專題08 圓中的最值模型之阿氏圓模型解讀與提分精練（北師大版）

專題08圓中的最值模型之阿氏圓模型最值問題在中考數(shù)學(xué)常以壓軸題的形式考查，“阿氏圓”又稱“阿波羅尼斯圓”，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以高檔題為主，中考說明中曾多處涉及。本專題就最值模型中的阿氏圓問題進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.阿氏圓模型 1 13模型1.阿氏圓模型動點到兩定點距離之比為定值（即：平面上兩點A、B，動點P滿足PA/PB=k（k為常數(shù)，且k≠1）），那么動點的軌跡就是圓，因這個結(jié)論最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)的，故稱這個圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱為阿氏圓。如圖1所示，⊙O的半徑為r，點A、B都在⊙O外，P為⊙O上一動點，已知r=k·OB（即），連接PA、PB，則當(dāng)“PA+k·PB”的值最小時，P點的位置如何確定？最小值是多少呢？如圖2，在線段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴，∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。故本題求“PA+k·PB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+PC”的最小值。其中與A與C為定點，P為動點，故當(dāng)A、P、C三點共線時，“PA+PC”值最小，如圖3所示。阿氏圓求最值的本質(zhì)就是通過構(gòu)造母子相似，化去比例系數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩定一動將軍飲馬型求最值，難點在于如何構(gòu)造母子相似。阿氏圓最值問題常見考法：點在圓外：向內(nèi)取點（系數(shù)小于1）；點在圓內(nèi)：向外取點（系數(shù)大于1）；一內(nèi)一外：提系數(shù)；隱圓型阿氏圓等。注意區(qū)分胡不歸模型和阿氏圓模型：在前面的“胡不歸”問題中，我們見識了“k·PA+PB”最值問題，其中P點軌跡是直線，而當(dāng)P點軌跡變?yōu)閳A時，即通常我們所說的“阿氏圓”問題．例1．（2024·湖北武漢·九年級校考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C為圓心、3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動點，連接AP、BP，則AP＋BP的最小值為（

）A．7 B．5 C． D．例2．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，已知正方ABCD的邊長為6，圓B的半徑為3，點P是圓B上的一個動點，則的最大值為_______．例3．（2024·四川成都·九年級校考期中）如圖所示，在△ABC中，∠B＝90°，BA＝BC＝2，以B為圓心作圓B與AC相切，點P是圓B上任一動點，連接PA、PC，則PA+PC的最小值為．例4．（2024·重慶·?？家荒＃┤鐖D，在中，點A、點B在上，，，點C在OA上，且，點D是的中點，點M是劣弧AB上的動點，則的最小值為．例5．（2024·福建·九年級?？计谥校┤鐖D，正方形邊長為4，是的中點，在上，的最大值是，的最小值是.例6．（2023·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，，，是第一象限內(nèi)一動點，，連接、，(1)求直線的解析式．(2)求的最小值．例7．（2024·重慶·模擬預(yù)測）正方形ABCD中，AB＝2，點M是BC中點，點P是正方形內(nèi)一點，連接PC，PM，當(dāng)點P移動時，始終保持∠MPC＝45°，連接BP，點E，F(xiàn)分別是AB，BP中點，求3BP＋2EF的最小值為．

例8．（2024·廣東·?？级＃?）初步研究：如圖1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q為AB上一點且AQ=1，證明：PB=2PQ；（2）結(jié)論運(yùn)用：如圖2，已知正方形ABCD的邊長為4，⊙A的半徑為2，點P是⊙A上的一個動點，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推廣：如圖3，已知菱形ABCD的邊長為4，∠A=60°，⊙A的半徑為2，點P是⊙A上的一個動點，求2PC?PB的最大值．例9．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點．拋物線的對稱軸與經(jīng)過點的直線交于點，與軸交于點．

(1)求直線及拋物線的表達(dá)式；(2)在拋物線上是否存在點，使得是以為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)以點為圓心，畫半徑為2的圓，點為上一個動點，請求出的最小值．1．（2024·山東泰安·二模）如圖，在中，，，，以為圓心，為半徑作，為上一動點，連接、，則的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．42．（2024·四川宜賓·二模）正方形邊長為6，點E是邊上的動點，連接，交于點P，過點A作，交于點F、Q，過點B作于點G，交于點H，連接．以下說法：①當(dāng)時，點F為的中點；②當(dāng)時；③；④點E運(yùn)動過程中，有最小值6．其中結(jié)論正確的有（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④3．（2023春·江蘇·九年級校考階段練習(xí)）如圖，正方形的邊長為4，的半徑為2，為上的動點，則的最大值是．4．（2023·山東·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，，圓C半徑為2，P為圓上一動點，連接最小值__________．最小值__________．5．（2023·廣東·九年級專題練習(xí)）如圖，菱形的邊長為2，銳角大小為，與相切于點E，在上任取一點P，則的最小值為___________．6．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）【新知探究】新定義：平面內(nèi)兩定點A,B，所有滿足k(k為定值)的P點形成的圖形是圓，我們把這種圓稱之為“阿氏圓”，【問題解決】如圖，在△ABC中，CB4，AB2AC，則△ABC面積的最大值為_____．7．（2024·四川成都·一模）如圖，矩形中，已知為邊上一動點，將沿邊翻折到．點與點重合．連接．則的最小值為．8．（2024·四川自貢·模擬預(yù)測）如圖，在中，，以O(shè)為圓心，4為半徑作，分別交兩邊于點C，D兩點，P為劣孤上一動點，則的最小值．9．（2024九年級·廣東·專題練習(xí)）如圖，的半徑為，，Q為上一動點，則的最小值．的最小值10．（2024九年級·廣東·專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點為圓心，為半徑的圓與兩坐標(biāo)軸分別交于A，B兩點，D是弧上一動點，則的最小值．11．（23-24九年級上·重慶江津·階段練習(xí)）如圖，等邊△ABC的邊長為6，內(nèi)切圓記為⊙O，P是⊙O上一動點，則2PB＋PC的最小值為．12．（2023·廣東廣州·二模）【問題情境】（1）如圖1，四邊形是正方形，點E是邊上的一個動點，以為邊在的右側(cè)作正方形，連接，若，則的長度是_________；【類比探究】（2）如圖2，四邊形是矩形，，點E是邊上的一個動點，以為邊在的右側(cè)作矩形，且，連接，判斷線段與有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；【拓展提升】（3）如圖3，在（2）的條件下，連接BG，求的最小值．

13．（2024·重慶·二模）在中，，點E是內(nèi)部的一點，連接，且，延長交于點D．

(1)如圖1，若，求的長．(2)如圖2，過點A作交的延長線于點F，過點B作交于點M，求證：．(3)如圖3，在（1）問的條件下，點H是的中點，點О是直線上的動點，連接，將沿翻折得到，連接，直接寫出當(dāng)取最小值時的值．14．（23-24九年級下·江蘇蘇州·開學(xué)考試）請認(rèn)真閱讀下列材料：如圖①，給定一個以點O為圓心，r為半徑的圓，設(shè)點A是不同于點O的任意一點，則點A的反演點定義為射線上一點，滿足．顯然點A也是點的反演點．即點A與點互為反演點，點O為反演中心，r稱為反演半徑．這種從點A到點的變換或從點到點A的變換稱為反演變換．例如：如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，點，以點O為圓心，為半徑的圓，交y軸的正半軸于點B；C為線段的中點，P是上任意一點，點D的坐標(biāo)為；若C關(guān)于的反演點分別為．（1）求點的坐標(biāo)；（2）連接、，求的最小值．解：（1）由反演變換的定義知：，其中，．∴，故點的坐標(biāo)為；（2）如圖③，連接、，由反演變換知，即，而，∴．∴，即．∴．故的最小值為13.請根據(jù)上面的閱讀材料，解決下列問題：如圖④，在平面直角坐標(biāo)系中，點，以點O為圓心，為半徑畫圓，交y軸的正半軸于點B，C為線段的中點，P是上任意一點，點D的坐標(biāo)為．（1）點D關(guān)于的反演點的坐標(biāo)為________；（2）連接、，求的最小值；（3）如圖⑤，以為直徑作，那么上所有的點（點O除外）關(guān)于的反演點組成的圖形具有的特征是．15．（23-24九年級上·四川成都·階段練習(xí)）（1）如圖，在中，D為上一點，．求證：；（2）如圖2，在菱形中，E，F(xiàn)分別為上的點，且，射線交的延長線于點M，射線交的延長線于點N．若求：①的長；②的長；（3）如圖3，在菱形中，點E為的中點，在平面內(nèi)存在點F，且滿足，以為一邊作（頂點F、A、P按逆時針排列），使得，且，請直接寫出的最小值．16．（2024·浙江·一模）問題提出：如圖1，在等邊△ABC中，AB＝9，⊙C半徑為3，P為圓上一動點，連結(jié)AP，BP，求AP+BP的最小值(1)嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路，通過構(gòu)造一對相似三角形，將BP轉(zhuǎn)化為某一條線段長，具體方法如下：(請把下面的過程填寫完整)如圖2，連結(jié)CP，在CB上取點D，使CD＝1，則有又∵∠PCD＝∠∴△∽△∴∴PD＝BP∴AP+BP＝AP+PD∴當(dāng)A，P，D三點共線時，A