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文檔簡介
挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學壓軸題之學霸秘笈大揭秘（全國通用）
專題29圓與相似及三角函數(shù)綜合問題
【例1】（2022·四川·巴中市教育科學研究所中考真題）四邊形內(nèi)接于，直徑
與弦交于點，直線與相切于點．????⊙???
?????⊙??
(1)如圖1，若，且，求證：平分；
(2)如圖2，連接∠???，=若30°??=??，求證：??∠???．
【答案】(1)見解?析?∠???=2∠???△???∽△???
(2)見解析
【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，再由，可得
，從而?得?到為等邊三角形∠，??再?跟+等∠邊??三?角=形90的°性質(zhì)可∠得??B?E=平3分0°，
∠即?可??求=證6；0°△???∠???
（2）根據(jù)切線的性質(zhì)和直徑所對的圓周角是直角可得，從而得到
，進而得到，∠再??由?=∠???=∠?，??即可求證．
∠（?1?）?=2∠???=2∠???∠???=∠???∠???=∠???
證明：連接，
直線與??相切于點，
∵??⊙?，?
∴∠???=90°，
∴∠???+∠??，?=90°
∵∠???=30°，
∴又∠???=60，°
∵??=為?等?邊三角形，
∴又△???，
∵?平?分=??，
∴??∠???
第1頁共47頁.
，
1
∴∠??平?分=2∠??；?=30°
∴??∠???
（2）
證明：∵直線與相切于點，
?，?⊙??
∴∠???=90°，
∴∵∠A?C?為?直+徑∠?，??=90°
∴∠ABC=90°，
∴∠OBC+∠ABO=90°，
∴∠OBC=∠PBA，
∵OB=OC，
∴，
∠???=∠???=∠???，
∴∠???=2∠???=2∠???，
∵∠???=∠???，=2∠???
∴又∠???=∠???，
∵∠???=∠??．?
∴【△點?睛??】∽本△題?主?要?考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練
掌握切線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．
【例2】（2022·廣東深圳·中考真題）一個玻璃球體近似半圓為直徑，半圓上點處有
個吊燈的中點為?,????
??,??//??,??⊥??,???,??=4.
第2頁共47頁.
(1)如圖①，為一條拉線，在上，求的長度．
(2)如圖②，一??個玻璃鏡與圓?相切?，?為切??點，=1.為6,??上=一0.點8,，??為入射光線，為反射
光線，??求?的?長?度．????
3
(3)如圖∠③?，??是=線∠?段??=上4的5動°,t點an，∠???為=入4射,光?線?，為反射光線交圓于
點在從?運動到?的?過程中，求?點?的運動路徑長．∠???=50°,???
【答?,案?】(1?)2??
(2)
20
(3)??=7
16
4+9?
【分析】（1）由，可得出為的中位線，可得出D為
中點，即可得出??=的0長.8,度?；?=1.6,??∥????△???CO
（2）過N點作??，交于點D，可得出為等腰直角三角形，根據(jù),
3
可得出??⊥??，??設△，?則??，根據(jù)tan∠，??即?可=求4
??3
得，tan再∠根??據(jù)?勾=股??定=理4即可得??出=答3案?；=????=4???+??=??
4
（3?）=依7題意得出點N路徑長為：，推導得出，即可計算給出，即
可得出答案．??+???∠???=80°???
（1）
∵
∴??為=0.8,??的=中1位.6,線??∥??
∴?D?為△?的??中點
∵CO
∴??=??=4
（?2）?=2
過N點作，交于點D，
??⊥????
第3頁共47頁.
∵，
∴∠???=為4等5腰°直角三角形，即，
又△∵???，??=??
3
∴tan∠???=，4
3
∴tan∠???=4，
??3
∴tan∠???=??，=4
設??:??=3:4，則，
∵??=3?=??，??=4?
∴??+??=，??
解得3?+4?，=4
4
∴?=7，，
1216
??=7??=7
∴在中，；
2212216220
（3）??△?????=??+??=(7)+(7)=7
如圖，當點M與點O重合時，點N也與點O重合．當點M運動至點A時，點N運動至
點T，故點N路徑長為：．
??+???
∵．
∴∠???=∠???,∠???．=∠???,∠???=50°
∴∠???=∠???=65°．
∴∠???=65°，,∠???=50°
∴∠???=80°，
80°16
??
∴N?點=的2運?動×路4×徑3長60為°=：9?，
16
故答案為：．??+???=4+9?
16
4+9?
第4頁共47頁.
【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)，弧長公式、勾股定理、中位線，利用銳角三角函數(shù)值解三角
函數(shù)，掌握以上知識，并能靈活運用是解題的關鍵．
【例3】（2022·黑龍江哈爾濱·中考真題）已知是的直徑，點A，點B是上的兩個
點，連接，點D，點E分別是半徑?的?中⊙點，?連接，且⊙?．
??,????,????,??,??∠???=2∠???
(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，延長∠交???于=點∠?F?，?若，求證：；
(3)如圖3，在（2）?的?條件??下，點G是??上⊥一?點?，連接??=??，若，，
求的長．????,??,??,????:??=5:3??=2
【答??案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
19
??=3
【分析】（1）根據(jù)SAS證明即可得到結(jié)論；
（2）證明即可得△出?結(jié)??論?；△???
（3）先證明∠?=∠???，連接，證明，設，，在上取點M，
使得?，?連⊥接??，證明??為??等=邊三??角形，?得?=5???=3，?根據(jù)??
可求出??=?，?得??，△，?過?點?H作于點?N?，求=出??=2，再??證=??+??，
根據(jù)?=1??=5可?得?結(jié)=論3．??⊥????=19??=2??
（1）??=3??=19
如圖1．∵點D，點E分別是半徑的中點
??,??
第5頁共47頁.
∴，
11
∵??=2??，??=2??
∴??=??
∵??=??，
∴∠???=2∠???∠???=2∠???
∵∠???=∠???
∴??=??，
∴△????△???；
（∠2）???=∠???
如圖2．∵，
∴??⊥??
∠???=90°
由（1）得，
∴∠???=∠???=90°
??1
∴sin∠???=?，?=2
∴∠???=30°
∵∠???=90°?∠???=60°
11
∴∠?=2∠???，=2×60°=30°
∴∠?=∠???
（?3）?=??
如圖3．∵，
∴??=????=??
∴??⊥??
∠???=90°
第6頁共47頁.
連接．∵
∴??∠???=∠??，?=60°
∴∠???=∠，???=120°
∵??=??∠???=60°
設??:??=，5:3
∴??=5?
在??上=取3?點M，使得，連接
∵??，??=????
∴∠???=∠???
∴△???≌，△???
∴??=?為?等邊三角形
∴△???
∵??=??=2，
∴??=??+??
∴5?=3，?+2
∴?=1
∴??=5，
過點??H=作??=3于點N
??⊥??，
11
?∴?=2??=2×2=1，??=???sin60°=3
∴??=??+??=4
22
∵??=??=，??+??=，19
∴∠???=90°∠???=30°
∵∠???=6，0°
∴??=??，
∴∠???=∠???=30°
∴∠???=，∠???=30°
??=??
第7頁共47頁.
在中，，
∴??△???∠???=30°
∴??=2??，
∴??=??．+??=3??=19
19
【點??睛=】本3題主要考查了圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，
等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理以及解直角三角形等知識，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是
解答本題的關鍵．
【例4】（2022·黑龍江綏化·中考真題）如圖所示，在的內(nèi)接中，，
，作于點P，交于另一點B，⊙C?是上的△一??個?動點（∠不??與?A=，9M0°重
?合?），=射2?線?交?線?段⊥??的延長線于點⊙D?，分別連接和?，?交于點E．
????????????
(1)求證：．
(2)若△??，?∽△???，求的長．
(3)在點??C=運1動0過?程?中=，?當???時，求的值．
3??
【答案】(1)證明見解析tan∠???=4??
(2)
(3)310
3
2
【分析】（1）利用圓周角定理得到∠CMA=∠ABC，再利用兩角分別相等即可證明相似；
（2）連接OC，先證明MN是直徑，再求出AP和NP的長，接著證明，利
用相似三角形的性質(zhì)求出OE和PE，再利用勾股定理求解即可；△???∽△???
（3）先過C點作CG⊥MN，垂足為G，連接CN，設出，，再利用三角函
數(shù)和勾股定理分別表示出PB和PG，最后利用相似三角?形?的=性3質(zhì)?表?示?出=4E?G，然后表示出
ME和NE，算出比值即可．
（1）
第8頁共47頁.
解：∵AB⊥MN，
∴∠APM=90°，
∴∠D+∠DMP=90°，
又∵∠DMP+∠NAC=180°，∠MAN=90°，
∴∠DMP+∠CAM=90°，
∴∠CAM=∠D，
∵∠CMA=∠ABC，
∴．
（△2）???∽△???
連接OC，
∵，
∴∠M?N?是?直=徑90，°
∵，
∴?OM?==ON10=OC=5，
∵，且，
222
∴??=2??，??+?，?=??
∵??=25??=45，
11
∴?△???=，2?????=2?????
∴??=4，
∴??=??=4，
22
∴??=????，?=2
∵??=5?，2=3
∴?OC?⊥=M?N?，
∴∠COE=90°，
∵AB⊥MN，
∴∠BPE=90°，
∴∠BPE=∠COE，
又∵∠BEP=∠CEO，
∴
∴△???∽△?，??
??????
即??=??=??
5????
由4=??=??，
∴??+??，=??=，3
54
??=3??=3
第9頁共47頁.
∴，
2
22255
??=??+??=5+3=310
，
2
22244
∴??=??+??=4+3．=310
54
??=310+310=310
（3）
過C點作CG⊥MN，垂足為G，連接CN，則∠CGM=90°，
∴∠CMG+∠GCM=90°，
∵MN是直徑，
∴∠MCN=90°，
∴∠CNM+∠DMP=90°，
∵∠D+∠DMP=90°，
∴∠D=∠CNM=∠GCM，
∵，
3
∴tan∠???=4，
3
∵tan∠???=tan∠???=4
??
∴設tan∠???=，??，
∴??=3，???=4?
∴??=5?，，
20?16?
∴??=3，??=3
25?
∴??=3，
25?
∵??=??=，且6，
222
∴??=2??，??+??，=??
55105
∵??=3???=3?，
11
?△???=2?????=2?????
第10頁共47頁.
∴，
10
∴??=3?，=??
5
∴??=3?，
16511
∵∠??C=GE3=?∠?BP3E?==903°，?∠CEG=∠BEP，
∴，
∴△???∽△?，??
??????
即??=??=??
4?????
10
3?=??=??
∴，
5
∴??=2?，??=3?，
10?
∴??=5???，=3
∴??的:?值?為=．3:2
??3
??2
【點睛】本題考查了圓的相關知識、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理等知識，
涉及到了動點問題，解題關鍵是構(gòu)造相似三角形，正確表示出各線段并找出它們的關系，本
題綜合性較強，屬于壓軸題．
一、解答題【共20題】
1．（2022·內(nèi)蒙古內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，是的外接圓，與相切于點D，
分別交，的延長線于點E和F⊙，連?接△?交??于點N，??的⊙平?分線交
?于?點∥?M?．????????∠???????
(1)求證：平分；
(2)若??∠，???，求線段的長．
??:??=5:2??=14??
第11頁共47頁.
【答案】(1)見解析
(2)
??=2
【分析】（1）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)得⊥EF，由得OD⊥BC，由垂徑定理得
，進而即可得出結(jié)論；????∥??
（??2）=由??平行線分線段定理得，再證明，可得BD=2，最后證明
214
,進而即可求解??．=7△???∽△???
∠（?1?）?=∠???
證明：連接交于點H.
∵與?相?切于??點D
??⊙?
∴，
∴??⊥??，
∵∠???=，90°
∴??∥??，
∴∠???=，∠???=90°
∴??⊥??，
∴??=??即平分；
（∠2）???=∠?????∠???
解：∵，
∴??，∥??
????
∵??=??，，
∴??:??=5，:2??=14
214
∵??=7，，
∴∠???=∠???，∠???=∠???
∵∠??平?分=∠???，
∴??∠???，
∴∠???=∠???，
∠???+∠???=∠???+∠???
第12頁共47頁.
∴，
∴∠???=∠，???
∵??=??，，
∴∠???=∠???，∠???=∠???
∴△???∽△???
????
∴??=??，
2214
∴??=?（?負?值??舍=去）7，×14=4
∴??=2
【點??睛=】?本?題=主2要考查圓的基本性質(zhì)，切線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線
段成比例定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)；找出相似三角形，列相似比求解是解決本題的關
鍵．
2．（2022·湖北黃石·中考真題）如圖是直徑，A是上異于C，D的一點，點B是
延長線上一點，連接、、?，?且⊙?．⊙?
????????∠???=∠???
(1)求證：直線是的切線；
(2)若?，?求⊙?的值；
(3)在（??2）=的2條??件下，作tan∠???的平分線交于P，交于E，連接、，若，
求的值．∠?????⊙?????????=26
【答??案??】?(1)見解析
(2)
2
(3)2
42
【分析】（1）如圖所示，連接OA，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得到，
再證明即可證明結(jié)論；∠???+∠???=90°
（2）先∠證??明?=∠???，得到，令半徑，則，，
????
利用勾股定理△求?出??∽△???，解直?角?=三?角?形即可答?案?；=??=???=2???=3?
（3）先求出??，=在22?中，，，解得，，
??2222
證明??=23，得到Rt△???，則??=2??+??=??．??=2??=22
????
（1）△???∽△?????=???????=?????=42
第13頁共47頁.
解：如圖所示，連接OA，
∵是直徑，
∴??⊙?，
∠???=90°
∴，
又∠∵???+∠?，??=90°
∴??=??，
∵∠???=∠???，
∴∠???=∠???，
∴∠???=∠???，即，
∴∠???+∠，???=90°∠???=90°
又?∵?⊥為??半徑，
∴直線??是的切線；
（2）??⊙?
解：∵，，
∴∠???=∠?，??∠?=∠?
∴△???，∽△???
????
由??=??知，令半徑，則，，
在??=2??中，??=??=???，=2???=3?
22
在??△???中，??=?????=22?，
????2?2
即Rt△???t；an∠???=??=??=22?=2
2
tan∠???=2
（3）
解：在（2）的條件下，，
∴，??=22?=26
∴?=3，
??=23
第14頁共47頁.
在中，，，
??2222
解得Rt△???，??=2，??+??=??
∵?平?分=2??，=22
∴??∠???，
又∠∵???=∠???，
∴∠???=∠???，
∴△???，∽△???
????
∴??=??．
【點??睛??】?本=題?主?要??考?查=了2圓×切2線2的=判4定2，直徑所對的圓周角是直角，相似三角形的性質(zhì)與判
定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等等，熟知相關知識是解題的關鍵．
3．（2022·湖北襄陽·中考真題）如圖，AB是半圓O的直徑，點C在半圓O上，點D為
的中點，連接AC，BC，AD，AD與BC相交于點G，過點D作直線DEBC，交AC的延?長?
線于點E．∥
(1)求證：DE是⊙O的切線；
(2)若，CG＝2，求陰影部分的面積．
【答案??】=(1?)見?解析3
(2)
153
2
【分析】（1）連接OD，根據(jù)已知條件，由OD⊥BC，DEBC，證明OD⊥DE即可；
（2）根據(jù)相等，再由（1）中可得，∥，從而得到
∠CAD=∠?B