，共36頁

□/DCF+/DCB=180°,

□ZDAB=/DCF=45°.

□DB=DB，

□ZZX)B=2ZZMB=90°.

□EC=EF,OB=OC,

nZECF=ZEFCfNOBC=NOCB.

口NECF=NOCB,

口NEFC=NOBC.

UEF//OB.

□/EDO=180°-ZBOD=90°.

UODJ.DE.

□0。是。的半徑，

□。石是「。的切線.

(2)解：在陽△ODE中，設。。=，

則。石=OC+CE=OC+莊=r+2.

由勾股定理，得產+(2G『=(r+2)2.

解得r=2.

UOD=2,OE=4.

□cosNDOE=型，，

OE42

NDOE=600.

【點睛】本題考查圓的內接四邊形的性質，圓心角與圓周角關系，圓的切線的判定，勾股定

理，銳角三角函數，圓的弧長公式，掌握圓的內接四邊形的性質，圓心角與圓周角關系，圓

的切線的判定，勾股定理，銳角三角函數，圓的弧長公式是解題關鍵.

答案第9頁，共36頁

7.⑴見詳解

”、3應

(2)-

2

【分析】(1)作1慶1C的角平分線4M,線段的垂直平分線E凡直線所交力M于點0,

以。為圓心，。力為半徑作□。即可.

(2)求出DSOC和半徑，由弧長公式進行計算，即可解決問題.

【詳解】(1)解：如圖，口。即為所求.

(2)解：連接08,OC.

□□J=45°,

□□BOC=90°,

CBC=6,

□OB=36,

□弧8C的長=9""3垃=逑產.

18002

【點睛】本題考查作圖一復雜作圖，弧長公式，圓周角定埋，等腰二角形的性質，三角形

的外接圓等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型.

8.(1)證明見解析；(2)DE=8.

【分析】(1)根據平行線的性質可得□ACB=DEAC,從而得到匚EAD=[CAB,由等量代

換得到結合三角形的內角和得到□E=C]ACB=LJEAC即可證明EC=AC.

(2)設AE交口0于M,連接DM,作MH匚DE于H.通過圓的性質以及角的等量代換得

到MD=ME=BC=10,解直角三角形求出EH即可解決問題.

【詳解】(1)證明：DBCIJAE,

□□ACB=DEAC,

ACB=BAD,

答案第10頁，共36頁

ir：EAC=nBAD,

□□EAD=CCAB.

□□ADE+DADC=180°,nADC4-DABC=180°,

□UADE=LABC,

「EAD+匚ADE+DE=180。，匚BAC+EZABC+匚ACB=180。，

□□E=DACB=CEAC,

□EC=AC.

(2)解：設AE交10于點M,連接DM,過點M作MHDE于點H,

□□EAD=DCAB,

□DM=BC，

nDM=BC=10.

kMDE+匚MDC=180。，CMDC+DMAC=180°,

□UMDE=DCAM,

□□E=DCAE,

□□E=EMDE,

匚MD=ME=10,

「MH門DE,

□EH=DH,

i>EH2

□cosDADB=cosE=---=—,

ME5

□EH=4,

UDE=2EH=8.

【點睛】本題考查圓內接四邊形的性質，圓周角定理，解直角三角形等知識，解題的關鍵是

學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

9.(□)45°；(□)7&.

【分析】(I)連接8。，根據圓周角定理得到為直徑，推出△力8。為等腰直角三角形,

答案第11頁，共36頁

于是得至|JN/C8=N4O8=45°:

(H)如圖2,作NH_L4C于，，根據勾股定理得到&X10,根據角平分線的定義得到

NBAC=/BAC=45°,推出△CQB為等腰直角三角形，得到80立8ZA5石，解直角三角

2

形即可得到結論.

【詳解】(口)連接BD,

□□DAB=90°,

口BD為直徑，

□AD=AB,

IDABD為等腰直角三角形,

]QACB=ADB=45°；

□BD為直徑，BD^Alf+AB1=j6+62=10,

□□BCD=90°,

□AC平分口DAB,

□□BAC=CBAC=45°,

□□CBD=IZBDC=45°,

□ICDB為等腰直角三角形，

答案第12頁，共36頁

□BC=-5D=—xlO=5^,

22

在RtZABH中，AH=BH=￥AB=3五,

在RtDBCH中，CH=dBC?-BH?=J(5何"3何=4五,

nAC=AH+CH=7>/2.

【點睛】本題是圓的綜合題，考杳了圓內接四邊形的性質，勾股定理，圓周角定理和等腰直

角三角形的判定與性質.掌握圓內接四邊形的對角互補的性質是解題的關鍵.

10.（1）見解析；（2）見解析；（3）70°

【分析】（1）根據等腰三角形的性質和圓內接四邊形的性質即可得到結論；

（2）由（1）得□BAD=DPCB,結合等腰三角形的性質及同弧所對的圓周角相等可得

□BFD=DPBC,根據平行線的判定得：BCDDF,可得匚ABC=90。，根據圓周角定理得到AC

是UO的直徑，可證匚ADC=」AGB=90。，即可得證；

（3）連接OB,由（2）可得點。在AC的中點.由弦BC的長等于圓的半可得三角形OBC

為等邊三角形，□OCB=60。，貝IJ匚BAC=30。，因為□COD=20。，故可求得□0口人=匚0人口=10。，

則"ADH=50°,求得二ODH=40。，

由（2）可證四邊形DHBC為平行四邊形，所以DH=BC=OD,即可根據等腰三角形的性質

和三角形的內角和定理求出匚OHD.

【詳解】（1）PC=PB,

IUPCB=1PBC,

□四邊形ABCD內接于圓,

UUBAD+一BCD=180°,

GBCD+PCB=I8O°,

BAD=PCB；

(2)由(1)得□BAD=1PCB,

IUBAD=BFD,

l□BFD=□PCB=□PBC,

□BCDDF,

nDEHAB,

inDEB=90°,

ABC=90°,

答案第13k,共36頁

門AC是0的直徑,

□□ADC=90°,

□BGDAD,

□□AGB=90°,

□匚ADC=：0AGB,

LBGLCD；

(3)連接OB,由(2)可得：點O在AC的中點.

□弦BC的長等于圓的半徑

□△OBC為等邊三角形

□IOCB=60°

由⑵得：□ABC=90。,

□□BAC=30°

□UCOD=20°

!□ODA=COAD=g□COD=10°

IUADE=90o-30o-10o=50°

PODHYADH-ADO=40。

由⑵得：DFUBC,BGUCD

U四邊形DHBC為平行四邊形

□DH=BC=OD

【點睛】此題是圓的綜合題，主要考查了圓的有關性質，等腰三角形的判定和性質，平行線

的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，還考查了學生的運算能力，推理能力，判斷出

DH=OD是解本題的關鍵.

答案第14頁，共36頁

11.（1）見解析；（2）2>/5

【分析】（1）連接0。，根據等腰三角形的性質以及平行線的判定與性質，求解即可；

（2）根據相似三角形的性質求得力之間的關系，設CF=3A,DE=4k,線段之間的關系求

得k,根據勾股定理求解，求得0”、?！ǖ拈L度，即可求解.

【詳解】（1）證明：連接與8C交于點〃，如下圖：

IOA=OD

QZOAD=ZODA

匚4D平分NBAC

UZOAD=ZEAD

Z.EAD=^ODA

OD//AE

UDEA.AE

\OD1DE

UO。為半徑

□OE與G)O相切

(2)解：連接B。，如下圖:

UOD//AE

答案第15頁，共36頁

r.△ACF—ADHF

DHDF1

□----=---=—

ACAF3

0ZBAD=ZCAD

□CD=BD

OO垂直平分8c

UCH=BH

□AB為直徑

□ZAC^=90°

匚O”〃AC,CF//DE

r.AACF^AAED，OHB^ACH

CFAF3OHOB

----=-----=—?———-----

DEAD4ACAB

UAO=OB

OHOB1

□------=——=-

ACAB2

[]OH=-AC

2

設CF=3A,DE=4k則C〃=4ABC=8k,

則5尸=5%,

□ZC4D=ZDBC,ZACF=ZBFDf

□△ACFsABFO,

AFCF

□-----=----，

BFDF

nAFxDF=BFxCF,

□12=15二，解得&=2叵（負值舍去），

5

oR

UDE=CH

5

UAE=slAD2-DE2,

QDH=-AC

3f

□D//=-AE=—,

45

UAC=^~,

5

答案第16頁，共36頁

□0/7=-AC=—,

25

UOD=OH+DH=2yf5,

即《。的半徑為26.

【點睛】此題考查了圓的切線判定定理，圓周角定理，弦、弧、圓心角的關系，等腰三角形

的性質，勾股定理以及相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是掌握并靈活運用相關性質進

行求解.

…5

12.—cm

2

【分析】連接并延長交所于點G,交OO于點〃，連接OF,設。。的半徑為〃，先

根據垂徑定理求出陽的長，再證明四邊形GMCO是矩形，在放ZsOG尸中，根據勾股定理

列方程即可求出OO的半徑.

【詳解】「一一

如圖所示，連接并延長MO,交EF于點G,交。。于點〃，連接。尸，

設的半徑為，

.3與BC相切于點M,

.??BC1OM,

四邊形ABCD是矩形，

..AD//BC,

NOGF=NOMB=90°,

?.?M〃是的直徑，且MHLEF,EF=CD=4,

:.FG=EG=-EF=2t

2

???NQWC=NC=4>=90。，

???四邊形GMCD是矩形，

:.GM=CD=4,OG=4—r,

在向尸中，由勾股定理得：r=(4-r)2+22,

解得:r=|,

??丁加的半徑為|cm.

【點睛】本題考查了圓的切線的性質、垂徑定理，矩形的判定與性質和勾股定理，解題關鍵

答案第17頁，共36頁

是作出適當的輔助線，以便于應用垂徑定理和勾股定理解題.

13.(1)60°；(2)詳見解析

【分析】(1)連接OB,在RPAOB中由sinA=；求出UN=30。，進而求出ElAOBWO。,

BOD=120°,再由同弧所對的圓周角等于圓心角的一半可以求出匚BED的值；

(2)連接OF,在RtUOBF中，由1211/8。尸=器=6可以求出UBOF=60。，進而得到

rFOD=60°,再證明口FOBROFOD,得至ljODF=nOBF=90°.

【詳解】解：(1)連接08,

□A8與IO相切于點B,

UOBLAB,

□sinA=-,DZA=30°,

2

□ZAOB=60°,則N88=120。.

由同弧所對的圓周角等于圓心角的一半可知：

NBED=L/BOD=e.

2

故答案為：60°.

(2)連接Ob,

由(1)得/BOD=120°,

□08=3,BF=36,□tan/BO/u空=6,

OB

□ZBOF=60°,［：ZDOF=60°.

OB=OD

在ABOF與ADOF中，＜NBOF=ZDOF

OF=OF

口△BO產0ADO產(SAS),

□NODF=NOBF=90。.

答案第18頁，共36頁

又點。在。。上，故。尸與（O相切.

【點睛】木題考查圓的有關性質、直線與圓的位置關系、特殊角的三角函數值、解直角三角

形、全等三角形的判定和性質，熟練掌握其性質是解決此類題的關鍵.

14.（1）證明見解析；

【分析】（1）根據已知條件可證明四邊形AB"是平行四邊形，由平行四邊形的性質可得

等量代換可得4尸C=4C/，即可得出答案；

（2）連接AO,CO,由（1）中結論可計算出的度數，根據圓周角定理可計算出NAOC

的度數，再根據弧長計算公式計算即可得出答案.

【詳解】（1）證明：QAD//RC,DFAB.

：四邊形ABEZ）為平行四邊形，

□ZB=ZD,

□Z4/C=N8,ZACr=NO,

□ZAFC=ZACF,

DAC=AF.

由（1）得NA尸C=NAC/，

□ZAFC=180O￡3QO=75°,

□ZAOC=2ZAFC=150°,

□AC的長/="端守=等.

1OU乙

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，圓的性質與

弧長公式，考查化歸與轉化思想，推理能力，幾何直觀等數學素養(yǎng).

答案第19頁，共36頁

15.(1)見解析；(2)6；(3)*

【分析】（1）連接08,證明N/WD=/03C,再證明03_LAB即可證明

（2）先根據平行，證明出再根據相似比絲二絲計算出GF即可得出

GFGB

結果

（3）根據sinNGDB=；，用含有x的式子表示出OE、CG、CE,再根據O1+。爐="?表

示半徑，再根據BD2+BC2=CD2,表示出BD即可計算tanNBGD

【詳解】解：（1）證明：如圖1,連接。B,則08=0C,

□Z0BC=ZC,

□ZABD=ZC

口ZABD=N0BC

CD是O的直徑，

□ZCBD=9(F,

即NQ8C+NOB。=90°,

□ZABO=ZABD+NOBD=ZOBC+NOBD=90°,

口OB上AB,

□。8是。的半徑，

□A5是：。的切線.

(2)證明：neo是0O的直徑，

□NCB￡>=90°,即C8_L8Z)

□OG//BD

QOG±BC

"G=BG

口/GDB=/GBF,

答案第20頁，共36頁

又口NDGB=NBGF,

□△GBD^^GFB；

□-G--B=-G--D-

GFGB

□GB?=GFGD

□42=8GF

□GF=2

□FD=8-2=6

(3)連接CG,如圖2所示:

口NGDB=/GCB,OG1BC,

np1

□sinZGDB=sinZGCB=—=-,BE=CE,

CG3

設GE=x,OG=OC=r,則?-x,CG=3x

在RtZ^CGE中，CE=dCG2-G?=也*-￡=2后,

口BC=2CE=4&x，

在Rt.QCE中，OE2+CE2=OC2,

即(r-x)2+(2jii)2=/

9

解得：r=-xt

nCD=2r=9x,

在RtZXOBC中，BD1+BC2=CD1,

□8。?+(4岳>=(9x>,

UBD=lx^BD=^7x(舍去)，

□tanNBGD=tan/BCD=—==-^2

BC-4^x-8

【點睛】本題考查切線的判定、相似三角形的性質及判定、勾股定理、銳角三角函數、利用

答案第21頁，共36頁

方程思想是關鍵，靈活進行角的等量轉換是重點

16.解：（1）L]CBD=lCEB；證明見解析；（2）見解析；（3）tanLiCOQ典二1.

3

【分析】（1）根據力8為直徑可得口/。8=90。，根據切線性質可得48c=90。，利用角的和差

關系可得NC8O=NB4D,圓周角定理可得N840=NCEB,即可推出NC8O與NCE8相等;

（2）根據（1）所推出的結論，通過求證匚￡9?？诳?。。，即可推出結論；

（3）通過設BC=3x,AB=2x,根據題意，推出OC和CD的長度，然后通過求證匚。C尸口口臺。。，

DF

即可推出二的值，即口。8尸的正切值，由-QBFRCDF,即可推出ZiC。產的正切值.

BD

【詳解】（1）NC5O與NCEB相等，證明如下：

□48為直徑，

□□408=90。，

口BC切口0于點B,

□□480=90。，

□□BAD+\ABD=□CBD+DABD=9^°,

口NCBD=NBAD,

UZBAD=ZCEBf

口NCBD=NCEB.

（2）?.?NC=NC,NCEB=NCBD,

nnEBCDABDC,

BDCD

~BE~~BC'

（3）LL48、分別是GX?的直徑，

nADriBD,即ADB=90°,

□8。切口。于點8,

Q4B匚BC,

DBC=-AB,

2

「BC3

□—=—,

AB2

設8C=3x,AB=2x,

□OB=OD=x,

口℃=Jok+BC?=Mx，

答案第22頁，共36頁

UCD=OC-OD=(Vio-l)x,

口OA=OD,

□□CQ吐匚54/>008廠,

□MDCFCD,

CDDF（Vio-iuVio-i

u----=------=--------------=----------，

BCBD3K3

.norDF

UtanLZ）5F=-----=-->-/-F-O-----1,

BD3

□tanDCD/^^"1.

3

【點睛】本題主要考查切線的性質、相似三角形的判定與性質、圓周角定理、銳角三角函數

定義等知識點，關鍵在于：（1）熟練運用圓周角定理，切線的性質；（2）根據（1）的結論

和已知條件推出門EBCF4OC：（3）關鍵在于通過求證DCFCABCD.根據對應邊成比例

的性質求出tanZJOB廠的值.

3

17.（1）見解析；（2）UOA垂直平分CE,理由見解析；

【分析】（1）過點0作OGDAB,垂足為G,利用角平分線的性質定理可得OG=OC,即可

證明；

（2）口利用切線長定理，證明OE=OC,結合OE=OC,再利用垂直平分線的判定定理可得

結論；

□根據。b：/C=l：2,OC=3求出OF和CF,再證明口OCF口口OAC,求出AC,再證明

RFQkRC

□BEODDBCA,得到一=—=—,設BO=x,BE=y,可得關于x和y的二元一次方程

BCACAB

組，求解可得BO和BE,從而可得結果.

【詳解】解：（1）如圖，過點0作OGAB,垂足為G,

□04平分ZBAC交BC于點O,

□OG=OC,

□點G在。。上，

即AB與。O相切；

答案第23頁，共36頁

(2)l：OA垂直平分CE,理由是：

連接0E,

□48與。。相切于點E,力。與。。相切于點C,

匚AE=AC,

□OE=OC,

nOA垂直平分CE：

□□OF:FC=1:2,OC=3,

則FC=2OF,在nOCF中，

OF2+(2OF)2=32,

解得：0F=拽，則CF=①叵，

55

由□得：OA1CE,

則LOCF+UCOF=90°,又UOCF+UACF=90°,

UCOF=DACF,而匚CFO=EIACO=90o,

□匚OCFHEIOAC,

30

「生="=空

,即332=32,

OAOCAC

OA3AC

解得：AC=6,

□AB與圓O切于點E,

IUBEO=90°,AC=AE=6,而IB=UB,

□□BEODCBCA,

BEOEBO

Q==設BO=x,BE=y,

BCACAB

=-=--

J3+x6y+6

答案第24頁，共36頁

6y=9+3x

可得:

6x=3y+18'

x=5

解得：，，即BO=5,BE=4,

y=4

【點睛】本題考查了圓的綜合，切線的判定和性質，相似三角形的判定和性質，二元一次方

程組的應用，有一定難度，解題要合理選擇相似三角形得出結論.

18.(1)力=90?！?a；(2)等

【分析】(1)連接OC,根據切線的性質得到OCDDE,可以證明AD匚0C,根據平行線的

性質可得ND4C=N4CO,則根據等腰三角形的性質可得=利用

NDAE+4=90。,化簡計算即可得到答案；

(2)連接CF,根據。4=OC,4G=CG可得利用中垂線和等腰三角形的性質

可證四邊形AFCO是平行四邊形，得到匚AOF為等邊三角形，由=并可得四邊形

APCO是菱形，可證.49/是等邊三角形，有□FAO=60。，4406=1200再根據弧長公式計

算即可.

【詳解】解：(1)如圖示，連結0C,

□。石是的切線，口。。，力石.

又AT)_L￡>E,DZ￡>=ZOCE=9(F,

□ADjOC,

UZDAC=ZACO.

QOA=OC,

DZOCA=ZOAC.ZDAE=2a.

答案第25頁，共36頁

n?D90?,

[ZZME+ZE=90°.

□2a+/7=90°,即P=90°—2a.

(2)如圖示，連結。尸，

rOA=OCfAG=CG,

□O尸工AC,

□E4=FC,

□ZFAC=ZFC4=ZCAO,

UCF//OA,

□AF//OC,

□四邊形4/CO是平行四邊形,

non=oc,

口四邊形是菱形，

UAF=AO=OFf

口.?,40尸是等邊三角形，

□N"O=2a=60。，

U乙AOC=12U°,

□A8=10,

120?%?5_10萬

□AC的長=

180-亍

【點睛】本題考查的是切線的性質、菱形的判定和性質、弧長的計算，篁握切線的性質定理、

弧長公式是解題的關鍵.

19.（1）：）

⑵幣+1.

【分析】（1）如圖，設？C。。。，結合題意可得：?BOP2a,結合正三角形的性質求解

答案第26頁，共36頁

a=60?,再利用弧長公式進行計算即可；

(2)解：如圖，取04的中點M連接NM,NC,MC,過N作NK_LBC于K,過。作OEJLBC

于E,證明M在以N為圓心，半徑為