第02講 二次函數(shù)y=ax^2＋c(a≠0)與y=ax-h^2＋k(a≠0)的圖象與性質(zhì)（原卷版）

第02講二次函數(shù)y=ax^2＋c(a≠0)與y=a（x-h)^2＋k(a≠0)的圖象與性質(zhì)【知識梳理】一、二次函數(shù)y=ax2+c(a≠0)的圖象及性質(zhì)1.二次函數(shù)y=ax2+c(a≠0)的圖象（1）（2）2.二次函數(shù)y=ax2+c(a≠0)的圖象的性質(zhì)關(guān)于二次函數(shù)的性質(zhì)，主要從拋物線的開口方向、頂點(diǎn)、對稱軸、函數(shù)值的增減性以及函數(shù)的最大值或最小值等方面來研究．下面結(jié)合圖象，將其性質(zhì)列表歸納如下：函數(shù)圖象開口方向向上向下頂點(diǎn)坐標(biāo)(0，c)(0，c)對稱軸y軸y軸函數(shù)變化當(dāng)時，y隨x的增大而增大；當(dāng)時，y隨x的增大而減小.當(dāng)時，y隨x的增大而減小；當(dāng)時，y隨x的增大而增大.最大（?。┲诞?dāng)時，當(dāng)時，3.二次函數(shù)與之間的關(guān)系；（上加下減）.的圖象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│個單位得到的圖象.要點(diǎn)詮釋：拋物線的對稱軸是y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0，c)，與拋物線的形狀相同．函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向上（或向下）平移個單位得到的，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，c)．拋物線y＝ax2(a≠0)的對稱軸、最值與頂點(diǎn)密不可分，其對稱軸即為過頂點(diǎn)且與x軸垂直的一條直線，其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)x＝0，拋物線平移不改變拋物線的形狀，即a的值不變，只是位置發(fā)生變化而已．二、函數(shù)與函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.函數(shù)的圖象與性質(zhì)的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)向上x=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減?。粫r，有最小值．向下x=h時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值．2.函數(shù)的圖象與性質(zhì)的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)向上x=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值．向下x=h時，隨的增大而減?。粫r，隨的增大而增大；時，有最大值．要點(diǎn)詮釋：二次函數(shù)的圖象常與直線、三角形、面積問題結(jié)合在一起，借助它的圖象與性質(zhì)．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)、方程思想解決問題．三、二次函數(shù)的平移1.平移步驟：⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)；⑵保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下：2.平移規(guī)律：在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”．概括成八個字“左加右減，上加下減”．要點(diǎn)詮釋：⑴沿軸平移:向上（下）平移個單位，變成（或）⑵沿x軸平移：向左（右）平移個單位，變成（或）【考點(diǎn)剖析】題型一、二次函數(shù)y=ax2+c(a≠0)的圖象及性質(zhì)例1．求下列拋物線的解析式：（1）與拋物線形狀相同，開口方向相反，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，-5）的拋物線；（2）頂點(diǎn)為（0，1），經(jīng)過點(diǎn)（3，-2）并且關(guān)于y軸對稱的拋物線．例2．在同一直角坐標(biāo)系中，畫出和的圖象，并根據(jù)圖象(如圖所示)回答下列問題．(1)拋物線向________平移________個單位得到拋物線；(2)拋物線，開口方向是________，對稱軸為________，頂點(diǎn)坐標(biāo)為________；(3)拋物線，當(dāng)x________時，隨x的增大而減??；當(dāng)x________時，函數(shù)y有最________值，其最________值是________．例3.有一個拋物線形的拱形隧道，隧道的最大高度為6m，跨度為8m，把它放在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中．

（1）求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若要在隧道壁上點(diǎn)P（如圖）安裝一盞照明燈，燈離地面高4.5m．求燈與點(diǎn)B的距離．【變式】(1)拋物線的開口方向，對稱軸是，頂點(diǎn)坐標(biāo)是．(2)拋物線與的形狀相同，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），則其解析式為．(3)拋物線向平移個單位后，得到拋物線.例4.根據(jù)下列條件求a的取值范圍：(1)函數(shù)y＝(a-2)x2，當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而減小，當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而增大；(2)函數(shù)y＝(3a-2)x2有最大值；(3)拋物線y＝(a+2)x2與拋物線的形狀相同；(4)函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線．【變式】在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象大致為（）．例5.在同一坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=ax+b與二次函數(shù)y=ax2﹣b的圖象可能是（）A． B． C． D．題型二、二次函數(shù)圖象及性質(zhì)例6．二次函數(shù)y=﹣（x﹣3）2+2的頂點(diǎn)的坐標(biāo)是，對稱軸是．【變式】將拋物線向右平移2個單位，再向上平移5個單位，得到的拋物線解析式為．例7．將拋物線y=x2﹣6x+5向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度后，求得到的拋物線解析式.【變式】二次函數(shù)的圖象可以看作是二次函數(shù)的圖象向平移4個單位，再向平移3個單位得到的．例8.已知是由拋物線向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度得到的拋物線．(1)求出a、h、k的值；(2)在同一坐標(biāo)系中，畫出與的圖象；(3)觀察的圖象，當(dāng)x取何值時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x取何值時，y隨x增大而減小，并求出函數(shù)的最值；(4)觀察的圖象，你能說出對于一切x的值，函數(shù)y的取值范圍嗎?【變式】把二次函數(shù)的圖象先向左平移2個單位，再向上平移4個單位，得到二次函數(shù)的圖象．（1）試確定a、h、k的值；（2）指出二次函數(shù)的開口方向，對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，分析函數(shù)的增減性．例9.二次函數(shù)y=（x﹣1）2+1，當(dāng)2≤y＜5時，相應(yīng)x的取值范圍為．題型三、二次函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例10．二次函數(shù)y1=a（x﹣2）2的圖象與直線y2交于A（0，﹣1），B（2，0）兩點(diǎn)．（1）確定二次函數(shù)與直線AB的解析式．（2）如圖，分別確定當(dāng)y1＜y2，y1=y2，y1＞y2時，自變量x的取值范圍．例11.在同一直角坐標(biāo)系中，畫出下列三條拋物線：，，．（1）觀察三條拋物線的相互關(guān)系，并分別指出它們的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）請你說出拋物線的開口方向，對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)．例12.已知：二次函數(shù)y=x2﹣4x+3．（1）求出該二次函數(shù)圖象的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求出該拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）當(dāng)x取何值時，y＜0．【變式】已知拋物線y=2（x﹣1）2﹣8．（1）直接寫出它的頂點(diǎn)坐標(biāo)：，對稱軸：；（2）x取何值時，y隨x增大而增大？例13.如圖所示，拋物線的頂點(diǎn)為C，與y軸交點(diǎn)為A，過點(diǎn)A作y軸的垂線，交拋物線于另一點(diǎn)B．(1)求直線AC的解析式；(2)求△ABC的面積；(3)當(dāng)自變量x滿足什么條件時，有?【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2021秋·浙江紹興·九年級校聯(lián)考期中）二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A．（0，0） B．（0，﹣2） C．（0，2） D．（，0）2．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考二模）已知點(diǎn)，是二次函數(shù)上的兩點(diǎn)，若，，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．3．（2022秋·浙江杭州·九年級校聯(lián)考期中）對于二次函數(shù)的圖象，下列說法不正確的是（）A．開口向下B．對稱軸是直線C．頂點(diǎn)坐標(biāo)為D．當(dāng)時，y隨x的增大而減小4．（2022秋·浙江金華·九年級統(tǒng)考期中）已知，為拋物線上的兩點(diǎn)，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A． B． C． D．5．（2022秋·浙江杭州·九年級校考期中）設(shè)函數(shù)，，．直線的圖象與函數(shù)，，的圖象分別交于點(diǎn)，，，（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則6．（2023春·浙江紹興·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）若二次函數(shù)的圖象如圖所示，則坐標(biāo)原點(diǎn)可能是（

）A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)7．（2023秋·浙江杭州·九年級統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)，．直線的圖象與函數(shù)，的圖象分別交于點(diǎn)，，得（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則8．（2022秋·浙江杭州·九年級?？计谥校┰谙铝泻瘮?shù)圖象上任取不同的兩點(diǎn)，一定能使的是（

）A． B．C． D．二、填空題9．（2022秋·浙江寧波·九年級?？茧A段練習(xí)）如果拋物線開口向下，那么a的取值范圍是______．10．（2022秋·浙江紹興·九年級統(tǒng)考期中）二次函數(shù)的圖象上任意二點(diǎn)連線不與x軸平行，則t的取值范圍為______．11．（2022秋·浙江杭州·九年級統(tǒng)考期末）已知一個二次函數(shù)圖象的形狀與拋物線相同，它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則該二次函數(shù)的表達(dá)式為____________．12．（2022·浙江金華·九年級浙江省義烏市稠江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如果一拋物線的對稱軸為，且經(jīng)過點(diǎn)A（3,3），那么點(diǎn)A關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為____________13．（2022秋·浙江紹興·九年級?？计谥校┮阎c(diǎn)、為拋物線上的兩點(diǎn)，如果，那么______填“”“”或“”14．（2022秋·浙江舟山·九年級統(tǒng)考期末）一拋物線的形狀，開口方向與相同，頂點(diǎn)在(－2，3)，則此拋物線的解析式為_______．15．（2023秋·浙江湖州·九年級統(tǒng)考期末）拋物線的開口方向是______．16．（2022秋·浙江杭州·九年級?？计谥校┮阎魏瘮?shù)，當(dāng)時，隨的增大而增大；當(dāng)時，隨的增大而減小，當(dāng)時，的值是______．17．（2020·浙江·模擬預(yù)測）無論取什么實(shí)數(shù)，點(diǎn)都在二次函數(shù)上，是二次函數(shù)上的點(diǎn)，則_____________．18．（2023春·浙江杭州·九年級?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)，當(dāng)，且時，的最小值為，的最大值，則的值為___________．三、解答題19．（2022秋·浙江麗水·九年級校聯(lián)考期中）已知二次函數(shù)的圖像以點(diǎn)為頂點(diǎn)，且過點(diǎn)．（1）求該函數(shù)的解析式；（2）直接寫出隨的增大而增大時自變量的取值范圍．20．（2022·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，已知經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線與軸交于另一點(diǎn)A(2，0)．（1）求的值和拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求直線的解析式．21．（2022秋·浙江杭州·九年級杭州市豐潭中學(xué)?？计谥校┮阎?1)求S與t的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)時，求S的值；(3)求S的最大值或最小值．22．（2020·浙江杭州·統(tǒng)考一模）在同一直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)與二次函數(shù)的圖形．（1）從拋物線的開口方向、形狀、對稱軸、頂點(diǎn)等方面說出兩個函數(shù)圖象的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)；（2）說出兩個函數(shù)圖象的性質(zhì)的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)．23．（2020春·浙江杭州·八年級階段練習(xí)）如圖，已知二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)是，且過C點(diǎn)．（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）已知直線與該二次函數(shù)圖像相交于點(diǎn)，求兩點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）寫出當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時，一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)的值．24．（2019秋·浙江紹興·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐