第13講 立方根（5種題型）（原卷版）

第13講立方根（5種題型）【知識(shí)梳理】一、立方根的定義如果一個(gè)數(shù)的立方等于，那么這個(gè)數(shù)叫做的立方根或三次方根.這就是說，如果，那么叫做的立方根.求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫做開立方.要點(diǎn)：一個(gè)數(shù)的立方根，用表示，其中是被開方數(shù)，3是根指數(shù).開立方和立方互為逆運(yùn)算.二、立方根的特征立方根的特征：正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0.要點(diǎn)：任何數(shù)都有立方根，一個(gè)數(shù)的立方根有且只有一個(gè)，并且它的符號(hào)與這個(gè)非零數(shù)的符號(hào)相同.兩個(gè)互為相反數(shù)的數(shù)的立方根也互為相反數(shù).三、立方根的性質(zhì)要點(diǎn)：第一個(gè)公式可以將求負(fù)數(shù)的立方根的問題轉(zhuǎn)化為求正數(shù)的立方根的問題.四、立方根小數(shù)點(diǎn)位數(shù)移動(dòng)規(guī)律被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右或者向左移動(dòng)3位，它的立方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右或者向左移動(dòng)1位.例如，，，，.【考點(diǎn)剖析】題型一、立方根的概念 例1、下列結(jié)論正確的是（）A．64的立方根是±4 B．是的立方根C．立方根等于本身的數(shù)只有0和1 D．【變式1】我們知道a+b=0時(shí)，a3+b3=0也成立，若將a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我們能否得出這樣的結(jié)論：若兩個(gè)數(shù)的立方根互為相反數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)也互為相反數(shù)．（1）試舉一個(gè)例子來判斷上述猜測(cè)結(jié)論是否成立；（2）若與互為相反數(shù)，求1﹣的值．【變式2】已知4a+7的立方根是3，2a+2b+2的算術(shù)平方根是4．（1）求a，b的值；（2）求6a+3b的平方根．【變式3】已知|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8．（1）若a＜b，求a+b的值；（2）若abc＞0，求a﹣3b﹣2c的值．題型二、立方根的計(jì)算 例2、求下列各式的值：（1）（2）（3）（4）（5）【變式】計(jì)算：（1）______；（2）______；（3）______．（4）______.題型三、利用立方根解方程例3、求下列各式中x的值：（1）3（x﹣1）3=24．（2）（x+1）3=﹣64．【變式1】（2022·浙江臺(tái)州·七年級(jí)期中）求下列各式中x的值：【變式2】求出下列各式中的：（1）若＝0.343，則＝______；（2）若－3＝213，則＝______；（3）若＋125＝0，則＝______；（4）若＝8，則＝______．題型四、立方根實(shí)際應(yīng)用例4、在做物理實(shí)驗(yàn)時(shí)，小明用一根細(xì)線將一個(gè)正方體鐵塊拴住，完全浸入盛滿水的圓柱體燒杯中，并用一量筒量得鐵塊排出的水的體積為64，小明又將鐵塊從水中提起，量得燒杯中的水位下降了．請(qǐng)問燒杯內(nèi)部的底面半徑和鐵塊的棱長(zhǎng)各是多少？【變式1】把一個(gè)長(zhǎng)為6cm，寬為4cm，高為9cm的長(zhǎng)方體鐵塊鍛造成一個(gè)正方體鐵塊，求鍛造后正方體鐵塊的棱長(zhǎng)．題型五：立方根小數(shù)點(diǎn)位數(shù)移動(dòng)規(guī)律例5.如果＝3.9522，則＝；＝39.522，則x＝；如果＝2.872，＝1.3333，則＝；＝﹣1333.3，則x＝．【變式1】（2022·浙江臺(tái)州·七年級(jí)期中）已知為整數(shù)，為計(jì)算它的值，請(qǐng)你思考并回答下列問題.(1)整數(shù)1至9中，立方后，個(gè)位數(shù)字為7的是；(2),,由此可知：是位數(shù)；(3)計(jì)算，，，再求的值.【變式2】先閱讀材料，再解答問題：我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國(guó)訪問途中，看到飛機(jī)上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：求59319的立方根，華羅庚脫口而出，給出了答案，眾人十分驚訝，忙問計(jì)算的奧妙，你知道華羅庚怎樣迅速而準(zhǔn)確地計(jì)算出結(jié)果嗎？請(qǐng)你按下面的步驟也試一試：（1）我們知道，，那么，請(qǐng)你猜想：59319的立方根是_______位數(shù)（2）在自然數(shù)1到9這九個(gè)數(shù)字中，________，________，________．猜想：59319的個(gè)位數(shù)字是9，則59319的立方根的個(gè)位數(shù)字是________．（3）如果劃去59319后面的三位“319”得到數(shù)59，而，，由此可確定59319的立方根的十位數(shù)字是________，因此59319的立方根是________．（4）現(xiàn)在換一個(gè)數(shù)103823，你能按這種方法得出它的立方根嗎？【變式3】觀察下列各式，并用所得出的規(guī)律解決問題：（1），，，……，，，……由此可見，被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向右移動(dòng)______位，其算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)向______移動(dòng)______位．（2）已知，，則_____；______．（3），，，……小數(shù)點(diǎn)的變化規(guī)律是_______________________．（4）已知，，則______．【過關(guān)檢測(cè)】一．選擇題（共5小題）1．（2022秋?溫州期末）下列說法正確的是（）A．4的平方根是2 B．﹣8沒有立方根 C．8的立方根是±2 D．4的算術(shù)平方根是22．（2022秋?義烏市校級(jí)期中）如果≈1.333，≈2.872，那么約等于（）A．28.72 B．287.2 C．13.33 D．133.33．（2021秋?蓮都區(qū)期末）實(shí)數(shù)x滿足x3＝71，則下列整數(shù)中與x最接近的是（）A．3 B．4 C．5 D．64．（2018秋?拱墅區(qū)月考）4的平方根是x，﹣64的立方根是y，則x+y的值為（）A．﹣6 B．﹣6或﹣10 C．﹣2或﹣6 D．2或﹣25．（2015秋?龍灣區(qū)校級(jí)期中）﹣125的立方根是（）A．±5 B．5 C．﹣5 D．沒有意義二．填空題（共9小題）6．（2018秋?湖州期中）（﹣8）2的立方根是．7．（2022秋?上城區(qū)校級(jí)期中）＝，的算術(shù)平方根是．8．（2022秋?蒼南縣期末）如圖，有一個(gè)體積為64cm3的魔方，則魔方的表面積為cm2．9．（2022秋?瑞安市期中）﹣8是a的一個(gè)平方根，則a的立方根是．10．（2022秋?武義縣期末）一個(gè)體積為8cm3的正方體，其棱長(zhǎng)是cm．11．（2022秋?下城區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算：＝；的平方根＝．12．（2022秋?臨平區(qū)月考）已知4a+7的立方根是3，2a+2b+2的算術(shù)平方根是4．則a＝，b＝．13．（2022秋?寧?？h校級(jí)期中）若＝3，且（y﹣2x+1）2+＝0，則x+y+z的值為．14．（2022秋?西湖區(qū)校級(jí)期中）a+3的算術(shù)平方根是3．b﹣2的立方根是2，則a+3b的算術(shù)平方根為．三．解答題（共7小題）15．（2021秋?義烏市期末）已知4a+7的立方根是3，2a+2b+2的算術(shù)平方根是4．（1）求a，b的值；（2）求6a+3b的平方根．16．（2020秋?下城區(qū)校級(jí)期中）若實(shí)數(shù)a+9的一個(gè)平方根是﹣5，2b﹣a的立方根是﹣2，求+的平方根．17．（2022秋?鄞州區(qū)校級(jí)期中）若實(shí)數(shù)a，b滿足，請(qǐng)按要求解答下列問題：（1）若a，b都是整數(shù)，請(qǐng)寫出一對(duì)符合條件的a，b的值；（2）若a，b都是分?jǐn)?shù)，請(qǐng)寫出一對(duì)符合條件的a，b的值．18．（2022秋?鄞州區(qū)校級(jí)月考）已知一個(gè)正方體的體積是16cm3，另一個(gè)正方體的體積是這個(gè)正方體體積的4倍，求另一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)和表面積．19．（2020秋?北侖區(qū)期中）魔方，又叫魔術(shù)方塊，也稱魯比克方塊，是匈牙利布達(dá)佩斯建筑學(xué)院厄爾諾?魯比克教授在1974年發(fā)明的．魔方與中國(guó)人發(fā)明的“華容道”，法國(guó)人發(fā)明的“獨(dú)立鉆石”一同被稱為智力游戲界的三大不可思議．如圖是一個(gè)4階魔方，又稱“魔方的復(fù)仇”，由四層完全相同的64個(gè)小立方體組成，體積為64cm3．（1）求組成這個(gè)魔方的小立方體的棱長(zhǎng)．（2）圖中陰影部分是一個(gè)正方形，求出該正方形的面積和邊長(zhǎng)．20．（2021秋?義烏市期中）如果＝3.9522，則＝