第11講 平方根（5種題型）（原卷版）

第11講平方根（5種題型）【知識(shí)梳理】一、平方根和算術(shù)平方根的概念1.算術(shù)平方根的定義如果一個(gè)正數(shù)的平方等于，即,那么這個(gè)正數(shù)叫做的算術(shù)平方根（規(guī)定0的算術(shù)平方根還是0）；的算術(shù)平方根記作，讀作“的算術(shù)平方根”，叫做被開(kāi)方數(shù).要點(diǎn)：當(dāng)式子有意義時(shí)，一定表示一個(gè)非負(fù)數(shù)，即≥0，≥0.2.平方根的定義如果，那么叫做的平方根.求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫做開(kāi)平方.平方與開(kāi)平方互為逆運(yùn)算.(≥0)的平方根的符號(hào)表達(dá)為，其中是的算術(shù)平方根.二、平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系1．區(qū)別：（1）定義不同；（2）結(jié)果不同：和2．聯(lián)系：（1）平方根包含算術(shù)平方根；（2）被開(kāi)方數(shù)都是非負(fù)數(shù)；（3）0的平方根和算術(shù)平方根均為0．要點(diǎn)：（1）正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，其中正的那個(gè)叫它的算術(shù)平方根；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根．（2）正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，根據(jù)它的算術(shù)平方根可以立即寫(xiě)出它的另一個(gè)平方根.因此，我們可以利用算術(shù)平方根來(lái)研究平方根.三、平方根的性質(zhì)四、平方根小數(shù)點(diǎn)位數(shù)移動(dòng)規(guī)律被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右或者向左移動(dòng)2位，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右或者向左移動(dòng)1位.例如：，，，.【考點(diǎn)剖析】題型一、平方根和算術(shù)平方根的概念 例1、若2－4與3－1是同一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根，求的值．【變式1】下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.5是25的算術(shù)平方根B.l是l的一個(gè)平方根C.的平方根是－4D.0的平方根與算術(shù)平方根都是0【變式2】判斷下列各題正誤，并將錯(cuò)誤改正：（1）沒(méi)有平方根．（）（2）．（）（3）的平方根是．（）（4）是的算術(shù)平方根．（）例2、填空：（1）是的負(fù)平方根．（2）表示的算術(shù)平方根，．（3）的算術(shù)平方根為．（4）若，則，若，則．【變式1】下列說(shuō)法中正確的有（）：3是9的平方根．②9的平方根是3．③4是8的正的平方根．④是64的負(fù)的平方根．A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【變式2】的平方根是．例3.為何值時(shí)，下列各式有意義？(1)；(2)；(3)；(4)．【變式1】使代數(shù)式有意義的的取值范圍是______________．【變式2】已知，求的算術(shù)平方根．題型二、平方根的運(yùn)算例4、求下列各式的值．(1)；(2)．題型三、利用平方根解方程例5、求下列各式中的x值，（1）169x2=144（2）（x﹣2）2﹣36=0．【變式1】求下列各式中的.（1）（2）；（3）【變式2】求x的值：（x﹣2）2=4．題型四、平方根的綜合應(yīng)用例6.若x，y為實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足．求的值．【變式】若，求的值．【變式2】已知a2＝16，|﹣b|＝3，解下列問(wèn)題：（1）求a﹣b的值；（2）若|a+b|＝a+b，求a+b的平方根．例7、小麗想用一塊面積為400的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為300的長(zhǎng)方形紙片使它長(zhǎng)寬之比為，請(qǐng)你說(shuō)明小麗能否用這塊紙片裁出符合要求的長(zhǎng)方形紙片.【變式1】如圖，長(zhǎng)方形內(nèi)兩個(gè)相鄰正方形的面積分別為6和9．（1）小正方形的邊長(zhǎng)在哪兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)之間？并說(shuō)明理由．（2）求陰影部分的面積．【變式2】小波想用一塊面積為400cm2的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為300cm2的長(zhǎng)方形紙片，使長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬之比為3：2．(1)請(qǐng)你幫小波求出長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)與寬；(2)小波能用這塊正方形紙片裁出符合要求的紙片嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．題型五：平方根小數(shù)點(diǎn)位數(shù)移動(dòng)規(guī)律例8.觀察下列各式，并用所得出的規(guī)律解決問(wèn)題：（1），，，……，，，……由此可見(jiàn)，被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向右移動(dòng)______位，其算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)向______移動(dòng)______位．（2）已知，，則_____；______．【變式】如果＝3.9522，則＝；＝39.522，則x＝；【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一．選擇題（共7小題）1．（2022秋?杭州期末）若一個(gè)正方形的面積小于20，它的邊長(zhǎng)是一個(gè)整數(shù)，則邊長(zhǎng)可能是（）A．4 B．5 C．6 D．72．（2015?下城區(qū)校級(jí)二模）的平方根（）A．4 B．2 C．±4 D．±23．（2022秋?越城區(qū)期中）“的平方根是±”用數(shù)學(xué)式子可以表示為（）A． B． C．﹣ D．±4．（2022秋?鄞州區(qū)校級(jí)月考）平方根是±的數(shù)是（）A． B． C． D．±5．（2022秋?桐鄉(xiāng)市期中）平方根等于本身的數(shù)是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．0，±16．（2020秋?義烏市期中）的算術(shù)平方根是（）A．4 B．2 C．±4 D．±27．（2022秋?越城區(qū)期中）若，則＝（）A．1.01 B．±1.01 C．±0.101 D．10.1二．填空題（共11小題）8．（2022秋?金華期末）某數(shù)的一個(gè)平方根為，則它的另一個(gè)平方根是．9．（2022秋?鄞州區(qū)校級(jí)月考）已知一個(gè)數(shù)的一個(gè)平方根是﹣10，則另一個(gè)平方根是．10．（2022秋?柯橋區(qū)期中）已知一個(gè)數(shù)的兩個(gè)平方根分別是a+2和a﹣18，則這個(gè)數(shù)是．11．（2022秋?蒼南縣期末）已知一個(gè)正數(shù)b的兩個(gè)平方根分別是a和（a﹣4），則（b﹣a）的算術(shù)平方根為．12．（2022秋?永康市期中）已知等式+（b﹣c+1）2＝0，則b﹣c+2a＝．13．（2022秋?蘭溪市期末）如圖，在3×3的方格紙中，有一個(gè)正方形ABCD，這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是．14．（2022秋?余姚市月考）4的算術(shù)平方根是．15．（2021秋?松陽(yáng)縣期末）如圖，在7×7方格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則圖中陰影正方形的邊長(zhǎng)是．16．（2022秋?鹿城區(qū)校級(jí)期中）若一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)不相等的平方根分別是2a﹣1和3，則a的值為．17．（2022秋?蒼南縣期中）如圖，把一張面積為25的正方形紙片剪成五塊（其中⑤是一個(gè)小正方形），然后恰好拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，則這個(gè)拼成的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)為．18．（2022秋?蕭山區(qū)期中）如圖所示的是一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器．（1）當(dāng)輸入的x值為7時(shí)，輸出的y值為；（2）當(dāng)輸入x值后，經(jīng)過(guò)兩次取算術(shù)平方根運(yùn)算，輸出的y值為時(shí)，輸入的x值為；（3）若輸入有效的x值后，始終輸不出y值，所有滿(mǎn)足要求的x的值為．三．解答題（共8小題）19．（2022秋?越城區(qū)期中）已知一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是寬的2倍，面積是72cm2，求這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)．20．（2022秋?鄞州區(qū)校級(jí)月考）已知x＝，z是9的平方根，求5z﹣2x的值．21．（2022秋?鄞州區(qū)期中）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足：，求a+b+c的值．22．（2021秋?余姚市校級(jí)期中）已知2a+1的平方根為±5，a+b+7的算術(shù)平方根為4．（1）求a，b的值；（2）求a+b的平方根．23．（2022秋?拱墅區(qū)期末）已知一個(gè)正數(shù)m的平方根為2n+1和4﹣3n．（1）求m的值；（2）|a﹣1|++（c﹣n）2＝0，a+b+c的平方根是多少？24．（2022秋?西湖區(qū)校級(jí)期中）用字母a表示一個(gè)實(shí)數(shù)，則|a|，a2一定是非負(fù)數(shù)，也就是它們的值為正數(shù)或0，所以|a|的最小值為0，而﹣|a|一定是非正數(shù)，即它的值為負(fù)數(shù)或0，所以﹣|a|有最大值0，根據(jù)這個(gè)結(jié)論完成下列問(wèn)題：（1）|a|+3有最（填“大”或“小”）值；（2）5﹣a2有最（填“大”或“小”）值；（3）若正整數(shù)a，b滿(mǎn)足|a+1|＝5﹣（b﹣1）2，求ab的平方根．25．（2022秋?蕭山區(qū)期中）（1）已知某正數(shù)的平方根為a+3和2a﹣15，求這個(gè)數(shù)是多少？（2）