湖北省重點高中智學聯(lián)盟高二年級上冊期末聯(lián)考數(shù)學試題

湖北省重點高中智學聯(lián)盟2022年秋季高二年級期末聯(lián)考

數(shù)學試題

命題學校：薪春縣第一高級中學命題人：邵海建審題人：張蕾

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

a1

1.數(shù)列｛"/滿足XJ%，則%021=（）

125

A——B.-C.-D.3

232

【答案】A

【解析】

【分析】首先根據(jù)遞推公式，求數(shù)列中的項，并得到數(shù)列的周期，再求生021的值.

1

【詳解】——，4=3,

1-4

11

?.a=-----二—

21-42

12

?a3=；=T，

1一%3

1-。3

，數(shù)列｛%｝是以3為周期的周期數(shù)列，

?____J_

,?〃2021=〃2+3x673==一］，

故選：A.

2.直線xcosa+by+2=0的傾斜角范圍是

5

B.0,—u一n，兀

66

o,9萬n5

C.D.—,一萬

666

【答案】B

【解析】

【分析】由題意，設(shè)直線的傾斜角為。，根據(jù)直線方程，求得—無＜tan，V走,

即可求解.

33

【詳解】由題意，設(shè)直線的傾斜角為。

直線xcosa+6y+2=0的斜率為k=—

即浮tan，邛,c萬泊,

又由，e[0,i）,所以0,—u

6

故選B.

【點睛】本題主要考查了直線方程的應用，以及直線的斜率與傾斜角的關(guān)系的應用，著重考查了推理與運

算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2

3.與雙曲線V—L=1有相同的焦點，且短半軸長為2百的橢圓方程是（）

【答案】B

【解析】

【分析】先求得雙曲線的焦點坐標以及焦點所在坐標軸，然后求得橢圓的。力,從而求得橢圓方程.

2

【詳解】雙曲線V—三=1的焦點在y軸上，且焦點為（0,土君），

所以橢圓的焦點在y軸上，且°=石，

依題意，橢圓短半軸匕=26，則a=J/+c2=5,

22

所以橢圓的方程為匕+土=1.

2520

故選：B

4.等比數(shù)列｛4｝的各項均為實數(shù)，其前〃項和為S,,,已知$3=14,s6=y,則%=（）

11

A.2B.-C.4D.-

2A

【答案】B

【解析】

【分析】通過討論9的取值情況，確定qwl，利用等比數(shù)列的求和公式S,=4（1一,）,建立方程組，求

i—q

出q和4=8,進而求得為的值.

【詳解】當公比4=1時，S3=3q可得q=甘，代入$6=601=28,與其二號矛盾，所以4/1；由

%（1寸）_]4

S3=

等比數(shù)列的前九項和公式S=%（［二匕）,可得＜"q

'l—q6。一力_63

^6=

1-q4

a91

兩式相除，得1+^=7,可解得9=

82

當q時，代入原式可求得4=8,則由等比數(shù)列的通項公式%=囚義/=8義I14

故選：B

5.已知點尸為拋物線C：9=2/（夕＞0）的焦點，過點p且傾斜角為60。的直線交拋物線。于A,8兩點,

若|冏?|四|=3,貝|P=（）

13

A.-B.1C.-D.2

22

【答案】C

【解析】

【分析】通過拋物線焦點坐標及點斜式即可求解出直線A3的方程，代入。的方程，設(shè)

4（%,％）,8（%2，%），根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系即可得出石+々,X］%與。的關(guān)系，通過拋物線上的點到焦點的

距離與該點到拋物線準線距離相等可知|E4|=g+Xi，|EB|=”+/，代入|E4|-|FB|=3即可轉(zhuǎn)化為關(guān)于

2的二元一次方程，即可求解.

【詳解】由題意知/l，。］"的方程為y=G（x—9，代入C的方程，得3——5內(nèi)+手=0,

設(shè)g,y”（孫%），則芯+%當3=勺；

因|出=^+玉,怛邳=5+尤2,且1M?1用|=3,

所以1曰+Xi][~^+工2J=3,整理得5+5（玉+x2）+XjX2=3,

所以乙+".2+乙=3,結(jié)合。>0,解得〃=3.

42342

故選：C

6.若為圓C：（x—2y+（y—2）2=1上任意兩點，p為直線3x+4y—4=0上一個動點，則

/MPN的最大值是（）

A.45B.60C.90D.120

【答案】B

【解析】

【分析】由圖上易知，當P不動時，PM,PN為兩切線角最大,再將4/PN的最值問題轉(zhuǎn)化為PC的最

值問題可求.

如圖，尸6為兩切線，p為直線3x+4y—4=0上一個點,

所以NMPN</APB當PM,PN為兩切線是取等號；

又ZAPB=2ZAPC,故只需求(sinNAPC)1mx,

AT

sinZAPC=—=2,

PC

1TTTT

(sinZAPC)ZAPC=ZAPB=-

'/max263

故選：B

7.在平面直角坐標系中，定義W+|y|稱為點p（x,y）“5和”，其中。為坐標原點，對于下列結(jié)論：（1）

"5和''為1的點P（x,y）的軌跡圍成的圖形面積為2；（2）設(shè)尸是直線2x—y-4=0上任意一點，則點

P(x,y)的“5和”的最小值為2；⑶設(shè)尸是直線奴-y+b=O上任意一點，則使得“5和”最小的點有無

數(shù)個”的充要條件是。=1;(4)設(shè)P是橢圓/+六=1上任意一點，貝『'3和"的最大值為班.其中正確的

結(jié)論序號為()

A.(1)(2)(3)B.(1)(2)(4)

C.(1)(3)(4)D.(2)(3)(4)

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)新定義“5和”，通過數(shù)形結(jié)合判斷(1)正確，通過研究函數(shù)最值對選項(2)(3)(4)逐一判斷即可.

【詳解】⑴當N+|y|=l時，點P(x,y)的軌跡如圖，其面積為2,正確；

(2)尸是直線2x—y—4=0上的一點，y=21一4,

4-3x,x<0,

.?.國+田二國+|2]—4]=<4一1,0<%<2,可知，x<0,0vxv2時遞減，時遞增，故國+忖的

3x-4,x>2,

最小值在x=2時取得，(|x|+|y|)min=2,正確；

(3)同(2),國+僅|=岡+麻+4，可知當a=±l時，都滿足，“3和”最小的點有無數(shù)個，故錯誤;

X=cos0,

(4)可設(shè)橢圓參數(shù)方程為《:.國+\y\=|cos0\+|A/2sin6>|,

y=yflsin&

易知其最大值為石，正確.

故選：B.

【點睛】本題的解題關(guān)鍵是認真讀題，理解新定義“5和”，再通過數(shù)形結(jié)合和函數(shù)最值的研究逐一判斷即

突破難點.

/_i\n+2015

8.若數(shù)列{4},{a}的通項公式分別是4=（—1）"+2。1%,優(yōu)=2+口------且％,＜僅對任意〃eN*恒成

n

立，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A."1]B1.2,JC1.2,|]D.1,|]

【答案】C

【解析】

【分析】對九分奇數(shù)和偶數(shù)進行討論，結(jié)合對任意"CN*恒成立，即可求得實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】當“為奇數(shù)時，由己知名＜包，所以—。＜2+！，a＞-\2+-,

n\nJ

因為%V2對任意〃￡N*恒成立，

所以q＞-f2+—j,

L'1」max

所以12—2,

當〃為偶數(shù)時，an-a,bn=2--,

n

因為為＜么對任意nGN*恒成立，

3

所以a＜一,

2

3

綜上：—2V1＜一.

2

故選：C

二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）

9.分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件A=”第一枚正面朝上"，事件3="第二枚正面朝上”，則下

列結(jié)論正確的是（）

A.P（A）=1B.P（AB）=1C.事件A與B互斥D.事件A與3相互獨立

【答案】ABD

【解析】

【分析】采用列舉法，結(jié)合古典概型概率公式可知AB正確；根據(jù)互斥事件和獨立事件的定義可知CD正誤.

【詳解】對于AB,拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，所有基本事件有｛正，正｝,｛正，反｝,｛反，正｝,｛反，

反｝,其中滿足事件A的有｛正，正｝,｛正，反｝兩種情況，事件A和事件B同時發(fā)生的情況有且僅有｛正，

正｝一種情況，

211

：.P（A）=-=~,P（AB）=-,A正確，B正確；

事件A與事件3可以同時發(fā)生，，事件A與事件B不互斥，C錯誤；

事件A的發(fā)生不影響事件8的發(fā)生，，事件A與事件8相互獨立，D正確.

故選：ABD.

10.關(guān)于等差數(shù)列和等比數(shù)列，下列四個選項中不正確的有（）

A.若數(shù)列｛?！埃那皫醉椇?Zw+c（a,4c為常數(shù)）則數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列

B.若數(shù)列｛4｝的前n項和S“=2H+1-2,則數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列

C.數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，S〃為前〃項和，則",凡"-5〃,53“-525..仍為等差數(shù)列

D.數(shù)列｛為｝是等比數(shù)列，S.為前〃項和，則邑,52“一5〃,53〃一52門..仍為等比數(shù)列.

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列通項公式和前幾項和的性質(zhì)，逐項判定，即可求解.

【詳解】根據(jù)題意，結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)依次分析：

對于A中，若數(shù)列｛4｝的前幾項和Sn=an'+bn+c,

當c=0時，由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列；

當C/0時，則數(shù)列｛4｝從第二項其為等差數(shù)列，所以A不正確；

對于B中，若數(shù)列｛%｝的前幾項和S〃=2向-2,

可得％=工=2,g=52-S1=4,?3=S3-S2=8,則成等比數(shù)列，

則數(shù)列｛g｝不是等差數(shù)列，所以B不正確；

對于C中，數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，S）,為前九項和，則S.E"—5〃鳥,一$2”,…

即為+a2++an->an+l+an+2++“2"，”2"+1+”2"+2++%"，''

可得S2“—5“=邑”—S2”—S2”=?=n2d（常數(shù)），仍為等差數(shù)列，所以C正確;

對于D中，數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，S,為前幾項和，

當q=—1時，若〃為偶數(shù)時，5〃,邑”一5”,53”一52門..均為0,不是等比數(shù)列，

所以｛%｝是等比數(shù)列，Sn為前九項和，則Sn,反“-Sn,S3n-S2n,...不一定為等比數(shù)列.

故選：ABD.

11.已知正方體ABC?！睦忾L為2,M為。A的中點，N為正方形ABCD所在平面內(nèi)一動點,

A.若MN=2,則MN的中點的軌跡所圍成圖形的面積為兀

7T

B.若MN與平面A8CD所成的角為一，則N的軌跡為圓

3

C.若N到直線BBI與直線DC距離相等，則N的軌跡為拋物線

TT

D.若RN與A8所成的角為則N的軌跡為雙曲線

【答案】BCD

【解析】

【分析】設(shè)中點為H,NW中點為。，連接尸。，計算出尸?？芍狿的軌跡為圓可判斷A；根據(jù)已知算

出DN,可判斷B；根據(jù)拋物線定義可判斷C；以ZM、DC、所在直線分別為x軸、y軸、z軸，利用

向量的夾角公式計算可判斷D.

（詳解】對于A,設(shè)MN中點為H,0M中點為Q,連接HQ,則HQ//DN,且HQ=^DN,

如圖，若MN=2,則所以O(shè)N?=叱2—=4—1=3,DN=6，則HQ=等，所以點H的軌

跡是以。為圓心，半徑為走的圓，面積S=7i，=至，故A錯誤；

24

2

DMTVDM—____7

對于B,tanZMND=——，NMND=—,則〃八一n~3,所以N的軌跡是以。為圓心，半徑

DN3tan-

3

為正的圓，故B正確;

3

對于C,點N到直線8瓦的距離為BN,所以點N到定點8和直線。C的距離相等，且8點不在直線。C

上，由拋物線定義可知，N的軌跡是拋物線，故C正確；

對于D,如圖，以ZM、DC、所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，設(shè)

N（”0）,R（0,0,2）,A（2,0,0）,5（2,2,0）,

DNAB12yl

所以2N=（x,y,-2）,AB=（0,2,0）,cos60=

2

ccZ___=1

化簡得3y2_爐=4,即44-\所以N的軌跡為雙曲線，故D正確;

22

12.己知橢圓C：三+￡=1（。〉6〉0）的左，右焦點分別是耳，F(xiàn)],其中歸國=2c.直線/過左焦

點《與橢圓交于A,8兩點，則下列說法中正確的有（

A.若存在AABF2,則△A3K的周長為4a

b2

B.若A8的中點為則左0".左==

a

若至?然=3。2,則橢圓的離心率的取值范圍是

D.若|A到最小值為3c,則橢圓的離心率e=；

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)橢圓的定義判斷A；用點差法判斷B；先算出后.R=x：+y；-c2,進而根據(jù)A在橢圓

22

上進行消元得到J%；+/—2/,然后結(jié)合橢圓的范圍得到2片的范圍，最后求出離心率的

aa

范圍；根據(jù)A3的最小值為通徑的長度生求得答案.

a

【詳解】對A,根據(jù)橢圓的定義△A3K的周長為|+|34|+|A巴|+||=4。，故A正確;

對B,設(shè)4（%,%）,3（%2，%），則瓦（西,所以1=%,%=%+%,

K2

+%

2F

〃=1=X；—X；?弁―￡—0=（%+%）（%—%）22

由bb

N2—，即左.”.左=-4，故B錯誤;

%1

+〃2b（%+x2）（石-x2）aa~

2F——I

〃

?Jr、

對C,AFJ-A與=（-c一石，一yJ（c-X],-yj=片+y；-°2,根據(jù)y；=Z?21--\

Ia）

222222

AF.AF2=^-xf+a-2ce[?-2c,a-c],則/-2c?<3c?</一。?=>e=工e，故

aa52

C正確;

2

對D,容易知道，A3的最小值為通徑長度2b工工所以妾2b-=3c,整理為

aa

2b~=3ac=^2（a2-c2}=3ac,Bp2c2+3ac-2a2=0.兩邊同時除以〃，得2e2+3e—2=0，解得:

e=~,或e=—2（舍），所以橢圓的離心率e=L,故D錯誤.

22

故選：AC.

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.設(shè)點M在直線x+y-1=0上，一/與>軸相切，且經(jīng)過點（—2,2）,則的半徑為.

【答案】1或5##5或1

【解析】

【分析】由點/在直線x+y—1=0上設(shè)加（。,1—。），圓與V軸相切，

應用數(shù)形結(jié)合可得出。與半徑的關(guān)系，

再根據(jù)圓經(jīng)過點（-2,2）也可寫出。與半徑的關(guān)系，求解即可.

【詳解】由點M在直線x+y—1=0上，設(shè)

又訓與。軸相切,且經(jīng)過點（-2,2）,

半徑r=|a|=J（a+2）2+（1-a-2產(chǎn),且a<0.

解得a=-l或a=-5.則M的半徑為1或5.

故答案為：1或5

14.如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它前一項的和除以與它前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列

就叫做“和差等比數(shù)列已知｛?！埃恰昂筒畹缺葦?shù)列“，4=2,4=3,則使得不等式4〉10的”的最小

值是.

【答案】5

【解析】

【分析】根據(jù)“和差等比數(shù)列”的定義，依次求得生，%，%的值，從而求得正確答案.

氏+。［5L

【詳解】依題意，-~-7=5,

%—61

〃3+〃2_43+3_-冷力/曰_9

一-5,斛付《=二，

//―32

解得54

-8一

54

女旦=3^=5,解得%=型>10,

%一百

所以使得不等式an〉10的〃的最小值是5.

故答案為：5

22

15.己知圓（X—2）2+y=9與x軸的交點分別為雙曲線C：鼻一4=1（。>0,6>0）的頂點和焦點，設(shè)耳，居

ab

\PFX

分別為雙曲線C的左，右焦點，尸為。右支上任意一點，則J』的取值范圍為__________.

愿|+4

9

【答案】（1,小

【解析】

I明Z-4

=1+

【分析】根據(jù)題意求出雙曲線方程，令/=|尸閭e[4,+o））,根據(jù)雙曲線定義可得：|pF|2+4^4,

t

然后利用函數(shù)的單調(diào)性即可求出結(jié)果.

【詳解】因為（X—2）2+V=9與X軸交點的坐標分別為（—1,0）,（5,0）,

由題意可知：a—\->c=5,

因為尸為C右支上任意一點，根據(jù)雙曲線的定義有I尸圖—|%|=2a=2,

歸耳「_（t+2）2_t2+4t+4_4

即歸￡|=2閭+2,令"|尸閭[4,轉(zhuǎn)），則府二=了工=下丁二？，

t

444

因為/+—在[4,+s）上為增函數(shù)，所以1+―24+—=5,

tt4

所以『eQ乳所以1+7￡0可，即歸?6（1,：.

t+~t+-\PF2[+45

9

故答案為：（1,1].

16.在棱長為1的正方體ABC?！?4GR中，P是線段3C1上的點，過A的平面a與直線。。垂直，

當尸在線段BG上運動時，平面a截正方體ABCD-A.B.C.D.所得截面面積的最小值是.

【答案】近

2

【解析】

【分析】畫出圖形，判斷截面的位置，結(jié)合正方體的特征，轉(zhuǎn)化求解截面面積最小即可.

【詳解】當尸在8點時，平面AC￡A，平面a截正方體ABC。-ABIGR所得的截面面積為:

1義0=0是最大直

當尸在C1點時，DG，平面，平面a截正方體ABC?！狝4GR所得的截面面積為:

1義0=0是最大值.

當尸由8向C1移動時，平面a截正方體ABC?！狝4CR所得的截面4班"E由A向8移動，當產(chǎn)到

BG的中點時，取得最小值，如圖

此時E為AB的中點，產(chǎn)為2G的中點，（尸在底面ABCD上的射影為￡歸，H是的中點，此時

ECLDH,可得DP_LEC,同理可得DP1.B,可證明。尸，平面AECR），

AE=CE=1,AC=6,EF=6,四邊形AECE是菱形，所以平面a截正方體ABC?！?4Goi

2

所得的截面面積為：--EF-AC=-x^xV3=—是最小值.

222

故答案為：也

2

四、解答題（本大題共6小題，共70分）

17.已知線段A3的端點3（4,3）,端點A在圓。：（》+1）2+/=4上運動.

（1）點M在線段A3上，且AM=』AB,求點/的軌跡方程；

3

（2）若直線丁=左（％—2）與點M的軌跡相交，求實數(shù)人的取值范圍.

【答案】⑴。+6—1）2=9

7

（2）k<—

24

【解析】

【分析】（1）利用相關(guān)點法即可求得點M的軌跡方程；

（2）利用直線與圓相交列出關(guān)于實數(shù)上的不等式，解之即可求得實數(shù)人的

【小問1詳解】

設(shè)點M（x,y）,

f_3、

x-xQ=—（4-%O）%=5%-2

由題意可得即<；可得，33，

%=三-萬

因為點A在圓。上，所以（%+1）2+y；=4,

即（'x—"=4,化簡可得（x—g]2/八216

+（y-i）=丁

故點/的軌跡方程為1x—j+（y-l）2=^.

【小問2詳解】

由(1)得點M的軌跡方程為(X—g[+(y—1)2=T，

此圓圓心坐標為[l，1],半徑為g.

2>1-1

由直線y=Mx—2)與點M的軌跡相交，可得(3J4,

y/i+e<3

77

解之得左<——，則實數(shù)化的取值范圍為左<.

2424

18.甲、乙兩人加工一批標準直徑為50mm的鋼球共1500個，其中甲加工了600個，乙加工了900個.現(xiàn)分

別從甲、乙兩人加工的鋼球中各抽取50個進行誤差檢測，其結(jié)果如下：

直徑誤差(mm)-0.3-0.2-0.10+0.1+0.2+0.3

從甲加工的鋼球中抽到的個數(shù)26820563

從乙加工的鋼球中抽到的個數(shù)14724662

(1)估計這批鋼球中直徑誤差不超過±0.1mm的鋼球的個數(shù)；

(2)以甲、乙各自加工的鋼球的總數(shù)為依據(jù)按分層抽樣的方法從直徑誤差為-0.2mm的鋼球中抽取5個,

再從這5個鋼球中隨機抽取2個，求這2個鋼球都是乙加工的概率；

(3)你認為甲、乙兩人誰加工的鋼球更符合標準？并說明理由.

【答案】⑴1062；

(2)—；

10

(3)乙更符合標準，理由見解析.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意表格中的數(shù)據(jù)，分別求出甲、乙加工鋼球直徑誤差不超過±0.1mm的個數(shù)即可；

(2)先求出比例，結(jié)合古典概型的概率計算即可；

(3)觀察表格中的數(shù)據(jù)，即可下結(jié)論.

【小問1詳解】

由題意知，加工直徑誤差不超過M).1mm的鋼球中，

3337

甲：——x600=396個，乙：——x900=666個，

5050

所以這批鋼球中直徑誤差不超過±0.1mm的鋼球一共有396+666=1062個；

【小問2詳解】

甲、乙加工鋼球的總數(shù)之比為600:900=2:3,

所以抽取的5個鋼球中，甲占2個，記為A,B,,乙占3個，記為a,b,c

從5個鋼球中抽取的2個鋼球的基本事件有：AB,Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Be,ab.ac,be,共十個,

則全是乙加個的基本事件為：ab.ac,bc,共3個;

3

所以所求概率為。=一；

10

【小問3詳解】

乙加工的鋼球更符合標準.

理由：甲、乙各加工的50個鋼球中直徑誤差為0mm的個數(shù)：甲有20個，乙有24個，20<24；甲生產(chǎn)

的鋼球中誤差達到±0.3的個數(shù)較多.

19.已知雙曲線C的焦點/（2,0）和離心率e=2’.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）若直線/:y=Ax+0與曲線C恒有兩個不同的交點A和且。4.O3>2，求上的取值范圍.

【答案】（1）土—丁二

3-

【解析】

【分析】（1）利用雙曲線焦點求出C,再通過離心率求出。，即可根據(jù)雙曲線性質(zhì)求出6,再通過焦點所在

軸確定雙曲線形式，代入。，6即可得出答案；

（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程消去y利用已知結(jié)合判別式列出不等式轉(zhuǎn)化求解得出Z的初步取值范圍，再通

過設(shè)出A,2坐標，利用韋達定理得出占+%與斗％2與4的關(guān)系，通過。4.03>2得出%馬+%%〉2,

再轉(zhuǎn)化為左的不等式得出左的另一個范圍，最后綜合即可得出答案.

【小問1詳解】

雙曲線C的焦點為歹（2,0）,

「.c=2,且焦點在工軸上,

雙曲線C的離心率6=個上

3

c2也

..——-----,

a3

a=A/3，

:.b—4(？—=1，

，雙曲線。的方程為：—-/=1；

3

【小問2詳解】

聯(lián)立直線與雙曲線方程消去y得：(1—3/)V—6后"-9=0,

；直線/:y=履+0與曲線C恒有兩個不同的交點A和8,

△=72左2+360—3左2)〉0

?1-3上2

解得左2<1且左2,1

3

設(shè)點A(ax),5(九2,%),

而66k_9

%+“2=匚獷，%％=一匚/，

\x2+yxy2=xxx2+（氣+6）（kx、+

=（左2+1）/9+0左（玉+々）+2,

3左2+7

3k2—1

又OA.OB>2）

x；x2+yxy2>2,

342+7

>2,

3k②—T

1,

解得—<左2<3,

3

:.-<k2<1,

3

則人的取值范圍為：-1,--^-

20.已知正項數(shù)列｛4｝的前〃項和S“，滿足S“=2%-2(〃eN*),數(shù)列也｝的前〃項積為加.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)令g=a/,,求數(shù)列的前"項和.

、CnCn+\.

【答案】(1)4=2"(“eN*)

(2)前2項和為2—1(〃eN*)

【解析】

【分析】(1)首先令〃=1,求出首項q=2,當時，根據(jù)a〃=S"—S“_］求出｛4｝為等比數(shù)列，然后

根據(jù)等比數(shù)列的通項公式進行求解即可.

(2)首先求出他,｝的通項公式，進而通過(1)求出g的通項公式，代入，后利用裂項相消的方法進

行求和即可.

【小問1詳解】

由題意：S“=2a”—2,(〃eN*)①，

當”=1時，可得q=2,

當時，S“T=2a“_i-2(n?2,〃eN*)②，

由①-②得：an=2??_122,"eN*),

由%為正項數(shù)列，得｛%｝是首項為2,公比為2的等比數(shù)列.

因此可得％=2.2"T=2"eN*)

【小問2詳解】

由于數(shù)列也｝的前〃項的乘積為〃!，

當〃=1時，得4=1；

當論2時，得1=(，])!=7z(〃22/eN*)；

-4=1符合通項，故得勿="(〃eN*).

n

由(1)可知：cn=anbn=n-2,

%("+2)2+2]ii]

%?%+向[n-T伍+1)2'，'

令北為的前幾項和，

CJ4+1

/111111111C1

"(卜限2-222-223-233-234-24n-2n(H+1)-2,,+1J(n+l)-^1'

21.圖1是直角梯形ABC。，AB//CD,/。=90。，四邊形A8CE是邊長為2的菱形，并且/BCE=60。,

以BE為折痕將△8CE折起，使點C到達G的位置，且AC1=6.

m1圖2

(1)求證：平面3。1石，平面ABED

(2)在棱。C上是否存在點P,使得點P到平面ABC1的距離為巫？若存在，求出直線“與平面

5

A3。所成角的正弦值；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)證明見解析

(2)存在，叵

5

【解析】

【分析】(1)在圖1中，連接4C,交BE于0,由幾何關(guān)系可得ACOA=OC=5結(jié)合圖2

易得NAOC]是二面角A—BE—C]的平面角，由勾股定理逆定理可證OALOG，進而得證；

(2)以Q4,OB,OCX為無，》z軸建立空間直角坐標系，設(shè)DP=2Dq,2e[0,l],求得AP，同

\AP-n\

時求出平面ABC1的法向量〃=(x,y,z),由點面距離的向量公式d=求得X,進而求得理，結(jié)合

向量公式可求直線EP與平面ABC,所成角的正弦值.

【小問1詳解】

如圖所示：

在圖1中，連接AC,交班于O,因為四邊形ABCE是邊長為2的菱形，并且NBCE=60。，所以ACJ.5E,

且OA=OC=技

在圖2中，相交直線OA,。。均與BE垂直，所以ZAOC1是二面角A-BE-Q的平面角，因

為Aq=屈,所以的2+%；=雞,OA1OQ,所以平面BG,E1平面ABED;

【小問2詳解】

由(1)知，分別以Q4,OB,。。1為x,y,z軸建立如圖2所示的空間直角坐標系，則

q(o,o,73),A(73,O,O),B(O,I,O),E(O,-I,O),DQ=一等，|，G，

AD=—￥，一|，0，AB=(-73,1,0),AC,=(-73,0,73),AE=(-^3-1,0),

設(shè)DP=ADCi，2e[0,l]，

則AP=AD+DP=AD+ADC.-2,--+-2,732.

I2222J

設(shè)平面ABC,的法向量為〃=(羽y,z),

AB?n=a—y3x+y=01

則〈一，取〃=

ACX-n=0—A/3X+A/3Z=0

因為點P到平面ABC,的距離為孚,

AP-n'2』+2?

所以d——；-i——,解得2=-,

\n\忑52

則孚43所以石―口￥5f

設(shè)直線EP與平面ABC,所成的角為0,

所以直線EP與