高級(jí)計(jì)量-時(shí)間序列

博士生高級(jí)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)（管理類）之

時(shí)間序列計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析

I.平穩(wěn)時(shí)間序列模型

II.非平穩(wěn)時(shí)間序列

III.向量自回歸VAR模型

IV.ARCH與GARCH模型

平穩(wěn)時(shí)間序列模型

時(shí)間序列的分析研究始終是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)的一個(gè)熱點(diǎn)。近代計(jì)量經(jīng)濟(jì)

學(xué)和金融市場(chǎng)分析的許多研究成果都建立在時(shí)間序列分析的基礎(chǔ)之上。傳統(tǒng)的應(yīng)

用較廣的是Box和Jenkins（1970）提出的ARMA（自回歸移動(dòng)平均）模型。

Engle（1982）提出了ARCH模型（一階自回歸條件異方差），用以研究非線性金融

時(shí)間序列模型，由此開創(chuàng)了時(shí)間序列分析獨(dú)樹一幟的研究思路和方法。就時(shí)間序

列分析理論和方法的發(fā)展而言，平穩(wěn)時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)分析，在理論上的發(fā)展比較

成熟，構(gòu)成時(shí)間序列分析的基礎(chǔ)。

一、基本概念

（一）、隨機(jī)過程

在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，隨機(jī)變量是分析隨機(jī)現(xiàn)象的有力工具。對(duì)丁些簡(jiǎn)

單的隨機(jī)現(xiàn)象，一個(gè)隨機(jī)變量就夠了；對(duì)于一些復(fù)雜的隨機(jī)現(xiàn)象，需要用若干個(gè)

隨機(jī)變量來(lái)加以刻畫。例如平面上的隨機(jī)點(diǎn)，某企業(yè)一天的工作情況（產(chǎn)量、次

品率、耗電量、出勤人數(shù)等）都需要用多個(gè)隨機(jī)變量來(lái)刻畫。

還有些隨機(jī)現(xiàn)象，要認(rèn)識(shí)它必須研究其發(fā)展變化過程，這一類隨機(jī)現(xiàn)象不能

只用一個(gè)或多個(gè)隨機(jī)變量來(lái)描述，而必須考察其動(dòng)態(tài)變化過程，隨機(jī)現(xiàn)象的這種

動(dòng)態(tài)變化過程就是隨機(jī)過程。例如，某一天電話的呼叫次數(shù)-它是一個(gè)隨機(jī)變

量。若考察它隨時(shí)間f變動(dòng)的情況，則需要考察依賴于時(shí)間，的隨機(jī)變量｝

就是一個(gè)隨機(jī)過程。又例如，某國(guó)某年的G0P總量，是一個(gè)隨機(jī)變量，但若考

查它隨時(shí)間變化的情形，則｛GO《｝就是一個(gè)隨機(jī)過程。

一般地，若對(duì)于每一特定的r（，￡?。?，》為一隨機(jī)變量，則稱這一族隨機(jī)

變量｛?｝為一個(gè)隨機(jī)過程。隨機(jī)過程的分類一般有兩種方法：（1）以參數(shù)集7

和咒的取值的特征來(lái)分類；（2）以統(tǒng)計(jì)特征或概率特征來(lái)分類。為了簡(jiǎn)便，我們

以參數(shù)集和其的取值的特征來(lái)分類。以參數(shù)集7的性質(zhì)，隨機(jī)過程可分為兩大類:

7為可數(shù)集合與不可數(shù)集合。以*所取的值的特征，隨機(jī)過程也可以分為兩大類:

離散狀態(tài)，即匕所取的值是離散的點(diǎn)；連續(xù)狀態(tài)，即），，所取的值是連續(xù)的。由此

可將隨機(jī)過程分為以下四類：離散參數(shù)離散型隨機(jī)過程；連續(xù)參數(shù)離散型隨機(jī)過

程；連續(xù)參數(shù)連續(xù)型隨機(jī)過程；離散參數(shù)連續(xù)型隨機(jī)過程。

（二）、時(shí)間序列

離散型時(shí)間指標(biāo)集的隨機(jī)過程通常稱為隨機(jī)型時(shí)間序列，簡(jiǎn)稱為時(shí)間序列。

經(jīng)濟(jì)分析中常用的時(shí)間序列數(shù)據(jù)都是經(jīng)濟(jì)變量隨機(jī)序列的一個(gè)實(shí)現(xiàn)。時(shí)間序列分

析是一種根據(jù)動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)揭示系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)和規(guī)律的統(tǒng)計(jì)方法。

時(shí)間序列的特點(diǎn)是：序列中的數(shù)據(jù)依賴丁時(shí)間順序；序列中每個(gè)數(shù)據(jù)的取值

具有一定的隨機(jī)性；序列中前后的數(shù)值有一定的用關(guān)性--系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)規(guī)律；序列

整體上呈現(xiàn)某種趨勢(shì)性或周期性。時(shí)間序列的統(tǒng)/特征通常用其分布及數(shù)字特征

來(lái)刻畫。例如期望E（y）,方差和協(xié)方差Cov（y“x）。

研究時(shí)間序列具有重要的現(xiàn)實(shí)意義，通過對(duì)時(shí)間序列的分析和研究，認(rèn)識(shí)系

統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征（如趨勢(shì)的類型，周期波動(dòng)的周期、振幅，等等）；揭示系統(tǒng)的運(yùn)

行規(guī)律；進(jìn)而預(yù)測(cè)或控制系統(tǒng)的未來(lái)行為，或修正和重新設(shè)計(jì)系統(tǒng)（如改變參數(shù)、

周期等）按照新的結(jié)構(gòu)運(yùn)行。

（三）、時(shí)間序列的平穩(wěn)性

所謂時(shí)間序列的平穩(wěn)性，是指時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)規(guī)律不會(huì)隨著時(shí)間的推移而發(fā)

生變化。也就是說(shuō)，生成變量時(shí)間序列數(shù)據(jù)的隨機(jī)過程的特征不隨時(shí)間變化而變

化“以平穩(wěn)時(shí)間序列數(shù)據(jù)作為計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型變量的觀測(cè)值時(shí)，其估計(jì)方法、檢驗(yàn)

過程才可能采用前面所介紹的方法。

直觀上，一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列可以看做作一條圍繞其均值上下波動(dòng)的曲線。

從理論上，有兩種意義的平穩(wěn)性，一是嚴(yán)格平穩(wěn)，另一是弱平穩(wěn)。嚴(yán)格平穩(wěn)是指

隨機(jī)過程｛上｝的聯(lián)合分布函數(shù)與時(shí)間的位移無(wú)關(guān)。設(shè)｛R｝為一隨機(jī)過程，〃

為任意正整數(shù)，力為任意實(shí)數(shù)，若聯(lián)合分布函數(shù)滿足：

G心,….（冷…，X"）=氣:—（不…，天）

則稱｛%｝為嚴(yán)格平穩(wěn)過程，它的分布結(jié)構(gòu)不隨時(shí)間推移而變化。

弱平穩(wěn)是指隨機(jī)過程｛￡｝的期望、方差和協(xié)方差不隨時(shí)間推移而變化，若

｛上｝滿足以下三條件：

2

E（y）=u,Var（yt）=a,Cov（y,工）=/（—s）

則稱｛￡｝為弱平穩(wěn)隨機(jī)過程。在以后的討論中，關(guān)于平穩(wěn)性的概念通常是指弱

平穩(wěn)，弱平穩(wěn)通常也被稱作寬平穩(wěn)。

需要注意的是嚴(yán)平穩(wěn)和弱平穩(wěn)之間的關(guān)系：只有具有有限二階矩的嚴(yán)平穩(wěn)過

程，才是弱平穩(wěn)過程；弱平穩(wěn)過程只限定一階矩和二階矩，即它并沒有規(guī)定分布

函數(shù)的性質(zhì)，所以弱平穩(wěn)并不一定屬于嚴(yán)平穩(wěn)。

時(shí)間序列分析中常用到的平穩(wěn)隨機(jī)過程是一一白噪聲過程（序列）。

2

對(duì)于一個(gè)隨機(jī)過程｛%/￡為，如果f（y,）=O；Var（yt）=<J<oo；

Cov（K，”）=0,/ws,則稱｛y"wT｝為白噪聲過程（序列）。

白噪聲序列因其均值為零，方差不變，隨機(jī)變量之間非相關(guān)，顯然白噪聲是

二階寬平穩(wěn)隨機(jī)過程。如果｛￡｝同時(shí)還服從正態(tài)分布，則它就是一個(gè)嚴(yán)平穩(wěn)的

隨機(jī)過程。白噪聲源于物理學(xué)與電學(xué)，原指音頻和電信號(hào)在一定頻帶中的一種強(qiáng)

度不變的干擾聲。下圖是由噪聲過程產(chǎn)生的時(shí)間序列。

圖1由白噪聲過程產(chǎn)生的時(shí)間序列圖2口元對(duì)美元匯率的收益率序列

在時(shí)間序列分析中，我們經(jīng)常要用到滯后算子L,它的定義為

L

y.=yt-\

這個(gè)滯后算子L是把一個(gè)時(shí)間序列轉(zhuǎn)換成另一新的時(shí)間序列的映射。如果應(yīng)用兩

次滯后算子，有

L

(Lyt)=Lyt_x=yz_2

記兩個(gè)滯后算子的乘積為有/?),,=),々°規(guī)定?！鉿=y,即它是一個(gè)恒等映

射。滯后算子L的逆算子L滿足一般地，對(duì)于任意的整數(shù)，我們

k

有^yt=yt-k

滯后算子L對(duì)于數(shù)量乘法和加法滿足交換律和分配律，即對(duì)于任意的常數(shù)6和時(shí)

間序列()小2，*,｝二，｛叱｝二，有

L(優(yōu))=pLyt,L(xt+M;)=Lxt+Lw,

如果y,=(a+/?L)ZA,,那么有y,=(aL+bl3)x,=axt_t+bxt_2

另一個(gè)例子

2

=(1-A1L-Z!L+/1]/UL)A;

二七一(4+4)X,T+443_2

像(立+力力這樣的表達(dá)式我們稱之為滯后算子多項(xiàng)式。

二、移動(dòng)平均(M4)過程

在金融收益率序列的建模中有一類簡(jiǎn)單模型是移動(dòng)平均模型(Moving

AverageModel,縮寫為MA模型)。它可以看作是白噪聲序列的簡(jiǎn)單推廣。

(-)一階移動(dòng)平均過程M4(l)

如果｛〃/是白噪聲過程，定義

y="+勺+43

其中〃和0為常數(shù)，這個(gè)序列稱為一階移動(dòng)平均過程M4⑴o

期望為E(y,)=〃+E(〃J+6E(k)=〃

222

方差為E(y,=E(wz+6?wz.,)=(1+^)CT

一階自協(xié)方差為cov(y,,}；-|)=以%+&_I)(q_1+紈2)=比2

高階自協(xié)方差為cov(y,,y,_j)=￡(wz+Out_{)(+Ou,^)=0(j>1)

上述均值和協(xié)方差都不是時(shí)間的函數(shù)，因此不管0為何，M4⑴過程都是平穩(wěn)的。

而一階自相關(guān)系數(shù)p.1比：廣當(dāng)

高階自相關(guān)系數(shù)均為0。此時(shí)自相關(guān)函數(shù)在1階處截尾。

(二).q階移動(dòng)平均過程加4(4：

q階移動(dòng)平均過程的表達(dá)式為：

y=〃+/+。必?1+.2+…+6Mr

其中｛〃,｝為白噪聲過程，(氏為,…,q)為任何實(shí)數(shù)。其均值、方差、自協(xié)方差和

自相關(guān)函數(shù)分別為：

E⑸="

/o=V?r(y,)=E(w,+4明+O2ut-2+…+W)

=(i+e；+e；+...+e；”2

力=COV("T)

=E(〃,+〃%+...+即口/(/7+...+“t-j-q)

_(%+%?+%2。2+…+約%,)/j=12...,q

。j>q

夕階移動(dòng)平均過程的自相關(guān)函數(shù)為

4+4+1―+4+22+…+4憶,?

Pk=<1+標(biāo)+出+…+夕：‘‘(1)

0k>q

(1)式告訴我們，當(dāng)移動(dòng)平均過程的階為q時(shí)，間隔期大于q的自相關(guān)函數(shù)值為零。

這個(gè)性質(zhì)稱為M&q)的自相關(guān)函數(shù)的截尾性，意思是說(shuō)，自相關(guān)函數(shù)的圖形隨著

自變量k到達(dá)①+1)時(shí)突然被截去。MA(q)的截尾性給我們一個(gè)重要啟示：如果

某時(shí)間序列是來(lái)自一個(gè)移動(dòng)平均過程，則當(dāng)該時(shí)間序列的樣本自相關(guān)函數(shù)，從某

個(gè)間隔期(4+1)開始，其值均為零時(shí)，我們就可以推測(cè)，原時(shí)間序列的階數(shù)為“。

［例］MA⑵?過程上=%+4〃一+a%-

2

容易算得%二(1+6；+。；)/,%=(q+aa)/，r2=O2a,力=0,J>2;

_"+,-———7,0=0,y>2o

［例］一個(gè)一階移動(dòng)平均過程

y=1.6+%+0.5〃小

其中吃是。一=2高斯白噪聲過程，表1是它容量為100的一個(gè)樣本。

表1一階自回歸過程y,=1.6+%+0.54_］的一個(gè)實(shí)現(xiàn)

tY,iY,tY,t匕

10.8855262.23351-0.1954761.3707

24.2934271.2258520.2623773.2748

3-0.1071281.0914532.6973784.642

40.0796293.8662541.5055794.514

52.8523303.6584551.8346806.3372

62.480131-1.2055562.371813.0025

72.300332-0.5732571.4937321.9877

81.0175331.2197581.2863831.8743

93.2323341.4091592.0144842.1319

102.499935-0.844601.7401850.4165

112.300736-1.031661-0.299386-1.1645

123.1032371.1887621.3933871.3004

133.1367381.7468630.366881.0471

142.4248390.5279642.5341891.3628

152.5574400.1392653.2576900.7714

162.5946410.992661.0231913.2516

171.1813422.8198672.6489923.1616

180.230543-0.603682.1931.6074

192.311544-0.4252692.183942.5893

20-0.0818450.1535701.6981952.3218

21-3.168846-1.1038712.3432960.8638

220.5128471.0635723.7589972.582

232.4507482.0526733.9677982.4109

240.8341491.7068743.0588990.8723

251.259550-0.8452751.63041003.4713

(1)畫出》的線圖；(2)求y的自相關(guān)函數(shù)

在EViews中輸入命令Ploty,可得該樣本的線圖如下

圖3過程)，,=1.6+u,+0.5〃小的線圖

根據(jù)公式(1)式，容易求得上的總體自相關(guān)函數(shù)為

a0.5

=0.4,k=\

Pk=<\+耳1+0.5?

[0,k>\

在EViews中雙擊序列￡,然后點(diǎn)擊View\Correlograms,選擇水平序列可

得AutocorrelationandPartialcorrelations函數(shù)圖如下,

AutocorrelationPartialCorrelationACPAC

1—11ZZI10.4040.404

1011[I20.112-0.061

1□1=J30.2570.280

1n1i40.2370.038

111:150,072-0.040

1?50,011-0.049

19110170.1220.098

1IE1B-0.001-0.139

1?]13-0.0300.062

I]1100.0880.064

圖4過程y=1.6+ii,+05%的自相關(guān)與偏相關(guān)圖

從圖4的樣本自相關(guān)函數(shù)值可以看出：滯后2期的自相關(guān)函數(shù)值衣=0.112與

立=0.404相比，大幅度減少，2>2的樣本自相關(guān)函數(shù)值也越來(lái)越小。

移動(dòng)平均過程的另一個(gè)重要問題是可逆性：

MA（q）表達(dá)為：y,=,+q+即%+…+巧產(chǎn)一,=〃+

其中。"）=1+夕/+*[?+......稱為特征多項(xiàng)式。

MA（q）可逆的充分必要條件是：特征方程0（￡）=0的根都在單位圓外。

（三）.無(wú)限階移動(dòng)平二勻過程M4（8）

對(duì)于一個(gè)M4g）過程，如果讓qf8,我們就得到如下的過程：

￡

y=〃+Z0jt-j=〃+%+6必.|++…

j=0

我們稱此過程為M43）過程，這里％=1。我們可以證明：如果MA3）過程

的系數(shù)是平方可加的，即￡外<8，那么M48）是一個(gè)平穩(wěn)的過程。

六0

一般地，我們用一個(gè)更強(qiáng)的絕對(duì)可加條件￡向卜00來(lái)代替平方可加條

六0

件，絕對(duì)可加蘊(yùn)涵平方可加。系數(shù)是絕對(duì)可加的MA（8）過程的均值和自協(xié)

方差分別為

七（。必一+。%/一）〃

￡[?]=Tli—m>x?4+%+124-2+…+7=

/o=￡(>;-//)2=lim￡1(%+a4_i+-2+,,,+，/”)2

T-xc

=iim(i+e：+e；+-?+。；爐

T—>oo—

乙二E(y-〃)(“一〃)

=〃(4〃+4+&+4+2%+…)

(四)、移動(dòng)平均過程的參數(shù)估計(jì)

移動(dòng)平均過程的參數(shù)估計(jì)就是在已確定移動(dòng)平均過程的階以后，根據(jù)它的一

個(gè)現(xiàn)實(shí)樣本(X，L，來(lái)估計(jì)移動(dòng)平均過程的均值〃二鳳匕)，及移動(dòng)平均

系數(shù)(或稱權(quán)數(shù))。，以及被假定為白噪聲過程的吃的方差。：。不失一般性，我們

假定MAS)的均值〃=E(匕)=0,以便于對(duì)其它參數(shù)的估計(jì)。

匕=%+4〃川+。2%.2+…+(2)

其中｛〃/是一日噪聲過程。

估計(jì)(2)式中的參數(shù)的一個(gè)方法是將它化成4R(8)的形式(因?yàn)樗强赡娴?

這種轉(zhuǎn)換是可行的)：

(1+/L+rll七+〃3七'+,,,)-=〃/

即匕=一7匕.|-小匕一2-小Z-3---+%

求使上式所表示的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的殘差平方和最小的諸〃，即求各"，使

00

S(7，%，%，…)=Z("71+%*+/*+…)2

/=1

最小。

我們的估計(jì)問題首先就是要求各力使S(7，%,%,…，么)最小(%=1)。當(dāng)我們估

計(jì)出〃以后，再根據(jù)〃與。的關(guān)系，求出各。的估計(jì)值。

上述過程所用的方法是最小二乘法，但是由于各〃與各。的關(guān)系較復(fù)雜，上

述估計(jì)屬于非線性估計(jì)，往往要在一組初始值下進(jìn)行迭代。有計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)軟件

EViews中有相應(yīng)的程序?qū)M⑷過程進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。

例如:如要估計(jì)MA(2)過程,則估計(jì)命令為

LsycMA(1)MA(2)

下圖是某MA(2)序列的EViews估計(jì)的輸出結(jié)果

F-------------------------------------------------------------------------------------------------------

EViews-[Equation:UWTITLEDTorkfile:gftIAl+2\Unti...目回鹵

□FileEditOlj.ctViewProcQuickO￡tionsWindsH?lp-SX

Vi8MpObject1外匕|Name〔Freeze|Estimate]Forec蚊|Stats|Resids|

TV

DependentVariableY

Method:LeastSquares

Date:06/21/10Time10:38

Sample:1100

Includedobservations100

Convergenceachijvedafter9iterations

Backcast-10

VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb,

C1960306006341831.226330.0000

MA(1)0.2389060.0998792.3919650.0187

MA(2)0.18895801044031.8098840.0734

R-squared0.066722Meandependentvar1.982562

AdjustedR-squared0.047479S.D.dependentvar0.456385

S.E.ofregression0.445418Akaikeinfocriterion1.249936

Sumsquaredresii1924457Schwarzcriterion1.328091

Loglikelihood■5949679F-statistic3.467371

Durbin-Watsonstat2043234Prob(F-slati$tic)0.035118

InvertedMARoots-12-.42i-.12+.42i

V

」D?p?nd?ntVonabh:I

圖5MA（2）過程的EVicws估計(jì)結(jié)果

若假設(shè)⑵式中｛〃』是一高斯白噪聲過程（〃,?N（0Q2））,也可用最大似然估

計(jì)來(lái)估計(jì)模型中的參數(shù)。（略）

三、自回歸（AR）過程

另一類常用的模型是自I可歸模型（AutoRegressiveModel,縮寫為AR模型）。

（一）.一階自回歸過程AR⑴

表達(dá)式為方程：

y=c+肛T+/⑶

〃，為白噪聲序列。

如果闞＞1,過程（3）中〃，對(duì)y的影響隨著時(shí)間累增而不是消失，過程不是

有限方差的平穩(wěn)過程。這個(gè)過程一般稱為爆炸性過程。當(dāng)嗣＜1時(shí)，可直接利用

差分方程）：=c+”小+勺計(jì)算各階矩。對(duì)（3）式兩邊取期望：

石（止。+網(wǎng)y.J

從而，

七⑸

對(duì)（3）式變形，得到:

y=〃［1一姆+。.%+《或（y-"）=。（坨-M+q

兩邊平方求期望：

二，E（y_i『+2。磯（加-〃）%］+七⑹

將（>；_1-//）=〃小+如_2+"/一3+?…代入，可得

yo=#，o+o'

從而得到協(xié)方差平穩(wěn)AH（l）過程的方差：

（3）兩側(cè)同時(shí)乘以（）力-〃），再求期望

足（,—〃乂）力一〃）］二"［（）小一〃乂）工廠〃）］+后［與（）"「〃）］

可得自協(xié)方差函數(shù)

九=憶.\

一=，—

則自相關(guān)函數(shù)為：

0=匕="（4）

/o

（二）.〃階自回歸過程AR（p）

表達(dá)式為：

￡=C+網(wǎng)>r-|+02y.2+--+。/+〃,15）

其平穩(wěn)性條件為特征方程1-4Z-4z2-…-0Z〃=O的根都在單位圓外。假設(shè)過程

平穩(wěn)，對(duì)（5）兩邊求期望，得至士

〃=6++叁〃+…+力〃

從而可以得到均值：

"=c/（l-a-4_...一勿）

表達(dá)式（5）可以寫成：

yd（y7-〃）+4（y”2—〃）+…?+0（其心一4）十%

表達(dá)式兩側(cè)同時(shí)乘以（九/-〃），再取期望可得自協(xié)方差:

。乙一|十。2力—2+3+。/力-〃，=1,2,…

y.=j->10)

)…+%Yp+b7=0

(6)兩側(cè)同時(shí)除以加，得到尤拉--沃克(Yule-Walker)方程：

Pi=域0T+。2。.2+…+耙P/_pj=12.…⑺

式(6)和(7)表明，〃階自回歸過程的自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)具有相同形

式的p階差分方程，其自相關(guān)函數(shù)的具有拖尾特征。也就是說(shuō)隨著L的增大，pk

的絕對(duì)值逐漸下降，但是不會(huì)到某一點(diǎn)以后被突然截?cái)?，而是一直拖下去，我?/p>

稱自回歸模型的自相關(guān)函數(shù)的這種特性為自相關(guān)函數(shù)的拖尾性。

顯然自相關(guān)函數(shù)的拖尾性是AR模型的特征而自相關(guān)函數(shù)的截尾性則是MA

模型的特征。但是用自相關(guān)函數(shù)的拖尾性并不足以說(shuō)明時(shí)間序列是來(lái)自自回歸過

程。下面引入偏自相關(guān)函數(shù)的概念。

在⑺式中令/=1,2,得到如卜的Yule-Walker方程組

P\=族+圾8+…

22=族。I+A夕0+…。小

pP=Mpf+app-2+,??+?

其中運(yùn)用了夕0=1和04=Pko

當(dāng)ZVA，…，夕〃為己知時(shí)，可從Yule-Walker方程組中解出諸但用方程(8)

求解諸友需要先知道自回歸過程的階數(shù)P，但是我們并不知道。因此，我們可以

分別p=l,2,…求解。

當(dāng)〃時(shí)，求解方程組(8),并利用樣本自相關(guān)函數(shù)，得必的估計(jì)值3二4。

如果必顯著地不為零，則自回歸過程的階數(shù)至少為1。記J為0“。

當(dāng)〃=2時(shí)，求解方程組(8),并利用樣本自相關(guān)函數(shù)，得族和人的估計(jì)值，

設(shè)人的估計(jì)值為初。如果么顯著地不為零，則自回歸過程的階數(shù)至少為2。汜&

為為。

對(duì)〃連續(xù)取值3,4,…，重復(fù)上述過程，如對(duì)〃=3,得到由的估計(jì)值&，

記為％，等等。我們稱序歹U%,仍2，033,…，為偏相關(guān)函數(shù)。

性質(zhì)結(jié)論：AR(p)模型的偏自相關(guān)函數(shù)p階后截尾。(MA模型拖尾)

(三)、有限階自回歸過程的估計(jì)

可以利用最小二乘法來(lái)估計(jì)4R(p)過程中的未知參數(shù)。把觀察值代入方程(5)

中可得

%+i=。+價(jià))％+仍)，%］+???+%,)，］+〃》］

先+2=。+例+%)'〃+…+%%+〃p+2

*

*

二c+(P\?7+(p2yT_2+…+UT

把它寫成矩陣的形式為

y=X(p+u

其中>=(%+1，力+2,…，)'r)'，u=Qp+M+2,…，％)'，。=(。,必，…,。J

1”?*-M一

丫1加…乃

X=....

????

????

J>7-1…)7-p.

參數(shù)向量。的最小二乘估計(jì)量為

3=(xx『xy

如果〃，服從正態(tài)分布，那么最小二乘法估計(jì)量。是一致的和漸近正態(tài)的。

EViews軟件中有相應(yīng)的程序?qū)R(p)過程進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。

例如：如要估計(jì)AR(2)過程,則估計(jì)命令為L(zhǎng)sycAR⑴AR(2)

四、自回歸移動(dòng)平均過程ARMA(p，4)

如果自回歸移動(dòng)平均過程中自回歸部分的階數(shù)為零，則它就成為一個(gè)純移動(dòng)

平均過程；如果自回歸移動(dòng)平均過程中移動(dòng)平均部分的階數(shù)為零，則它就成為一

個(gè)純自回歸過程。所以AR過程和MA過程均可看成是ARMA過程的特例。

(一)、4知以(〃國(guó))過程的性質(zhì)

ARMA(p,q)表達(dá)式為：

X=c+埼y,_,+我乂_2+…?++%+夕必”+…+自產(chǎn)519)

寫成滯后算子的形式為：

0—0Z-02尸一….一內(nèi)尸）y=C+（1+，J+…+a戶（10）

可以發(fā)現(xiàn)，4加4（PM）過程的平穩(wěn)性完全取決于回歸參數(shù)（落如…場(chǎng),）而與移動(dòng)

平均參數(shù)無(wú)關(guān)。即例（PM）過程的平穩(wěn)性條件為特征方程：

l-^z-^z2-....-^,zp=O（11）

的根在單位圓外。

ARM4（p，4）過程的自相關(guān)函數(shù)都具有拖尾特征。

（二）、例（〃M）過程的識(shí)別與估計(jì)

ARMA（p⑺過程既有自回歸的某些性質(zhì)又有移動(dòng)平均的某些性質(zhì)，從其自相

關(guān)函數(shù)來(lái)看，它與自回歸過程一樣是拖尾的；從其偏自相關(guān)函數(shù)來(lái)看，它和移動(dòng)

平均過程一樣也是拖尾的。所以，如果其自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)都是拖尾的,

則我們就可以判定這個(gè)線性時(shí)間序列是一個(gè)ARMA過程。

［例］ARMA模型的識(shí)別。

根據(jù)某樣本容量100的數(shù)據(jù)表（略）擬合一個(gè)ARMA模型。

用EViews可得樣本自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)

AutocorrelationPartialCorrelationACPACQ-Stat

1]1110.675087578858

1匚120694-030312904

1]1n30596032716642

1口140.515-0.21219463

1]1150,416003621324

1=□匚160.301-0.19022308

113?70.2100.115227.93

11180.165-0.01023096

11190.1360.045233.04

11?c1100079-0.162233,75

11?C111-0010-0.094233.76

'[1112-0.105-0.167235.04

C11113-0.1780.00323876

匚1?C114-0.236-0.103245.39

■1IC115-0.315-0.113257.27

111D16-0357018727274

U11i17-0.337-0.02528674

U1?1i18-0.322-0.05529964

1=11i19-0.320-0.01231256

匚11i20-0.3070.00632460

匚11i21-0.279-0.00133465

1?1i22-0.255-0.053343.16

11■23-0.2080.25234888

|[11124-0.140-0.031351.50

1[11125-0.095-000735273

1[1c126-0.081-0.188353.63

'[11127-0.074-0.018354.40

1111128-0.042001735464

111129-0.006-0.00135465

111c130-0.001-0.074354.65

111131-0.009001135466

111132-0.003002635466

111330.0480151355.01

1?I1340.116-0.06235709

11[1350.131-0.087359.79

1pi111360,108005036166

圖6時(shí)間序列X的樣本自相關(guān)函數(shù)AC與偏自相關(guān)函數(shù)PAC

從圖6可看出自樣本自相關(guān)圖（表中的第一欄）具有拖尾特征，而偏自相關(guān)圖（表中

的第二欄）也具有拖尾特征，所以該時(shí)間序列是一個(gè)混合自回歸移動(dòng)平均過程。

下面我們用計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)軟件EViews分別進(jìn)行不同階的擬合：

根據(jù)ARM41J）擬合的結(jié)果如下表所示

VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C19.645710.70590627.830480.0000

AR(1)0.7273110.0733539.9151740.0000

MA(1)0.7489210.07086C10.569040.0000

R-squared0.822026Meandependentvar19.67056

AdjustedR-squared0.818318S.D.dependentvar2.572546

S.E.ofregression1.096525Akaikeinfocriterion3.052004

Sumsquaredresid115.4273Schwarzcriterion3.130644

Loglikelihood-148.0742F-statistic221.7024

Durbin-Watsonstat2.160162Prob(F-stalistic)0.000000

根據(jù)ARM42J）擬合的結(jié)果則為:

VariableCoefficientStd.Errcrt-StatisticProb.

C19.711410.83044723.735910.0000

AR⑴0.5347560.1291764.1397500.0001

AR⑵0.2194580.1277951.7172680.0892

MA(1)0.8575970.07050712.163360.0000

R-squared0.827770Meandepsndentvar19.68422

AdjustedR-squared0.822274S.D.dependentvar2.582161

S.E.ofregression1.088577Akaikeinfocriterion3.047580

Sumsquaredresid111.3901Schwarzcriterion3.153089

Loglikelihood-145.3314F-statistic150.5943

Durbin-Watsonstat2.017941Prob(F-statistic)0.000000

根據(jù)ARM42,2）擬合的結(jié)果為:

VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C19.725240.81644924.159780.0000

AR(1)0.4421830.3349201.3202660.1900

AR⑵0.2818680.2527201.1153360.2676

MA(1)0.9568900.3274212.9225040.0044

MA(2)0.0805570.2536260.3176210.7515

R-squared0.827780Meandependentvar19.68422

AdjustedR-squared0.820372S.D.dependentvar2.582161

S.E.ofregression1.094384Akaikeinfocriterion3.067934

Sumsquaredresid111.3840Schwarzcriterion3.199820

Loglikelihood-145.3288F-statistic111.7516

Durbin-Watsonstat2.020893Prob(F-statistic)0.000000

上述三個(gè)結(jié)果中，以4用"42,1）擬合的調(diào)