專題17二次函數(shù)與公共點及交點綜合問題（解析版）

挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學壓軸題之學霸秘笈大揭秘（全國通用）

專題17二次函數(shù)與公共點及交點綜合

【例1】（2022?大慶）已知二次函數(shù)y＝x2+bx+m圖象的對稱軸為直線x＝2，將二次函數(shù)

y＝x2+bx+m圖象中y軸左側部分沿x軸翻折，保留其他部分得到新的圖象C．

（1）求b的值；

（2）①當m＜0時，圖C與x軸交于點M，N（M在N的左側），與y軸交于點P．當

△MNP為直角三角形時，求m的值；

②在①的條件下，當圖象C中﹣4≤y＜0時，結合圖象求x的取值范圍；

（3）已知兩點A（﹣1，﹣1），B（5，﹣1），當線段AB與圖象C恰有兩個公共點時，

直接寫出m的取值范圍．

【分析】（1）由二次函數(shù)的對稱軸直接可求b的值；

（2）①求出M（2﹣，0），N（2+，0），再求出MN＝2，MN的中點

坐標為（2，0），利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，列出方程即可求解；

②求出拋物線y＝x2﹣4x﹣1（x≥0）與直線y＝﹣4的交點為（1，﹣4），（3，﹣4），再

求出y＝x2﹣4x﹣1關于x軸對稱的拋物線解析式為y＝﹣x2+4x+1（x＜0）當﹣x2+4x+1

＝﹣4時，解得x＝5（舍）或x＝﹣1，拋物線y＝﹣x2+4x+1（x＜0）與直線y＝﹣4的交

點為（﹣1，﹣4），結合圖像可得﹣1≤x＜2﹣或0≤x≤1或3≤x＜2+時，﹣4≤y

＜0；

（3）通過畫函數(shù)的圖象，分類討論求解即可．

【解析】（1）∵已知二次函數(shù)y＝x2+bx+m圖象的對稱軸為直線x＝2，

∴b＝﹣4；

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（2）如圖1：①令x2+bx+m＝0，

解得x＝2﹣或x＝2+，

∵M在N的左側，

∴M（2﹣，0），N（2+，0），

∴MN＝2，MN的中點坐標為（2，0），

∵△MNP為直角三角形，

∴＝，

解得m＝0（舍）或m＝﹣1；

②∵m＝﹣1，

∴y＝x2﹣4x﹣1（x≥0），

令x2﹣4x﹣1＝﹣4，

解得x＝1或x＝3，

∴拋物線y＝x2﹣4x﹣1（x≥0）與直線y＝﹣4的交點為（1，﹣4），（3，﹣4），

∵y＝x2﹣4x﹣1關于x軸對稱的拋物線解析式為y＝﹣x2+4x+1（x＜0），

當﹣x2+4x+1＝﹣4時，解得x＝5（舍）或x＝﹣1，

∴拋物線y＝﹣x2+4x+1（x＜0）與直線y＝﹣4的交點為（﹣1，﹣4），

∴﹣1≤x＜2﹣或0≤x≤1或3≤x＜2+時，﹣4≤y＜0；

（3）y＝x2﹣4x+m關于x軸對稱的拋物線解析式為y＝﹣x2+4x﹣m（x＜0），

如圖2，當y＝﹣x2+4x﹣m（x＜0）經(jīng)過點A時，﹣1﹣4﹣m＝﹣1，

解得m＝﹣4，

∴y＝x2﹣4x﹣4（x≥0），當x＝5時，y＝1，

∴y＝x2﹣4x﹣4（x≥0）與線段AB有一個交點，

∴m＝﹣4時，當線段AB與圖象C恰有兩個公共點；

如圖3，當y＝x2﹣4x+m（x≥0）經(jīng)過點（0，﹣1）時，m＝﹣1，

此時圖象C與線段AB有三個公共點，

∴﹣4≤m＜﹣1時，線段AB與圖象C恰有兩個公共點；

如圖4，當y＝﹣x2+4x﹣m（x＜0）經(jīng)過點（0，﹣1）時，m＝1，

此時圖象C與線段AB有兩個公共點，

當y＝x2﹣4x+m（x≥0）的頂點在線段AB上時，m﹣4＝﹣1，

解得m＝3，

此時圖象C與線段AB有一個公共點，

∴1≤m＜3時，線段AB與圖象C恰有兩個公共點；

綜上所述：﹣4≤m＜﹣1或1≤m＜3時，線段AB與圖象C恰有兩個公共點．

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【例2】．（2022?湖北）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝x2﹣2x﹣3的頂點為A，

與y軸交于點C，線段CB∥x軸，交該拋物線于另一點B．

（1）求點B的坐標及直線AC的解析式；

（2）當二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的自變量x滿足m≤x≤m+2時，此函數(shù)的最大值為p，

最小值為q，且p﹣q＝2，求m的值；

（3）平移拋物線y＝x2﹣2x﹣3，使其頂點始終在直線AC上移動，當平移后的拋物線與

射線BA只有一個公共點時，設此時拋物線的頂點的橫坐標為n，請直接寫出n的取值范

圍．

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【分析】（1）求出A、B、C三點坐標，再用待定系數(shù)法求直線AC的解析式即可；

（2）分四種情況討論：①當m＞1時，p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3﹣m2+2m+3＝2，

解得m＝（舍）；②當m+2＜1，即m＜﹣1，p﹣q＝m2﹣2m﹣3﹣（m+2）2+2（m+2）

+3＝2，解得m＝﹣（舍）；③當m≤1≤m+1，即0≤m≤1，p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）

﹣3+4＝2，解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1（舍）；④當m+1＜1≤m+2，即﹣1≤m＜0，

p﹣q＝m2﹣2m﹣3+4＝2，解得m＝+1（舍）或m＝﹣+1；

（3）分兩種情況討論：①當拋物線向左平移h個單位，則向上平移h個單位，平移后

的拋物線解析式為y＝（x﹣1+h）2﹣4+h，求出直線BA的解析式為y＝x﹣5，聯(lián)立方程

組，由Δ＝0時，解得h＝，此時拋物線的頂點為（，﹣），

此時平移后的拋物線與射線BA只有一個公共點；②當拋物線向右平移k個單位，則向

下平移k個單位，平移后的拋物線解析式為y＝（x﹣1﹣k）2﹣4﹣k，當拋物線經(jīng)過點B

時，此時拋物線的頂點坐標為（4，﹣7），此時平移后的拋物線與射線BA只有一個公共

點；當拋物線的頂點為（1，﹣4）時，平移后的拋物線與射線BA有兩個公共點，由此可

求解．

【解析】（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴頂點A（1，﹣4），

令x＝0，則y＝﹣3，

∴C（0，﹣3），

∵CB∥x軸，

∴B（2，﹣3），

設直線AC解析式為y＝kx+b，

，

解得，

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∴y＝﹣x﹣3；

（2）∵拋物線y＝x2﹣2x﹣3的對稱軸為直線x＝1，

①當m＞1時，

x＝m時，q＝m2﹣2m﹣3，

x＝m+2時，p＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，

∴p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3﹣m2+2m+3＝2，

解得m＝（舍）；

②當m+2＜1，即m＜﹣1，

x＝m時，p＝m2﹣2m﹣3，

x＝m+2時，q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，

∴p﹣q＝m2﹣2m﹣3﹣（m+2）2+2（m+2）+3＝2，

解得m＝﹣（舍）；

③當m≤1≤m+1，即0≤m≤1，

x＝1時，q＝﹣4，

x＝m+2時，p＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，

∴p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3+4＝2，

解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1（舍）；

④當m+1＜1≤m+2，即﹣1≤m＜0，

x＝1時，q＝﹣4，

x＝m時，p＝m2﹣2m﹣3，

∴p﹣q＝m2﹣2m﹣3+4＝2，

解得m＝1+（舍）或m＝1﹣，

綜上所述：m的值﹣1或1﹣；

（3）設直線AC的解析式為y＝kx+b，

∴，

解得，

∴y＝﹣x﹣3，

①如圖1，當拋物線向左平移h個單位，則向上平移h個單位，

∴平移后的拋物線解析式為y＝（x﹣1+h）2﹣4+h，

設直線BA的解析式為y＝k'x+b'，

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∴，

解得，

∴y＝x﹣5，

聯(lián)立方程組，

整理得x2﹣（3﹣2h）x+h2﹣h+2＝0，

當Δ＝0時，（3﹣2h）2﹣4（h2﹣h+2）＝0，

解得h＝，

此時拋物線的頂點為（，﹣），此時平移后的拋物線與射線BA只有一個公共點；

②如圖2，當拋物線向右平移k個單位，則向下平移k個單位，

∴平移后的拋物線解析式為y＝（x﹣1﹣k）2﹣4﹣k，

當拋物線經(jīng)過點B時，（2﹣1﹣k）2﹣4﹣k＝﹣3，

解得k＝0（舍）或k＝3，

此時拋物線的頂點坐標為（4，﹣7），此時平移后的拋物線與射線BA只有一個公共點，

當拋物線的頂點為（1，﹣4）時，平移后的拋物線與射線BA有兩個公共點，

∴綜上所述：1＜n≤4或n＝．

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【例3】（2022?張家界）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于A（1，0），B

（4，0）兩點，與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點．

（1）求拋物線的函數(shù)表達式及點D的坐標；

（2）若四邊形BCEF為矩形，CE＝3．點M以每秒1個單位的速度從點C沿CE向點E

運動，同時點N以每秒2個單位的速度從點E沿EF向點F運動，一點到達終點，另一

點隨之停止．當以M、E、N為頂點的三角形與△BOC相似時，求運動時間t的值；

（3）拋物線的對稱軸與x軸交于點P，點G是點P關于點D的對稱點，點Q是x軸下

方拋物線上的動點．若過點Q的直線l：y＝kx+m（|k|）與拋物線只有一個公共點，

且分別與線段GA、GB相交于點H、K，求證：GH+GK為定值．

【分析】（1）二次函數(shù)表達式可設為：y＝ax2+bx+3，將A（1，0）、B（4，0）代入y＝

ax2+bx+3，解方程可得a和b的值，再利用頂點坐標公式可得點D的坐標；

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（2）根據(jù)t秒后點M的運動距離為CM＝t，則ME＝3﹣t，點N的運動距離為EN＝2t．分

兩種情形，當△EMN∽△OBC時，得，解得t＝；當△EMN∽△OCB時，

得，解得t＝；

（3）首先利用中點坐標公式可得點G的坐標，利用待定系數(shù)法求出直線AG和BG的解

析式，再根據(jù)直線l：y＝kx+m與拋物線只有一個公共點，聯(lián)立兩函數(shù)解析

式，可得Δ＝0，再求出點H和k的橫坐標，從而解決問題．

【解析】（1）設二次函數(shù)表達式為：y＝ax2+bx+3，

將A（1，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx+3得：

，

解得，

∴拋物線的函數(shù)表達式為：，

又∵＝，＝＝，

∴頂點為D；

（2）依題意，t秒后點M的運動距離為CM＝t，則ME＝3﹣t，點N的運動距離為EN＝

2t．

①當△EMN∽△OBC時，

∴，

解得t＝；

②當△EMN∽△OCB時，

∴，

解得t＝；

綜上所述，當或時，以M、E、N為頂點的三角形與△BOC相似；

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（3）∵點關于點D的對稱點為點G，

∴，

∵直線l：y＝kx+m與拋物線只有一個公共點，

∴只有一個實數(shù)解，

∴Δ＝0，

即：，

解得：，

利用待定系數(shù)法可得直線GA的解析式為：，直線GB的解析式為：，

聯(lián)立，結合已知，

解得：xH＝，

同理可得：xK＝，

則：GH＝＝，GK＝＝×

，

∴GH+GK＝+×＝，

∴GH+GK的值為．

【例4】（2022?沈陽）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3經(jīng)過點B（6，0）

和點D（4，﹣3），與x軸的另一個交點為A，與y軸交于點C，作直線AD．

（1）①求拋物線的函數(shù)表達式；

②直接寫出直線AD的函數(shù)表達式；

（2）點E是直線AD下方的拋物線上一點，連接BE交AD于點F，連接BD，DE，△

BDF的面積記為S1，△DEF的面積記為S2，當S1＝2S2時，求點E的坐標；

（3）點G為拋物線的頂點，將拋物線圖象中x軸下方的部分沿x軸向上翻折，與拋物線

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剩下的部分組成新的曲線記為C1，點C的對應點為C′，點G的對應點為G′，將曲線

C1沿y軸向下平移n個單位長度（0＜n＜6）．曲線C1與直線BC的公共點中，選兩個公

共點記作點P和點Q，若四邊形C′G′QP是平行四邊形，直接寫出點P的坐標．

【分析】（1）運用待定系數(shù)法即可求得拋物線解析式和直線AD的解析式；

（2）設點E（t，t2﹣t﹣3），F(xiàn)（x，y），過點E作EM⊥x軸于點M，過點F作FN⊥x

軸于點N，如圖1，根據(jù)三角形面積關系可得＝，由EM∥FN，可得△BFN∽△BEM，

得出＝＝＝，可求得F（2+t，t2﹣t﹣2），代入直線AD的解析式即可

求得點E的坐標；

（3）根據(jù)題意可得：點C′（0，3），G′（2，4），向上翻折部分的圖象解析式為y＝

﹣（x﹣2）2+4，向上翻折部分平移后的函數(shù)解析式為y＝﹣（x﹣2）2+4﹣n，平移

后拋物線剩下部分的解析式為y＝（x﹣2）2﹣4﹣n，利用待定系數(shù)法可得：直線BC

的解析式為y＝x﹣3，直線C′G′的解析式為y＝x+3，由四邊形C′G′QP是平行

四邊形，分類討論即可．

【解析】（1）①∵拋物線y＝ax2+bx﹣3經(jīng)過點B（6，0）和點D（4，﹣3），

∴，

解得：，

∴拋物線的函數(shù)表達式為y＝x2﹣x﹣3；

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②由①得y＝x2﹣x﹣3，

當y＝0時，x2﹣x﹣3＝0，

解得：x1＝6，x2＝﹣2，

∴A（﹣2，0），

設直線AD的函數(shù)表達式為y＝kx+d，則，

解得：，

∴直線AD的函數(shù)表達式為y＝x﹣1；

（2）設點E（t，t2﹣t﹣3），F(xiàn)（x，y），過點E作EM⊥x軸于點M，過點F作FN⊥x

軸于點N，如圖1，

∵S1＝2S2，即＝2，

∴＝2，

∴＝，

∵EM⊥x軸，F(xiàn)N⊥x軸，

∴EM∥FN，

∴△BFN∽△BEM，

∴＝＝＝，

∵BM＝6﹣t，EM＝﹣（t2﹣t﹣3）＝﹣t2+t+3，

∴BN＝（6﹣t），F(xiàn)N＝（﹣t2+t+3），

∴x＝OB﹣BN＝6﹣（6﹣t）＝2+t，y＝﹣（﹣t2+t+3）＝t2﹣t﹣2，

∴F（2+t，t2﹣t﹣2），

∵點F在直線AD上，

∴t2﹣t﹣2＝﹣（2+t）﹣1，

解得：t1＝0，t2＝2，

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∴E（0，﹣3）或（2，﹣4）；

（3）∵y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣2）2﹣4，

∴頂點坐標為G（2，﹣4），

當x＝0時，y＝3，即點C（0，﹣3），

∴點C′（0，3），G′（2，4），

∴向上翻折部分的圖象解析式為y＝﹣（x﹣2）2+4，

∴向上翻折部分平移后的函數(shù)解析式為y＝﹣（x﹣2）2+4﹣n，平移后拋物線剩下部分

的解析式為y＝（x﹣2）2﹣4﹣n，

設直線BC的解析式為y＝k′x+d′（k′≠0），

把點B（6，0），C（0，﹣3）代入得：，

解得：，

∴直線BC的解析式為y＝x﹣3，

同理直線C′G′的解析式為y＝x+3，

∴BC∥C′G′，

設點P的坐標為（s，s﹣3），

∵點C′（0，3），G′（2，4），

∴點C′向右平移2個單位，再向上平移1個單位得到點G′，

∵四邊形C′G′QP是平行四邊形，

∴點Q（s+2，s﹣2），

當點P，Q均在向上翻折部分平移后的圖象上時，

則，

解得：（不符合題意，舍去），

當點P在向上翻折部分平移后的圖象上，點Q在平移后拋物線剩下部分的圖象上時，

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則，

解得：或（不合題意，舍去），

當點P在平移后拋物線剩下部分的圖象上，點Q在向上翻折部分平移后的圖象上時，

則，

解得：或（不合題意，舍去），

綜上所述，點P的坐標為（1+，）或（1﹣，）．

一．解答題（共20小題）

1．（2022?鐘樓區(qū)校級模擬）如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+mx+m+的圖象與x軸交于點A、

B（點A在點B的左側），與y軸交于點C（0，﹣），P是拋物線在直線AC上方圖象

上一動點．

（1）求二次函數(shù)的表達式；

（2）求△PAC面積的最大值，并求此時點P的坐標；

（3）在（2）的條件下，拋物線在點A、B之間的部分（含點A、B）沿x軸向下翻折，

得到圖象G．現(xiàn)將圖象G沿直線AC平移，得到新的圖象M與線段PC只有一個公共點，

請直接寫出圖象M的頂點橫坐標n的取值范圍．

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【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得答案；

（2）令y＝0，可求得：A（﹣5，0），B（﹣1，0），再運用待定系數(shù)法求得直線AC的解

析式為y＝﹣x﹣，如圖1，設P（t，﹣t2﹣3t﹣），過點P作PH∥y軸交直線AC

22

于點H，則PH＝﹣t﹣t，利用S△PAC＝S△PAH+S△PCH＝﹣（t+）+，即可運

用二次函數(shù)求最值的方法求得答案；

（3）運用翻折變換的性質可得圖象G的函數(shù)解析式為：y＝（x+3）2﹣2，頂點坐標為

（﹣3，﹣2），進而根據(jù)平移規(guī)律可得：圖象M的函數(shù)解析式為：y＝（x﹣n）2﹣n

﹣，頂點坐標為（n，﹣n﹣），當圖象M經(jīng)過點C（0，﹣）時，可求得：n＝﹣

1或n＝2，當圖象M的端點B在PC上時，可求得：n＝﹣或n＝（舍去），就看得

出：圖象M的頂點橫坐標n的取值范圍為：﹣≤n≤﹣1或n＝2．

【解析】（1）∵拋物線y＝﹣x2+mx+m+與y軸交于點C（0，﹣），

∴m+＝﹣，

解得：m＝﹣3，

∴該拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣3x﹣；

（2）在y＝﹣x2﹣3x﹣中，令y＝0，

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得：﹣x2﹣3x﹣＝0，

解得：x1＝﹣5，x2＝﹣1，

∴A（﹣5，0），B（﹣1，0），

設直線AC的解析式為y＝kx+b，

∵A（﹣5，0），C（0，﹣），

∴，

解得：，

∴直線AC的解析式為y＝﹣x﹣，

如圖1，設P（t，﹣t2﹣3t﹣），過點P作PH∥y軸交直線AC于點H，

則H（t，﹣t﹣），

∴PH＝﹣t2﹣3t﹣﹣（﹣t﹣）＝﹣t2﹣t，

∴S△PAC＝S△PAH+S△PCH

＝?PH?（xP﹣xA）+?PH?（xC﹣xP）

＝?PH?（xC﹣xA）

＝×（﹣t2﹣t）×[0﹣（﹣5）]

＝t2﹣t

＝﹣（t+）2+，

∴當t＝﹣時，S△PAC取得最大值，

此時，點P的坐標為（﹣，）；

（3）如圖2，拋物線y＝﹣x2﹣3x﹣在點A、B之間的部分（含點A、B）沿x軸向下

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翻折，得到圖象G，

∵y＝﹣x2﹣3x﹣＝（x+3）2+2，頂點為（﹣3，2），

∴圖象G的函數(shù)解析式為：y＝（x+3）2﹣2，頂點坐標為（﹣3，﹣2），

∵圖象G沿直線AC平移，得到新的圖象M，頂點運動的路徑為直線y＝﹣x﹣，

∴圖象M的頂點坐標為（n，﹣n﹣），

∴圖象M的函數(shù)解析式為：y＝（x﹣n）2﹣n﹣，

當圖象M經(jīng)過點C（0，﹣）時，

則：﹣＝（0﹣n）2﹣n﹣，

解得：n＝﹣1或n＝2，

當圖象M的端點B在PC上時，

∵線段PC的解析式為：y＝﹣x﹣（﹣≤x≤0），點B（﹣1，0）運動的路徑為直

線y＝﹣x﹣，

∴聯(lián)立可得：，

解得：，

將代入y＝（x﹣n）2﹣n﹣，可得：（﹣﹣n）2﹣n﹣＝，

解得：n＝﹣或n＝（舍去），

∴圖象M的頂點橫坐標n的取值范圍為：﹣≤n≤﹣1或n＝2．

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2．（2022?保定一模）如圖，關于x的二次函數(shù)y＝x2﹣2x+t2+2t﹣5的圖象記為L，點P是L

上對稱軸右側的一點，作PQ⊥y軸，與L在對稱軸左側交于點Q；點A，B的坐標分別

為（1，0），（1，1），連接AB．

（1）若t＝1，設點P，Q的橫坐標分別為m，n，求n關于m的關系式；

（2）若L與線段AB有公共點，求t的取值范圍；

（3）當2t﹣3＜x＜2t﹣1時，y的最小值為﹣，直接寫出t的值．

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【分析】（1）當t＝1時，拋物線為y＝x2﹣2x﹣2，可求得它的對稱軸為直線x＝1，由點

P與點Q關于直線x＝1對稱得m+n＝2，即可求得n關于m的關系式；

（2）將y＝x2﹣2x+t2+2t﹣5配成頂點式y(tǒng)＝（x﹣1）2+t2+2t﹣6，則拋物線的對稱軸為直

線x＝1，頂點坐標為（1，t2+2t﹣6），再說明線段AB在直線x＝1上，由L與線段AB有

公共點可列不等式組得0≤t2+2t﹣6≤1，解不等式組求出它的解集即可；

（3）分三種情況，一是直線x＝2t﹣1在拋物線的對稱軸的左側，在2t﹣3＜x＜2t﹣1范

圍內(nèi)圖象不存在最低點，因此不存在y的最小值；二是直線x＝1在直線x＝2t﹣3與直線

x＝2t﹣1之間時，拋物線的頂點為最低點，可列方程t2+2t﹣6＝﹣，解方程求出符合

題意的t值；三是直線x＝2t﹣3在拋物線的對稱軸的右側，在2t﹣3＜x＜2t﹣1范圍內(nèi)圖

象不存在最低點，因此不存在y的最小值．

【解析】（1）如圖1，當t＝1時，L為拋物線y＝x2﹣2x﹣2，

∵y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，

∴該拋物線的對稱軸為直線x＝1，

∵點P、Q分別是對稱軸右側、左側L上的點，且PQ⊥y軸，

∴m+n＝2，

∴n＝﹣m+2（m＞1）．

（2）如圖2，L為拋物線y＝x2﹣2x+t2+2t﹣5＝（x﹣1）2+t2+2t﹣6，

∴L的對稱軸為直線x＝1，頂點坐標為（1，t2+2t﹣6），

∵A（1，0），B（1，1），

∴線段AB在直線x＝1上，

第19頁共57頁.

∵L與線段AB有公共點，

∴0≤t2+2t﹣6≤1，

解得﹣1﹣2≤t≤﹣1﹣或﹣1+≤t≤﹣1+2，

∴t的取值范圍是﹣1﹣2≤t≤﹣1﹣或﹣1+≤t≤﹣1+2．

（3）當2t﹣1＜1，即t＜1時，如圖3，

∵在2t﹣3＜x＜2t﹣1范圍內(nèi)圖象不存在最低點，

∴此時不存在y的最小值；

當2t﹣1≥1且2t﹣3≤1，即1≤t≤2時，如圖4，

∵L的頂點為最低點，

∴t2+2t﹣6＝﹣，

解得t1＝，t2＝，

∵＜1，

∴t2＝不符合題意，舍去；

當2t﹣3＞1，即t＞2時，如圖5，

∵在2t﹣3＜x＜2t﹣1范圍內(nèi)圖象不存在最低點，

∴此時不存在y的最小值，

綜上所述，t的值為．

第20頁共57頁.

3．（2022?廣陵區(qū)校級二模）在平面直角坐標系中，已知函數(shù)y1＝2x和函數(shù)y2＝﹣x+6，不

論x取何值，y0都取y1與y2二者之中的較小值．

（1）求函數(shù)y1和y2圖象的交點坐標，并直接寫出y0關于x的函數(shù)關系式；

2

（2）現(xiàn)有二次函數(shù)y＝x﹣8x+c，若函數(shù)y0和y都隨著x的增大而減小，求自變量x的

取值范圍；

（3）在（2）的結論下，若函數(shù)y0和y的圖象有且只有一個公共點，求c的取值范圍．

【分析】（1）聯(lián)立兩函數(shù)解析式求出交點坐標，然后根據(jù)一次函數(shù)的增減性解答；

（2）根據(jù)一次函數(shù)的增減性判斷出x≥2，再根據(jù)二次函數(shù)解析式求出對稱軸，然后根據(jù)

二次函數(shù)的增減性可得x＜4，從而得解；

2

（3）①若函數(shù)y＝x﹣8x+c與y0＝﹣x+6只有一個交點，聯(lián)立兩函數(shù)解析式整理得到關

于x的一元二次方程，利用根的判別式Δ＝0求出c的值，然后求出x的值，若在x的取

2

值范圍內(nèi)，則符合；②若函數(shù)y＝x﹣8x+c與y0＝﹣x+6有兩個交點，先利用根的判別

式求出c的取值范圍，先求出x＝2與x＝4時的函數(shù)值，然后利用一個解在x的范圍內(nèi)，

另一個解不在x的范圍內(nèi)列出不等式組求解即可．

第21頁共57頁.

【解析】（1）∵，

∴，

∴函數(shù)y1和y2圖象交點坐標（2，4）；

y0關于x的函數(shù)關系式為y0＝；

（2）∵對于函數(shù)y0，y0隨x的增大而減小，

∴y0＝﹣x+6（x≥2），

又∵函數(shù)y＝x2﹣8x+c的對稱軸為直線x＝4，且a＝1＞0，

∴當x＜4時，y隨x的增大而減小，

∴2≤x＜4；

2

（3）①若函數(shù)y＝x﹣8x+c與y0＝﹣x+6只有一個交點，且交點在2＜x＜4范圍內(nèi)，

則x2﹣8x+c＝﹣x+6，即x2﹣7x+（c﹣6）＝0，

∴Δ＝（﹣7）2﹣4（c﹣6）＝73﹣4c＝0，

解得c＝，

此時x1＝x2＝，符合2＜x＜4，

∴c＝；

2

②若函數(shù)y＝x﹣8x+c與y0＝﹣x+6有兩個交點，其中一個在2＜x＜4范圍內(nèi)，另一個

在2＜x＜4范圍外，

∴Δ＝73﹣4c＞0，

解得c＜，

∵對于函數(shù)y0，當x＝2時，y0＝4；當x＝4時y0＝2，

又∵當2＜x＜4時，y隨x的增大而減小，

2

若y＝x﹣8x+c與y0＝﹣x+6在2＜x＜4內(nèi)有一個交點，

則當x＝2時y＞y0；當x＝4時y＜y0，

即當x＝2時，y≥4；當x＝4時，y≤2，

∴，

解得16＜c＜18，

第22頁共57頁.

又c＜，

∴16＜c＜18，

綜上所述，c的取值范圍是：c＝或16＜c＜18．

4．（2022?金華模擬）在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝x2﹣2mx+6m（x≤2m，m為常數(shù)）

的圖象記作G，圖象G上點A的橫坐標為2m．

（1）當m＝1，求圖象G的最低點坐標；

（2）平面內(nèi)有點C（﹣2，2）．當AC不與坐標軸平行時，以AC為對角線構造矩形ABCD，

AB與x軸平行，BC與y軸平行．

①若矩形ABCD為正方形時，求點A坐標；

②圖象G與矩形ABCD的邊有兩個公共點時，求m的取值范圍．

【分析】（1）由m＝1代入拋物線解析式，將二次函數(shù)解析式化為頂點式求解；

（2）①將x＝2m代入拋物線解析式求出點A坐標，由正方形的性質即可求解；

②分類討論，數(shù)形結合解題，根據(jù)A點在圖象G上，再在圖象G上找一個點可以滿足

條件，然后根據(jù)m的取值范圍進行分類討論進行解題即可．

【解析】（1）m＝1時，y＝x2﹣2x+6＝（x﹣1）2+5，

∴頂點為（1，5），

∵x≤2，

∴圖象G的最低點坐標為（1，5）；

（2）①當x＝2m時，y＝6m，

∴A（2m，6m），

∵C（﹣2，2），

∵正方形ABCD中，AB與x軸平行，BC與y軸平行，

∴B（﹣2，6m），

同理得D（2m，2），

∵AD＝CD，

∴|6m﹣2|＝|2m+2|，

∴2m+2＝﹣6m+2或2m+2＝﹣2+6m，

解得m＝0或m＝1，

∴點A的坐標為（0，0）或（2，6）；

②∵點A在圖象G上，

∴圖象G與矩形ABCD已經(jīng)有一個公共點A，

∵圖象G與矩形ABCD的邊有兩個公共點，

∴只需圖象G與矩形ABCD的邊再由一個公共點即可；

第23頁共57頁.

∵點A的橫坐標為2m，

∴A（2m，6m），

當x＝﹣2時，y＝4+10m，

當4+10m＝6m時，m＝﹣1，

如圖1，當m＜﹣1時，圖象G在x≤2m時，y隨x的增大而減小，

∴矩形與圖象G只有一個交點A；

當m＝﹣1時，圖象G在x≤2m時，y隨x的增大而減小，

當﹣1＜m≤0時，圖象G與矩形有兩個交點；

當經(jīng)過點C時，4+10m＝2，

解得m＝﹣，

∴m＞﹣時，圖象G與矩形有兩個交點；

如圖3，

當6m＝2時，即m＝，

當0＜m＜時，2m＞m，

∵x2﹣2mx+4m＝6m，

整理得，x2﹣2mx＝0，

∵Δ＝4m2≥0，

∵m≠0，

∴Δ＞0，

此時圖象G與AB邊有另一個交點，

∴此時圖象G與矩形ABCD有三個交點，

當m＝時，A點坐標為（，2），此時AC不與x軸平行，不符合題意；

當m＞時，此時圖象G與矩形ABCD有兩個交點；

綜上所述：﹣1＜m≤0或m＞時，圖象G與矩形ABCD有兩個交點．

第24頁共57頁.

5．（2022?清鎮(zhèn)市模擬）在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2﹣2a2x+1（a≠0）與y軸交于

第25頁共57頁.

點A，過點A作x軸的平行線與拋物線交于點B．

（1）拋物線的對稱軸為直線x＝a；（用含字母a的代數(shù)式表示）

（2）若AB＝2，求二次函數(shù)的表達式；

（3）已知點P（a+4，1），Q（0，2），如果拋物線與線段PQ恰有一個公共點，求a的

取值范圍．

【分析】（1）由拋物線對稱軸為直線x＝﹣求解．

（2）由拋物線對稱軸及點A坐標可得點B坐標，進而求解．

（3）分類討論a＞0與a＜0，根據(jù)點A，B，P，Q的坐標，結合圖象求解．

【解析】（1）∵y＝ax2﹣2a2x+1，

∴拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝a．

故答案為：a．

（2）∵A，B關于拋物線對稱軸對稱，

∴AB＝|2a|＝2，

當a＞0時，a＝1，

∴y＝x2﹣2x+1，

當a＜0時，a＝﹣1，

∴y＝﹣x2﹣2x+1．

（3）將x＝0代入y＝ax2﹣2a2x+1得y＝2，

∴點A坐標為（0，1），

當a＞0時，拋物線開口向上，點Q（0，2）在點A（0，1）上方，

∵點B與點A關于拋物線對稱軸對稱，

∴點B坐標為（2a，1），

∴當a+4≥2a時，點P在拋物線上或在拋物線外部，符合題意，

解得a≤4，

當a＜0時，點Q在拋物線上方，點B在點A左側，

當點P在拋物線內(nèi)部時，滿足題意，

∴2a≤a+4≤0，

第26頁共57頁.

解得a≤﹣4，

綜上所述，a≤﹣4或0＜a≤4．

6．（2022?五華區(qū)三模）已知拋物線y＝ax2﹣mx+2m﹣3經(jīng)過點A（2，﹣4）．

（1）求a的值；

（2）若拋物線與y軸的公共點為（0，﹣1），拋物線與x軸是否有公共點，若有，求出

公共點的坐標；若沒有，請說明理由；

（3）當2≤x≤4時，設二次函數(shù)y＝ax2﹣mx+2m﹣3的最大值為M，最小值為N，若＝

，求m的值．

【分析】（1）把點A坐標代入拋物線解析式即可求出a；

（2）由（1）知a＝﹣，再由拋物線與y軸的交點為（0，﹣1）可以求出m的值，然

后由Δ＝0，可以得拋物線與x軸有一個公共點，再令y＝0解方程求出x即可；

（3）先求出拋物線對稱軸，然后分﹣2m＜2，2≤﹣2m≤4，﹣2m＞4三種情況分別求出

函數(shù)的最大值M和最小值N，由＝求出m的值．

【解析】（1）∵拋物線y＝ax2﹣mx+2m﹣3經(jīng)過點A（2，﹣4），

∴4a﹣2m+2m﹣3＝﹣4，

解得：a＝﹣；

（2）由（1）知a＝﹣，

∴拋物線解析式為y＝﹣x2﹣mx+2m﹣3，

∵拋物線與y軸的公共點為（0，﹣1），

∴2m﹣3＝﹣1，

解得m＝1，

∴y＝﹣x2﹣x﹣1，

∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×（﹣）×（﹣1）＝1﹣1＝0，

∴拋物線與x軸是有一個公共點，

令y＝0，則﹣x2﹣x﹣1＝0，

解得：x1＝x2＝﹣2，

∴公共點的坐標為（﹣2，0）；

第27頁共57頁.

（3）由（1）知，拋物線解析式為y＝﹣x2﹣mx+2m﹣3，

∴對稱軸為直線x＝﹣＝﹣2m，

①當﹣2m＜2，即m＞﹣1時，

∵a＜0，拋物線開口向下，

∴當2≤x≤4時，y隨x的增大而減小，

2

∴當x＝2時，M＝y(tǒng)max＝﹣×2﹣2m+2m﹣3＝﹣4，

當x＝4時，N＝y(tǒng)min＝﹣×16﹣4m+2m﹣3＝﹣2m﹣7，

∵＝，

∴＝，

解得：m＝﹣，不符合題意；

②當2≤﹣2m≤4即﹣2≤m≤﹣1時，

若直線x＝2與直線x＝﹣2m接近時，

則當x＝﹣2m時y取得最大值，即M＝﹣×（﹣2m）2﹣m×（﹣2m）+2m﹣3＝m2+2m

﹣3，

當x＝4時，y取得最小值，即N＝﹣×42﹣4m+2m﹣3＝﹣2m﹣7，

∵＝，

∴＝，

解得：m1＝﹣，m2＝﹣（不合題意，舍去）；

若直線x＝4與直線x＝﹣2m接近時，

則當x＝﹣2m時y取得最大值，即M＝﹣×（﹣2m）2﹣m×（﹣2m）+2m﹣3＝m2+2m

﹣3，

當x＝2時，y取得最小值，即N＝﹣×22﹣2m+2m﹣3＝﹣4，

∵＝，

第28頁共57頁.

∴＝，

解得：m1＝，m2＝（不符合題意，舍去）；

③當﹣2m＞4即m＜﹣2時，

∵a＜0，拋物線開口向下，

∴當2≤x≤4時，y隨x的增大而增大，

∴當x＝2時，N＝﹣×22﹣2m+2m﹣3＝﹣4，

當x＝4時，M＝﹣×16﹣4m+2m﹣3＝﹣2m﹣7，

∵＝，

∴＝，

解得：m＝﹣（不符合題意，舍去），

綜上所述，m的值為﹣或．

7．（2022?秦淮區(qū)二模）在平面直角坐標系中，一個二次函數(shù)的圖象的頂點坐標是（2，1），

與y軸的交點坐標是（0，5）．

（1）求該二次函數(shù)的表達式；

（2）在同一平面直角坐標系中，若該二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)y＝x+n（n為常數(shù)）的

圖象有2個公共點，求n的取值范圍．

【分析】（1）設拋物線解析式為y＝a（x﹣2）2+1，再將（0，5）代入即可求解；

（2）二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)y＝x+n（n為常數(shù)）的圖象有兩個交點可列出方程a（x

﹣2）2+1＝x+n，再利用Δ＞0，即可求出解．

【解析】（1）∵二次函數(shù)圖象的頂點是（2，1），

∴設二次函數(shù)的表達式為y＝a（x﹣2）2+1，

將點（0，5）代入y＝a（x﹣2）2+1，

得5＝a（0﹣2）2+1，

解得：a＝1，

∴二次函數(shù)的表達式為：y＝（x﹣2）2+1．

（2）二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)y＝x+n（n為常數(shù)）的圖象有2個公共點，

∴得（x﹣2）2+1＝x+n，

第29頁共57頁.

化簡得：x2﹣5x+5﹣n＝0，

∵有2個公共點，

∴Δ＞0，

∴25﹣4（5﹣n）＞0，

解得n＞．

∴n的取值范圍為：n．

8．（2022?鹽城二模）若二次函數(shù)y＝ax2+bx+a+2的圖象經(jīng)過點A（1，0），其中a、b為常

數(shù)．

（1）用含有字母a的代數(shù)式表示拋物線頂點的橫坐標；

（2）點B（﹣，1）、C（2，1）為坐標平面內(nèi)的兩點，連接B、C兩點．

①若拋物線的頂點在線段BC上，求a的值；

②若拋物線與線段BC有且只有一個公共點，求a的取值范圍．

【分析】（1）將點A（1，0）代入拋物線解析式，可得b＝﹣2﹣2a，繼而求出拋物線對

稱軸即可求解；

（2）①根據(jù)題意將x＝1+，y＝1，代入拋物線解方程即可求解；

②分a＞0；a＜0且a≠﹣1；a＝﹣1三種情況進行討論求解即可得a的取值范圍．

【解析】（1）∵y＝ax2+bx+a+2的圖象經(jīng)過點A（1，0），

即當x＝1時，y＝a+b+a+2＝0，

∴b＝﹣2﹣2a，

∴y＝ax2﹣（2a+2）x+a+2，

∴對稱軸x＝﹣＝＝1+，

第30頁共57頁.

∴拋物線頂點的橫坐標為1+；

（2）①拋物線的頂點在線段BC上，且點B（﹣，1）、C（2，1），

∴頂點縱坐標為1，且﹣≤1+≤2，

當x＝1+時，y＝1，即a（1+）2﹣（2a+2）（1+）+a+2＝1，

整理得：﹣＝1，

解得：a＝﹣1，

檢驗，當a＝﹣1時，a≠0，

∴a＝﹣1；

②∵對稱軸x＝1+，

當a＞0時，對稱軸x＝1+在點A（1，0）的右側，即xx＝1+＞1，

∵拋物線與線段BC有且只有一個公共點，點B（﹣，1）、C（2，1），

∴當x＝2時，y＜1，即4a﹣2（2a+2）+a+2＜1，

解得：a＜3，

當x＝﹣時，y＞1，即a+（2a+2）+a+2≥1，

解得：a≥﹣，

∴0＜a＜3，

當a＜0，且a≠﹣1時，對稱軸x＝1+在點A（1，0）的左側，即x＝1+＜1，拋物

線開口向下，且過點A（1，0），

當x＝﹣時，y＞1，即a+（2a+2）+a+2＞1，

解得：a＞﹣，

∵a＜0，

∴﹣＜a＜0；

由①知，當a＝﹣1時，拋物線頂點恰好在線段BC上，

∴當a＝﹣1時，拋物線與線段BC有且只有一個公共點，

第31頁共57頁.

綜上所述，拋物線與線段BC有且只有一個公共點時，a的取值范圍是0＜a＜3或﹣＜

a＜0或a＝﹣1．

9．（2022?滑縣模擬）如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+2x+c與x軸正半軸交于點B（另一個交點

為A），與y軸負半軸交于點C，且OC＝3OB．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設直線AC的解析式為y＝kx+b，求點A的坐標，并結合圖象寫出不等式x2+2x+c

≥kx+b的解集；

（3）已知點P（﹣3，1），Q（2，2t+1），且線段PQ與拋物線y＝x2+2x+c有且只有一個

公共點，直接寫出t的取值范圍．

【分析】（1）設B（m，0），可得C（0，﹣3m），代入y＝x2+2x+c即可解得拋物線的解

析式為y＝x2+2x﹣3；

（2）令y＝0可得A（﹣3，0），由圖象即得不等式x2+2x+c≥kx+b的解集為x≤﹣3或x

≥0；

（3）設直線x＝2與拋物線y＝x2+2x﹣3交于K，當Q在K及K下方時，線段PQ與拋

物線y＝x2+2x﹣3有且只有一個公共點，在y＝x2+2x﹣3中，令x＝2得y＝5，根據(jù)2t+1

≤5，可得t的取值范圍是t≤2．

【解析】（1）設B（m，0），則OB＝m，

∵OC＝3OB，

∴OC＝3m，C（0，﹣3m），

將B（m，0），C（0，﹣3m）代入y＝x2+2x+c得：

第32頁共57頁.

，

解得（此時B不在x軸正半軸，舍去）或，

∴拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3；

（2）在y＝x2+2x﹣3中，令y＝0得x2+2x﹣3＝0，

解得x＝﹣3或x＝1，

∴A（﹣3，0），

由圖象可知，當x≤﹣3或x≥0時，拋物線在直線上方，即x2+2x+c≥kx+b，

∴不等式x2+2x+c≥kx+b的解集為x≤﹣3或x≥0；

（3）設直線x＝2與拋物線y＝x2+2x﹣3交于K，如圖：

由圖可知，當Q在K及K下方時，線段PQ與拋物線y＝x2+2x﹣3有且只有一個公共點，

在y＝x2+2x﹣3中，令x＝2得y＝22+2×2﹣3＝5，

∴2t+1≤5，

解得t≤2，

答：線段PQ與拋物線y＝x2+2x+c有且只有一個公共點，t的取值范圍是t≤2．

10．（2022春?龍鳳區(qū)期中）如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的圖象與一次函數(shù)y＝﹣2x

的圖象交于點A、B（點B在