《函數(shù)的單調(diào)性》教學(xué)設(shè)計-二

2/2《函數(shù)的單調(diào)性》教學(xué)設(shè)計二教學(xué)設(shè)計一、情境與問題我們知道，“記憶”在我們的學(xué)習(xí)過程中扮演著非常重要的角色，因此有關(guān)記憶的規(guī)律一直都是人們研究的課題.德國心理學(xué)家艾賓浩斯曾經(jīng)對記憶保持量進行了系統(tǒng)的實驗研究，并給出了類似下圖所示的記憶規(guī)律.如果我們以x表示時間間隔（單位：h），y表示記憶保持量（單位：%），則不難看出，上圖中，y是x的函數(shù)，記這個函數(shù)為.這個函數(shù)反映出記憶具有什么規(guī)律？你能從中得到什么啟發(fā)？情境與問題中的函數(shù)反映出記憶的如下規(guī)律：隨著時間間隔x的增大，記憶保持量y將減小.給定一個函數(shù)，人們有時候關(guān)心的是，函數(shù)值會隨著自變量增大而怎樣變化，類似的內(nèi)容我們在初中曾經(jīng)接觸過.如下圖，從正比例函數(shù)的圖象可以看出，當(dāng)自變量由小變大時，這個函數(shù)的函數(shù)值逐漸變大，即y隨著x的增大而增大；從反比例函數(shù)的圖象可以看出，在和上，這個函數(shù)的函數(shù)值y都隨著x的增大而減小.二、探究新知[嘗試與發(fā)現(xiàn)1]怎樣用不等式符號表示“y隨著x的增大而增大”“y隨著x的增大而減小”？歸納總結(jié)出相關(guān)概念：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為A，區(qū)間.如果對于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個值，當(dāng)時，都有，那么稱在區(qū)間Ⅰ上是增函數(shù)（如圖（1）），I稱為的增區(qū)間.如果對于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個值，當(dāng)時，都有，那么稱在區(qū)間I上是減函數(shù)（如圖（2）），I稱為的減區(qū)間.如果函數(shù)在區(qū)間I上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么稱函數(shù)在區(qū)間I上具有單調(diào)性.增區(qū)間和減區(qū)間統(tǒng)稱為單調(diào)區(qū)間.由增函數(shù)和減函數(shù)的定義可知，前面給出的例子中，函數(shù)在R上是增函數(shù)；函數(shù)在上是減函數(shù)，在上也是減函數(shù).想一想：你能否說函數(shù)在定義域內(nèi)是減函數(shù)？為什么？[嘗試與發(fā)現(xiàn)2]下圖為函數(shù)的圖象，由圖可知，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).你能找出圖中的最高點和最低點嗎？總結(jié)函數(shù)的最值的定義：一般地，設(shè)的定義域為A.如果存在，使得對于任意的，都有，那么稱為的最大值，記為；如果存在，使得對于任意的，都有，那么稱為的最小值，記為.不難看出，如果函數(shù)有最值而且函數(shù)的單調(diào)性容易求出，則可利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值.三、典型例題例1畫出下列函數(shù)圖象，并寫出單調(diào)區(qū)間：（1）；（2）.解（1）函數(shù)圖象如圖（1），增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）函數(shù)圖象如圖（2），和是兩個減區(qū)間.由“嘗試與發(fā)現(xiàn)2”可知，從函數(shù)的圖象能方便地看出函數(shù)的單調(diào)性.但一般情況下，得到函數(shù)的圖象并不容易，而且手工作出的圖象往往都不精確，因此我們要探討怎樣從函數(shù)的解析式來證明函數(shù)的單調(diào)性.這可以利用函數(shù)單調(diào)性的定義和不等式的證明方法進行證明.例2證明：函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).證明設(shè)為區(qū)間上的任意兩個值，且，則，因為，所以，即.故在區(qū)間上是增函數(shù).思考：你能總結(jié)用定義法證明函數(shù)單調(diào)性的步驟嗎？提示：設(shè)值、作差、變形、判號、下結(jié)論.例3判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求這個函數(shù)的最值.解任取，且，則.因為，所以，所以這個函數(shù)是增函數(shù).因此，當(dāng)時，有，從而這個函數(shù)的最小值為，最大值為.例3中，函數(shù)的最值也可由不等式的知識得到：因為，所以，所以.例4已知函數(shù)的定義域是.當(dāng)時，是增函數(shù)；當(dāng)]時，是減函數(shù).試證明在時取得最大值.證明因為當(dāng)時，是增函數(shù)，所以對于任意，都有.又因為當(dāng)時，是減函數(shù)，所以對于任意，都有.因此，對于任意都有，即在時取得最大值.四、課堂小結(jié)1.增函數(shù)、減函數(shù)的定義.2.用圖象法判斷函數(shù)的單調(diào)性：增函數(shù)的圖象從左到右上升，減函數(shù)的圖象從左到右下降.3.（定義法）證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：設(shè)值、作差、變形、判號、下結(jié)論.4.函數(shù)的最大值、最小值的概念.五、布置作業(yè)教材第113頁練習(xí)第3，4，5題板書設(shè)計5.3函數(shù)的單調(diào)性一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為A，區(qū)間.如果對于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個值，當(dāng)時，都有，那么稱在區(qū)間I上是增函數(shù)，I稱為的增區(qū)間.如果對于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個值，當(dāng)時，都有，那么稱在區(qū)間I上是減函數(shù)，I稱為的減區(qū)間函數(shù)的最大值、最小值：一般地，設(shè)的定義域為A.如果存在，使得對于任意的，都有，那么稱為的最大值，記為；如果存在，使得對于任意的，都有，那么稱為的最小值，記為例1例2例3例4課堂小結(jié)：（1）增函數(shù)、減函數(shù)的定義（2）用圖象法判斷函數(shù)的單調(diào)性：增函數(shù)的圖象從左到右上升，減函數(shù)的圖象從左到右下降（3）（定義法）證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：設(shè)值、作差、變形、判號、下結(jié)論（4）函數(shù)的最大值、最小值的概念教學(xué)研討在本節(jié)課的教學(xué)中，學(xué)生可能遇到的問題是不能歸納抽象出函數(shù)單調(diào)性的定義，不會根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性以及求一個具體函數(shù)的最值.產(chǎn)生這些問題的原因是歸納概括能力不高，對于函數(shù)單調(diào)性的定義還不是很理解