專題25 解答題重點出題方向解直角三角形的實際應用（原卷版）

專題25解答題重點出題方向解直角三角形的實際應用（原卷版）

模塊一2022中考真題集訓

類型一坡度坡角問題

1．（2022?菏澤）菏澤某超市計劃更換安全性更高的手扶電梯，如圖，把電梯坡面的坡角由原來的37°減至

30°，已知原電梯坡面AB的長為8米，更換后的電梯坡面為AD，點B延伸至點D，求BD的長．（結

果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.73）

3≈

2．（2022?郴州）如圖是某水庫大壩的橫截面，壩高CD＝20m，背水坡BC的坡度為i1＝1：1．為了對水庫

大壩進行升級加固，降低背水坡的傾斜程度，設計人員準備把背水坡的坡度改為i2＝1：，求背水坡新

起點A與原起點B之間的距離．

3

（參考數(shù)據(jù)：1.41，1.73．結果精確到0.1m）

2≈3≈

3．（2022?長沙）為了進一步改善人居環(huán)境，提高居民生活的幸福指數(shù)．某小區(qū)物業(yè)公司決定對小區(qū)環(huán)境進

行優(yōu)化改造．如圖，AB表示該小區(qū)一段長為20m的斜坡，坡角∠BAD＝30°，BD⊥AD于點D．為方便

通行，在不改變斜坡高度的情況下，把坡角降為15°．

（1）求該斜坡的高度BD；

（2）求斜坡新起點C與原起點A之間的距離．（假設圖中C，A，D三點共線）

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4．（2022?臺州）如圖1，梯子斜靠在豎直的墻上，其示意圖如圖2．梯子與地面所成的角為75°，梯子

AB長3m，求梯子頂部離地豎直高度BC．（結果精確到0.1m；參考數(shù)據(jù)：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，

α

tan75°≈3.73）

5．（2022?株洲）如圖（Ⅰ）所示，某登山運動愛好者由山坡①的山頂點A處沿線段AC至山谷點C處，再

從點C處沿線段CB至山坡②的山頂點B處．如圖（Ⅱ）所示，將直線l視為水平面，山坡①的坡角∠

ACM＝30°，其高度AM為0.6千米，山坡②的坡度i＝1：1，BN⊥l于N，且CN千米．

（1）求∠ACB的度數(shù)；

=2

（2）求在此過程中該登山運動愛好者走過的路程．

類型二仰角俯角問題

6．（2022?涼山州）去年，我國南方某地一處山坡上一座輸電鐵塔因受雪災影響，被冰雪從C處壓折，塔尖

恰好落在坡面上的點B處，造成局部地區(qū)供電中斷，為盡快搶通供電線路，專業(yè)維修人員迅速奔赴現(xiàn)場

進行處理，在B處測得BC與水平線的夾角為45°，塔基A所在斜坡與水平線的夾角為30°，A、B兩

點間的距離為16米，求壓折前該輸電鐵塔的高度（結果保留根號）．

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7．（2022?陜西）端午假期，小明和小昊與家人到一山莊度假．閑暇時，他們想利用所學數(shù)學知識測量所住

樓前小河的寬．如圖所示，他們先在六層房間窗臺點F處，測得河岸點A處的俯角∠1的度數(shù)，然后來

到四層房間窗臺點E處，測得河對岸點B處的俯角∠2的度數(shù)（AB與河岸垂直），并且發(fā)現(xiàn)∠1與∠2正

好互余．其中O，E，F(xiàn)三點在同一直線上，O，A，B三點在同一直線上，OF⊥OA．已知OE＝15米，

OF＝21.6米，OA＝16米，求河寬AB．

8．（2022?鋼城區(qū)）如圖，某數(shù)學研究小組測量山體AC的高度，在點B處測得山體A的仰角為45°，沿

BC方向前行20m至點D處，斜坡DE的坡度為1：2，在觀景臺E處測得山頂A的仰角為58°，且點E

到水平地面BC的垂直距離EF為10m．點B，D，C在一條直線上，AB，AE，AC在同一豎直平面內(nèi)．

（1）求斜坡DE的水平寬度DF的長；

（2）求山體AC的高度．（結果精確到1m．參考數(shù)據(jù)sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，

）

2≈

1.41

9．（2022?內(nèi)蒙古）在一次綜合實踐活動中，某小組對一建筑物進行測量．如圖，在山坡坡腳C處測得該建

筑物頂端B的仰角為60°，沿山坡向上走20m到達D處，測得建筑物頂端B的仰角為30°．已知山坡

坡度i＝3：4，即tan，請你幫助該小組計算建筑物的高度AB．

3

（結果精確到0.1m，θ參=考4數(shù)據(jù)：1.732）

3≈

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10．（2022?營口）在一次數(shù)學課外實踐活動中，某小組要測量一幢大樓MN的高度，如圖，在山坡的坡腳A

處測得大樓頂部M的仰角是58°，沿著山坡向上走75米到達B處，在B處測得大樓頂部M的仰角是

22°，已知斜坡AB的坡度i＝3：4（坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比），求大樓MN的高度．（圖

中的點A，B，M，N，C均在同一平面內(nèi)，N，A，C在同一水平線上，參考數(shù)據(jù)：tan22°≈0.4，tan58°

≈1.6）

11．（2022?阜新）如圖，小文在數(shù)學綜合實踐活動中，利用所學的數(shù)學知識測量居民樓的高度AB，在居民

樓前方有一斜坡，坡長CD＝15m，斜坡的傾斜角為，cos．小文在C點處測得樓頂端A的仰角為

4

°，在點處測得樓頂端的仰角為°（點，，，在同一平面內(nèi)）．

60DA30AαBCα=D5

（1）求C，D兩點的高度差；

（2）求居民樓的高度AB．

（結果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：1.7）

3≈

12．（2022?襄陽）位于峴山的革命烈士紀念塔是襄陽市的標志性建筑，是為紀念“襄樊戰(zhàn)役”中犧牲的革

命烈士及第一、第二次國內(nèi)革命戰(zhàn)爭時期為襄陽的解放事業(yè)獻身的革命烈士而興建的，某校數(shù)學興趣小

組利用無人機測量烈士塔的高度．無人機在點A處測得烈士塔頂部點B的仰角為45°，烈士塔底部點C

的俯角為61°，無人機與烈士塔的水平距離AD為10m，求烈士塔的高度．（結果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：

sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）

13．（2022?朝陽）某數(shù)學興趣小組準備測量校園內(nèi)旗桿頂端到地面的高度（旗桿底端有臺階）．該小組在C

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處安置測角儀CD，測得旗桿頂端A的仰角為30°，前進8m到達E處，安置測角儀EF，測得旗桿頂端

A的仰角為45°（點B，E，C在同一直線上），測角儀支架高CD＝EF＝1.2m，求旗桿頂端A到地面的

距離即AB的長度．（結果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：1.7）

3≈

14．（2022?鞍山）北京時間2022年4月16日9時56分，神舟十三號載人飛船返回艙成功著陸．為弘揚航

天精神，某校在教學樓上懸掛了一幅長為8m的勵志條幅（即GF＝8m）．小亮同學想知道條幅的底端F

到地面的距離，他的測量過程如下：如圖，首先他站在樓前點B處，在點B正上方點A處測得條幅頂端

G的仰角為37°，然后向教學樓條幅方向前行12m到達點D處（樓底部點E與點B，D在一條直線上），

在點D正上方點C處測得條幅底端F的仰角為45°，若AB，CD均為1.65m（即四邊形ABDC為矩形），

請你幫助小亮計算條幅底端F到地面的距離FE的長度．（結果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，

cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

15．（2022?安順）隨著我國科學技術的不斷發(fā)展，5G移動通信技術日趨完善，某市政府為了實現(xiàn)5G網(wǎng)絡

全覆蓋，2021～2025年擬建設5G基站3000個，如圖，在斜坡CB上有一建成的5G基站塔AB，小明在

坡腳C處測得塔頂A的仰角為45°，然后他沿坡面CB行走了50米到達D處，D處離地平面的距離為

30米且在D處測得塔頂A的仰角53°．（點A、B、C、D、E均在同一平面內(nèi)，CE為地平線）（參考數(shù)

據(jù)：sin53°，cos53°，tan53°）

434

（）求坡面的坡度；

1≈C5B≈5≈3

（2）求基站塔AB的高．

16．（2022?日照）2022年北京冬奧會的成功舉辦激發(fā)了人們對冰雪運動的熱情．如圖是某滑雪場的橫截面

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示意圖，雪道分為AB，BC兩部分，小明同學在C點測得雪道BC的坡度i＝1：2.4，在A點測得B點的

俯角∠DAB＝30°．若雪道AB長為270m，雪道BC長為260m．

（1）求該滑雪場的高度h；

（2）據(jù)了解，該滑雪場要用兩種不同的造雪設備來滿足對于雪量和雪質(zhì)的不同要求，其中甲設備每小時

造雪量比乙設備少35m3，且甲設備造雪150m3所用的時間與乙設備造雪500m3所用的時間相等．求甲、

乙兩種設備每小時的造雪量．

17．（2022?西藏）某班同學在一次綜合實踐課上，測量校園內(nèi)一棵樹的高度．如圖，測量儀在A處測得樹

頂D的仰角為45°，C處測得樹頂D的仰角為37°（點A，B，C在一條水平直線上），已知測量儀高

度AE＝CF＝1.6米，AC＝28米，求樹BD的高度（結果保留小數(shù)點后一位．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，

cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．

18．（2022?大連）如圖，蓮花山是大連著名的景點之一．游客可以從山底乘坐索道車到達山頂，索道車運

行的速度是1米/秒．小明要測量蓮花山山頂白塔的高度，他在索道A處測得白塔底部B的仰角約為30°，

測得白塔頂部C的仰角約為37°，索道車從A處運行到B處所用時間約為5分鐘．

（1）索道車從A處運行到B處的距離約為米；

（2）請你利用小明測量的數(shù)據(jù)，求白塔BC的高度．（結果取整數(shù)）

（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.73）

3≈

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19．（2022?河池）如圖，小敏在數(shù)學實踐活動中，利用所學知識對他所在小區(qū)居民樓AB的高度進行測量，

從小敏家陽臺C測得點A的仰角為33°，測得點B的俯角為45°，已知觀測點到地面的高度CD＝36m，

求居民樓AB的高度（結果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin33°≈0.55，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）．

類型三方向角問題

20．（2022?重慶）如圖，三角形花園ABC緊鄰湖泊，四邊形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．經(jīng)測量，點

C在點A的正東方向，AC＝200米．點E在點A的正北方向．點B，D在點C的正北方向，BD＝100米．點

B在點A的北偏東30°，點D在點E的北偏東45°．

（1）求步道DE的長度（精確到個位）；

（2）點D處有直飲水，小紅從A出發(fā)沿人行步道去取水，可以經(jīng)過點B到達點D，也可以經(jīng)過點E到

達點D．請計算說明他走哪一條路較近？

（參考數(shù)據(jù)：1.414，1.732）

2≈3≈

21．（2022?資陽）小明學了《解直角三角形》內(nèi)容后，對一條東西走向的隧道AB進行實地測量．如圖所示，

他在地面上點C處測得隧道一端點A在他的北偏東15°方向上，他沿西北方向前進100米后到達點D，

此時測得點A在他的東北方向上，端點B在他的北偏西60°方向上，（點A、B、C、D在同一平面內(nèi)）

3

（1）求點D與點A的距離；

（2）求隧道AB的長度．（結果保留根號）

22．（2022?錦州）如圖，一艘貨輪在海面上航行，準備要停靠到碼頭C，貨輪航行到A處時，測得碼頭C

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在北偏東60°方向上．為了躲避A，C之間的暗礁，這艘貨輪調(diào)整航向，沿著北偏東30°方向繼續(xù)航行，

當它航行到B處后，又沿著南偏東70°方向航行20海里到達碼頭C．求貨輪從A到B航行的距離（結

果精確到0.1海里．參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．

23．（2022?青島）如圖，AB為東西走向的濱海大道，小宇沿濱海大道參加“低碳生活?綠色出行”健步走

公益活動，小宇在點A處時，某艘海上觀光船位于小宇北偏東68°的點C處，觀光船到濱海大道的距離

CB為200米．當小宇沿濱海大道向東步行200米到達點E時，觀光船沿北偏西40°的方向航行至點D

處，此時，觀光船恰好在小宇的正北方向，求觀光船從C處航行到D處的距離．

（參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈

2.48）

24．（2022?遼寧）如圖，B港口在A港口的南偏西25°方向上，距離A港口100海里處．一艘貨輪航行到

C處，發(fā)現(xiàn)A港口在貨輪的北偏西25°方向，B港口在貨輪的北偏西70°方向．求此時貨輪與A港口的

距離（結果取整數(shù)）．

（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192，1.414）

2≈

25．（2022?恩施州）如圖，湖中一古亭，湖邊一古柳，一沉靜，一飄逸，碧波蕩漾，相映成趣．某活動小

組賞湖之余，為了測量古亭與古柳間的距離，在古柳A處測得古亭B位于北偏東60°，他們向南走50m

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到達D點，測得古亭B位于北偏東45°．求古亭與古柳之間的距離AB的長（參考數(shù)據(jù)：1.41，1.73，

結果精確到1m）．

2≈3≈

26．（2022?邵陽）如圖，一艘輪船從點A處以30km/h的速度向正東方向航行，在A處測得燈塔C在北偏東

60°方向上，繼續(xù)航行1h到達B處，這時測得燈塔C在北偏東45°方向上，已知在燈塔C的四周40km

內(nèi)有暗礁，問這艘輪船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？并說明理由．（提示：1.414，1.732）

2≈3≈

27．（2022?懷化）某地修建了一座以“講好隆平故事，厚植種子情懷”為主題的半徑為800米的圓形紀念

園．如圖，紀念園中心點A位于C村西南方向和B村南偏東60°方向上．C村在B村的正東方向且兩

村相距2.4km．有關部門計劃在B、C兩村之間修一條筆直的公路來連接兩村．問該公路是否穿過紀念園？

試通過計算加以說明．（參考數(shù)據(jù)：1.73，1.41）

3≈2≈

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類型四解直角三角形的應用

28．（2022?通遼）某型號飛機的機翼形狀如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計算AB的長度（結果保留小數(shù)點后一位，

1.7）．

3≈

29．（2022?淮安）如圖，湖邊A、B兩點由兩段筆直的觀景棧道AC和CB相連．為了計算A、B兩點之間

的距離，經(jīng)測量得：∠BAC＝37°，∠ABC＝58°，AC＝80米，求A、B兩點之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：

sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）

30．（2022?東營）勝利黃河大橋猶如一架巨大的豎琴，凌駕于滔滔黃河之上，使黃河南北“天塹變通途”．已

知主塔AB垂直于橋面BC于點B，其中兩條斜拉索AD、AC與橋面BC的夾角分別為60°和45°，兩

固定點D、C之間的距離約為33m，求主塔AB的高度（結果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：1.41，1.73）

2≈3≈

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31．（2022?濟寧）知識再現(xiàn)

如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c．

∵sinA，sinB，∴c，c．∴．

??????

拓展探=究====

??????????????????

如圖2，在銳角△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c．

請?zhí)骄?，，之間的關系，并寫出探究過程．

???

解決問題

????????????

如圖3，為測量點A到河對岸點B的距離，選取與點A在河岸同一側的點C，測得AC＝60m，∠A＝75°，

∠C＝60°．請用拓展探究中的結論，求點A到點B的距離．

32．（2022?鹽城）2022年6月5日，“神舟十四號”載人航天飛船搭載“明星”機械臂成功發(fā)射．如圖是處

于工作狀態(tài)的某型號手臂機器人示意圖，OA是垂直于工作臺的移動基座，AB、BC為機械臂，OA＝1m，

AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．機械臂端點C到工作臺的距離CD＝6m．

（1）求A、C兩點之間的距離；

（2）求OD長．

（結果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，2.24）

5≈

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模塊二2023中考押題預測

33．（2022?新市區(qū)校級一模）如圖所示，我區(qū)某中學課外活動小組的同學，利用所學知識去測某段諾敏河

的寬度．小宇同學在A處觀測對岸C點，測得∠CAD＝45°，小英同學在A處50米遠的B處測得∠CBD

＝30°，請你根據(jù)這些數(shù)據(jù)算出河寬．（結果保留根號）

34．（2023?泗洪縣一模）如圖，梯形ABCD是某水壩的橫截面示意圖，其中AB＝CD，壩頂BC＝2m，壩高

CH＝5m，迎水坡AB的坡度i＝1：1．

（1）求壩底AD的長；

（2）為了提高堤壩防洪抗洪能力，防汛指揮部決定在背水坡加固該堤壩，要求壩頂加寬0.5m，背水坡

坡角改為＝30°，求加固總長5千米的堤壩共需多少土方？（參考數(shù)據(jù)：≈3.14，，；

結果精確到0.1m3）

απ2≈1.413≈1.73

35．（2023?景縣校級模擬）如圖，有兩個長度相同的滑梯（即BC＝EF），左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯

水平方向的長度DF相等．

（1）求證：△ABC≌△DEF；

（2）若滑梯的長度BC＝10米，DE＝8米，分別求出滑梯BC與EF的坡度；

（3）在（2）的條件下，由于EF太陡，在保持EF長不變的情況下，現(xiàn)在將點E向下移動，點F隨之

向右移動．

①若點E向下移動的距離為1米，求滑梯EF底端F向右移動的距離；

②在移動的過程中，直接寫出△DEF面積的最大值．

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36．（2022?寧波模擬）21、由于發(fā)生山體滑坡災害，武警救援隊火速趕往災區(qū)救援，探測出某建筑物廢墟

下方點c處有生命跡象．在廢墟一側地面上探測點A，B相距2m，探測線與該地面的夾角分別是30°和

60°（如圖所示），試確定生命所在點C的深度．（參考數(shù)據(jù)：1.414，1.732，結果精確到0.1

米）

2≈3≈

37．（2023?鳳翔縣模擬）如圖，小剛同學從樓頂A處看樓下公園的湖邊D處的俯角為65°，看另一邊B處

的俯角為25°，樓高AC為25米，求樓下公園的湖寬BD．（結果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin25°≈0.42，

tan25°≈0.47，sin65°≈0.91，tan65°≈2.14）

38．（2023?長沙一模）長沙電視塔位于岳麓山峰頂（如圖），此峰頂距地面高度MN＝270m．電視塔集廣播

電視信號發(fā)射和旅游觀光功能于一身．如右圖所示，小明同學在地面點A處測得峰頂N處的仰角為15°，

由點A往前走640m至點B處，測得電視塔頂P處仰角為45°，請求出電視塔的高度NP．（假設圖中A、

B、M三點在一條直線上，參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）

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39．（2022?市南區(qū)一模）如圖，斜坡AB的坡角為33°，BC⊥AC，現(xiàn)計劃在斜坡AB中點D處挖去部分坡

體，用于修建一個平行于水平線CA且長為12m的平臺DE和一條坡角為45°的新的陡坡BE．建筑物

GH距離A處36米遠（即AG為36米），小明在D處測得建筑物頂部H的仰角為36°．圖中各點均在

同一個平面內(nèi)，且點C、A、G在同一條直線上，HG⊥CG，求建筑物GH的高度．（結果精確到1m）

（參考數(shù)據(jù)：sin33°，cos33°，tan33°，sin36°，cos36°，tan36°）

11213347

≈20≈20≈5≈5≈5≈10

40．（2023?合肥一模）為鞏固農(nóng)村脫貧成果，利興村委會計劃利用一塊如圖所示的空地ABCD，培育綠植銷

售，空地南北邊界AB∥CD，西邊界BC⊥AB，經(jīng)測量得到如下數(shù)據(jù)，點A在點C的北偏東58°方向，

在點D的北偏東48°方向，BC＝780米，求空地南北邊界AB和CD的長（結果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：

tan48°≈1.1，tan58°≈1.6）．

41．（2023?瑤海區(qū)校級模擬）李俊、王可和張立三位同學在老師的帶領下到荒地開展植樹活動，如圖，點A，

B，C分別是他們?nèi)怂诘闹矘湮恢茫cA在點B的北偏東45°方向上，點C在點B的北偏東82°方

向上，且點C在點A的正南方向，若點B到點C的距離為80米，求點A到點B的距離．（參考數(shù)據(jù)：1.73，

sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

3≈

42．（2022?銅仁市校級模擬）為了保證龍舟賽在我市錦江河順利舉辦，工作人員乘快艇到錦江水域考察水

情，以每秒14米的速度沿平行于岸邊的賽道AB由西向東行駛．在A處測得岸邊一建筑物P在北偏東

30°方向上，繼續(xù)行駛46秒到達B處時，測得建筑物P在北偏西60°方向上，如圖所示．求建筑物P

到賽道AB的距離．（結果保留根號）

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43．（2023?全椒縣模擬）在湖面上修建一座觀景橋MN是鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略中一項重要工程．在觀測點A，B兩

處測得∠BAM＝90°，∠ABN＝112°，∠BNM＝105°，AB＝1千米，BN＝0.5千米，求觀景橋MN的

長．參考數(shù)據(jù)：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75．

44．（2023?鄞州區(qū)校級一模）某種落地燈如圖1所示，AB為立桿，其高為70cm，BC為支桿，它可繞點B

旋轉(zhuǎn)，其中BC長為50cm，DE為懸桿，支桿BC與懸桿DE之間的夾角∠BCD為60°．

（1）如圖2，當支桿BC與地面垂直，且燈泡懸掛點D距離地面的高度為100cm，求CD的長；

（2）在圖2所示的狀態(tài)下，將支桿BC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)