經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)線性代數(shù) 習(xí)題答案（王光輝）第1-5章 矩陣 - 相似矩陣及二次型

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)線性代數(shù)習(xí)題答案

第1章矩陣

習(xí)題全解

同步習(xí)題1.1

【基礎(chǔ)題】

1.寫(xiě)出以下線性變換對(duì)應(yīng)的矩陣.

必二4%，

⑵卜*

.K=4G

國(guó)o…0、

0A,…0

，：：：

、002M>

2.以下對(duì)矩陣的描述中，不正確的是).

A.〃階方陣的行數(shù)與列數(shù)相同B.三角矩陣都是方陣

C.對(duì)稱矩陣與反對(duì)稱矩陣都是方陣D.任何矩陣都是方陣

解由加x〃個(gè)數(shù)他（i=l,2,…,〃7,/=1,2,…按一定順序排成的機(jī)行〃列的矩形數(shù)

表，稱為〃?X〃矩陣，當(dāng)〃:，〃的值相等時(shí)，此矩陣稱為方陣.因此，不是任何矩陣都是方陣,

D項(xiàng)描述是不正確的，故應(yīng)選D.

3.已知三階矩陣力是反對(duì)稱矩陣，如果將/的主對(duì)角線以上的每個(gè)元素都加2,所得矩

陣為對(duì)稱矩陣，求矩陣力.

’0aby

解因?yàn)槿A矩陣/是反對(duì)稱矩陣，所以可設(shè)三階矩陣4=-〃（）c,將力的主對(duì)

<-b—c0,

r

。+2=一。，

角線以上的每個(gè)元素都加2得對(duì)稱矩陣，則有卜+2=也解得=c=-l,

C+2=-c,

1

0

故/二0

U1oj

-1

「03、

4.設(shè)矩陣/二B=23,求AB及.BA.

、2-1

°)0

1

103、43

解根據(jù)矩陣乘法運(yùn)算法則,可得力8=23

2<0-5

40;

1-1-113

03、

BA=23oJ8-36

40J4012J

-2424、

5.設(shè)矩陣A，B,求及.BA.

1-2-3一6,

-2424-16-3224V-24、’00、

解力8=,BA=

1-2八-3、816-6I-2、00>

20

6.設(shè)/(x)=1+2x—2x~+x\A=，求f(A).

0-3

「20V20、0、’4040、(160、

解/二W-31。-3,，A4=A2-A1=

%9八09)<081；

1020(401160、13

/、(4)=E+2Z-2/二-2+

(01J101008"(058；

7.已知4,B均為〃價(jià)方陣，則必有().

A.Q+B)2=#+24B+B?

B.(W=力守

C.力5=0時(shí)，4=0或8=0

D.(AB)T=BTAT

解(4+3)2=(力+B)(Z+8)=%2+謖+胡+爐，八項(xiàng)不正確；(4^)T=8TT,B

2

2210

項(xiàng)不正確；如4B==但4/0且C項(xiàng)不正確;

故應(yīng)選D.

,221、

8.已知三階矩陣A=442,求才

「2-2-1J

<22r'22r「10105、

解法1由于彳二442442=202010=-5A?

「2-2-2-2"I「10-10-5>

所以才=42.4=5小力=542=5?4,…，An=5n-[A.

'22]](1

解法2A=442=2(221)

-2—2—1/\—1/

’1、T

An=2(221)???2(221)=5"”2(22\)=5n-lA.

l-J

(COSG7一sins)

9.已知二階矩陣力=二‘，求4”.

,sinecos?,

'cosw—sin97Vcos97—sin(cos2『—sin2研、

解T=

、sin0cos9人sin°cos/)(sin2。cos2^9)

’cos2(p一sin2°)(cos夕-sin^9‘cos3°-sin3^?^

A3=A2^A=

、sin2°cos2°)(sin。COSQ、sin3°cos3^)

’cos3。一sin30]'cos9-sin(p、’COS4Q-sin4/

A4=A3-A=

[Sin30cos3^?J、siri0cos夕，ksin4^7cos40)

’cos〃e一sin〃e'

An=

\Sin〃Qcosn(p)

【提高題】

1.甲、乙兩人之間進(jìn)行3種比賽，前兩種為智力比賽（只分輸、贏兩種結(jié)果），規(guī)定第1

種比賽贏者得3分，輸者得-2分；第2種比賽贏者得2分，輸者得-2分；第3種比賽為

耐力比賽，計(jì)分方法：先完成者得5分，后完成者得3分，中途放棄者得0分.現(xiàn)已知乙在

3

A=B=C.A2+B2+C2=AB+BC+CA=3E,故應(yīng)選A.

5.設(shè)a=(LO,-l)「，矩陣”=aa「，〃為正整數(shù)，則?！暌涣?二

」、0-P

解法1A=aav=0(100

01」

10-1、0-1、'20-2

A2000000=000

01>「101;<-202

'200T、

Ay=A2A=0000000

、—202A-1004,

’400-g、

A4=A^A=0000=000

「4008,

以此類推，An=000，所以

nl02"T

\-2~7

%_2〃T02"T

aE-An=0a0

、2n-'0a-T-x

解法2由已知可得。丁。=2,

An=(aaT)(aaJ)--(aaT)=?(aTa)(aTa)---(crT?)a1

"個(gè)”-l個(gè)

2"一|0

=2n~laa000

-2"T02〃-]

因此

a-2n-10一

aE-An=0a0

2"T0a-T-x

同步習(xí)題1.2

5

【基礎(chǔ)題】

為初等矩陣，

02、

E(l,3+1(2))=010，而選項(xiàng)A,B,D都經(jīng)過(guò)兩次初等變換，故應(yīng)選C.

W01

ai\(010

2.設(shè)/=B=，"100

―31+q1I。01

00、

6=010,則必有（）.

J011

A.AP^R,=BB.AP,F[=Bc.*4=BD.哄4=B

解矩陣B是將矩陣A的第1行加到第3行，得P.A,再把巴力的第1行與第2行交

換，得62力，故8=6旦彳，應(yīng)選C.

【提高題】

123

456進(jìn)行初等變

789

123

換得到，方法：將矩陣456的第1行與第3行交換2000次，得

789

6

2000\2000

0012312300(\23

010456456,再把010456的第2列和第3

100；8(789U0(78

\20000、2001

00112310132

列交換2001次，得0045600465.故應(yīng)選B.

U0(789八°798

同步習(xí)題1.3

【基礎(chǔ)題】

-n

1.設(shè)矩陣4=B=A2-3A+2E,則8"=

33,

、fl

解B=A2-3A+2E=

(2

1、

則|團(tuán)=2,八百8\_0100

2,故應(yīng)填2

21-2-2

(T-I

(1-1-1

2.求矩陣力=-321的逆.

01

解利用初等行變換求逆.

(1-1I00-1100、

口+3彳

(A\E)=-320100-230

0001、03-20

1-1-100、一100'

『;一2%

o11-1o01-3-10

0230<00421

01-20100211

0-14100-142

00；211211

工。010；532，所以4-532

01:-4-2-11-4-2-1

3.若〃階方陣4滿足力2一24—3E=O,則矩陣/可逆，且/"=().

7

A.A—2.E^.2.E—AC.——(A—D.—(A—2E}

解由42—24—3￡=。得4（4一2七）二3片，從而有4?；=E,所以

A-]=-(A-2E),故應(yīng)選D.

3

4.若〃階方陣Z滿足才一24-3E=O,求（力一2Er.

解由42一2力—3E=0,得力(力一2E)=3E,從而有:/(4—2E)=E,所以

(4-2￡尸=!4

3

’101)

5.設(shè)力=020,則(4+3￡)7(4一9￡)=.

、001,

(-101、

解(4+3E尸(片-9￡*)=(4+3￡尸(4+3￡)(4-3￡)=4-3￡=0-10.

<00-2,

6.設(shè)〃階方陣/滿足依2+/求+c=0(cwO),求

解因?yàn)椤A方陣4滿足依2+&+。=0,所以有+/^+cE=。，由cwO,得

—A2+—A=E,即=故4可逆，且AT=_，4_2E.

-c-c\-c-cycc

T00、rl00、

7.已知其中8=000P=2-10,求/及/.

,0。-b3i

100(\00、

解因?yàn)閨P|二2-10二一1。0,故尸可逆，且pi=2-10.從而有

2111-41

0001(100、

0-10=200

01U16-1-1

8

00

/二(PBPT)S=PB'P",而k=B,從而/$=/=200

I6-1-1

【提高題】

1-100、134

01-10023

1.設(shè)矩陣4=,C=，且滿足力（E—C⑸丁。丁二￡

001-1002

0001><0002）

化簡(jiǎn)上述關(guān)系式并求矩陣力.

解由力（七一仁七）,0，=后知

-iT=[(c-叫,

1000、000

2100-200

(C-B)T=

201-210

(432、01-21>

"1000、

-2100

故4=

1-210

<01-2L

2.設(shè)4=0（左為E整數(shù)）,求（E—力尸.

解因?yàn)?*=。，Ek-Ak=E,即(七一川(￡+4+42+...+41)=￡,故

(E-A)-'=E+4+T+…+TJ

3.已知力，3均為〃階方陣，且48=4+8,證明：

(1)A-E可逆，其中E為〃階單位矩陣.

(2)AB=BA.

證(1)AB=A+B,AB-A-B+E=E,(A-E)B-(A-E)=E

（4一E）（B-E）=E,所以月一上可逆，其中E為〃階單位矩陣.

⑵由⑴知(4-E)(B-E)=(B-E)(4-E)=E即

9

AB-A-B+E=BA-B-A+E,所以4B=B4.

同步習(xí)題1.4

B12

生2

“231-23<73，52、

4練+B=++

22<012-Ulo-3<2-vlo-3af

1252

1-23-43o12-4

4%=于是二

W30-3、0-900-43

000-9

2.利用分塊方法求下列矩陣的乘積.

0、(\0c0

1

0010c

⑴0

000d0

1

b)<000d

R穌、

解（1），B=,則

/21^22>

4312+4822

AB=4

<Ai41^12+^22^22>

1-2W1fOY\「_2、1-2V1

4綜+4&=,41512+^12522=+

o1AM(01)WI

10

冬練+4氏=(10),+(2)(0)=(0),4穌+冬氏=。0)+(2)(1)=(3),

r1/1U/

r-2P

于是48=11

<03,

7000、0c0、

0a00(aE010c(EcE}.

(2)記力==,B==,，則

1060bE)00d0(OdE)

<010^1000d,

0ac0、

acE、a0ac

AB=于是=］

cE+bdE,0c+bd0

10c+bd,

3.利用分塊矩陣求逆公式求卜列矩陣的逆矩陣.

200001

5

2100

⑴⑵210

0083

430

<0052

40、2、’83、1-2、

解(1)記4=，其中4=，4=則4”

obV2)-25)

<1-200、

2-3、才O、-2500

A-'=，根據(jù)公式A，有才?

-58,34六002-3

<00-58,

3

(O4、，其中4=佶］,4=，2n

(2)記力=,則4T=⑸，掰=22

O)、4%-2

/3

0q

22

4OA；］

根據(jù)公式,WA~]=0一41

4o勾。)

500

11

(30000、

05300

4.已知A=02100求4T.

00025

、00012；

f531f25、

解記4=A.，其中4=(3),4=，4=，則

12X)U2)

[oJJ

N；0、

求心K

Ay=4

\J

\o*3)

000

0-1300

}

A--J-'=

02-500

000-25

、0001-2

【提高題】

OY1A-[O

1.設(shè)力和8分別是川階和〃階可逆矩陣，則,利用該

B,、一夕&7B'

。000、

1200

公式求矩陣的逆矩陣.

2130

J214，

(000\

、1200(A0、0、<30、(2r

解A記其中4=

bB=C=

2130~[C2JU2)

J219

(10、0

，2

'3

易求得力7=1],-B'CA=-

11

<-22>IJ

<~124>

4>

12

000

100000

1200~22

由公式得

2130_10

~263

2

511_

<8~24\24>

ACY'A--A'CB-'

2.設(shè)力和3分別是〃?階和〃階可逆矩陣，則利用該

(OB)I。*>

’122P

1113

公式求矩陣的逆矩陣.

0011

、0012)

(AC}(\2](\

解記。=，其中力=,8=

-5、

3,

“221Y1<-125

由公式得1131-1-43

0011002-1

10012；<00-11>

同步習(xí)題1.5

【基礎(chǔ)題】

<1234

(2-13、

1012

1.求下列矩陣的秩.(1)4=1-34.⑵B:

所以"4)=2.

（2）利用初等變換求秩

13

234T234234]

1010-2-2-20111

B=->->

3-1-100-7-10-120-7-10-12

J20-5W0-3-9、00-3-9j

(\2347234

0111011

->->，所以八￡）=4.

00-3-50035

<00-3-9<000

1

a

2.設(shè)〃（〃23）階矩陣4=若矩陣4的秩為〃一1,則。必為

).

A.1B.——C.—1D.——

1-71n-1

解利用初等變換求秩

1aa1+(/?-1)〃

a1a1+(〃-\)a

A=aa1a1+(〃-1)Qaa

J+(〃-\)a

--u

\+(n-\)aaa…a

01-a0…0

->001-a…0

???J_

000a)

若〃=L則顯然矩陣/的秩為1.矛盾，因而故〃=一!一,應(yīng)選R.

\-n

'岫】a}b2…他、

力-???、八.八

ci2->b,aab.,

3.設(shè)/=：1；〃，其中4。0,4工0?=],2,…,〃)，則矩陣力的

"i4a…a?bn>

秩廠（力）=

14

他…他A

abb\b2…bn

解22

4=/=1.2,

1岫。也…3

b\打…bn

000

i=2,--.n,所以矩陣力的秩，,（力）=1,故應(yīng)填1.

【00???0J

4.設(shè)4是機(jī)x〃矩陣，。是〃階可逆矩陣，矩陣力的秩為…矩陣4=4C的秩為小

則（）.

A1〉/B.r<AjC/=4D,與彳的關(guān)系依。而定

解由于任何矩陣乘以可逆矩陣秩不變，而C是可逆矩陣，所以

r(B)=r(AC)=r(A)=r.故應(yīng)選C.

【提高題】

xyyy

yXyy

求矩陣A=的秩.

yyXy

<yyyx)

(Xyyy>G+3yyy)，、，x+3yyyy、

yxyy鏟。x+3yxyyr1-r\0x-y00

解4二T->

yyxy42,3,4x+3yyxy*=2,3.400x-y0

uyyxj、x+3yyyx>、000x—力

當(dāng)x+3yw0且x-ywO時(shí),r(A)=4；當(dāng)x+3y=0且x-y工0時(shí),r(^)=3；

當(dāng)x+3yw0且x-y=0時(shí),r(A)=1；當(dāng)x+3y=0且x-y=0時(shí)，r(A)=0.

第1章總復(fù)習(xí)題

L選擇題:（1）?（10）小題,每小題4分，共蟲(chóng)）分.下列每小題給出的4個(gè)選項(xiàng)中，只有

一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求也

10

(1)(2021305)已知矩陣力=2-1,若存在下三角可逆矩陣。和上三角可逆

-12

矩陣。，使4。為對(duì)角矩陣，則夕，。分別為（）.

15

00]r101

010,013

0J

、。1001

<100、0r100、(\2-3、

2-1001D.010,0-12

1一321；*0J31八00

解對(duì)A作初等行變換化為上三角矩陣B,有

'10-1100](\0-1100、

(4￡)=2-11010-0-13-210

110

2-5002-6101,

0-1100、

1-32-10=(RP)

00-32

(\0-P,100、

01-3可知P=2-10

、000;【321

再對(duì)8作初等列變換化為對(duì)角矩陣，可求。.

」o-r"100

01-3010

」01

000001

—->可得。二013故應(yīng)選C.

同100101

01

010013

boi,

01

(2)(2020104)設(shè)矩陣4經(jīng)過(guò)初等列變換化為矩陣矩陣8,則【

A.存在矩陣尸，使得21=8B.存在矩陣尸，使得6P=%

C.存在矩陣P,使得D.方程組/x=。與At=。同解

（3）（2017304改編）設(shè)a為〃維列向量滿足。丁二二］，E為〃階單位矩陣，則（）.

A.E-aaI不可逆B.E+aa「不可逆

C.E+2aaT不可逆D.不可逆

解/是秩為1的矩陣，又a為單位列向量，有6^1=1,故矩陣2的特征值為

1,0J,,0（〃一1個(gè)0）,所以《一次/的特征值為0,1,…,1（〃一1個(gè)1）,因此，矩陣E-a/

不可逆，故應(yīng)選A.

16

00、

（4）（2012304）設(shè)力為三階矩陣，。為三階可逆矩陣，且PT力P=010,若

(002;

0=（?,%,。3），。=（%+%，%，%），則。一~。=（).

「100、100、’200、(200

A.020B.010C.010D.020

10

0"002,、002,0

解本題考查初等矩g,由于月經(jīng)列變換（把第2列加至第1歹ij）為Q,有

100、

Q=P110=P￡21(1)

1°0

那么

Q'^Q=[尸/⑴丁/I/J(i)]=/0Y3明(i)

，100100100100、

-110010110010

、001002人。0U1°02;

故應(yīng)選B.

100

（5）（2009304）設(shè)/，。均為三階矩陣，。丁為P的轉(zhuǎn)置矩陣，且。丁力尸=00

1°02

若。二（四,%,%），。=（/+%，%，%），則。丁力。二（).

210、(\10，200100、

A.110B.120C.010D.020

1°

(002Wo202002,

解本題考察矩陣的初等變換、初等矩陣.按題意P經(jīng)列變換化為。（把第2

110、110

列2加至第1列），有P110=0,記/⑴二1I0,于是

(001[001J

。7。=[P/⑴了“夕J（1）]=招仍7尸）/（1）

17

U10]（\00、」00、「210

010010110=110

1002,

<001J<001J

k002

故應(yīng)選A.

(6)(2011304)設(shè)力是3階方陣,將A的第2列加到第1列得B,再交換B的第2行與

」00、」00、

第3行得單位矩陣，記6=110，6=001,則力=(