人教版九年級上冊數(shù)學期中考試試卷及答案

人教版九年級上冊數(shù)學期中考試試題一、選擇題。（每小題只有一個正確答案）1．下列圖案中，是中心對稱圖形的是（）A．B．C．D．2．如圖，點I是△ABC的內(nèi)心，∠BIC＝130°，則∠BAC＝（）A．60° B．65° C．70° D．80°3．如圖，在中，，，求證：.當用反證法證明時，第一步應假設（）A． B． C． D．4．下列說法正確的是（）A．與圓有公共點的直線是圓的切線B．到圓心的距離等于圓的半徑的直線是圓的切線C．垂直于圓的半徑的直線是圓的切線D．過圓的半徑外端的直線是圓的切線5．⊙O的半徑為5cm，點A到圓心O的距離OA＝3cm，則點A與⊙O的位置關(guān)系為()A．點A在⊙O上 B．點A在⊙O內(nèi) C．點A在⊙O外 D．無法確定6．如圖，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切線，已知AD＝2，BC＝5，則AB＋CD的值是A．14 B．12 C．9 D．77．如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，連接OC交⊙O于點D，連接BD，∠C=40°．則∠ABD的度數(shù)是（）A．30° B．25° C．20° D．15°8．如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C，連結(jié)AO并延長交⊙O于點E，連結(jié)EC．若AB＝8，OC＝3，則EC的長為（）A．2 B．8 C．2 D．29．如圖，點A，B，C，D為⊙O上的四個點，AC平分∠BAD，AC交BD于點E，CE=4，CD=6，則AE的長為()A．4 B．5 C．6 D．710．如圖，是的直徑，分別是的中點，在上．下列結(jié)論：①；②；③四邊形是正方形；④．其中正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題11．已知Rt△ABC中，，，，如果以點為圓心的圓與斜邊有唯一的公共點，那么的半徑的取值范圍為____.12．如圖，在⊙O中，AB為直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，CD=8，BE=2，則⊙O的直徑為____．13．如下圖，⊙O是△ABC的外接圓，AC＝4，∠ABC＝∠DAC，則直徑AD為______．14．如圖，已知點經(jīng)過原點，交軸正半軸于點．點在上，，圓心的坐標為__________．15．如圖，在⊙O中，是⊙O的直徑，，點是點關(guān)于的對稱點，是上的一動點，下列結(jié)論：①；②；③；④的最小值是10．上述結(jié)論中正確的個數(shù)是_________．16．如圖，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝6，D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑作⊙O分別交AB、AC于E、F，連結(jié)EF，則線段EF長度的最小值為_____．三、解答題17．解下列方程：（1）x（2x﹣1）＝2x﹣1；（2）x2﹣4x﹣3＝0．18．已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1＝0的兩個實數(shù)根．（1）求實數(shù)m的取值范圍；（2）如果x1，x2滿足不等式4+4x1x2＞x12+x22，且m為整數(shù)，求m的值．19．某超市銷售一款“免洗洗手液”，這款“免洗洗手液”的成本價為每瓶16元，當銷售單價定為20元時，每天可售出80瓶．根據(jù)市場行情，現(xiàn)決定降價銷售．市場調(diào)查反映：銷售單價每降低0.5元，則每天可多售出20瓶（銷售單價不低于成本價），若設這款“免洗洗手液”的銷售單價為x（元），每天的銷售量為y（瓶）．（1）求每天的銷售量y（瓶）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當銷售單價為多少元時，銷售這款“免洗洗手液”每天的銷售利潤最大，最大利潤為多少元？20．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°．（1）作出經(jīng)過點B，圓心O在斜邊AB上且與邊AC相切于點E的⊙O（尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫作法）（2）設（1）中所作的⊙O與邊AB交于異于點B的另外一點D，若⊙O的直徑為5，BC＝4；求DE的長．21．已知在△ABC中，AB＝BC，以AB為直徑的⊙O分別交AC于D，BC于E，連接ED．（1）求證：ED＝DC；（2）若CD＝6，EC＝4，求AB的長．22．如圖，AB是⊙O的直徑，直線MC與⊙O相切于點C．過點A作MC的垂線，垂足為D，線段AD與⊙O相交于點E．（1）求證：AC是∠DAB的平分線；（2）若AB＝10，AC＝4，求AE的長．23．如圖，在中，，的平分線交于，為上一點，，以為圓心，以的長為半徑畫圓．(1)求證：是⊙的切線；(2)求證：.24．如圖，是的直徑，是上一點，，垂足為(點在線段上)，已知，．(1)求的半徑；(2)E是線段上一點，點在線段上，且，延長，分別交于點，．直線與的延長線交于點．探究：隨著點的運動，的大小是否改變?請說明理由．25．如圖，拋物線y＝ax2+2ax﹣3a（a≠0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且OA=OC，直線y＝﹣x與該拋物線交于E，F(xiàn)兩點．（1）求拋物線的解析式．（2）P是直線EF下方拋物線上的一個動點，作PH⊥EF于點H，求PH的最大值．（3）以點C為圓心，1為半徑作圓，⊙C上是否存在點D，使得△BCD是以CD為直角邊的直角三角形？若存在，直接寫出D點坐標；若不存在，請說明理由．參考答案1．D【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念，判斷是否能找到對稱中心即可解答．【詳解】A、C是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，因為找不到任何這樣的一點，旋轉(zhuǎn)180度后它的兩部分能夠重合；即不滿足中心對稱圖形的定義，故A、C錯誤；B、不是中心對稱圖形，因為找不到任何這樣的一點，旋轉(zhuǎn)180度后它的兩部分能夠重合；即不滿足中心對稱圖形的定義，故B錯誤；D、是中心對稱圖形．故D正確．故選：D．【點睛】本題考查的是中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．2．D【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)接圓得到∠ABC=2∠IBC，∠ACB=2∠ICB，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠IBC+∠ICB，求出∠ACB+∠ABC的度數(shù)即可；【詳解】解：∵點I是△ABC的內(nèi)心，∴∠ABC＝2∠IBC，∠ACB＝2∠ICB，∵∠BIC＝130°，∴∠IBC+∠ICB＝180°﹣∠CIB＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝2×50°＝100°，∴∠BAC＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）＝80°．故選D．【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)心，掌握三角形的內(nèi)心的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3．B【分析】根據(jù)反證法的概念，即可得到答案．【詳解】用反證法證明時，第一步應假設命題的結(jié)論不成立，即：．故選B．【點睛】本題主要考查反證法，掌握用反證法證明時，第一步應假設命題的結(jié)論不成立，是解題的關(guān)鍵．4．B【分析】根據(jù)切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，可判定C、D錯誤；由切線的定義：到圓心距離等于圓的半徑的直線是圓的切線，可判定A錯誤，B正確．注意排除法在解選擇題中的應用．【詳解】解：A、與圓只有一個交點的直線是圓的切線，故本選項錯誤；

B、到圓心距離等于圓的半徑的直線是圓的切線，故本選項正確；

C、經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，故本選項錯誤；

D、經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，故本選項錯誤．

故選：B．【點睛】此題考查了切線的判定．此題難度不大，注意掌握切線的判定定理與切線的定義是解此題的關(guān)鍵．5．B【詳解】解：根據(jù)點到圓心的距離與半徑的關(guān)系進行判定,由題目可求出點到圓心的距離d=OA=5,

∵d<r

∴點A在圓內(nèi)

故選B6．D【分析】根據(jù)切線長定理，可以證明圓的外切四邊形的對邊和相等，由此即可解決問題．【詳解】∵AB、BC、CD、DA都是⊙O的切線，∴可以假設切點分別為E、H、G、F，∴AF＝AE，BE＝BH，CH＝CG，DG＝DF，∴AD＋BC＝AF＋DF＋BH＋CH＝AE＋BE＋DG＋CG＝AB＋CD，∵AD＝2，BC＝5，∴AB＋CD＝AD＋BC＝7，故選D.【點睛】本題考查切線的性質(zhì)、切線長定理等知識，解題的關(guān)鍵是證明圓的外切四邊形的對邊和相等，屬于中考常考題型．7．B【詳解】試題分析：∵AC為切線∴∠OAC=90°∵∠C=40°∴∠AOC=50°∵OB=OD∴∠ABD=∠ODB∵∠ABD+∠ODB=∠AOC=50°∴∠ABD=∠ODB=25°.考點：圓的基本性質(zhì).8．D【分析】根據(jù)垂徑定理求出AC＝BC，根據(jù)三角形的中位線求出BE，再根據(jù)勾股定理求出EC即可．【詳解】解：連接BE，∵AE為⊙O直徑，∴∠ABE＝90°，∵OD⊥AB，OD過O，∴AC＝BC＝AB＝＝4，∵AO＝OE，∴BE＝2OC，∵OC＝3，∴BE＝6，在Rt△CBE中，EC＝==.故選D．【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，三角形的中位線等知識點，能根據(jù)垂徑定理求出AC＝BC是解此題的關(guān)鍵．9．B【解析】試題分析：設AE=x，則AC=x+4，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD．∵∠CDB=∠BAC（圓周角定理），∴∠CAD=∠CDB．∴△ACD∽△DCE．∴，即．解得：x=5．故選B．10．C【分析】根據(jù)題意連結(jié)OM、ON，易得，利用含30度的直角三角形三邊關(guān)系得∠OMC=30°，∠OND=30°，所以，則可對①進行判斷；再計算出∠MOC=∠NOD=60°，則∠MON=60°，于是根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系對②進行判斷；先證明四邊形MCDN為平行四邊形，加上∠MCO=90°，則可判斷四邊形MCDN為矩形，由于則，于是可對③進行判斷；由四邊形MCDN為矩形得到MN=CD，則，則可對④進行判斷．【詳解】解：如圖，連接．分別是的中點，．，，故①正確．，故②正確．，∴四邊形為平行四邊形．，∴四邊形為矩形．，∴四邊形不是正方形，故③錯誤．∵四邊形為矩形，,，故④正確．綜上，①②④正確．故選：C．【點睛】本題考查圓周角定理以及圓心角、弧、弦的關(guān)系，注意掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．11．或【分析】因為要使圓與斜邊只有一個公共點，所以該圓和斜邊相切或和斜邊相交，但只有一個交點在斜邊上．若d＜r，則直線與圓相交；若d=r，則直線于圓相切；若d＞r，則直線與圓相離．【詳解】根據(jù)勾股定理求得BC==6，當圓和斜邊相切時，則半徑即是斜邊上的高，等于；當圓和斜邊相交，且只有一個交點在斜邊上時，可以讓圓的半徑大于短直角邊而小于長直角邊，則6＜r≤8，故半徑r的取值范圍是r=4.8或6＜r≤8，故答案為r=4.8或6＜r≤8．【點睛】此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，此題注意考慮兩種情況，只需保證圓和斜邊只有一個公共點即可．12．10【分析】連接OC，根據(jù)垂徑定理即可求出CE，設⊙O的半徑為r，利用勾股定理列出方程即可求出r，從而求出結(jié)論．【詳解】解：連接OC∵在⊙O中，AB為直徑，弦CD⊥AB，CD=8，∴CE=CD=4設⊙O的半徑為r，則OB=OC=r∴OE=OB－BE=r－2在Rt中，OE2＋CE2=OC2∴（r－2）2＋42=r2解得：r=5∴⊙O的直徑為2×5=10故答案為：10．【點睛】此題考查的是垂徑定理和勾股定理，掌握垂徑定理和勾股定理是解決此題的關(guān)鍵．13．4【詳解】分析：連接CD，由圓周角定理可知∠ACD=90°，再根據(jù)∠DAC=∠ABC可知AC=CD，由勾股定理即可得出AD的長.詳解：連接CD，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD=90°，∵∠DAC=∠ABC，∠ABC=∠ADC，∴∠DAC=∠ADC，∴弧CD=弧AC∴AC=CD，又∵AC2+CD2=AD2，∴2AC2=AD2，∵AC=4∴AD=4故答案為4.點睛：本題考查的是圓周角定理及勾股定理、直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．14．【分析】連接OP，OB，PB，延長BP交⊙P于E，連接OE，作EF⊥OA于F，BH⊥x軸于H.利用全等三角形的性質(zhì)求出點E坐標即可解決問題.【詳解】解：連接OP，OB，PB，延長BP交⊙P于E，連接OE，作EF⊥OA于F，BH⊥x軸于H．

∵∠BPO=2∠BAO，∠BAO=45°，

∴∠BPO=90°，

∵PO=OB，

∴△PBO是等腰直角三角形，

∵BE是直徑，

∴∠BOE=90°，

∴∠OBE=∠OEB=45°，

∴OE=OB，

∵∠EOB=∠AOH=90°，

∴∠EOF=∠BOH，

∵∠EFO=∠BHO=90°，

∴△EFO≌△BHO(AAS)，

∴OF=OH=5，EF=BH=2，

∴E(?2,5)，

∵PE=PB，

∴P.

故答案為.【點睛】本題考查圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．15．3【分析】①根據(jù)點是點關(guān)于的對稱點可知，進而可得；②根據(jù)一條弧所對的圓周角等于圓心角的一半即可得結(jié)論；③根據(jù)等弧對等角，可知只有當和重合時，，；④作點關(guān)于的對稱點，連接，DF，此時的值最短，等于的長，然后證明DF是的直徑即可得到結(jié)論．【詳解】解：，點是點關(guān)于的對稱點，

，

，①正確；，∴②正確；

的度數(shù)是60°，

的度數(shù)是120°，∴只有當和重合時，，∴只有和重合時，，③錯誤；作關(guān)于的對稱點，連接，交于點，連接交于點，此時的值最短，等于的長．連接，并且弧的度數(shù)都是60°，是的直徑，即，∴當點與點重合時，的值最小，最小值是10，∴④正確．故答案為：3．【點睛】本題考查了圓的綜合知識，涉及圓周角、圓心角、弧、弦的關(guān)系、最短距離的確定等，掌握圓的基本性質(zhì)并靈活運用是解題關(guān)鍵．16．【分析】過O點作OH⊥EF，垂足為H，連接OE，OF，由圓周角定理可知∠EOH＝∠EOF＝∠BAC＝60°，由垂徑定理可知EF＝2EH＝2OE?sin∠EOH＝2OE?sin60°，所以當半徑OE最短時，EF最短．而由垂線段的性質(zhì)可知，當AD為△ABC的邊BC上的高時，直徑AD最短，所以只要在Rt△ADB中，解直角三角形求出最短直徑AD，即可得到最短半徑OE，進而求出線段EF長度的最小值．【詳解】解：由垂線段的性質(zhì)可知，當AD為△ABC的邊BC上的高時，直徑AD最短，如圖，連接OE，OF，過O點作OH⊥EF，垂足為H，∵在Rt△ADB中，∠ABC＝45°，AB＝6，∴AD＝BD＝=3，OE=，由圓周角定理可知∠EOH＝∠FOH＝∠BAC＝60°，∴在Rt△EOH中，EH＝OE?sin∠EOH＝×＝，由垂徑定理可知EF＝2EH＝，故答案為．【點睛】本題考查圓的綜合問題，熟練掌握圓周角定理、垂徑定理以及解直角三角形的方法是解題關(guān)鍵．17．（1）x＝0.5或x＝1；（2）x＝2【分析】（1）利用提公因式法因式分解即可；（2）利用配方法求解可得．【詳解】解：（1）原方程移項得：x（2x﹣1）﹣（2x﹣1）＝0，∴（2x﹣1）（x﹣1）＝0，則2x﹣1＝0或x﹣1＝0，解得x＝0.5或x＝1；（2）∵x2﹣4x＝3，∴x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7，∴x﹣2＝，∴x＝2．【點睛】本題考查解一元二次方程，熟悉相關(guān)解法是解題的關(guān)鍵．18．（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)判別式的意義得到＝（﹣2）2﹣4×2（m+1）≥0，然后解不等式即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2＝1，x1x2＝，再變形已知條件得到4+4x1x2＞（x1+x2）2﹣2x1x2，于是有4+6×＞1，解得m＞﹣2，所以m的取值范圍為﹣2＜m≤﹣，然后找出此范圍內(nèi)的整數(shù)即可．【詳解】解：（1）根據(jù)題意得＝（﹣2）2﹣4×2（m+1）≥0，解得m≤﹣．故實數(shù)m的取值范圍是m≤﹣；（2）根據(jù)題意得x1+x2＝1，x1x2＝，∵4+4x1x2＞x12+x22，∴4+4x1x2＞（x1+x2）2﹣2x1x2，即4+6x1x2＞（x1+x2）2，∴4+6×＞1，解得m＞﹣2，∴﹣2＜m≤﹣，∴整數(shù)m的值為﹣1．【點睛】此題考查的是根據(jù)一元二次方程根的情況，求參數(shù)的取值范圍，掌握一元二次方程根的情況與根的判別式的關(guān)系和根與系數(shù)的關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵．19．（1）y＝﹣40x+880；（2）當銷售單價為19元時，銷售這款“免洗洗手液”每天的銷售利潤最大，最大利潤為880元【分析】（1）銷售單價為x（元），銷售單價每降低0.5元，則每天可多售出20瓶（銷售單價不低于成本價），則為降低了多少個0.5元，再乘以20即為多售出的瓶數(shù)，然后加上80即可得出每天的銷售量y；（2）設每天的銷售利潤為w元，根據(jù)利潤等于每天的銷售量乘以每瓶的利潤，列出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，將其寫成頂點式，按照二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：（1）由題意得：y＝80+20×，∴y＝﹣40x+880；（2）設每天的銷售利潤為w元，則有：w＝（﹣40x+880）（x﹣16）＝﹣40（x﹣19）2+360，∵a＝﹣40＜0，∴二次函數(shù)圖象開口向下，∴當x＝19時，w有最大值，最大值為360元．答：當銷售單價為19元時，銷售這款“免洗洗手液”每天的銷售利潤最大，最大利潤為360元．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應用,關(guān)鍵在于理解題意找出等量關(guān)系.20．（1）見解析；（2）DE＝【分析】（1）作∠ABC的角平分線交AC于E，作EO⊥AC交AB于點O，以O為圓心，OB為半徑畫圓即可解決問題；（2）作OH⊥BC于H．首先求出OH、EC、BE，利用△BCE∽△BED，可得＝，解決問題.【詳解】（1）作∠ABC的角平分線交AC于E，作EO⊥AC交AB于點O，以O為圓心，OB為半徑畫圓，∵BE平分∠ABC，EO⊥AC，∴∠ABE=∠CBE，，∴∠OEB=∠CBE，∴∠ABE=∠OEB，∴OE=OB，∴⊙O即為所求；（2）作OH⊥BC于H，∵AC是⊙O的切線，∴OE⊥AC，∴∠C＝∠CEO＝∠OHC＝90°，∴四邊形ECHO是矩形，∴OE＝CH＝，BH＝BC－CH＝，∴在中，OH＝＝2，∴EC＝OH＝2，BE＝＝=2，∵∠EBC＝∠EBD，∠BED＝∠C＝90°，∴∽，∴＝，∴＝，∴DE＝．【點睛】本題考查作圖?復雜作圖，切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、角平分線的定義，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．21．（1）證明見解析；（2）AB＝6．【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠DEC=∠A，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠A=∠C，求出∠DEC=∠C，根據(jù)等腰三角形的判定得出即可；

（2）連接BD，根據(jù)圓周角定理求出∠ADB=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出AC長，再求出△DEC∽△BAC，得出比例式，即可求出答案．【詳解】（1）證明：∵A、B、E、D四點共圓，∴∠DEC＝∠A，∵AB＝BC，∴∠A＝∠C，∴∠DEC＝∠C，∴ED＝DC；（2）解：連接BD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，即BD⊥AC，∵AB＝BC，CD＝6，∴AD＝DC＝6，∴AC＝12，∵∠A＝∠DEC，∠C＝∠C，∴△DEC∽△BAC，∴,∴，解得：BC＝6，∵AB＝BC，∴AB＝6．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識點，能綜合運用定理進行推理是解此題的關(guān)鍵．22．（1）詳見解析；（2）6．【分析】（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OCM＝90°，得到OC∥AD，根據(jù)平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；（2）連接BC，連接BE交OC于點F，根據(jù)勾股定理求出BC，證明△CFB∽△BCA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出CF，得到OF的長，根據(jù)三角形中位線定理解答即可．【詳解】（1）證明：連接，如圖：∵直線與相切于點∴∵∴∴∴∴∵∴∴∴是的平分線．（2）解：連接，連接交于點，如圖：∵AB是的直徑∴∵，∴∵∴∴，為線段中點∵，∴∴，即∴∴∵為直徑中點，為線段中點∴．故答案是：（1）詳見解析；（2）6【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì)，適當?shù)奶砑虞o助線是解題的關(guān)鍵．23．(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）過點D作DF⊥AC于F，求出BD=DF等于半徑，得出AC是⊙D的切線;（2）先證明△BDE≌△FCD（HL），根據(jù)全等三角形對應邊相等及切線的性質(zhì)的AB=AF，得出AB+EB=AC．【詳解】證明：(1)過點作于;∵，以為圓心，以的長為半徑畫圓，∴AB為圓D的切線又∵，且AD平分∠BAC,且DF⊥AC，是⊙的切線.(2)由，DB是半徑得AB的是⊙O的切線，又由（1）可知是⊙的切線∵,∴即.【點睛】本題考查的是切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；及全等三角形的判斷，全等三角形的對應邊相等．24．（1）的半徑為5；（2）保持不變，理由見解析