2023-2024學(xué)年廣東省深圳市九年級上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題及答案

試題PAGE1試題2023—2024學(xué)年初三第2次月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題有四個選項(xiàng)，其中只有一個是正確的）1.下列四個式子：，，，其中分式的個數(shù)有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個2.在中，，，，下列四個選項(xiàng)，正確的是（）A. B. C. D.3.若函數(shù)圖象是拋物線，則的值為（）．A-2 B.2 C.4 D.4.若關(guān)于x方程無解，則m的值為（）A.1 B.1或3 C.1或2 D.2或35.已知點(diǎn)、、在反比例函數(shù)（）的圖象上，則下列判斷正確的是（）A. B. C. D.6.《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架．它的代數(shù)成就主要包括開方術(shù)、正負(fù)術(shù)和方程術(shù)，其中方程術(shù)是其最高的代數(shù)成就．《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，問幾何步及之？”譯文：“相同時間內(nèi)，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步為長度單位）”設(shè)走路快的人要走x步才能追上，根據(jù)題意可列出的方程是（）A. B. C. D.7.函數(shù)與在同一直角坐標(biāo)系中的大致圖象可能是（）A. B. C. D.8.如圖，某購物廣場要修建一個地下停車場，停車場的入口設(shè)計(jì)示意圖如圖所示，其中斜坡與水平方向的夾角為，地下停車場層高米，則在停車場的入口處，可通過汽車的最大高度是（）A.3 B. C. D.9.我們定義一種新函數(shù)：形如的函數(shù)叫做“鵲橋”函數(shù)．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組畫出一個“鵲橋”函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.當(dāng)時，函數(shù)的最大值是4C.當(dāng)直線與該圖象恰有三個公共點(diǎn)時，則D.關(guān)于的方程的所有實(shí)數(shù)根的和為410.如圖，過原點(diǎn)直線與反比例函數(shù)（）的圖象交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在軸正半軸上，連接交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)，為的平分線，過點(diǎn)作垂線，垂足為，連接，若，的面積為8，則的值為（）A.4 B.6 C.8 D.10二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）11.若分式無意義，則的取值范圍是_________．12.若分式的值為零，則的值為_________．13.將放置在的正方形網(wǎng)格中，頂點(diǎn)在格點(diǎn)上．則的值為__________．14.如圖，我海軍艦艇在某海域C島附近巡航，計(jì)劃從A島向北偏東80°方向的B島直線行駛．測得C島在A島的北偏東50°方向，在B島的北偏西40°方向．A，B之間的距離為80nmile，則C島到航線AB的最短距離是_____nmile．（參考數(shù)據(jù)：，）15.定義符號的含義為：當(dāng)時；當(dāng)時．如：．則的最大值是_____________．三、解答題（本大題共7小題，其中第16題6分，第17題8分，第18題8分，第19題6分，第20題8分，第21題9分，第22題10分，共55分）16.先化簡，再求值：已知，，求的值．17.如圖，無人機(jī)在塔樹上方處懸停，測得塔頂?shù)母┙菫?，樹頂?shù)母┙菫?，樹高為米，無人機(jī)豎直高度為60米，、、在一條直線上，且點(diǎn)到塔底的距離比到樹底的距離多米，求塔高的值．（結(jié)果可保留根號，參考數(shù)據(jù)：，，）18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，交軸于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)．（1）________，點(diǎn)的坐標(biāo)為________；（2）若點(diǎn)為線段上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交反比例函數(shù)圖像于點(diǎn)，求面積的最大值．19.“雙減政策”要求學(xué)校更注重“減負(fù)增效”，學(xué)校為了保護(hù)學(xué)生的視力，倡導(dǎo)學(xué)生購買護(hù)眼燈．某商場為了保證供應(yīng)充足，購進(jìn)兩種不同類型的護(hù)眼燈，若用3120元購進(jìn)A型護(hù)眼燈的數(shù)量和用4200元購進(jìn)B型護(hù)眼燈的數(shù)量相同，其中每臺A型護(hù)眼燈比B型護(hù)眼燈便宜9元．（1）求該商場購進(jìn)每臺A型和B型護(hù)眼燈成本價．（2）該商場經(jīng)過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，A型護(hù)眼燈售價為36元時，可以賣出100臺．每漲價1元，則每天少售出2臺．求每臺A型護(hù)眼燈升價多少元時，銷售利潤最大？20.某公園內(nèi)人工湖上有一座拱橋（橫截面如圖所示），跨度為米．在距點(diǎn)水平距離為米的地點(diǎn)，拱橋距離水面的高度為米．小紅根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對和之間的關(guān)系進(jìn)行了探究．（1）經(jīng)過測量，得出了和的幾組對應(yīng)值，如表．米米請求出拱橋距離水面的高度與之間的函數(shù)關(guān)系式，畫出確定的函數(shù)的圖象；（2）結(jié)合表格數(shù)據(jù)和函數(shù)圖象，解決問題：①橋墩露出水面的高度為米；②公園欲開設(shè)游船項(xiàng)目，現(xiàn)有長為米，寬為米，露出水面高度為米的游船．為安全起見，公園要在水面上的，兩處設(shè)置警戒線，并且，要求游船能從，兩點(diǎn)之間安全通過，則處距橋墩的距離至少為米．（精確到米）21.【問題背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如圖，即）．小軍測量某建筑物高度的方法如下：在地面點(diǎn)E處平放一面鏡子，經(jīng)調(diào)整自己位置后，在點(diǎn)D處恰好通過鏡子看到建筑物AB的頂端A．經(jīng)測得，小軍的眼睛離地面的距離，，，求建筑物AB的高度．【活動探究】觀察小軍的操作后，小明提出了一個測量廣告牌高度的做法（如圖）：他讓小軍站在點(diǎn)D處不動，將鏡子移動至處，小軍恰好通過鏡子看到廣告牌頂端G，測出；再將鏡子移動至處，恰好通過鏡子看到廣告牌的底端A，測出．經(jīng)測得，小軍的眼睛離地面距離，，求這個廣告牌AG的高度．【應(yīng)用拓展】小軍和小明討論后，發(fā)現(xiàn)用此方法也可測量出斜坡上信號塔AB的高度．他們給出了如下測量步驟（如圖）：①讓小軍站在斜坡的底端D處不動（小軍眼睛離地面距離），小明通過移動鏡子（鏡子平放在坡面上）位置至E處，讓小軍恰好能看到塔頂B；②測出；③測出坡長；④測出坡比為（即）．通過他們給出的方案，請你算出信號塔AB的高度（結(jié)果保留整數(shù)）．22.在平面直角坐標(biāo)系中，把與軸交點(diǎn)相同的二次函數(shù)圖像稱為“共根拋物線”．如圖，拋物線的頂點(diǎn)為，交軸于點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），交軸于點(diǎn)．拋物線與是“共根拋物線”，其頂點(diǎn)為．（1）若拋物線經(jīng)過點(diǎn)，求對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)?shù)闹底畲髸r，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)是拋物線上的一個動點(diǎn)，且位于其對稱軸的右側(cè)．若與相似，求其“共根拋物線”的頂點(diǎn)的坐標(biāo)．2023—2024學(xué)年初三第2次月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題有四個選項(xiàng)，其中只有一個是正確的）1.下列四個式子：，，，其中分式的個數(shù)有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分式的定義，一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子就叫做分式，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：式子，中，分母不含有字母，不分式，式子：，，分母含有字母，是分式，共2個，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的定義，熟知定義是解題的關(guān)鍵．2.在中，，，，下列四個選項(xiàng)，正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用勾股定理求出BC的長，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義判斷即可．【詳解】解：如圖，根據(jù)勾股定理得：BC＝，∴，，，，∴C正確，A、B、D錯誤，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，掌握正弦、余弦、正切的定義是解題的關(guān)鍵．3.若函數(shù)的圖象是拋物線，則的值為（）．A.-2 B.2 C.4 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可知，該函數(shù)是二次函數(shù)，然后根據(jù)二次函數(shù)的定義列出方程即可求出結(jié)論．【詳解】解：∵函數(shù)的圖象是拋物線∴該函數(shù)二次函數(shù)，∴解得：m=2故選B．【點(diǎn)睛】此題考查的是根據(jù)二次函數(shù)的定義求函數(shù)中的參數(shù)問題，掌握二次函數(shù)的定義是解決此題的關(guān)鍵．4.若關(guān)于x的方程無解，則m的值為（）A.1 B.1或3 C.1或2 D.2或3【答案】B【解析】【分析】先將分式方程化成整式方程，再分①整式方程無解，②關(guān)于的方程有增根兩種情況，分別求解即可得．【詳解】解：將方程化成整式方程為，即，因?yàn)殛P(guān)于的方程無解，所以分以下兩種情況：①整式方程無解，則，解得；②關(guān)于的方程有增根，則，即，將代入得：，解得；綜上，的值為1或3，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程無解，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．5.已知點(diǎn)、、在反比例函數(shù)（）的圖象上，則下列判斷正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù)y＝（k＞0）的圖象分布在第一、三象限，在每一象限，y隨x的增大而減小，則b＞c＞0，a＜0．【詳解】解：∵k＞0，∴函數(shù)y＝（k＞0）的圖象分布在第一、三象限，在每一象限，y隨x的增大而減小，∵﹣1＜0＜2＜3，∴b＞c＞0，a＜0，∴a＜c＜b．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的增減性比較大小，熟記函數(shù)性質(zhì)，判斷每個象限內(nèi)的特點(diǎn)是解題關(guān)鍵．6.《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架．它的代數(shù)成就主要包括開方術(shù)、正負(fù)術(shù)和方程術(shù)，其中方程術(shù)是其最高的代數(shù)成就．《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，問幾何步及之？”譯文：“相同時間內(nèi)，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步為長度單位）”設(shè)走路快的人要走x步才能追上，根據(jù)題意可列出的方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，先令在相同時間內(nèi)走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，從而得到走路快的人的速度，走路慢的人的速度，再根據(jù)題意設(shè)未知數(shù)，列方程即可【詳解】解：令在相同時間內(nèi)走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，從而得到走路快的人的速度，走路慢的人的速度，設(shè)走路快的人要走x步才能追上，根據(jù)題意可得，根據(jù)題意可列出的方程是，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查應(yīng)用一元一次方程解決數(shù)學(xué)史問題，讀懂題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系列方程是解決問題的關(guān)鍵．7.函數(shù)與在同一直角坐標(biāo)系中的大致圖象可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題可先由反比例函數(shù)的圖象得到字母系數(shù)的正負(fù)，再與二次函數(shù)的圖象相比較看是否一致．【詳解】解：由解析式y(tǒng)=-kx2+k可得：拋物線對稱軸x=0；

A、由雙曲線的兩支分別位于二、四象限，可得k＜0，則-k＞0，拋物線開口方向向上、拋物線與y軸的交點(diǎn)為y軸的負(fù)半軸上，而不是交于y軸正半軸，故選項(xiàng)A錯誤；

B、由雙曲線的兩支分別位于一、三象限，可得k＞0，則-k＜0，拋物線開口方向向下、拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上，本圖象符合題意，故選項(xiàng)B正確；

C、由雙曲線的兩支分別位于一、三象限，可得k＞0，則-k＜0，拋物線開口方向向下、拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上，而不是y軸的負(fù)半軸，本圖象不符合題意，故選項(xiàng)C錯誤；

D、由雙曲線的兩支分別位于一、三象限，可得k＞0，則-k＜0，拋物線開口方向向下、拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上，而不是開口向上，本圖象不符合同意，故選項(xiàng)D錯誤．

故選B．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)及反比例函數(shù)和圖象，解決此類問題步驟一般為：（1）先根據(jù)圖象的特點(diǎn)判斷k取值是否矛盾；（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷拋物線與y軸的交點(diǎn)是否符合要求．8.如圖，某購物廣場要修建一個地下停車場，停車場的入口設(shè)計(jì)示意圖如圖所示，其中斜坡與水平方向的夾角為，地下停車場層高米，則在停車場的入口處，可通過汽車的最大高度是（）A3 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，過點(diǎn)C作，利用求解即可，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造直角三角形．【詳解】解：過點(diǎn)C作，如圖，∴，∵，∴，∵米，∴，∴米，故選：D．9.我們定義一種新函數(shù)：形如的函數(shù)叫做“鵲橋”函數(shù)．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組畫出一個“鵲橋”函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.當(dāng)時，函數(shù)的最大值是4C.當(dāng)直線與該圖象恰有三個公共點(diǎn)時，則D.關(guān)于的方程的所有實(shí)數(shù)根的和為4【答案】D【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、新定義、二次函數(shù)的性質(zhì)，由，是函數(shù)圖象和x軸的交點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求得的值可判斷A錯誤；根據(jù)圖象可判斷B錯誤；由圖象可判斷C錯誤；由題意可得或，利用根與系數(shù)的關(guān)系可判斷D正確．利用數(shù)形結(jié)合的思想解答是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，是函數(shù)圖象和x軸的交點(diǎn)，∴，解得：，∴，故A錯誤；由圖象可得，函數(shù)沒有最大值，故B錯誤；如圖，當(dāng)直線與該圖象恰有三個公共點(diǎn)時，應(yīng)該有2條直線，故C錯誤；關(guān)于x的方程，即或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴關(guān)于x的方程的所有實(shí)數(shù)根的和為，故D正確，故選：D．10.如圖，過原點(diǎn)的直線與反比例函數(shù)（）的圖象交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在軸正半軸上，連接交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)，為的平分線，過點(diǎn)作垂線，垂足為，連接，若，的面積為8，則的值為（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】B【解析】【分析】連接OE，CE，過點(diǎn)A作AF⊥x軸，過點(diǎn)D作DH⊥x軸，過點(diǎn)D作DG⊥AF；由AB經(jīng)過原點(diǎn)，則A與B關(guān)于原點(diǎn)對稱，再由BE⊥AE，AE為∠BAC的平分線，可得AD∥OE，進(jìn)而可得；設(shè)點(diǎn)A（m，），由已知條件AC=3DC，DH∥AF，可得3DH=AF，則點(diǎn)D（3m，），證明△DHC∽△AGD，得到，所以，即可求解．【詳解】解：連接OE，CE，過點(diǎn)A作AF⊥x軸，過點(diǎn)D作DH⊥x軸，過點(diǎn)D作DG⊥AF，∵過原點(diǎn)的直線與反比例函數(shù)y=（k＞0）的圖象交于A，B兩點(diǎn)，∴A與B關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴O是AB的中點(diǎn)，∵BE⊥AE，∴OE=OA，∴∠OAE=∠AEO，∵AE為∠BAC的平分線，∴∠DAE=∠AEO=∠OAE，∴AD∥OE，∴，∵AC=3DC，△ADE的面積為8，∴=12，設(shè)點(diǎn)A（m，），∵AC=3DC，DH∥AF，∴3DH=AF，∴D（3m，），∵CH∥GD，AG∥DH，∴△DHC∽△AGD，∴，∵====12，∴2k=12，∴k=6；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)k的意義；借助直角三角形和角平分線，將△ACE的面積轉(zhuǎn)化為△AOC的面積是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）11.若分式無意義，則的取值范圍是_________．【答案】##【解析】【分析】本題考查分式無意義的條件，根據(jù)題意得到分母等于0，得到，進(jìn)而求解．掌握分式無意義的條件是分母等于0是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵分式無意義，∴，∴．故答案為：．12.若分式的值為零，則的值為_________．【答案】【解析】【分析】本題考查了分式的值為0的條件，根據(jù)且即可求解．【詳解】解：依題意，且解得：，故答案為：．13.將放置在的正方形網(wǎng)格中，頂點(diǎn)在格點(diǎn)上．則的值為__________．【答案】##【解析】【分析】如圖所示，連接，利用勾股定理和勾股定理的逆定理證明是等腰直角三角形，進(jìn)而得到，再根據(jù)45度角的正弦值為即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，連接，由網(wǎng)格特點(diǎn)可知，∴，∴是等腰直角三角形，且，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求角的正弦值，勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，證明是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．14.如圖，我海軍艦艇在某海域C島附近巡航，計(jì)劃從A島向北偏東80°方向的B島直線行駛．測得C島在A島的北偏東50°方向，在B島的北偏西40°方向．A，B之間的距離為80nmile，則C島到航線AB的最短距離是_____nmile．（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】34【解析】【分析】作與點(diǎn)F，則CF為C島到航線AB的最短距離，設(shè)，表示出，，利用，解得：．【詳解】解：作與點(diǎn)F，則CF為C島到航線AB的最短距離，由圖可知：，，∵，，∴，∵，∴，設(shè)，則，，∵，解得：．∴C島到航線AB的最短距離是34nmile．故答案為：34【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解CF為C島到航線AB的最短距離，求出，利用求解．15.定義符號的含義為：當(dāng)時；當(dāng)時．如：．則的最大值是_____________．【答案】【解析】【分析】理解min{a，b}的含義就是取二者中的較小值，畫出函數(shù)圖象草圖，利用函數(shù)圖象的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】解：在同一坐標(biāo)系xOy中，畫出二次函數(shù)y＝?x2＋1與正比例函數(shù)y＝?x的圖象，如圖所示．設(shè)它們交于點(diǎn)A、B．令?x2＋1＝?x，即x2?x?1＝0，解得：或，∴A（），B（）．觀察圖象可知：①當(dāng)x≤時，min{?x2＋1，?x}＝?x2＋1，函數(shù)值隨x的增大而增大，其最大值為；②當(dāng)時，min{?x2＋1，?x}＝?x，函數(shù)值隨x的增大而減小，其最大值為；③當(dāng)x≥時，min{?x2＋1，?x}＝?x2＋1，函數(shù)值隨x的增大而減小，最大值為．綜上所示，min{?x2＋1，?x}的最大值是.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，充分理解定義min{a，b}和掌握函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共7小題，其中第16題6分，第17題8分，第18題8分，第19題6分，第20題8分，第21題9分，第22題10分，共55分）16.先化簡，再求值：已知，，求的值．【答案】；．【解析】【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，確定x，y的值，再對分式進(jìn)行化簡，后代入求值即可．【詳解】∵，，∴，∵====∴原式．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡求值，熟練進(jìn)行化簡，熟記特殊角的函數(shù)值進(jìn)行定值是解題的關(guān)鍵．17.如圖，無人機(jī)在塔樹上方處懸停，測得塔頂?shù)母┙菫?，樹頂?shù)母┙菫?，樹高為米，無人機(jī)豎直高度為60米，、、在一條直線上，且點(diǎn)到塔底的距離比到樹底的距離多米，求塔高的值．（結(jié)果可保留根號，參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】米【解析】【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，由題意得：，，米，，，從而可得（米），在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，從而求出的長，再在中，用銳角三角函數(shù)的定義求出的長即可求解，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意添加適當(dāng)?shù)妮o助線．【詳解】解：如圖：延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，由題意得：，，米，，，∵米，∴（米），在中，，∴（米），∵，∴，∴米，在中，，∴米，∴米，∴塔高的值為米，18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，交軸于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)．（1）________，點(diǎn)的坐標(biāo)為________；（2）若點(diǎn)為線段上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交反比例函數(shù)圖像于點(diǎn)，求面積的最大值．【答案】（1）m=6，；（2）當(dāng)a=1時，面積的最大值為【解析】【分析】（1）將點(diǎn)代入反比例函數(shù)解析式求出m，根據(jù)坐標(biāo)中點(diǎn)公式求出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)即可；（2）由AC兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線AB的解析式為，設(shè)D坐標(biāo)為，則，進(jìn)而得到，即可解答【詳解】解：（1）把點(diǎn)代入反比例函數(shù)，得：，解得：m=6，∵A點(diǎn)橫坐標(biāo)為：4，B點(diǎn)橫坐標(biāo)為0，故C點(diǎn)橫坐標(biāo)為：，故答案為：6，；（2）設(shè)直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為．將，代入得，解得．所以直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為．因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，可設(shè)，因?yàn)檩S，交反比例函數(shù)圖像于點(diǎn)．所以．所以．所以當(dāng)a=1時，面積的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)與幾何綜合，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形面積、坐標(biāo)中點(diǎn)求法、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識點(diǎn)，解題關(guān)鍵是用函數(shù)解析式表示三角形面積．19.“雙減政策”要求學(xué)校更注重“減負(fù)增效”，學(xué)校為了保護(hù)學(xué)生的視力，倡導(dǎo)學(xué)生購買護(hù)眼燈．某商場為了保證供應(yīng)充足，購進(jìn)兩種不同類型的護(hù)眼燈，若用3120元購進(jìn)A型護(hù)眼燈的數(shù)量和用4200元購進(jìn)B型護(hù)眼燈的數(shù)量相同，其中每臺A型護(hù)眼燈比B型護(hù)眼燈便宜9元．（1）求該商場購進(jìn)每臺A型和B型護(hù)眼燈的成本價．（2）該商場經(jīng)過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，A型護(hù)眼燈售價為36元時，可以賣出100臺．每漲價1元，則每天少售出2臺．求每臺A型護(hù)眼燈升價多少元時，銷售利潤最大？【答案】（1）該商場購進(jìn)每臺型護(hù)眼燈的成本價為26元，購進(jìn)每臺型護(hù)眼燈的成本價為35元（2）20元【解析】【分析】（1）設(shè)該商場購進(jìn)每臺型護(hù)眼燈的成本價為元，則購進(jìn)每臺型護(hù)眼燈的成本價為元，根據(jù)“用3120元和4200元購進(jìn)型和型護(hù)眼燈的數(shù)量相同”建立方程，解方程即可得；（2）設(shè)每臺型護(hù)眼燈升價元時，銷售利潤為元，則每臺型護(hù)眼燈的售價為元，每天可以售出型護(hù)眼燈臺，根據(jù)“利潤（售價成本價）銷售數(shù)量”建立函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得．【小問1詳解】解：設(shè)該商場購進(jìn)每臺型護(hù)眼燈的成本價為元，則購進(jìn)每臺型護(hù)眼燈的成本價為元，由題意得：，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是所列分式方程的解，則，答：該商場購進(jìn)每臺型護(hù)眼燈的成本價為26元，購進(jìn)每臺型護(hù)眼燈的成本價為35元．【小問2詳解】解：設(shè)每臺型護(hù)眼燈升價元時，銷售利潤為元，則每臺型護(hù)眼燈的售價為元，每天可以售出型護(hù)眼燈臺，由題意得：，，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，在內(nèi)，當(dāng)時，取得最大值，最大值為1800，答：每臺型護(hù)眼燈升價20元時，銷售利潤最大．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用、二次函數(shù)的應(yīng)用，正確建立方程和熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．20.某公園內(nèi)人工湖上有一座拱橋（橫截面如圖所示），跨度為米．在距點(diǎn)水平距離為米的地點(diǎn)，拱橋距離水面的高度為米．小紅根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對和之間的關(guān)系進(jìn)行了探究．（1）經(jīng)過測量，得出了和的幾組對應(yīng)值，如表．米米請求出拱橋距離水面的高度與之間的函數(shù)關(guān)系式，畫出確定的函數(shù)的圖象；（2）結(jié)合表格數(shù)據(jù)和函數(shù)圖象，解決問題：①橋墩露出水面的高度為米；②公園欲開設(shè)游船項(xiàng)目，現(xiàn)有長為米，寬為米，露出水面高度為米的游船．為安全起見，公園要在水面上的，兩處設(shè)置警戒線，并且，要求游船能從，兩點(diǎn)之間安全通過，則處距橋墩的距離至少為米．（精確到米）【答案】（1），畫圖見解析（2）①；②【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用；（1）待定系數(shù)法求解析式，通過描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖象；（2）①根據(jù)表格數(shù)據(jù)可得當(dāng)時，，即可求解；②根據(jù)題意，令，解方程，即可求解．【小問1詳解】解：設(shè)，把、、代入得，，解得，，對稱軸為直線，在下面的平面直角坐標(biāo)系中，畫出所確定的函數(shù)圖象；【小問2詳解】①當(dāng)時，，∴橋墩露出水面的高度為米，②令，則，解得（舍去）或．故答案為：，．21.【問題背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如圖，即）．小軍測量某建筑物高度的方法如下：在地面點(diǎn)E處平放一面鏡子，經(jīng)調(diào)整自己位置后，在點(diǎn)D處恰好通過鏡子看到建筑物AB的頂端A．經(jīng)測得，小軍的眼睛離地面的距離，，，求建筑物AB的高度．【活動探究】觀察小軍的操作后，小明提出了一個測量廣告牌高度的做法（如圖）：他讓小軍站在點(diǎn)D處不動，將鏡子移動至處，小軍恰好通過鏡子看到廣告牌頂端G，測出；再將鏡子移動至處，恰好通過鏡子看到廣告牌的底端A，測出．經(jīng)測得，小軍的眼睛離地面距離，，求這個廣告牌AG的高度．【應(yīng)用拓展】小軍和小明討論后，發(fā)現(xiàn)用此方法也可測量出斜坡上信號塔AB的高度．他們給出了如下測量步驟（如圖）：①讓小軍站在斜坡的底端D處不動（小軍眼睛離地面距離），小明通過移動鏡子（鏡子平放在坡面上）位置至E處，讓小軍恰好能看到塔頂B；②測出；③測出坡長；④測出坡比為（即）．通過他們給出的方案，請你算出信號塔AB的高度（結(jié)果保留整數(shù)）．【答案】[問題背景]；[活動探究]；[應(yīng)用拓展]【解析】【分析】[問題背景]根據(jù)反射定理，結(jié)合兩個三角形相似的判定與性質(zhì)，列出相似比代值求解即可得到答案；[活動探究]根據(jù)反射定理，結(jié)合兩個三角形相似的判定與性質(zhì)，運(yùn)用兩次三角形相似，列出相似比代值，作差求解即可得到答案；[應(yīng)用拓展]過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，證，得，再由銳角三角函數(shù)定義得，設(shè)，，則，，進(jìn)而由勾股定理求出，然后由相似三角形的性質(zhì)得，即可解決問題．【詳解】解：[問題背