材料力學課件第三章 扭轉

第三章扭轉本章重點：

1、扭矩的概念以及扭矩圖的繪制；

2、圓軸扭轉時的應力及變形的計算。§3.1扭轉的概念和實例§3.2外力偶矩的計算扭矩和扭矩圖§3.8薄壁桿件的自由扭轉§3.3純剪切§3.5圓軸扭轉時的變形§3.7非圓截面桿扭轉的概念目錄§3.4圓軸扭轉時的應力§3.6圓柱形密圈螺旋彈簧的應力和變形§3.1扭轉的概念和實例

受力特點:一對大小相等、轉向相反、作用面垂直于桿件軸線的外力偶。變形特點：相鄰橫截面繞軸線作相對轉動。工程中，把以扭轉為主要變形的直桿稱為軸。將任意兩橫截面間繞軸線轉動的相對轉角稱為扭轉角,用表示?！?.2外力偶矩的計算扭矩和扭矩圖設某傳動軸,其傳遞的功率為P千瓦(kW),轉速為n轉／分（r／min）,若已知外力偶傳遞的功率為P馬力（PS）,轉速為n轉／分（r／min）運用上二式時，應特別注意各量的單位。1秒內輸入的功力偶矩m的功則：一、外力偶矩的計算則

符號：用右手螺旋法則，用矢量表示扭矩若矢量方向與橫截面外法線方向一致時扭矩為正，反之扭矩為負。

扭轉時橫截面上的內力，它是一個位于橫截面平面內的力偶，該力偶矩稱為扭矩求法：截面法取左端，由于矩平衡二、扭矩與扭矩圖MeMeMeTxMeT說明：這樣規(guī)定扭矩的正負號，使得同一截面上的扭矩獲得相同的正負號。扭矩隨桿軸線變化規(guī)律的圖線稱為扭矩圖。

扭矩圖的做法與軸力圖相似例1

已知:傳動軸轉速n=300r/min,主動輪A輸入功率PA=400kW,三個從動輪輸出功率分別為PB=120kW，PC=120kW,PD=160kW試畫軸的扭矩圖。ABCDABCD解：1.計算外力偶矩MBMCMAMD同理可得：MBBBCMBMC2.計算扭矩得：同理可得：ABCDMBMCMAMD3.畫扭矩圖一、薄壁圓筒扭轉時的應力§3.3純剪切實驗情形①圓周線不變；②縱向線變成斜直線。3.結論：①圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是繞軸線作了相對轉動。

②各縱向線均傾斜了同一微小角度γ。

③所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。Dδ沿半徑方向取微單元體abcdA、切應力的存在性

由剪切變形剪應變單元體的兩惻必然有切應力。B、正應力不存在

扭轉過程中，圓筒的周邊線形狀、大小、相鄰周邊線的距離都不變，→無線應變（軸相或周相）→無正應力

acddxbdy′′

C、切應力大?。?）由于沿圓周線方向各點的變形相同，同一圓周線上各點的R相同，故可認為切應力沿圓周線處處相等。（2）又因壁厚很薄，又可近似的認為沿壁厚方向均勻分布。橫截面上內力系對O點的力矩為：因此認為切應力在橫截面均勻分布

TO設該截面的扭矩為T，則：即：說明：根據(jù)精確理論分析當時上公式的誤差不超過4.52%

在單元體互相垂直的兩個平面上，切應力必然成對存在，且數(shù)值相等；兩者都垂直于兩個平面的交線，而它們的方向都指向公共棱邊，或者都背向公共棱邊。這個關系即切應力互等定理。組成順時針轉向力偶，其矩為組成逆時針轉向力偶，其矩為得

該應力情況由于只有切應力而沒有正應力，因此稱該應力情況稱為純剪切。二、切應力互等定理acddxb

dy′′dzz

三、純剪切應力狀態(tài)斜截面上的應力由單元體平衡可以得到

由此可以判斷出最大正應力的位置由右圖可以得到式中R為外半徑，對于薄壁圓筒可以用平均半徑R0代替R三、切應變剪切胡克定律

其中：G是比例常數(shù)，稱為切變模量，上式為剪切胡克定律。當切應力不超過材料的剪切比例極限，切應力就與切應變成正比，如右圖，即：對于各向同性材料，有：§3.4圓軸扭轉時的應力先看實驗1、實驗現(xiàn)象2、假設

﹢各圓周線的形狀、大小，兩圓周線間的距離都沒有發(fā)生變化，但都繞軸轉過了不同的角度。

﹢縱線仍近似為直線，但都傾斜了一個角度，使原來的矩形都變成了平行四邊形。平面假設：圓軸扭轉時，各橫截面如同剛性平面一樣繞軸轉動，即：假設圓軸各橫截面在變形過程中，始終保持為平面，其形狀和大小不變，半徑仍為直線。一、實驗與假設二、圓軸扭轉時的應力三方面變形幾何關系物理關系靜力學關系1、變形幾何關系變形前變形后距圓心為

任一點處的

與到圓心的距離

成正比?！まD角沿長度方向變化率Ttmaxtmax2.物理關系：虎克定律：代入上式得：3.靜力學關系：TOdA

令稱為圓截面的極慣性矩代入物理關系式得：tmax抗扭截面系數(shù)令：圓軸扭轉時橫截面上的最大切應力抗扭截面系數(shù)極慣性矩扭矩其中：注意：上面的切應力公式只有在等直圓軸且處于彈性范圍時才能使用現(xiàn)在的問題是如何求和對與實心軸：對與空心軸：IP與WP與的計算注意:三、圓軸扭轉時的強度條件和剛度條件1、圓軸扭轉時的破壞現(xiàn)象脆性材料扭轉破壞塑性材料扭轉破壞（比如：鑄鐵、粉筆）（比如：低碳鋼）2、圓軸扭轉的強度條件3、圓軸扭轉的剛度條件1、強度校核2、截面尺寸設計3、確定許可載荷利用它也可以進行以下三方面的計算解：（1）計算扭矩例4

已知:傳動軸Me=12kN.m，G=80GPa，[τ]=90MPa，

[φ]=2o/m。試按強度條件和剛度條件確定軸的直徑（2）按強度條件確定軸的直徑（3）按剛度條件確定軸的直徑由：可得：由：可得：因此：?。海璗1.8kN.m0.7kN.mxO0.5m0.3m1.0mBACDd1＝40mmd2＝70mm例5G＝80GPa。試校核該軸的強度和剛度。解：(1)作出扭矩圖(2)強度校核該軸強度滿足要求。0.5m0.3m1.0mBACDd1＝40mmd2＝70mm例5G＝80GPa。試校核該軸的強度和剛度。(3)剛度校核由單位長度扭轉角的表達式可知，其最大值應該發(fā)生在AB段。可見該軸剛度也滿足要求。－T1.8kN.m0.7kN.mxO例6G＝80GPa。試按強度和剛度條件選擇實心截面軸和空心截面(α＝0.8)圓軸的橫截面尺寸，并比較其重量。解：(1)按強度條件確定實心圓軸的直徑d0和空心圓軸的外徑D以及內徑d。實心情形由此得空心情形由此得實心情形由此得空心情形(2)按剛度條件確定實心圓軸的直徑d0和空心圓軸的外徑D以及內徑d。取d0＝59mm取D＝67mm，d＝0.8D＝54mm§3.5圓軸扭轉時的變形

對于相距為l的兩個截面的扭轉角為

如果長為l、在兩端受一對外力偶Me作用的等直桿，此時T、G、IP均為常量，故有一、扭轉角

若兩截面之間T值發(fā)生變化或IP與分段變化，則應分段計算各段的扭轉角，然后再疊加，得：

對于錐形圓截面桿，當錐度較小（如α＜10°），可近似用下式計算：

扭轉角φ的單位為弧度(rad)，其轉向和扭矩T的轉向相同，它的正負號隨著扭矩T的正負號而定，例1

已知:傳動軸AB轉速n=300r/min，傳遞的功率P

=7.5kW，AC段為實心圓截面，CB段為空心圓截面，D

=3cm，d=2cm。求：AC段、CB段的最大和最小切應力。解：（1）計算扭矩（2）計算極慣性矩ABC（3）計算應力例2

已知:傳動軸AB轉速n=300r/min，傳遞的功率P

=7.5kW，AC段為實心圓截面，CB段為空心圓截面，D

=3cm，d=2cm。求：AC段、CB段的最大和最小切應力。ABC解：（1）計算扭矩例3

已知:傳動軸M1=2.5kN.m，

M2=4kN.m，

M3=1.5kN.m，G=80GPa求：截面A相對截面C的扭轉角（2）計算A、C兩截面間的相對扭轉角練習無縫鋼管制成的汽車傳動軸，D＝90mm，δ＝2.5mm。AB試求:(1)兩種求法的最大切應力比較；(2)把此軸換成同材料且最大切應力相同的實心圓軸，體重比為多少?(1)最大切應力精確值薄壁(2)換算

兩端固定的圓截面等直桿AB，在截面C受外力偶矩Me作用，試求:桿兩端的支座反力偶矩。靜力平衡方程為：變形協(xié)調條件為：即：解：由(1)、(2)得：二、扭轉超靜定問題[例5]長為L=2m

的圓桿受均布力偶m=20Nm/m

的作用，如圖，若桿的內外徑之比為

=0.8，外徑

D=0.0226m，G=80GPa，試求固端反力偶。解：①桿的受力圖如圖示，

這是一次超靜定問題。

平衡方程為：②幾何方程——變形協(xié)調方程③綜合物理方程與幾何方程，得補充方程：④由平衡方程和補充方程得：另:此題可由對稱性直接求得結果?！?.7等直圓桿扭轉時的變形能變形比能：對于等直圓軸：對于右圖中的等直圓軸：單元體外力所做的功：對于薄壁圓筒：§3.6圓柱形密圈螺旋彈簧的應力和應變螺旋彈簧如圖所示。當螺旋角時，可近似認為簧絲的橫截面與彈簧軸線在同一平面內，一般將這種彈簧稱為密圈螺旋彈簧。由靜力平衡可以得到式中的FS為橫截面上的剪力；T為該截面的扭矩。對于由剪力引起的切應力，可以認為在橫截面上均勻分布。1.簧桿橫截面上的應力對于由Ｔ引起的切應力，當可以不計簧桿曲率的影響，而是按直桿計算最大切應力。橫截面上的切應力可以用上述兩種應力進行矢量疊加，故切應力的最大值在簧桿的a點處，其值為當時，與1相比可以忽略不計，即

上式結果切應力值偏低，進一步理論分析可知，當考慮曲率以及FS對應的應力非均勻分布等因素后，得到另一個公式m稱為彈簧指數(shù)，C稱為曲度系數(shù)。2.彈簧的變形當時，可以忽略FS的影響，并可以按直桿來計算代表彈簧軸線的全長；n為彈簧有效圈數(shù)G為簧桿的切變模量；IP為簧桿橫截面的極慣性矩式中的k為彈簧剛度§3.7非圓街面截面桿扭轉的概念

桿件受扭轉力偶作用發(fā)生變形，變形后其橫截面將不再保持平面，而發(fā)生“翹曲”。扭轉時，若各橫截面翹曲是自由的，不受約束，此時相鄰橫截面的翹曲處處相同，桿件軸向纖維的長度無變化，因而橫截面上，只有剪應力沒有正應力，這種扭轉稱為自由扭轉。此時橫截面上剪應力規(guī)律如圖：T其中Wt也稱為扭轉截面系數(shù)；It稱為截面的相當極慣性矩；GIt仍稱為桿的扭轉剛度相關數(shù)據(jù)見書P74頁表3—1§3.8薄壁桿件的自由扭轉薄壁桿件:桿件的壁厚遠小于橫截面的其他兩個尺寸(高和寬).開口薄壁桿件閉口薄壁桿件一、開口薄壁桿件的自由扭轉開口薄壁桿件，如槽鋼、工字鋼等，其橫截面可以看作是由若干個狹長矩形組成的。在受扭變形過程中，各部分的扭轉角相等。1、圖示鑄鐵圓軸受扭時，在＿＿＿＿面上發(fā)生斷裂，其破壞是由