專題10 三角形中的重要模型之特殊三角形中的分類討論模型解讀與提分精練（全國(guó)）（解析版）

專題10三角形中的重要模型之特殊三角形中的分類討論模型特殊三角形（等腰三角形和直角三角形）的分類討論模型，是初中各類考試中幾何壓軸題的?？?，并且形式多樣，內(nèi)容新穎，能較好地考查同學(xué)們的應(yīng)用意識(shí)和思維能力。在歷年中考當(dāng)中，很多考生因?yàn)樵谔幚淼妊切魏椭苯侨切斡嘘P(guān)的多解問(wèn)題時(shí)，常?？紤]不全面，導(dǎo)致漏解丟分。在學(xué)習(xí)等腰或直角三角形的性質(zhì)和判定時(shí)，分類討論的思想尤為重要，希望大家要認(rèn)真對(duì)待。本專題將把特殊三角形分類討論情形作系統(tǒng)的歸納與介紹，方便大家對(duì)它有個(gè)全面的了解與掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.等腰三角形中的分類討論模型-對(duì)角（邊）與高的分類討論模型 2模型2.等腰三角形中的分類討論模型-對(duì)邊的分類討論模型 5模型3.直角三角形中的分類討論模型-斜邊（或直角）不確定的直角三角形模型 13模型4.直角三角形中的分類討論模型-直角三角形存在性模型 15 26模型1.等腰三角形中的分類討論模型-對(duì)角（邊）與高的分類討論模型1）若等腰三角形沒(méi)有明確角的種類，要分類討論；從銳角等腰三角形和鈍角等腰三角形的角度入手分頂角與底角兩種情況進(jìn)行分類討論。當(dāng)然有時(shí)候已知條件是以邊的形式給出，我們討論頂角和底角與討論底和腰的原理相同。2）若等腰三角形沒(méi)有明確高的位置，要分類討論；從銳角等腰三角形和鈍角等腰三角形的角度入手分腰上高與底邊高、界內(nèi)高與界外高兩種情況進(jìn)行分類討論。例1．（24-25九年級(jí)上·山東·期末）若等腰內(nèi)接于，，，則底角的度數(shù)為（）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】畫出相應(yīng)圖形，分為銳角三角形和鈍角三角形2種情況解答即可．本題考查的是三角形外接圓和外心，三角形圓周角定理及等腰三角形的性質(zhì)，分情況探討是解決本題的易錯(cuò)點(diǎn)；用到的知識(shí)點(diǎn)為：同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半；圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．【詳解】解：（1）圓心在外部，在優(yōu)弧上任選一點(diǎn)，連接，．∵，，；，；（2）圓心在內(nèi)部．∵，∴，，．綜上所述，底角的度數(shù)為或，故選：C．例2．（2023·四川廣元·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，那么這個(gè)等腰三角形的頂角等于（）A． B．或 C．或 D．【答案】B【分析】分三角形是銳角三角形時(shí)，利用直角三角形兩銳角互余求解；三角形是鈍角三角形時(shí)，利用三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解．【詳解】如圖1，三角形是銳角三角時(shí)，，頂角；如圖，三角形是鈍角時(shí)，，頂角，綜上所述，頂角等于或．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，難點(diǎn)在于分情況討論，作出圖形更形象直觀．例3．（2023春·山東棗莊·八年級(jí)校考期中）已知x，y滿足，則以，的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)是（）A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不對(duì)【答案】B【分析】利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，求出，的值，利用分類討論的思想思考問(wèn)題即可．【詳解】解：，又，，，，當(dāng)?shù)妊切蔚倪呴L(zhǎng)為4，4，8時(shí)，不符合三角形的三邊關(guān)系；當(dāng)?shù)妊切蔚娜厼?，8，4時(shí)，周長(zhǎng)為20，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的概念、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．例4．（2024八年級(jí)上·湖北·專題練習(xí)）等腰三角形三邊長(zhǎng)分別為，，，則等腰三角形的周長(zhǎng)為（

）A．10B．7或10C．7或4D．10或7或4【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的定義、一元一次方程的應(yīng)用、三角形三邊關(guān)系，根據(jù)等腰三角形的定義，分三種情況，分別得出一元一次方程，解方程結(jié)合三角形三邊關(guān)系判斷即可得解．【詳解】解：①當(dāng)為底邊長(zhǎng)時(shí)，腰長(zhǎng)為，，∵三角形為等腰三角形，，解得，∴，，∵，∴構(gòu)不成三角形；②當(dāng)為底邊長(zhǎng)時(shí)，腰長(zhǎng)為，，∵三角形為等腰三角形，，解得，∴，，符合三角形三邊關(guān)系，等腰三角形的周長(zhǎng)為；③當(dāng)為底邊長(zhǎng)時(shí)，腰長(zhǎng)為，，∵三角形為等腰三角形，，解得，∴，，符合三角形三邊關(guān)系，等腰三角形的周長(zhǎng)為．綜上，等腰三角形的周長(zhǎng)為7或10，故選：B．例5．（24-25八年級(jí)上·浙江嘉興·階段練習(xí)）等腰三角形一腰上的中線將這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)分為和兩部分，那么這個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)是．【答案】/厘米【分析】本題考查了等腰三角形的定義（至少有兩邊等長(zhǎng)或相等的三角形）、二元一次方程組的幾何應(yīng)用、三角形的三邊關(guān)系定理；依據(jù)題意，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．如圖（見(jiàn)解析），分①；②兩種情況，再分別根據(jù)等腰三角形的定義建立二元一次方程組，解方程組可得等腰三角形的三邊長(zhǎng)，然后利用三角形的三邊關(guān)系定理進(jìn)行檢驗(yàn)即可得．【詳解】解：如圖，是等腰三角形，是腰上的中線，設(shè)，則，由題意，分以下兩種情況：①當(dāng)時(shí)，則，解得，此時(shí)等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為，不滿足三角形的三邊關(guān)系定理，舍去；②當(dāng)時(shí)，則，解得，此時(shí)等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為，滿足三角形的三邊關(guān)系定理，因此，這個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)為．故答案為：．模型2.等腰三角形中的分類討論模型-對(duì)邊的分類討論模型1）等腰三角形沒(méi)有明確邊的種類，要分類討論；結(jié)合三角形三邊關(guān)系分腰與底邊兩種情況進(jìn)行分類討論。2）坐標(biāo)系中的等腰三角形的分類討論。等腰三角形的兩種分類討論方法方法1.

“兩圓一線”；（一般符合“兩個(gè)定點(diǎn)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”的等腰三角形）。如圖：已知，兩點(diǎn)是定點(diǎn)，在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)構(gòu)成等腰。①以已知線段為底作它的垂直平分線，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P（有2個(gè)）；②以已知線段為腰：用線段的兩個(gè)端點(diǎn)為圓心，線段長(zhǎng)為半徑，分別作圓。（以為圓心的有4個(gè)，以為圓心的有2個(gè)）。具體題目要通過(guò)計(jì)算這些點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)考慮是否出現(xiàn)重疊現(xiàn)象。方法2.

“三邊兩兩相等分三種情況”討論，先列出三種情況，再首先選最簡(jiǎn)單的那種情況先解答。若是“兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)一個(gè)定點(diǎn)”，多采用第二種方法分類討論。但就算是用第二種方法分類討論，也可以先用“兩圓一線”確定符合等腰三角形的點(diǎn)可能有幾個(gè)及這些點(diǎn)的大致位置。例1．（2024·山東·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，若為軸上一點(diǎn)，且使得為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】A【分析】分別以O(shè)、A為圓心，以O(shè)A長(zhǎng)為半徑作圓，與x軸交點(diǎn)即為所求點(diǎn)M，再作線段OA的垂直平分線，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)也是所求的點(diǎn)M，作出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解即可．【詳解】解：如圖，滿足條件的點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為2．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)及等腰三角形的判定；對(duì)于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒(méi)有明確哪邊是底哪邊是腰時(shí)，應(yīng)在符合三角形三邊關(guān)系的前提下分類討論．例2．（2023·福建南平·八年級(jí)校考期中）已知△ABC中，如果過(guò)頂點(diǎn)B的一條直線把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)三角形，其中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)為直角三角形，則稱這條直線為△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線．如圖1，Rt△ABC中，顯然直線BD是△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線．在圖2的△ABC中，∠ABC＝110°，若直線BD是△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線，則∠CDB的度數(shù)是．【答案】40°或90°或140°【分析】分三種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：①如圖，當(dāng)∠DBC=90°，AD=BD時(shí)，直線BD是△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線，∵∠ABC=110°，∠DBC=90°，∴∠ABD=20°，∵AD=BD，∴∠A=∠ABD=20°，∴∠CDB=∠A+∠ABD=40°；②如圖，當(dāng)∠BDC=90°，AD=BD時(shí)，直線BD是△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線，或當(dāng)∠BDC=90°，CD=BD時(shí)，直線BD是△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線，；③如圖，當(dāng)∠ABD=90°，CD=BD時(shí)，直線BD是△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線，∵∠ABC=110°，∠ABD=90°，∴∠DBC=20°，∵CD=BD，∴∠C=∠DBC=20°，∴∠BDC=140°．綜上所述：當(dāng)∠BDC的度數(shù)是40°或90°或140°時(shí)，直線BD是△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，理解二分割線是本題關(guān)鍵．例3．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，，射線從射線開(kāi)始繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，與射線相交于點(diǎn)D，將沿射線翻折至處，射線與射線相交于點(diǎn)E．若是等腰三角形，則的度數(shù)為．

【答案】或或【分析】分情況討論，利用折疊的性質(zhì)知，，再畫出圖形，利用三角形的外角性質(zhì)列式計(jì)算即可求解．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)知，，當(dāng)時(shí)，，

由三角形的外角性質(zhì)得，即，此情況不存在；當(dāng)時(shí)，，，

由三角形的外角性質(zhì)得，解得；當(dāng)時(shí)，，∴，由三角形的外角性質(zhì)得，解得；當(dāng)時(shí)，，∴，∴；綜上，的度數(shù)為或或．故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合是解題關(guān)鍵．例4．（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)校考期中）在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)A（1，2），點(diǎn)P是y軸正半軸上的一點(diǎn)，且△AOP為等腰三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【答案】【分析】有三種情況：①以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑畫弧交y軸于D，求出OA即可；②以A為圓心，以O(shè)A為半徑畫弧交y軸于P，求出OP即可；③作OA的垂直平分線交y軸于C，則AC＝OC，根據(jù)勾股定理求出OC即可．【詳解】有三種情況：①以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑畫弧交y軸于D，則OA＝OD＝；∴D（0，）；②以A為圓心，以O(shè)A為半徑畫弧交y軸于P，OP＝2×yA=4，∴P（0，4）；③作OA的垂直平分線交y軸于C，則AC＝OC，由勾股定理得：OC＝AC＝，∴OC＝，∴C（0，）；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)線段的垂直平分線，等腰三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能求出符合條件的所有情況是解此題的關(guān)鍵．例5．（2024·江蘇泰州·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖1，中，于D，且，(1)試說(shuō)明是等腰三角形；(2)已知，如圖2，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)以每秒的速度沿線段向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)以相同速度沿線段向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)都停止．設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒），①若的邊與平行，求t的值；②若點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，問(wèn)在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，能否成為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①5或6；②9或10或【分析】（1）設(shè)，則，由勾股定理求出，即可得出結(jié)論；（2）由的面積求出；①當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；得出方程，解方程即可；②由直角三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)題意得出當(dāng)點(diǎn)M在上，即時(shí)，為等腰三角形，有3種可能：；；；分別得出方程，解方程即可．【詳解】（1）證明：設(shè)，則，在中，，∴，∴是等腰三角形；（2）解：設(shè)，則，，而，∴則，由題意可知當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)A時(shí)點(diǎn)N剛好到達(dá)點(diǎn)C，此時(shí)．①當(dāng)時(shí)，，即，∴；當(dāng)時(shí)，，得：；∴若的邊與平行，t值為5或6．②∵點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，，∴cm，當(dāng)點(diǎn)M在上，即時(shí)，為鈍角三角形，但；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，不構(gòu)成三角形當(dāng)點(diǎn)M在上，即時(shí)，為等腰三角形，有3種可能．如果，則，∴；如果，則點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，∴；如果cm，過(guò)點(diǎn)E作于F，如圖3所示：此時(shí)cm，∵，∴cm∵，∴cm，∵cm，則在中，，∴．綜上所述，符合要求的t值為9或10或．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、解方程等知識(shí)；本題有一定難度，需要進(jìn)行分類討論才能得出結(jié)果．例6．（2024·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，經(jīng)過(guò)的直線交x軸正半軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)，直線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)D，若的面積為

(1)求直線的表達(dá)式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)橫坐標(biāo)為m的點(diǎn)P在線段上（不與點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線交于點(diǎn)E，設(shè)的長(zhǎng)為，求y與m之間的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出相應(yīng)的m取值范圍；(3)在（2）的條件下，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使為等腰直角三角形？若存在求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，點(diǎn)F的坐標(biāo)為或或【分析】（1）據(jù)直線交軸正半軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，，設(shè)直線解析式為，把的坐標(biāo)代入求得的值，從而求得的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積建立方程求出的值，求出的值，從而求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）直接根據(jù)待定系數(shù)法求出的解析式，先根據(jù)的坐標(biāo)求出直線的解析式，將點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入直線的解析式，求出的縱坐標(biāo)，將的縱坐標(biāo)代入直線的解析式就可以求出的橫坐標(biāo)，根據(jù)線段的和差關(guān)系就可以求出結(jié)論；（3）要使為等腰直角三角形，分三種情況分別以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出（2）中的值，就可以求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：，∴設(shè)直線的解析式為，∵直線經(jīng)過(guò)，，，∴直線的解析式為，，，的面積為，，，，，直線的解析式為（2）解：設(shè)直線的解析式為，，∴，解得．∴直線的解析式為；∵點(diǎn)P在上，且橫坐標(biāo)為m，，軸，∴E的縱坐標(biāo)為，代入得，，解得，，的長(zhǎng)；即，；（3）解：在x軸上存在點(diǎn)F，使為等腰直角三角形，①當(dāng)時(shí)，如圖①，有，，，，解得，此時(shí)；②當(dāng)時(shí)，如圖②，有，的長(zhǎng)等于點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，，，解得：，∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為，∴；③當(dāng)時(shí)，如圖③，有，．，．作，點(diǎn)R為垂足，，，．同理，．∵點(diǎn)R與點(diǎn)E的縱坐標(biāo)相同，，∴，解得：，，∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為，．綜上，在x軸上存在點(diǎn)F使為等腰直角三角形，點(diǎn)F的坐標(biāo)為或或．

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式的運(yùn)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，解答本題時(shí)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．模型3.直角三角形中的分類討論模型-斜邊（或直角）不確定的直角三角形模型若直角三角形沒(méi)有明確誰(shuí)直角（斜邊），要分類討論；從直角（斜邊）入手分三種情況進(jìn)行討論。例1．（2024·浙江嘉興·三模）已知直角三角形兩邊長(zhǎng)為3，4，則該直角三角形斜邊上的中線長(zhǎng)為（

）A．2或2.5 B．5或 C．2.5或 D．2.5或【答案】A【分析】本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，合理分類討論斜邊的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．分類討論斜邊的情況，根據(jù)斜邊上的中線等于斜邊的一半求解即可．【詳解】解：當(dāng)和為直角邊時(shí)，則斜邊，中線，當(dāng)斜邊為時(shí)，中線，∴斜邊的長(zhǎng)為或，故選：A．例2．（2023春·河南鄭州·八年級(jí)校考期中）如圖，是的角平分線，是的高，，，點(diǎn)F為邊上一點(diǎn)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，則的度數(shù)為．【答案】或【分析】分情況討論：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，根據(jù)角平分線和三角形高線的定義分別求解即可．【詳解】解：如圖所示，當(dāng)時(shí)，∵是的角平分線，，∴，∴中，；如圖，當(dāng)時(shí)，同理可得，∵，∴，∴，綜上所述：的度數(shù)為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線和高線的定義，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握分類討論的思想是解題的關(guān)鍵．例3．（2023·遼寧葫蘆島·二模）如圖，在中，，，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)E是斜邊上一動(dòng)點(diǎn)，沿所在直線把翻折到的位置，交于點(diǎn)F，若為直角三角形，則的長(zhǎng)為．

【答案】1或【分析】本題考查翻折變換、勾股定理、解直角三角形、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，分，兩種情形分別畫出圖形，結(jié)合三角函數(shù)及勾股定理求解即可得到答案；【詳解】解：如圖，當(dāng)時(shí)．在中，∵，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，

，

，如圖，當(dāng)時(shí)，作交的延長(zhǎng)線于H．設(shè)，∵，，∴，∴，∵，∴，在中，，，，在中，∵，∴，解得，綜上所述，滿足條件的的值為1或，故答案為：1或．模型4.直角三角形中的分類討論模型-直角三角形存在性模型直角三角形存在性的問(wèn)題，首先需要觀察圖形，判斷直角頂點(diǎn)是否確定。若不確定，則需要進(jìn)行分類討論，如下面模型構(gòu)建。直角三角形存在性的問(wèn)題?？急尘坝蟹郏ㄕ郫B）、動(dòng)點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)等?！皟啥ㄒ粍?dòng)”直角三角形存在性問(wèn)題：（常見(jiàn)與坐標(biāo)系綜合、或結(jié)合翻折（折疊）、動(dòng)點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)等）。問(wèn)題：已知點(diǎn)A，B和直線l，在l上求點(diǎn)P，使△PAB為直角三角形．分三種情況，如圖：①以A為直角頂點(diǎn)，即∠BAP＝90°：過(guò)點(diǎn)A作AB的垂線，與已知直線l的交點(diǎn)P1即為所求；②以B為直角頂點(diǎn)，即∠ABP＝90°：過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線，與已知直線l的交點(diǎn)P2即為所求；③以P為直角頂點(diǎn)，即∠APB＝90°：以AB的中點(diǎn)Q為圓心，QA的長(zhǎng)為半徑畫圓，與已知直線l的交點(diǎn)P3，P4即為所求．代數(shù)法計(jì)算：分別表示出點(diǎn)A，B，P的坐標(biāo)，再分別表示出AB，AP和BP的長(zhǎng)，由①BP2＝AB2＋AP2；②AP2＝AB2＋BP2；③AB2＝AP2＋BP2分別列方程求解．若方程有解，則此情況存在；若方程無(wú)解，則此情況不存在。幾何法計(jì)算：找相似，利用相似三角形求解，如果圖中沒(méi)有相似三角形，可通過(guò)添加輔助線構(gòu)造相似三角形。特殊地，若有30°，45°或60°角可考慮用勾股定理或銳角三角函數(shù)求解．例1．（2023九年級(jí)·廣東·專題練習(xí)）如圖，已知，C為坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，且是直角三角形，則滿足條件的C點(diǎn)有(

)個(gè)．A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)作AB的垂線，交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)作AB的垂線，交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)；根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角，以AB為直徑作圓，根據(jù)和的坐標(biāo)求出AB的長(zhǎng)度，即為圓的直徑，可得出半徑的長(zhǎng)，進(jìn)而判斷得出圓與軸相切，可得出圓與軸有個(gè)交點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．所以滿足條件的點(diǎn)共有個(gè)．【詳解】解：分三種情況考慮：①當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)作，交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，此時(shí)滿足題意的點(diǎn)為，；②當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)作，交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，此時(shí)滿足題意的點(diǎn)為，；③當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，以AB為直徑作圓，由、，可得此圓與軸相切，則此圓與軸有個(gè)交點(diǎn)，與軸有個(gè)交點(diǎn)，分別為．綜上，所有滿足題意的有個(gè)．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理，直角三角形以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，利用了分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想．注意：若是直角三角形，則它的任意一個(gè)頂點(diǎn)都有可能為直角頂點(diǎn)．例2．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，以為一邊在外部作等腰直角．則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

【答案】或或【分析】分三種情形討論求解即可．當(dāng)時(shí)，作軸于，由，推出，可得點(diǎn)坐標(biāo)，同法可得，當(dāng)，，，當(dāng)是等腰直角三角形的斜邊時(shí)，是的中點(diǎn)，．【詳解】解：如圖，當(dāng)時(shí)，作軸于，

∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，同法可得，當(dāng)，當(dāng)是等腰直角三角形的斜邊時(shí)，是的中點(diǎn)，，綜上所述，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．例3．（22-23八年級(jí)下·安徽阜陽(yáng)·期末）如圖所示，在中，，點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）當(dāng)為直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為．（2）若點(diǎn)在邊的下方，當(dāng)為直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為．【答案】或【分析】本題主要考查了勾股定理，含直角三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊的中線的綜合應(yīng)用．（1）畫出圖形，在中得到，再用勾股定理計(jì)算即可；（2）分兩種情況討論：①當(dāng)時(shí)，②時(shí)，分別畫出圖形，然后根據(jù)含直角三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)或勾股定理，進(jìn)行計(jì)算求解即可．【詳解】（1）∵∴，當(dāng)為直角三角形時(shí)，即，∵，∴，，故答案為：．（2）如圖1所示，當(dāng)時(shí)，，為等邊三角形，∴；如圖2所示，當(dāng)時(shí)，，∴,，，又．．故答案為：或．例4．（23-24九年級(jí)上·江西景德鎮(zhèn)·期末）如圖，等邊的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)Q是的中點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P以的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，連接，當(dāng)是直角三角形時(shí)，則t的值為秒．【答案】或2或【分析】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)．此題屬于動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，難度適中，注意掌握分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．由等邊的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)Q是的中點(diǎn)，可求得的長(zhǎng)，然后根據(jù)，得出另外的一個(gè)銳角為，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：連接，如圖所示：∵等邊的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)Q是的中點(diǎn)，∴，，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴；∴當(dāng)P從時(shí)，，當(dāng)P從時(shí)，；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，．綜上分析可知，t的值為或2或．故答案為：或2或．例5．（23-24九年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，2)，△ABO為等邊三角形，P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與O點(diǎn)重合），將線段AP繞A點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，P點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q，連接OQ，BQ。(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)為；(2)①如圖①，當(dāng)點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：∠ABQ=90°；②當(dāng)點(diǎn)P在x軸正半軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，①中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)補(bǔ)全圖②，并作出判斷（不需要說(shuō)明理由）；(3)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，若△OBQ是直角三角形，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】(1)(，1)(2)①見(jiàn)解析；②補(bǔ)全圖②見(jiàn)解析，成立(3)(，0)或(，0)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)B作軸，由等邊三角形的性質(zhì)可知，，從而可求出，再由含30度角的直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理可求出，，從而得出B(，1)；（2）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AP=AQ，，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知AO=AB，，從而可求出，進(jìn)而可求出，即易證，得出；②由題意畫圖即可，由①同理可證，即得出；（3）先求出，再分類討論：①當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸和②當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸，結(jié)合含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理和全等三角形的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作軸，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，2)，△ABO為等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，∴B(，1)；故答案為：(，1)；（2）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AP=AQ，．∵為等邊三角形，∴AO=AB，，∴，∴，∴，∴．∵，∴；②補(bǔ)全圖②如圖，①中的結(jié)論仍然成立．由①同理可證，∴；（3）當(dāng)點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，∵，，∴．當(dāng)點(diǎn)P在x軸正半軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，∵，，∴．綜上可知，故可分類討論：①當(dāng)時(shí)，如圖，此時(shí)點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸，∵，，∴．∵，∴，解得：或（舍）．∵，∴，∴P(，0)；②當(dāng)時(shí)，如圖，此時(shí)點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸，∵，，∴，∴．∵，∴，∴P(，0)．綜上可知當(dāng)△OBQ是直角三角形時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為(，0)或(，0)．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形，等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)．利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想是解題關(guān)鍵．例6．（2023秋·遼寧錦州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【模型構(gòu)建】如圖，將含有的三角板的直角頂點(diǎn)放在直線l上，過(guò)兩個(gè)銳角頂點(diǎn)分別向直線l作垂線，這樣就得到了兩個(gè)全等的直角三角形．由于三個(gè)直角的頂點(diǎn)都在同一條直線上，因此我們將其稱為“一線三直角”，這模型在數(shù)學(xué)解題中被廣泛使用．【模型應(yīng)用】(1)如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，①則_________；②C，D是正比例函數(shù)圖像上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，BC，若，則AD的最小值是_______；(2)如圖2，一次函數(shù)的圖像與y軸，x軸分別交于A，B兩點(diǎn)．將直線繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到直線l，求直線l對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；【模型拓展】(3)如圖3，點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，，過(guò)點(diǎn)A作軸交直線于點(diǎn)B，P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，Q是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若是以其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【答案】(1)①；②(2)(3)或或或【分析】（1）①先根據(jù)函數(shù)解析式確定，進(jìn)而得到，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可解答；②根據(jù)點(diǎn)到直線的距離垂線段最短，可得當(dāng)時(shí)，AD有最小值，然后判定可得，最后根據(jù)勾股定理求解即可；（2）先證可得，進(jìn)而得到，最后根據(jù)待定系數(shù)法即可解答；（3）分，點(diǎn)P在x軸上方或下方和點(diǎn)P在x軸上方或下方，四種情況，分別運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)和二元一次方程組解答即可【詳解】（1）解：①∵與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，∴，∴，又∵，∴為等腰直角三角形，∴；故答案為；②∵A是定點(diǎn)，∴如圖：當(dāng)時(shí)，有最小值；

∵,∴，∵，∴，在和中，∴，∴在中，由勾股定理得：，∴，∴的最小值為．故答案為．（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作交直線l于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作軸．∴．∵，∴．∴．∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．當(dāng)時(shí)，，∴．當(dāng)時(shí)，，∴．∴．設(shè)直線l對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，將和代入，得

解得∴．（3）解：①當(dāng),,P在x軸的上方，如圖1：過(guò)P作軸，交于M，交y軸于N，∵，∴，又∵，∴，∴；∵直線l：，∴設(shè)，∴，∴，∴，∴,即，①②聯(lián)立解得：，∴；

②當(dāng),,P在x軸的下方，如圖2：同①易證：，∴；∵直線l：，∴設(shè)，∴，∴，∴,∴,即，①②聯(lián)立解得：，∴;③當(dāng),,P在x軸的上方，如圖3：易證，∴；

∵直線l：，∴設(shè)，∴，∴，∵，∴，①②聯(lián)立解得：，∴；④當(dāng),,P在x軸的下方，如圖：易證，∴；∵直線l：，∴設(shè)，∴，∴，∵，∴，①②聯(lián)立解得：，∴．綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與幾何的綜合、等腰直角三角形的性質(zhì)、垂線段最短、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵．1．（2023秋·廣東八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若是等腰三角形，，則的度數(shù)是（

）A．或B．或C．或D．或或【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形性質(zhì)分情況討論即可得到答案．【詳解】解：是等腰三角形，，當(dāng)是頂角時(shí)，；當(dāng)是底角時(shí)，①當(dāng)時(shí)，則；②；綜上所述，的度數(shù)是或或，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查利用等腰三角形性質(zhì)求角度，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)分類討論是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．（2024·安徽亳州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，值個(gè)數(shù)是(

)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】首先根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律可得P′的坐標(biāo)為（2，1），再根據(jù)△P′TO是等腰三角形分三種情況情況討論：P′Q=P′O時(shí)；P′Q=QO時(shí)；OQ=P′O時(shí)分別求解即可．【詳解】∵點(diǎn)P（-4，3），∴關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（4，3），則，對(duì)于△P′QO是等腰三角形分三種情況情況討論：(1)當(dāng)是等腰三角形的底邊時(shí)，點(diǎn)就是的垂直平分線與軸的交點(diǎn)，根據(jù)三角形相似可得：，則的值是；(2)當(dāng)是等腰三角形的腰時(shí)，若點(diǎn)是頂角頂點(diǎn)，則點(diǎn)就是以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓與軸的交點(diǎn)，其坐標(biāo)分別是，則的值是8；若點(diǎn)是頂角頂點(diǎn)，則點(diǎn)就是以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓與軸有2個(gè)交點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為、，則的值是5或-5．由(1)(2)可知t的值是或8或5或-5．綜上值個(gè)數(shù)是4個(gè)．故選：D.【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰三角形的判定，關(guān)鍵是掌握等腰三角形的判定．3．（23-24九年級(jí)上·廣東深圳·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)原點(diǎn)及點(diǎn)、作長(zhǎng)方形，的平分線交于點(diǎn).點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線方向移動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸正方向移動(dòng).設(shè)移動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)為直角三角形時(shí)為（

）A．2或B．2或C．或D．2或或【答案】D【分析】要使為直角三角形，顯然只有當(dāng)∠PQB=90°或∠PBQ=90°，進(jìn)而利用勾股定理分別分析得出，，，再分別就∠PQB=90°或∠PBQ=90°討論，求出符合題意的t值即可．【詳解】作PG⊥OC于點(diǎn)G，在Rt△POG中，∵∠POQ=45°，∴∠OPG=45°，∵OP=，∴OG=PG=t，∴點(diǎn)P（t，t），∵Q（2t，0），B（6，2），根據(jù)勾股定理得，，，，當(dāng)∠PQB=90°，則，即，整理得：，解得t=0（舍）或t=2，∴t=2；當(dāng)∠PBQ=90°，則，即，整理得：，解得；∴當(dāng)t=2或或時(shí)，為直角三角形；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理，用到的知識(shí)點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、勾股定理的運(yùn)用，矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是討論P(yáng)點(diǎn)的位置，由題意建立方程從而求出t的值，同時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合．4．（23-24八年級(jí)下·江西九江·期末）如圖，在中，，將一塊足夠大的直角三角尺（，）按如圖放置，頂點(diǎn)P在邊AC上滑動(dòng)，三角尺的直角邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，斜邊交于點(diǎn)D，若點(diǎn)P在滑動(dòng)中恰能使與均為等腰三角形，則∠C的度數(shù)為．【答案】或或【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，等邊對(duì)等角等知識(shí)，根據(jù)①當(dāng)，時(shí)，②當(dāng)，時(shí)，③當(dāng)，時(shí)，④當(dāng)，時(shí)，四種情況討論即可作答．【詳解】①當(dāng)，時(shí)，如圖，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴；②當(dāng)，時(shí)，如圖，同①可得：，∵，∴，③當(dāng)，時(shí)，如圖，同①可得：，∵，∴；④當(dāng)，時(shí)，如圖，∵，，∴，∵，∴，綜上：∠C的度數(shù)為或或故答案為：或或．5．（2023春·湖北襄陽(yáng)·九年級(jí)校考期中）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則等腰三角形的底角的度數(shù)是．【答案】或【分析】等腰三角形分銳角和鈍角兩種情況，求出每種情況的頂角的度數(shù)，再利用等邊對(duì)等角的性質(zhì)（兩底角相等）和三角形的內(nèi)角和定理，即可求出底角的度數(shù)．【詳解】如圖當(dāng)是銳角三角形時(shí)，

于D，則，∵，∴．∵，∴；如圖當(dāng)是鈍角三角形時(shí)，

于H，則，∵，∴，∴．∵，∴．故答案為：或．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，分類思想的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．6．（23-24九年級(jí)上·江蘇常州·階段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，在射線上有一動(dòng)點(diǎn)，若是直角三角形，則的長(zhǎng)為．

【答案】或【分析】此題考查了勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，先求出，，當(dāng)時(shí)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到；當(dāng)，證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，∴，當(dāng)時(shí)，∵點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，；當(dāng)時(shí)，如圖，

∵點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，∴，，，∴，∴，∵，∴∴∴，∴故答案為：或7．（2024·河南鄭州·三模）在矩形中，，為CD的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，當(dāng)為直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為．【答案】或【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，先證明，可得，，再分和兩種情況解答即可求解，運(yùn)用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，，∵點(diǎn)為CD的中點(diǎn)，∴，∴，∴，，當(dāng)時(shí)，如圖，則，∴為等腰直角三角形，∴；②當(dāng)時(shí)，如圖，則，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴垂直平分，∴，∵，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，∴，∴；綜上，的長(zhǎng)為或，故答案為：或．8．（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，沿所在直線把翻折到的位置，交于點(diǎn)，若為直角三角形，則的長(zhǎng)為．【答案】或【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，運(yùn)用分類討論思想是解題關(guān)鍵．分兩種情況討論，畫出圖形分別進(jìn)行解答即可．【詳解】解：在中，，，，∴，∴∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴由翻折性質(zhì)得，不可能為直角，當(dāng)是直角時(shí)，如圖，是直角，，∴，，，由翻折可知，，，，，；當(dāng)是直角時(shí)，如圖，連接、、，由翻折可知，，∴，，，，∴,∵，，∴，，，又，∴，，，延長(zhǎng)交于，可得，∵，∴垂直平分，，在直角三角形中，由，，∴得到，．在直角三角形中，，將，代入①可得．故答案為：或．9.（2024·江西南昌·模擬預(yù)測(cè)）在中，，，，點(diǎn)為平行四邊形邊上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足是直角三角形，則的長(zhǎng)度是．【答案】或或【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，分和兩種情況畫出圖形解答即可求解，運(yùn)用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，，，∵，∴，（）當(dāng)時(shí)，①作于，如圖所示，則，∵，∴，∴，∴，，∴，∵，，∴，∴為直角三角形，，∴此時(shí)點(diǎn)和點(diǎn)重合，∴此時(shí)；②當(dāng)時(shí)，如圖，；（）當(dāng)時(shí)，如圖，，∴；綜上，的長(zhǎng)度是或或，故答案為：或或．【點(diǎn)睛】10．（2024·江西南昌·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，連接，，若為直角三角形，則點(diǎn)到軸的距離為．【答案】4，2或【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)過(guò)程中點(diǎn)的坐標(biāo)的變化，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出與x軸的夾角是解題的關(guān)鍵；通過(guò)分類討論，分三種情況逐個(gè)求解即可；【詳解】解：當(dāng)，即點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，則P到軸的距離為4；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合，且時(shí)，此時(shí)P在第四象限，，，，，，，的坐標(biāo)分別為，，，，，，，和軸夾角為，到軸的距離為，當(dāng)時(shí)，和軸夾角為，到軸的距離為，綜上所述，到軸的距離為4，2或．故答案為：4，2或．11．（24-25九年級(jí)上·貴州貴陽(yáng)·期中）如圖，已知在矩形紙片中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿所在直線翻折，得到，連接，，則當(dāng)是等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)是．【答案】或1或【分析】本題考查矩形中的翻折問(wèn)題，涉及矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，分類討論思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．分三種情況考慮，①當(dāng)時(shí)，連接，則易得三點(diǎn)共線，在中，利用勾股定理建立方程即可求解；②當(dāng)時(shí)，則得四邊形是正方形，即可求解；③當(dāng)時(shí)，連接，則可得三點(diǎn)共線，再證明，則可得點(diǎn)F是的中點(diǎn)，從而求解；最后綜合上述三種情況即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，；∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴；由折疊性質(zhì)知：，，；①當(dāng)時(shí)，則；連接，則由勾股定理得：；∵，∴，∴三點(diǎn)共線，∴，中，，由勾股定理得：，解得：；②當(dāng)時(shí)，如圖，則點(diǎn)在線段的垂直平分線上，∴點(diǎn)在線段的垂直平分線上，∵E是的中點(diǎn)，∴是線段的垂直平分線，∴，∵，，∴四邊形是正方形，∴；③當(dāng)時(shí)，連接，如圖；則；∵，∴；∵，∴三點(diǎn)共線，∴；∴，∵，，∴，∴，∵，∴；綜上，的長(zhǎng)為或1或．故答案為：或1或．12．（2023春·河南開(kāi)封·八年級(jí)校考期中）有一面積為的等腰三角形，它的一個(gè)內(nèi)角是，則以它的腰長(zhǎng)為邊的正方形的面積為．【答案】20或【分析】由題意知，分等腰三角形的頂角為和等腰三角形的底角為兩種情況求解：①當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫?，如圖1，等腰中，，過(guò)作于，設(shè)，則，由，，可得，求解的值即可；②當(dāng)?shù)妊切蔚牡捉菫?，如圖2，等腰中，，過(guò)作的延長(zhǎng)線于，則，，設(shè)，則，由勾股定理得，由，，可得，求解的值即可．【詳解】解：由題意知，分等腰三角形的頂角為和等腰三角形的底角為兩種情況求解：①當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫椋鐖D1，等腰中，，過(guò)作于，

設(shè)，則，∵，，∴，解得，∴以腰長(zhǎng)為邊的正方形的面積為；②當(dāng)?shù)妊切蔚牡捉菫?，如圖2，等腰中，，過(guò)作的延長(zhǎng)線于，則，

∴，設(shè)，則，由勾股定理得，∵，，∴，解得，∴以腰長(zhǎng)為邊的正方形的面積為20；綜上所述，以腰長(zhǎng)為邊的正方形的面積為20或．【點(diǎn)睛】本題考查了含的直角三角形，勾股定理，等腰三角形的定義．解題的關(guān)鍵在于分類討論．13．（2023·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）在矩形中，，，點(diǎn)，分別為，上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，若點(diǎn)落在射線上，且恰為直角三角形，則線段的長(zhǎng)為．【答案】或【分析】分兩種情況討論，由勾股定理可得AC=5，通過(guò)證明△AFG∽△ABC，由相似三角形的性質(zhì)可求CF的長(zhǎng)．【詳解】解：當(dāng)為直角三角形時(shí)，按兩種情況分析：如圖，當(dāng)為直角時(shí)，設(shè)．在中，，，．由折疊的性質(zhì)知．，，，，即，解得：，故的長(zhǎng)為．如圖，當(dāng)為直角時(shí)，設(shè)．，，，．，即，解得：，故的長(zhǎng)為，綜上所述，的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，勾股定理，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，證明△AFG∽△ABC是本題的關(guān)鍵．14．（2023春·浙江紹興·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，與關(guān)于所在的直線對(duì)稱，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交所在直線于點(diǎn)，連接，當(dāng)為直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為【答案】或2【分析】當(dāng)為直角三角形時(shí)，存在兩種情況：①當(dāng)時(shí)，如圖1，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)和平行線可得：，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得：，最后利用勾股定理可得的長(zhǎng)；②當(dāng)時(shí)，如圖2，證明是等腰直角三角形，可得．【詳解】解：當(dāng)為直角三角形時(shí)，存在兩種情況：①當(dāng)時(shí)，如圖1，與關(guān)于所在直線對(duì)稱，，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，、是的中位線，，，，，，，，是等邊三角形，，；②當(dāng)時(shí)，如圖2，，，與關(guān)于所在直線對(duì)稱，，是等腰直角三角形，；綜上所述，的長(zhǎng)為或2；故答案為：或2．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線定理、勾股定理、軸對(duì)稱的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，并利用分類討論的思想解決問(wèn)題．15．（23-24八年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）定義：如果1條線段將一個(gè)三角形分割成2個(gè)等腰三角形，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的“雙等腰線”．如果2條線段將一個(gè)三角形分成3個(gè)等腰三角形，我們把這2條線段叫做這個(gè)三角形的“三等腰線”．如圖1，是的“雙等腰線”，、是的“三等腰線”．(1)請(qǐng)?jiān)趫D2三個(gè)圖中，分別畫出的“雙等腰線”，并做必要的標(biāo)注或說(shuō)明．①；②，；③，(2)如果一個(gè)等腰三角形有“雙等腰線”，那么它的底角度數(shù)是________．(3)如圖3，中，，．畫出所有可能的“三等腰線”，使得對(duì)取值范圍內(nèi)的任意值都成立，并做必要的標(biāo)注或說(shuō)明．（每種可能用一個(gè)圖單獨(dú)表示，如果圖不夠用可以自己補(bǔ)充）【答案】(1)見(jiàn)解析(2)或或(3)見(jiàn)解析【分析】本題主要考查三角形綜合題和作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)．（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和解答即可；（2）設(shè)底角度數(shù)為，分三種情況利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和解答即可；（3）根據(jù)兩種情況、利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和解答即可．【詳解】（1）解：如圖2，取的中點(diǎn)，則，∴和是等腰三角形；如圖3，取，則，∵，∴，∴，∴，∴和是等腰三角形；如圖4，作的垂直平分線，交于，交于，連接，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴和是等腰三角形；（2）解：①設(shè)是以、為腰的銳角三角形，為“雙等腰線”，如圖5，當(dāng)，時(shí)，設(shè)，則，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，②設(shè)是以、為腰的鈍角三角形，為“雙等腰線”，如圖6，當(dāng)，時(shí)，設(shè)，則，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，③設(shè)是以、為腰的直角三角形，為“雙等腰線”，如圖7，當(dāng)，時(shí)，為的垂直平分線，設(shè)，則，，∴，∴，∴，∴，故答案為：或或；（3）解：∵要畫出使得對(duì)取值范圍內(nèi)的任意值都成立的“三等腰線”，∴不能使等于具體的數(shù)值，∴只需要使分割后的三個(gè)等腰三角形的底角成比例即可，第一種畫法：如圖8，∵，、設(shè)，，當(dāng)、將分成，，的三個(gè)等腰三角形時(shí)，則有，，∵，∴，∴，∴“三等腰線”使得三個(gè)等腰三角形的底角比為，即可使得對(duì)取值范圍內(nèi)的任意值都成立，第二種畫法：∵，設(shè)，，當(dāng)、將分成，，的三個(gè)等腰三角形時(shí)，則，，∵，∴，因此，“三等腰線”使得三個(gè)等腰三角形的底角比為，即可使得對(duì)取值范圍內(nèi)的任意值都成立，綜上所述，如圖所示的兩種“三等腰線”可以使得對(duì)取值范圍內(nèi)的任意值都成立．16．（2024·寧夏銀川·校考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有矩形，，，連接，點(diǎn)從頂點(diǎn)出發(fā)以1.5個(gè)單位/秒的速度在線段上向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從頂點(diǎn)出發(fā)以1個(gè)單位/秒的速度在線段上向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，只要有一個(gè)點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)，兩個(gè)點(diǎn)就停止運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（1）當(dāng)時(shí)，______．（2）設(shè)的面積為，寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并寫出的面積最大時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）直接寫出運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，為等腰三角形時(shí)的值．【答案】（1）；（2），；（3），，【分析】（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由四邊形AOBC為矩形，可得AC∥OB，AC=OB=8，由，可證四邊形為矩形，當(dāng)時(shí)，QB=2，由EF∥OA，可證，可求．由，可求即可；（2）由，與，可得與，可求，利用三角形面積公式，利用二次函數(shù)性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，S△PCE最大，S△PCE最大=4即可；（3）先分別求出，CE=，PE=，根據(jù)為等腰三角形時(shí)可分為三種情況當(dāng)，，時(shí)，分別列方程求解即可．【詳解】解：（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵四邊形AOBC為矩形，∴AC∥OB，AC=OB=8，∵，∴，∴∠FQB=∠QBC=∠BCF=90°，∴四邊形為矩形，當(dāng)時(shí)，QB=2×1=2∴．∵EF∥OA，∴∠EFC=∠OAF，∠FEC=∠AOC，∴，∴，即，∴．∵，∴，∴．故答案為；（2）∵，∵，∴，即，∴．∵，∴，∴∵，∴當(dāng)時(shí)，S△PCE最大，S△PCE最大=4．∴，QE=QF-EF=6-2=4，∴OQ=OB-QB=∴；（3）由（2）得，，，PF=8-AP-CF=8-1.5t-t=8-2.5t在Rt△ECF中，由勾股定理CE=，在Rt△PFE中由勾股定理PE=，①如圖，當(dāng)時(shí)，EF⊥PC，∴PF=CF，即解得；②當(dāng)時(shí)，即解得；③當(dāng)時(shí)，整理得，，t=0（舍）．∴為等腰三角形時(shí)的值為或或．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)，平面直角坐標(biāo)系中圖形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，三角形面積，二次函數(shù)最值問(wèn)題，矩形性質(zhì)，勾股定理，三角形相似判定與性質(zhì)，等腰三角形，建構(gòu)方程與解方程，掌握銳角三角函數(shù)，圖形動(dòng)點(diǎn)的速度，時(shí)間與路程關(guān)系，三角形面積，二次函數(shù)最值問(wèn)題，矩形性質(zhì)，勾股定理應(yīng)用，三角形相似判定與性質(zhì)應(yīng)用，等腰三角形分類思想的運(yùn)用，建構(gòu)方程與解方程是解題關(guān)鍵．17．（2023春·重慶渝中·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，中，以，為邊，分別在各自的上方作等邊三角形，等腰三角形，，，連接，；

(1)如圖1，若，，求的面積(2)如圖2，點(diǎn)為中點(diǎn)，求證：(3)如圖3，，，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，作關(guān)于所在直線的對(duì)稱圖形，記作，連接，，當(dāng)直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)的面積為36；(2)見(jiàn)解析(3)的度數(shù)為或或或．【分析】（1）作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求得，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及