山東省平度市九中2025屆高三第二次調研數(shù)學試卷含解析

山東省平度市九中2025屆高三第二次調研數(shù)學試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．關于圓周率，數(shù)學發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐實驗和查理斯實驗.受其啟發(fā)，某同學通過下面的隨機模擬方法來估計的值：先用計算機產生個數(shù)對，其中，都是區(qū)間上的均勻隨機數(shù)，再統(tǒng)計，能與構成銳角三角形三邊長的數(shù)對的個數(shù)﹔最后根據(jù)統(tǒng)計數(shù)來估計的值.若，則的估計值為（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，且的圖象經過第一、二、四象限，則，，的大小關系為()A． B．C． D．3．已知為虛數(shù)單位，實數(shù)滿足，則()A．1 B． C． D．4．已知集合，集合，則A． B．或C． D．5．某幾何體的三視圖如右圖所示,則該幾何體的外接球表面積為()A． B．C． D．6．已知雙曲線的離心率為，拋物線的焦點坐標為，若，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B．C． D．7．若函數(shù)，在區(qū)間上任取三個實數(shù)，，均存在以，，為邊長的三角形，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8．復數(shù)的共軛復數(shù)在復平面內所對應的點位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．10．設為拋物線的焦點，，，為拋物線上三點，若，則（）.A．9 B．6 C． D．11．若關于的不等式有正整數(shù)解，則實數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)，當時，恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設函數(shù)，則滿足的的取值范圍為________.14．三所學校舉行高三聯(lián)考，三所學校參加聯(lián)考的人數(shù)分別為160，240，400，為調查聯(lián)考數(shù)學學科的成績，現(xiàn)采用分層抽樣的方法在這三所學校中抽取樣本，若在學校抽取的數(shù)學成績的份數(shù)為30，則抽取的樣本容量為____________.15．若函數(shù)與函數(shù)，在公共點處有共同的切線，則實數(shù)的值為______．16．在棱長為的正方體中，是面對角線上兩個不同的動點.以下四個命題：①存在兩點，使；②存在兩點，使與直線都成的角；③若，則四面體的體積一定是定值；④若，則四面體在該正方體六個面上的正投影的面積的和為定值.其中為真命題的是____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知中，角所對邊的長分別為，且（1）求角的大小；（2）求的值.18．（12分）已知函數(shù)f(x)=x-1+x+2，記f(x)（Ⅰ）解不等式f(x)≤5；（Ⅱ）若正實數(shù)a，b滿足1a+119．（12分）已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調性；（3）當時，若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求證：.20．（12分）如圖，四邊形中，，，，沿對角線將翻折成，使得.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）已知是遞增的等比數(shù)列，，且、、成等差數(shù)列.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設，，求數(shù)列的前項和.22．（10分）如圖，在正四棱柱中，已知，.（1）求異面直線與直線所成的角的大小；（2）求點到平面的距離.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

先利用幾何概型的概率計算公式算出，能與構成銳角三角形三邊長的概率，然后再利用隨機模擬方法得到，能與構成銳角三角形三邊長的概率，二者概率相等即可估計出.【詳解】因為，都是區(qū)間上的均勻隨機數(shù)，所以有，，若，能與構成銳角三角形三邊長，則，由幾何概型的概率計算公式知，所以.故選：B.【點睛】本題考查幾何概型的概率計算公式及運用隨機數(shù)模擬法估計概率，考查學生的基本計算能力，是一個中檔題.2、C【解析】

根據(jù)題意，得，，則為減函數(shù)，從而得出函數(shù)的單調性，可比較和，而，比較，即可比較.【詳解】因為，且的圖象經過第一、二、四象限，所以，，所以函數(shù)為減函數(shù)，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，又因為，所以，又，，則|，即，所以.故選：C.【點睛】本題考查利用函數(shù)的單調性比較大小，還考查化簡能力和轉化思想.3、D【解析】，則故選D.4、C【解析】

由可得，解得或，所以或，又，所以，故選C．5、A【解析】

由三視圖知：幾何體為三棱錐，且三棱錐的一條側棱垂直于底面，結合直觀圖判斷外接球球心的位置，求出半徑，代入求得表面積公式計算．【詳解】由三視圖知：幾何體為三棱錐，且三棱錐的一條側棱垂直于底面，高為2，底面為等腰直角三角形，斜邊長為，如圖：的外接圓的圓心為斜邊的中點，，且平面，，的中點為外接球的球心，半徑，外接球表面積．故選：A【點睛】本題考查了由三視圖求幾何體的外接球的表面積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的結構特征，利用幾何體的結構特征與數(shù)據(jù)求得外接球的半徑是解答本題的關鍵．6、A【解析】

求出拋物線的焦點坐標，得到雙曲線的離心率，然后求解a，b關系，即可得到雙曲線的漸近線方程．【詳解】拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點坐標為（1，0），則p＝2，又e＝p，所以e2，可得c2＝4a2＝a2+b2，可得：ba，所以雙曲線的漸近線方程為：y＝±．故選：A．【點睛】本題考查雙曲線的離心率以及雙曲線漸近線方程的求法，涉及拋物線的簡單性質的應用．7、D【解析】

利用導數(shù)求得在區(qū)間上的最大值和最小，根據(jù)三角形兩邊的和大于第三邊列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】的定義域為，，所以在上遞減，在上遞增，在處取得極小值也即是最小值，，，，，所以在區(qū)間上的最大值為.要使在區(qū)間上任取三個實數(shù)，，均存在以，，為邊長的三角形，則需恒成立，且，也即，也即當、時，成立，即，且，解得.所以的取值范圍是.故選：D【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，考查恒成立問題的求解，屬于中檔題.8、D【解析】

由復數(shù)除法運算求出，再寫出其共軛復數(shù)，得共軛復數(shù)對應點的坐標．得結論．【詳解】，，對應點為，在第四象限．故選：D.【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算，考查共軛復數(shù)的概念，考查復數(shù)的幾何意義．掌握復數(shù)的運算法則是解題關鍵．9、B【解析】

對分類討論，代入解析式求出，解不等式，即可求解.【詳解】函數(shù)，由得或解得.故選:B.【點睛】本題考查利用分段函數(shù)性質解不等式，屬于基礎題.10、C【解析】

設，，，由可得，利用定義將用表示即可.【詳解】設，，，由及，得，故，所以.故選：C.【點睛】本題考查利用拋物線定義求焦半徑的問題，考查學生等價轉化的能力，是一道容易題.11、A【解析】

根據(jù)題意可將轉化為，令，利用導數(shù)，判斷其單調性即可得到實數(shù)的最小值．【詳解】因為不等式有正整數(shù)解，所以，于是轉化為，顯然不是不等式的解，當時，，所以可變形為．令，則，∴函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，而，所以當時，，故，解得．故選：A．【點睛】本題主要考查不等式能成立問題的解法，涉及到對數(shù)函數(shù)的單調性的應用，構造函數(shù)法的應用，導數(shù)的應用等，意在考查學生的轉化能力，屬于中檔題．12、A【解析】

分析可得,顯然在上恒成立,只需討論時的情況即可,,然后構造函數(shù),結合的單調性,不等式等價于,進而求得的取值范圍即可.【詳解】由題意,若,顯然不是恒大于零,故.,則在上恒成立;當時,等價于,因為,所以.設,由,顯然在上單調遞增,因為,所以等價于,即,則.設,則.令,解得,易得在上單調遞增,在上單調遞減,從而，故.故選:A.【點睛】本題考查了不等式恒成立問題,利用函數(shù)單調性是解決本題的關鍵,考查了學生的推理能力,屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

當時，函數(shù)單調遞增，當時，函數(shù)為常數(shù)，故需滿足，且，解得答案.【詳解】，當時，函數(shù)單調遞增，當時，函數(shù)為常數(shù)，需滿足，且，解得.故答案為：.【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)單調性解不等式，意在考查學生對于函數(shù)性質的靈活運用.14、【解析】

某層抽取的人數(shù)等于該層的總人數(shù)乘以抽樣比.【詳解】設抽取的樣本容量為x，由已知，，解得.故答案為：【點睛】本題考查隨機抽樣中的分層抽樣，考查學生基本的運算能力，是一道容易題.15、【解析】

函數(shù)的定義域為，求出導函數(shù)，利用曲線與曲線公共點為由于在公共點處有共同的切線，解得，，聯(lián)立解得的值．【詳解】解：函數(shù)的定義域為，，，設曲線與曲線公共點為，由于在公共點處有共同的切線，∴，解得，．由，可得．聯(lián)立，解得．故答案為：．【點睛】本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，切線方程的求法，考查轉化思想以及計算能力，是中檔題．16、①③④【解析】

對于①中，當點與點重合，與點重合時，可判斷①正確；當點點與點重合，與直線所成的角最小為，可判定②不正確；根據(jù)平面將四面體可分成兩個底面均為平面，高之和為的棱錐，可判定③正確；四面體在上下兩個底面和在四個側面上的投影，均為定值，可判定④正確.【詳解】對于①中，當點與點重合，與點重合時，，所以①正確；對于②中，當點點與點重合，與直線所成的角最小，此時兩異面直線的夾角為，所以②不正確；對于③中，設平面兩條對角線交點為，可得平面，平面將四面體可分成兩個底面均為平面，高之和為的棱錐，所以四面體的體積一定是定值，所以③正確；對于④中，四面體在上下兩個底面上的投影是對角線互相垂直且對角線長度均為1的四邊形，其面積為定義，四面體在四個側面上的投影，均為上底為，下底和高均為1的梯形，其面積為定值，故四面體在該正方體六個面上的正投影的面積的和為定值，所以④正確.故答案為：①③④.【點睛】本題主要考查了以空間幾何體的結構特征為載體的謎題的真假判定及應用，其中解答中涉及到棱柱的集合特征，異面直線的關系和椎體的體積，以及投影的綜合應用，著重考查了推理與論證能力，屬于中檔試題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）正弦定理的邊角轉換，以及兩角和的正弦公式展開，特殊角的余弦值即可求出答案；（2）構造齊次式，利用正弦定理的邊角轉換，得到，結合余弦定理得到【詳解】解：（1）由已知，得又∵∴∴,因為得∵∴.（2）∵又由余弦定理，得∴【點睛】1.考查學生對正余弦定理的綜合應用；2.能處理基本的邊角轉換問題；3.能利用特殊的三角函數(shù)值推特殊角，屬于中檔題18、（Ⅰ）{x|-3≤x≤2}（Ⅱ）見證明【解析】

(Ⅰ)由題意結合不等式的性質零點分段求解不等式的解集即可；(Ⅱ)首先確定m的值，然后利用柯西不等式即可證得題中的不等式.【詳解】（Ⅰ）①當x>1時，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1≤5，即x≤2，∴1<x≤2；②當-2≤x≤1時，f(x)=(1-x)+(x+2)=3≤5，∴-2≤x≤1；③當x<-2時，f(x)=(1-x)-(x+2)=-2x-1≤5，即x≥-3，∴-3≤x<-2.綜上所述，原不等式的解集為{x|-3≤x≤2}.（Ⅱ）∵f(x)=x-1當且僅當-2≤x≤1時，等號成立.∴f(x)的最小值m=3.∴[(即2a當且僅當2a×1又1a+1b=∴2a【點睛】本題主要考查絕對值不等式的解法，柯西不等式及其應用，絕對值三角不等式求最值的方法等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.19、（1）；（2）當時，在上是減函數(shù)；當時，在上是增函數(shù)；（3）證明見解析.【解析】

（1）當時，，求得其導函數(shù)，，可求得函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）由已知得，得出導函數(shù)，并得出導函數(shù)取得正負的區(qū)間，可得出函數(shù)的單調性；（3）當時，，，由（2）得的單調區(qū)間，以當方程有兩個不相等的實數(shù)根，不妨設，且有，，構造函數(shù)，分析其導函數(shù)的正負得出函數(shù)的單調性，得出其最值，所證的不等式可得證.【詳解】（1）當時，，所以，，所以函數(shù)的圖象在處的切線方程為，即；（2）由已知得，，令，得，所以當時，，當時，，所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；（3）當時，，，由（2）得在上單調遞減，在單調遞增，所以，且時，，當時，，，所以當方程有兩個不相等的實數(shù)根，不妨設，且有，，構造函數(shù)，則，當時，所以，在上單調遞減，且，，由，在上單調遞增，.所以.【點睛】本題考查運用導函數(shù)求函數(shù)在某點的切線方程，討論函數(shù)的單調性，以及證明不等式，關鍵在于構造適當?shù)暮瘮?shù)，得出其導函數(shù)的正負，得出所構造的函數(shù)的單調性，屬于難度題.20、（1）見證明；（2）【解析】

（1）取的中點，連.可證得，，于是可得平面，進而可得結論成立．（2）運用幾何法或向量法求解可得所求角的正弦值．【詳解】（1）證明：取的中點，連.∵，∴．又，∴.在中，，∴．又，∴平面，又平面，∴.（2）解法1：取的中點，連結，∵，∴,又，∴．又由題意得為等邊三角形，∴，∵，∴平面．作，則有平面，∴就是直線與平面所成的角．設，則，在等邊中，．又在中，，故．在中，由余弦定理得，∴，∴直線與平面所成角的正弦值為．解法2：由題意可得，建立如圖所示的空間直角坐標系.不妨設，則在直角三角形中，可得，作于，則有平面幾何知識可得，∴．又可得，.∴,．設平面