專題07 三角形中的重要模型之平分平行(平分射影)構(gòu)等腰、角平分線第二定理模型解讀與提分精練(全國(guó))_第1頁(yè)
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專題07三角形中的重要模型之平分平行(平分射影)構(gòu)等腰、角平分線第二定理模型角平分線在中考數(shù)學(xué)中都占據(jù)著重要的地位,角平分線常作為壓軸題中的??贾R(shí)點(diǎn),需要掌握其各大模型及相應(yīng)的輔助線作法,且輔助線是大部分學(xué)生學(xué)習(xí)幾何內(nèi)容中的弱點(diǎn),,本專題就角平分線的非全等類模型作相應(yīng)的總結(jié),需學(xué)生反復(fù)掌握。大家在掌握幾何模型時(shí),多數(shù)同學(xué)會(huì)注重模型結(jié)論,而忽視幾何模型的證明思路及方法,導(dǎo)致本末倒置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的,學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背,要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶,這樣才能做到對(duì)于所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用,并且更多時(shí)候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識(shí)、方法的思路的適當(dāng)延伸、拓展,所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是:①認(rèn)識(shí)幾何模型并能夠從題目中提煉識(shí)別幾何模型;②記住結(jié)論,但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法;③明白模型中常見的易錯(cuò)點(diǎn),因?yàn)槎鄶?shù)題目考察的方面均源自于易錯(cuò)點(diǎn)。當(dāng)然,以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求,因?yàn)轭}目的多變性,若想在幾何學(xué)習(xí)中突出,還需做到的是,在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練,深刻認(rèn)識(shí)幾何模型,認(rèn)真理解每一個(gè)題型,做到活學(xué)活用!TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.平分平行(射影)構(gòu)等腰模型 2模型2.角平分線第二定理(內(nèi)角平分線定理與外角平分線定理)模型 7 15模型1.平分平行(射影)構(gòu)等腰模型角平分線加平行線必出等腰三角形:由平行線得到內(nèi)錯(cuò)角相等,由角平分線得到相等的角,等量代換構(gòu)造等腰。平行線、角平分線及等腰,任意由其中兩個(gè)條件都可以得出第三個(gè)。(簡(jiǎn)稱:“知二求一”,在以后還會(huì)遇到很多類似總結(jié))。角平分線加射影模型必出等腰三角形:由等角的余角相等和對(duì)頂角相等構(gòu)造等腰。1)角平分線加平行線必出等腰三角形.

圖1圖2圖3條件:如圖1,OO’平分∠MON,過OO’的一點(diǎn)P作PQ//ON.結(jié)論:△OPQ是等腰三角形。證明:∵PQ//ON,∴∠1=∠3,∵OO’平分∠MON,∴∠2=∠1,∴∠2=∠3,∴OQ=PQ,∴△OPQ是等腰三角形。條件:如圖2,△ABC中,BD是∠ABC的角平分線,DE∥BC。結(jié)論:△BDE是等腰三角形。證明:∵DE∥BC,∴∠BDE=∠DBC,∵BD是∠ABC的角平分線,∴∠DBE=∠DBC,∴∠DBE=∠BDE,∴BE=DE,∴△BDE是等腰三角形。條件:如圖3,在中,平分,平分,過點(diǎn)O作的平行線與,分別相交于點(diǎn)M,N.結(jié)論:△BOM、△CON都是等腰三角形。證明:由題意得:MN∥BC,∴∠BOM=∠OBC,∵BO是∠ABC的角平分線,∴∠OBM=∠OBC,∴∠BOM=∠MBO,∴BM=OM,∴△BOM是等腰三角形。同理可得:△CON也是等腰三角形。2)角平分線加射影模型必出等腰三角形.→圖4條件:如圖4,BE平分∠CBA,∠ACB=∠CDA=90°.結(jié)論:三角形CEF是等腰三角形。證明:∵BE平分∠CBA,∴∠CBE=∠ABE,∵∠ACB=90°,∴∠CBE+∠CEB=90°,∵∠CDA=90°,∴∠ABE+∠BFD=90°,∵∠BFD=∠CFE,∴∠ABE+∠CFE=90°,∴∠CEB=∠CFE,∴CF=CE,∴三角形CEF是等腰三角形。例1.(2024·四川成都·中考真題)如圖,在中,按以下步驟作圖:①以點(diǎn)為圓心,以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧,分別交,于點(diǎn),;②分別以,為圓心,以大于的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧在內(nèi)交于點(diǎn);③作射線,交于點(diǎn),交延長(zhǎng)線于點(diǎn).若,,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)A.B.C.D.例2.(2024·貴州貴陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè))如圖,在中,,和的平分線相交于點(diǎn),過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn),交于點(diǎn),若的周長(zhǎng)為14,則的周長(zhǎng)是(

)A.14 B.19 C.21 D.23例3.(2023·廣東·八年級(jí)期末)如圖,?ABCD中,AB=3cm,BC=5cm,BE平分∠ABC交AD于E點(diǎn),CF平分∠BCD交AD于F點(diǎn),則EF的長(zhǎng)為cm.例4.(2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)校考階段練習(xí))如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足為D,AF平分∠CAB,交CD于點(diǎn)E,交CB于點(diǎn)F,則下列結(jié)論成立的是()

A.EC=EF B.FE=FC C.CE=CF D.CE=CF=EF例5.(2023.成都市青羊區(qū)八年級(jí)期中)如圖,在中,,于點(diǎn)D,的平分線BE交AD于F,交AC于E,若,,則_____________.例6.(2023九年級(jí)·廣東·專題練習(xí))如圖1,在中,和的平分線交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作,交于E,交于F.

(1)當(dāng),則___________;(2)當(dāng)時(shí),若是的外角平分線,如圖2,它仍然和的角平分線相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作,交于E,交于F,試判斷,之間的關(guān)系,并說明理由.模型2.角平分線第二定理(內(nèi)角平分線定理與外角平分線定理)模型角平分線第二定理:三角形一個(gè)角的平分線與其對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例。該定理現(xiàn)在教材里面雖然沒有講,但它在實(shí)戰(zhàn)確有很大的作用(可以避免去構(gòu)造勾股定理或相似),很多時(shí)候能起到事半功倍的良好效果。1)內(nèi)角平分線定理?xiàng)l件:如圖,在△ABC中,若BD是∠ABC的平分線。結(jié)論:證明:作,作DHAB垂足分別為F,H.∵BD是∠ABC的平分線,∴DF=DH,則==(2)作BECA垂足為E,則==∴=2)外角平分線定理圖2圖3條件:如圖2,在△ABC中,∠BAC的外角平分線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D。結(jié)論:.證明:如圖2,過C作.交BA的延長(zhǎng)線于E,∵,∴,∠2=∠4,∠1=∠3,∵∠1=∠2,∴∠4=∠3,∴AE=AC,∴.3)奔馳模型條件:如圖3,的三邊、、的長(zhǎng)分別是a,b,c,其三條角平分線交于點(diǎn)O,將分為三個(gè)三角形。結(jié)論:=c:a:b。證明:過點(diǎn)作于點(diǎn),作于點(diǎn),作于點(diǎn).

由題意知:,,是的三條角平分線,,于,,的三邊、、長(zhǎng)分別為a,b,c,.例1.(2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題)如圖,在中,,以點(diǎn)為圓心,適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧分別交于點(diǎn)和點(diǎn),再分別以點(diǎn)為圓心,大于的長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn),連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn).若的面積為8,則的面積是(

)A.8 B.16 C.12 D.24例2.(2023·四川瀘州·八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖,的三邊、、長(zhǎng)分別是10、15、20.其三條角平分線交于點(diǎn)O,將分為三個(gè)三角形,等于()A. B. C. D.例3.(23-24九年級(jí)上·吉林·期末)已知,是一條角平分線.【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①,若是的角平分線.可得到結(jié)論:.小紅的解法如下:過點(diǎn)D作于點(diǎn)E,于點(diǎn)F,過點(diǎn)A作于點(diǎn)G,∵是的角平分線,且,,∴______________.∴_____________.又∵,∴_____________.【類比探究】如圖②,若是的外角平分線,與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D.求證:.例4.(23-24九年級(jí)上·湖南婁底·期末)一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課上,小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線的一個(gè)論證.如圖1,已知是的角平分線,可證.小慧的證明思路是:如圖2,過點(diǎn)C作,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,構(gòu)造相似三角形來證明.(1)嘗試證明:請(qǐng)參照小慧提供的思路,利用圖2證明;(2)應(yīng)用拓展:如圖3,在中,,D是邊上一點(diǎn).連接,將沿所在直線折疊,點(diǎn)C恰好落在邊上的E點(diǎn)處.①若,,求的長(zhǎng);②若,,求的長(zhǎng)(用含k與的代數(shù)式表示).例5.(2024·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè))【問題初探】在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,張老師給出如下問題:“如圖1,在中,是的角平分線,求證:”,有兩名同學(xué)給出了不同的解答思路:①如圖2,小麗同學(xué)從結(jié)論出發(fā)給出如下解題思路:過點(diǎn)C作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,運(yùn)用等腰三角形和相似等知識(shí)解決問題.②如圖3,小強(qiáng)同學(xué)從“是的角平分線”給出了另一種解題思路:在上截取,連接,過點(diǎn)C作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,也是利用相似等知識(shí)解決問題.(1)請(qǐng)你選擇一名同學(xué)的解答思路,寫出證明過程.【類比分析】張老師發(fā)現(xiàn)之前兩名同學(xué)都運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想,將兩組線段比值問題轉(zhuǎn)化為兩三角形相似的對(duì)應(yīng)邊的比.為了幫助學(xué)生更好地領(lǐng)悟這種轉(zhuǎn)化思想,張老師將問題進(jìn)行了改編,提出下面問題,請(qǐng)你解答.(2)如圖4,若的外角平分線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,求證:.【學(xué)以致用】(3)如圖5,在四邊形中,,,,平分,求的長(zhǎng).1.(2024·湖南懷化·一模)如圖,以直角的一個(gè)銳角的頂點(diǎn)A為圓心,適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧,分別交直角邊于點(diǎn)D,交斜邊于點(diǎn)E,再分別以點(diǎn)D,E為圓心,大于的長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)F,作射線交邊于點(diǎn)G,若,,用表示的面積(其它同理),則=(

A. B. C. D.2.(23-24八年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí))如圖,中,與的平分線交于點(diǎn)F,過點(diǎn)F作交于點(diǎn)D,交于點(diǎn)E,那么下列結(jié)論:①和都是等腰三角形;②;③的周長(zhǎng)等于與的和;④;⑤若,則.其中正確的有(

)A.①②③⑤ B.①③④⑤ C.①②④⑤ D.②③④⑤3.(2023春·山東淄博·九年級(jí)校考期中)如圖,中,,點(diǎn)I為各內(nèi)角平分線的交點(diǎn),過I點(diǎn)作的垂線,垂足為H,若,,,那么的值為()A.1 B. C.2 D.4.(2023春·湖南岳陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,是的角平分線,相交于點(diǎn)于,,下列四個(gè)結(jié)論:①;②;③若的周長(zhǎng)為,則;④若,則.其中正確的結(jié)論有(

)個(gè).

A. B. C. D.5.(2024·江蘇宿遷·八年級(jí)??计谀┤鐖D,在中,,垂足為D,平分,交于點(diǎn)E,交于點(diǎn)F.若,則的長(zhǎng)為()A. B.3 C. D.6.(23-24山西八年級(jí)期中)如圖在中,的角平分線交于,若,,則平行四邊形的周長(zhǎng)為()A. B. C. D.7.(2024·陜西寶雞·二模)如圖,是的中位線,的角平分線交于點(diǎn)F,,,則的長(zhǎng)為(

A.9 B.6 C.3 D.28.(24-25九年級(jí)上·廣東·課后作業(yè))如圖,在中,平分交于點(diǎn).若,,則.9.(23-24八年級(jí)上·四川綿陽(yáng)·期末)如圖,在等腰△ABC中,AB=BC=a,CE=b,∠BAC和∠ABC的平分線分別為AD,BE相交于點(diǎn)O,AD交BC于點(diǎn)D,BE交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)O作OF⊥AB于F,若OF=c,則△ABC的面積為.10.(2023春·陜西咸陽(yáng)·八年級(jí)??茧A段練習(xí))如圖,在中,,點(diǎn)為的邊上一點(diǎn),點(diǎn)分別在邊上,連接,若,則的度數(shù)為.

11.(2024·天津·八年級(jí)??计谥校┤鐖D,在中,是的平分線,延長(zhǎng)至E,使,若,的面積為9,則的面積是.12.(2023·遼寧鞍山·八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖,已知,點(diǎn)E是上一點(diǎn),平分,平分,延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.①;②E為的中點(diǎn);③若,,則;④若四邊形的面積為27,且,則的長(zhǎng)為18,其中正確的結(jié)論有.

13.(2023春·貴州畢節(jié)·八年級(jí)期末)如圖,的三邊長(zhǎng)分別是20、30、40,其三條角平分線將分成三個(gè)三角形,則等于.

14.(23-24九年級(jí)下·江蘇南京·自主招生)(1)若為的角平分線,求證:;(2)已知,,,,求證:.

15.(22-23八年級(jí)上·浙江杭州·期末)如圖,在中,,,,是的角平分線,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是邊,上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B,C重合),連結(jié),.(1)若分別記,的面積為,求的值.(2)設(shè),,①若,求的值.②若,,請(qǐng)判斷的形狀,并說明理由.16.(2024·吉林長(zhǎng)春·三模)如圖①,AD是的角平分線.?dāng)?shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論:.經(jīng)過討論得到如下種證明思路:思路:過點(diǎn)向兩邊作垂線段,利用三角形的面積比證出結(jié)論;思路:過點(diǎn)作AB的平行線,與AD的延長(zhǎng)線相交,利用三角形相似證出結(jié)論;思路:過點(diǎn)作的平行線,與的延長(zhǎng)線相交,利用平行線分線段成比例證出結(jié)論.(1)請(qǐng)參考以上種證明思路,選擇其中一種證出結(jié)論;(2)在圖①中,AD是的角平分線.若,,,則BD的長(zhǎng)度為_______;(3)如圖②,在中,,的角平分線BD、CE相交于點(diǎn),若,則的值為_______.17.(22-23九年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí))[感知]如圖①所示,在等腰中,,AD平分,易得(不需要證明)(1)[探究]如圖②所示,李麗同學(xué)將圖①的等腰改為任意,AD平分,他通過觀察、測(cè)量,猜想仍然成立,為了證明自己的猜想,他與同學(xué)進(jìn)行交流討論,得到了證明猜想的兩種方法:方法1:過點(diǎn)D分別作于點(diǎn)E,于點(diǎn)F,利用與的面積比證明結(jié)論.方法2:過點(diǎn)B作交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,利用與相似證明結(jié)論.請(qǐng)你參考上面的兩種方法,選擇其中的一種方法完成證明.(2)[應(yīng)用]如圖③所示,在中,,,,AD平分.若點(diǎn)E在邊AB上,,CE交AD于點(diǎn)F,則______.18.(2023·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè))小明在學(xué)習(xí)角平分線知識(shí)的過程中,做了進(jìn)一步探究:如圖1,在中,的平分線交于點(diǎn),發(fā)現(xiàn).小明想通過證明來驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論.證明:延長(zhǎng)至,使得,請(qǐng)你完成上述證明過程:結(jié)論應(yīng)用:已知在中,,,邊上有一動(dòng)點(diǎn),連結(jié),點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn),連結(jié)交于點(diǎn).(1)請(qǐng)你完成發(fā)現(xiàn)中的證明過程;(2)如圖2當(dāng),,求的值;(3)如圖3當(dāng),與的邊垂直時(shí),求的值.19.(23-24九年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí))“關(guān)聯(lián)”是解決數(shù)學(xué)問題的重要思維方式.角平分線的有關(guān)聯(lián)想就有很多…【問題提出】

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