數(shù)學(xué) -江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期12月考試試題及答案

1南大附中高三數(shù)學(xué)12月考試一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要1．已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位則z=()xx2+2xx2xA．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件4．已知函數(shù)=sin的圖象向左平移后所得函數(shù)為奇函數(shù)，則w的最小值為()5．已知拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線C上，點(diǎn)M在y軸上的投影為點(diǎn)N，則M--.M--的 7．已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，PA=PB=PC=4，AB=BC=2,AC=23，則球O的表面積為()8．若關(guān)于x的不等式ea+x.lnx<x2+ax對(duì)x∈(0,1)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()2二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.)9．體育教育既能培養(yǎng)學(xué)生自覺(jué)鍛煉身體的習(xí)慣，又能培養(yǎng)學(xué)生開(kāi)拓進(jìn)取、不畏艱難的堅(jiān)強(qiáng)性格.某校學(xué)生參加體育測(cè)試，其中甲班女生的成績(jī)X與乙班女生的成績(jī)Y均服從正態(tài)分布，且X~N(160,900)，10．已知△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,△ABC的面積記為S，若a=4,A=60o，則() B.△ABC的外接圓周長(zhǎng)為π C．S的最大值為4·311．已知定義在R上的函數(shù)f(x)和g(x)，g’(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù)且定義域?yàn)镽.若g(x)為偶函數(shù)，f(2)=4三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.)12．已知的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，各項(xiàng)系數(shù)和為729，則其展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為.13.在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,，△ABC的面積S=·i3，則a+4b的最小值為，此時(shí)△ABC的周長(zhǎng)為.32PMPN的最小值為.四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸.)15本小題滿分13分）已知數(shù)列{an}滿足a1=2(1)比較a2024和a2026的大小，并寫(xiě)出過(guò)程；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，證明：Sn<1.16本小題滿分15分）某高中學(xué)校為了解學(xué)生參加體育鍛煉的情況，統(tǒng)計(jì)了全校所有學(xué)生在一年內(nèi)每周性別鍛煉合計(jì)不經(jīng)常經(jīng)常男生女生合計(jì)若將一周參加性別鍛煉合計(jì)不經(jīng)常經(jīng)常男生女生合計(jì)若將一周參加體育鍛煉次數(shù)一周參加體育鍛煉次數(shù)01234567男生人數(shù)12456543女生人數(shù)45564321合計(jì)579864為3次及3次以上的，稱(chēng)為“經(jīng)常鍛煉”，其余的稱(chēng)為“不經(jīng)常鍛煉”.請(qǐng)完成以下2×2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值α=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷能否認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系.（2）若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為0次的稱(chēng)為“極度缺乏鍛煉”，“極度缺乏鍛煉”會(huì)導(dǎo)致肥胖等諸多健康問(wèn)題.以樣本頻率估計(jì)概率，在全校抽取20名同學(xué)，其中“極度缺乏鍛煉”的人數(shù)為X，求E(X)和D(X)；（3）若將一周參加體育鍛煉的次數(shù)為6次或7次的同學(xué)稱(chēng)為“運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者”，為進(jìn)一步了解他們的生活習(xí)慣，在樣本的10名“運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者”中，隨機(jī)抽取3人進(jìn)行訪談，設(shè)抽取的3人中男生人數(shù)為Y，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望.4α0.10.050.01xα2.7063.8416.635 (1)證明：平面PBD丄平面ABCD；(2)若PB=PD，PC與平面ABCD所成的角為，試問(wèn)在側(cè)面PCD內(nèi)是否存在一點(diǎn)N，使得BN丄平面PCD？若存在，求出點(diǎn)N到直線PD的距離；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.18本小題滿分18本小題滿分17分）已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)為F(·i3,0),F(s3,)v31-20，且橢圓C的離心率為.2(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，斜率為k1(k1≠0)的直線l與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B，且弦AB的中點(diǎn)為E，直線OE的斜率為k2，求k1.k2；(3)直線L與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P,Q，橢圓C在點(diǎn)P,Q處的切線分別為L(zhǎng)1,L2,L1與L2交于點(diǎn)T，點(diǎn)T在直線x=4上.請(qǐng)判斷直線L是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并說(shuō)明理由.519本小題滿分17分）已知函數(shù)f(x)=aex-e-x,(a∈R).（1）若f(x)為奇函數(shù)，求此時(shí)f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；（2）設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)-(a+1)x，且存在x1,x2分別為g(x)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn).（i）求函數(shù)g(x)的極值；)>0，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.6南大附中高三數(shù)學(xué)12月解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位則izi=() 【答案】C故選：C.【答案】A【詳解】因?yàn)閍=(-1,1),b=(2,1)，所以ka+b=(2-k,因?yàn)?k+)丄，所以(k+).=-(2-k)+1+k=0，解得故選：Ax2xA．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A因?yàn)閒(x)=2x+x在R上單調(diào)遞增，又f(1)=3，由2x+x<3，可得x<1，所以B={xx<1}，所以AB，所以“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件.故選：A.74．已知函數(shù)f(x)=sin(|(wx+),(w>0)的圖象向左平移后所得的函數(shù)為奇函數(shù)，則w的最小值為()【答案】D所以w=12k-4(k∈Z)，又w>0，所以12k-4>0，解得k>，因?yàn)閗∈Z，所以k=1時(shí)，w取得最小值，最小值為8.故選：D5．已知拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線C上，點(diǎn)M在y軸上的投影為點(diǎn)N，則M--.M--的【答案】B【詳解】由拋物線C:y2=8x可知，焦點(diǎn)為F(2,0)，設(shè)M(x0,y0)(x0≥0)，則N(0,y0)，0,0),M0,-y0)，所以MN.MF=-x0(2-x0)=x-2x0=(x0-1)2-1，故選：B24【答案】C 7．已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，PA=PB=PC=4，AB=BC=2,AC=23，則球O21π27π40π64π【答案】D8【詳解】如圖：在△ABC中，AB=BC=2,AC=2，在直角三角形PQB中，BQ=2，BP=4，所以QP=2設(shè)棱錐P-ABC外接球半徑為R，在直角三角形OQB中，(2-R)2+22=R2，解得所以球O的表面積為：S=4πR2=4π×故選：D故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．體育教育既能培養(yǎng)學(xué)生自覺(jué)鍛煉身體的習(xí)慣，又能培養(yǎng)學(xué)生開(kāi)拓進(jìn)取、不畏艱難的堅(jiān)強(qiáng)性格.某校學(xué)生參加體育測(cè)試，其中甲班女生的成績(jī)X與乙班女生的成績(jī)Y均服從正態(tài)分布，且X～N(160,900)，9【答案】ACD【解析】選項(xiàng)A：由X～N(160,900)，得E(X)=160，故A正確；選項(xiàng)B：由Y～N(160,400)，得D(Y)=400，故B不正確；選項(xiàng)C：由于隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，該正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)軸為直線：x=160，選項(xiàng)D：解法一：由于隨機(jī)變量X，Y均服從正態(tài)分布，且對(duì)稱(chēng)軸均為直線：x=160，D(X)=900>D(Y)=400，所以在正態(tài)曲線中，Y的峰值較高，正態(tài)曲線較“瘦高”，隨機(jī)變量分布比較集中，所以P(X≤180)<P(Y≤180)，故D正確.解法二：因?yàn)閄～N(160,900)，Y～N(160,400)，故D正確.故選：ACD.10．已知△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,△ABC的面積記為S，若a=4,A=60o，則() B.△ABC的外接圓周長(zhǎng)為π C．S的最大值為43 D．若M為線段AB的中點(diǎn)，且CM=，則S=4S3【答案】AC △ABC外接圓的半徑為R，則2R=，則△ABC的外接圓周長(zhǎng)為π,B不正確；由C可知，當(dāng)S=43時(shí)，△ABC為等邊三角形，此時(shí)CM=23，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11．已知定義在R上的函數(shù)f(x)和g(x)，g’(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù)且定義域?yàn)镽.若g(x)為偶函數(shù)，f(4)=2f(2)=4【答案】BC【解析】因?yàn)間(x)為偶函數(shù)，則g(-x)=g(x)，兩邊求導(dǎo)得-g’(-x)=g’(x)，所以g’(x)為奇函數(shù)，因?yàn)閒(x)+g’(x)-2=0，f(x)-g’(4-x)-2=0，兩式相加得f(1)+f(3)-4=0，即f(1)+f(3)=4，故C正確.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。n的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，各項(xiàng)系數(shù)和為729，則其展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為.【答案】240或3840解得n＝6.又由于的展開(kāi)式系數(shù)和為729，令x=1得，即(a+1)6=729，解得a=2或-4，的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r+1=Cr=a6-rCx6-3r，令6-3r=0，解得r=2，所以展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為a4.C，故答案為：240或384013.在VABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,的最小值為，此時(shí)VABC的周長(zhǎng)為.由和正弦定理可得→c2-b2=a2-ab→a2+b2-c2c22 2上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C(6,6)滿足：.=0,+=,，則PM+2PN的最小值為.【答案】12-2四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。15本小題滿分13分）已知數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1(1)比較a2024和a2026的大小，并寫(xiě)出過(guò)程；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，證明：Sn<1.16本小題滿分15分）獨(dú)立性檢驗(yàn)+離散型隨機(jī)變量的期望與方差+二項(xiàng)分布與超幾何分布解1）第1步：補(bǔ)全2×2列聯(lián)表完成列聯(lián)表如下.性別鍛煉合計(jì)不經(jīng)常經(jīng)常男生7女生合計(jì)第2步：根據(jù)公式求x2的值零假設(shè)為H0：性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性無(wú)關(guān).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算，得第3步：對(duì)照臨界表得結(jié)論根據(jù)小概率值α=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H0不成立，即性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1.（2）第1步：判斷X服從二項(xiàng)分布因?yàn)閷W(xué)?？偟膶W(xué)生人數(shù)遠(yuǎn)大于所抽取的學(xué)生人數(shù)，故X近似服從二項(xiàng)分布，隨機(jī)抽取1名學(xué)生為“極度缺乏鍛煉”者的概率p=，則X~B第2步：根據(jù)公式求出期望與方差（3）第1步：根據(jù)超幾何分布求出相應(yīng)概率由題意可知，10名“運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者”中有7名男生，3名女生，Y服叢超幾何分布題眼）第2步：列分布列故所求分布列為Y0123P1 第3步：求數(shù)學(xué)期望17.（本小題滿分15分）已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD//BC，AB丄BC，BC=2AD=2，AB=，E為CD的中點(diǎn)，PB丄AE.(1)證明：平面PBD丄平面ABCD；(2)若PB=PD，PC與平面ABCD所成的角為，試問(wèn)在側(cè)面PCD內(nèi)是否存在一點(diǎn)N，使得BN丄平面PCD？若存在，求出點(diǎn)N到直線PD的距離；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)見(jiàn)解析【解析】（1）由四邊形ABCD是直角梯形BC可得DC=2，上BCD=從而△BCD是等邊三角形，BD=2，BD平分上ADC.:E為CD的中點(diǎn)，:DE=AD=1，:BD丄AE，又:PB丄AE，PB∩BD=B，BD平面PBD，PB平面PBD:AE丄平面PBD，AE平面ABCD，所以平面PBD丄平面ABCD.（2）在平面PBD內(nèi)作PO丄BD于O，連接OC，QAE丄平面PBD，又:AE平面ABCD，平面PBD丄平面ABCD.因?yàn)槠矫鍼BD∩平面ABCD=BD，PO平面PBD，:PO丄平面ABCD:上PCO為PC與平面ABCD所成的角，則上PCO=:PB=PD，PO丄BD，:O為BD的中點(diǎn)，:OC丄BD.以O(shè)B，OC，OP所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)在側(cè)面PCD內(nèi)存在點(diǎn)N，使得BN丄平面PCD成立，由題意得N(-λ,μ,-·(λ+μ-1))，-1,0,-S3)，解得滿足題意22,22 求出點(diǎn)N到直線PD的距離為： 8-8-152-(.)2 155所以N點(diǎn)到直線PD的距離為.21-20，且橢圓C的離心率為.21-20，且橢圓C的離心率為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，斜率為k1(k1≠0)的直線l與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B，且弦AB的中點(diǎn)為E，直線OE的斜率為k2，求k1.k2；(3)直線L與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P,Q，橢圓C在點(diǎn)P,Q處的切線分別為L(zhǎng)1,L2,L1與L2交于點(diǎn)T，點(diǎn)T在直線x=4上.請(qǐng)你判斷直線L是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并說(shuō)明理由.【解】（【解】（1）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為a22l:橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.（2）方法一：點(diǎn)差法：ly120ly120又A,B在橢圓C上，則兩式相減得方法二：橢圓方程代換：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),E(x0,y0)，直線l:y=k1x+t，方法三：聯(lián)立方程：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),E(x0,y0)，直線l:y=k1x+t，（3）設(shè)P(x3,y3),Q(x4,y4)，先求橢圓C在點(diǎn)P,Q處的切線L1,L2的方程.方法一：根據(jù)判別式Δ=0求解橢圓C在點(diǎn)P(x3,y3)處的切線L1，設(shè)L1:y=rx+s，y3同理可得，L2