人教版高二上學期數(shù)學(選擇性必修1)《1.7空間向量及其運算的坐標表示》同步測試題及答案

第第頁人教版高二上學期數(shù)學(選擇性必修1)《1.7空間向量及其運算的坐標表示》同步測試題及答案考試時間：60分鐘；滿分：100分學校：___________班級：___________姓名：___________考號：___________1．空間直角坐標系(1)空間直角坐標系及相關(guān)概念①空間直角坐標系：在空間選定一點O和一個單位正交基底eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(i，j，k))，以O(shè)為原點，分別以i，j，k的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標軸，這時我們就建立了一個空間直角坐標系O-xyz.②相關(guān)概念：O叫做原點，i，j，k都叫做坐標向量，通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它們把空間分成八個部分．(2)右手直角坐標系在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系．2．空間一點的坐標在空間直角坐標系O-xyz中，i，j，k為坐標向量，對空間任意一點A，對應(yīng)一個向量eq\o(OA,\s\up6(→))，且點A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在單位正交基底{i，j，k}下與向量eq\o(OA,\s\up6(→))對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做點A在此空間直角坐標系中的坐標，記作A(x，y，z)，其中x叫做點A的橫坐標，y叫做點A的縱坐標，z叫做點A的豎坐標．3．空間向量的坐標在空間直角坐標系Oxyz中，給定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a.由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標系O-xyz中的坐標，上式可簡記作a＝(x，y，z)．4．空間向量的坐標運算設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有向量運算向量表示坐標表示加法a＋ba＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)減法a－ba－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數(shù)乘λaλa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R數(shù)量積a·ba·b＝a1b1＋a2b2＋a3b35．空間向量的平行、垂直及模、夾角設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則有當b≠0時，a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))；cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).6．空間兩點間的距離公式設(shè)P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點，則P1P2＝|eq\o(P1P2,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).【題型1求空間點的坐標】【方法點撥】(1)求某點M的坐標的方法：作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的橫坐標x，縱坐標y，即點M的橫坐標x，縱坐標y，再求M點在z軸上射影的豎坐標z，即為M點的豎坐標z，于是得到M點的坐標(x，y，z)．(2)空間點對稱問題的解題策略：①空間點的對稱問題可類比平面直角坐標系中點的對稱問題，要掌握對稱點的變化規(guī)律，才能準確求解．②對稱點的問題常常采用“關(guān)于誰對稱，誰保持不變，其余坐標相反”這個結(jié)論．【例1】（2022春?溧陽市期中）平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AC→=(1，2A．（0，4，7） B．（﹣2，0，1） C．（2，0，﹣1） D．（2，0，1）【變式1-1】（2021秋?蘄春縣期中）設(shè)點M（1，1，1），A（2，1，﹣1），O（0，0，0）．若OM→=ABA．（1，0，﹣2） B．（3，2，0） C．（1，0，2） D．（3，﹣2，0）【變式1-2】（2020秋?西昌市期末）空間直角坐標系中，點P（﹣1，2，﹣3）關(guān)于平面yOz對稱的點P1的坐標為（）A．（﹣1，﹣2，﹣3） B．（1，2，﹣3） C．（1，﹣2，﹣3） D．（1，2，3）【變式1-3】（2021秋?新源縣期末）如圖三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面BB1C1C是邊長為2菱形，∠CBB1＝60°，BC1交B1C于點O，AO⊥側(cè)面BB1C1C，且△AB1C為等腰直角三角形，如圖建立空間直角坐標系O﹣xyz，則點A1的坐標為（）A．(?1，3，1) B．(?3【題型2空間向量運算的坐標表示】【方法點撥】空間向量坐標運算的規(guī)律及注意點:(1)由點的坐標求向量坐標：空間向量的坐標可由其兩個端點的坐標確定；(2)直接計算問題：首先將空間向量用坐標表示出來，然后代入公式計算．(3)由條件求向量或點的坐標：把向量坐標形式設(shè)出來，通過解方程(組)，求出其坐標．【例2】（2021秋?河池期末）已知a→=（1，2，3），b→=（0，﹣1，4），則2A．（﹣4，6，14） B．（﹣4，0，6） C．（﹣4，3，6） D．（2，1，18）【變式2-1】（2021秋?柯橋區(qū)期末）在空間直角坐標系中，向量a→=(2，?3，A．（0，1，10） B．（﹣4，7，0） C．（4，﹣7，0） D．（﹣4，﹣12，25）【變式2-2】（2021秋?烏蘭察布月考）已知向量a→=（2，3，﹣4），b→=（﹣4，﹣3，﹣2），b→A．（0，3，﹣6） B．（0，6，﹣20） C．（0，6，﹣6） D．（6，6，﹣6）【變式2-3】（2021秋?和平區(qū)期末）已知a→=（2，﹣3，1），b=（2，0，3），c→=（0，1，﹣2），則aA．（4，﹣4，6） B．（﹣6，﹣6，﹣5） C．（10，0，7） D．（10，﹣6，19）【題型3空間向量數(shù)量積運算的坐標表示】【例3】（2021秋?黃陵縣校級期末）已知a→=(?1，?3，A．﹣5 B．﹣7 C．3 D．1【變式3-1】（2022春?廈門期末）若A（2，﹣4，﹣1），B（﹣1，5，1），C（3，﹣4，1），則CA→A．﹣11 B．3 C．4 D．15【變式3-2】（2020秋?泉州期末）已知a→=(1，3，5)，A．（﹣∞，﹣4） B．（﹣∞，10） C．（﹣4，+∞） D．（10，+∞）【變式3-3】（2021秋?無錫期末）（理科）若向量a→、b→的坐標滿足a→+b→=(?2A．﹣1 B．﹣5 C．5 D．7【題型4空間向量的模與兩點間的距離】【方法點撥】求空間中兩點間的距離的步驟:(1)建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求出相應(yīng)點的坐標A()，B()；(2)利用公式|AB|=||==求A、B間的距離.【例4】（2021秋?臨沂期末）若AB→=（﹣1，2，3），BC→=（1，﹣1，﹣A．5 B．10 C．5 D．10【變式4-1】（2022春?古田縣校級月考）在空間直角坐標系O﹣xyz中，點A（2，﹣1，1）關(guān)于y軸的對稱點為B，則|AB|＝（）A．22 B．26 C．25 D．6【變式4-2】（2022?湛江校級模擬）已知向量a→=（0，﹣1，1），b→（4，1，0），|λa→+b→|=A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3【變式4-3】（2022春?鹽城期中）在空間直角坐標系中，B（﹣1，2，3）關(guān)于x軸的對稱點為點B'，若點C（1，1，﹣2）關(guān)于Oxz平面的對稱點為點C'，則|B'C'|＝（）A．2 B．6 C．14 D．30【題型5空間向量夾角問題】【方法點撥】建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求出相應(yīng)點的坐標，求出相關(guān)向量的坐標表示，利用空間向量的夾角的余弦值公式進行求解即可.【例5】（2022春?內(nèi)江期末）已知a→=(2，?2，A．48585 B．?48585 C．【變式5-1】（2021秋?禪城區(qū)校級期中）已知向量a→=(3，0，1)，b→=（k，2，0A．?2 B．2 C．﹣1 D．【變式5-2】（2021秋?渭濱區(qū)期末）已知a→=(1，0，1)，b→A．5π6 B．2π3 C．π3 【變式5-3】（2021秋?廣東期中）已知向量a→=（2，﹣1，3），b→=（﹣4，2，A．（﹣∞，﹣6） B．(?C．(103，+∞)【題型6空間向量的平行與垂直】【方法點撥】(1)利用空間向量證明兩直線平行的步驟①建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求出相應(yīng)點的坐標；②求出直線的方向向量；③證明兩向量共線；④說明其中一個向量所在直線上的點不在另一個向量所在直線上，即表示方向向量的有向線段不共線，即可得證.(2)利用空間向量證明兩直線垂直的步驟①建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求出相應(yīng)點的坐標；②求出直線的方向向量的坐標；③計算兩向量的數(shù)量積為0；④由方向向量垂直得到兩直線垂直.【例6】（2021秋?迎江區(qū)校級月考）已知向量a→=(λ，?2，0)，b→A．1 B．1或﹣2 C．﹣2 D．2【變式6-1】（2021秋?安康期末）已知A（2，1，3），B（1，3，1），C（4，y，z），若AB→∥AC→，則y﹣2A．﹣20 B．﹣17 C．11 D．4【變式6-2】（2021秋?慶安縣校級期末）已知AB→=（1，5，﹣2），BC→=（3，1，z），若A．5 B．2 C．3 D．4【變式6-3】（2021秋?屯溪區(qū)校級期中）已知向量a→=（1，1，0），b→=（﹣1，0，2），且ka→?A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2參考答案【題型1求空間點的坐標】【方法點撥】(1)求某點M的坐標的方法：作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的橫坐標x，縱坐標y，即點M的橫坐標x，縱坐標y，再求M點在z軸上射影的豎坐標z，即為M點的豎坐標z，于是得到M點的坐標(x，y，z)．(2)空間點對稱問題的解題策略：①空間點的對稱問題可類比平面直角坐標系中點的對稱問題，要掌握對稱點的變化規(guī)律，才能準確求解．②對稱點的問題常常采用“關(guān)于誰對稱，誰保持不變，其余坐標相反”這個結(jié)論．【例1】（2022春?溧陽市期中）平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AC→=(1，2A．（0，4，7） B．（﹣2，0，1） C．（2，0，﹣1） D．（2，0，1）【解題思路】點A1的坐標為（a，b，c），由A1C1→【解答過程】解：平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AC→設(shè)點A1的坐標為（a，b，c），則由A1C1→=AC→，得（﹣1﹣a，2﹣b，4﹣c解得a＝﹣2，b＝0，c＝1，則點A1的坐標為（﹣2，0，1）．故選：B．【變式1-1】（2021秋?蘄春縣期中）設(shè)點M（1，1，1），A（2，1，﹣1），O（0，0，0）．若OM→=ABA．（1，0，﹣2） B．（3，2，0） C．（1，0，2） D．（3，﹣2，0）【解題思路】根據(jù)空間向量的線性坐標運算法則，即可得解．【解答過程】解：設(shè)B（x，y，z），則AB→=（x﹣2，y﹣1，z因為OM→=AB→，OM→=（所以（1，1，1）＝（x﹣2，y﹣1，z+1），所以x＝3，y＝2，z＝0，即點B為（3，2，0）．故選：B．【變式1-2】（2020秋?西昌市期末）空間直角坐標系中，點P（﹣1，2，﹣3）關(guān)于平面yOz對稱的點P1的坐標為（）A．（﹣1，﹣2，﹣3） B．（1，2，﹣3） C．（1，﹣2，﹣3） D．（1，2，3）【解題思路】直接利用點關(guān)于面的對稱的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答過程】解：空間直角坐標系中，點P（﹣1，2，﹣3）關(guān)于平面yOz對稱的點P1的坐標為B（1，2，﹣3）．故選：B．【變式1-3】（2021秋?新源縣期末）如圖三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面BB1C1C是邊長為2菱形，∠CBB1＝60°，BC1交B1C于點O，AO⊥側(cè)面BB1C1C，且△AB1C為等腰直角三角形，如圖建立空間直角坐標系O﹣xyz，則點A1的坐標為（）A．(?1，3，1) B．(?3【解題思路】過A1作A1E⊥平面BCC1B1，垂足是E，連結(jié)B1E，C1E，則B1E∥OC1，C1E∥OB1，A1E∥AO，由此能求出點A1的坐標．【解答過程】解：三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面BB1C1C是邊長為2菱形，∠CBB1＝60°，BC1交B1C于點O，AO⊥側(cè)面BB1C1C，且△AB1C為等腰直角三角形，如圖建立空間直角坐標系O﹣xyz，過A1作A1E⊥平面BCC1B1，垂足是E，連結(jié)B1E，C1E，則B1E∥OC1，C1E∥OB1，A1E∥AO，∴點A1的坐標為（?3，1，1故選：B．【題型2空間向量運算的坐標表示】【方法點撥】空間向量坐標運算的規(guī)律及注意點:(1)由點的坐標求向量坐標：空間向量的坐標可由其兩個端點的坐標確定；(2)直接計算問題：首先將空間向量用坐標表示出來，然后代入公式計算．(3)由條件求向量或點的坐標：把向量坐標形式設(shè)出來，通過解方程(組)，求出其坐標．【例2】（2021秋?河池期末）已知a→=（1，2，3），b→=（0，﹣1，4），則2A．（﹣4，6，14） B．（﹣4，0，6） C．（﹣4，3，6） D．（2，1，18）【解題思路】運用空間向量坐標的線性運算即可得出答案．【解答過程】解：由a→=（1，2，3），b→=（0，﹣可得2a→+3b→=2（1，2，3）+3（0，﹣1，4）＝（2故選：D．【變式2-1】（2021秋?柯橋區(qū)期末）在空間直角坐標系中，向量a→=(2，?3，A．（0，1，10） B．（﹣4，7，0） C．（4，﹣7，0） D．（﹣4，﹣12，25）【解題思路】進行向量坐標的加法運算即可．【解答過程】解：∵a→∴a→故選：A．【變式2-2】（2021秋?烏蘭察布月考）已知向量a→=（2，3，﹣4），b→=（﹣4，﹣3，﹣2），b→A．（0，3，﹣6） B．（0，6，﹣20） C．（0，6，﹣6） D．（6，6，﹣6）【解題思路】推導(dǎo)出c→=4【解答過程】解：∵向量a→=（2，3，﹣4），b→=（﹣4，﹣3，﹣2），∴c→=4a→+2b→=（8，12，﹣16）+（﹣8，﹣6，﹣4故選：B．【變式2-3】（2021秋?和平區(qū)期末）已知a→=（2，﹣3，1），b=（2，0，3），c→=（0，1，﹣2），則aA．（4，﹣4，6） B．（﹣6，﹣6，﹣5） C．（10，0，7） D．（10，﹣6，19）【解題思路】使用向量的坐標運算計算．【解答過程】解：a→+4b→?3c→=（2，﹣3，1）+（8，0，12）﹣（0，3，﹣6）＝（故選：D．【題型3空間向量數(shù)量積運算的坐標表示】【例3】（2021秋?黃陵縣校級期末）已知a→=(?1，?3，A．﹣5 B．﹣7 C．3 D．1【解題思路】利用向量空間向量坐標運算法則求解．【解答過程】解：∵a→=(?1，∴a→?b→=?1故選：B．【變式3-1】（2022春?廈門期末）若A（2，﹣4，﹣1），B（﹣1，5，1），C（3，﹣4，1），則CA→A．﹣11 B．3 C．4 D．15【解題思路】先求出CA→【解答過程】解：由已知，CA→=（2﹣3，﹣4﹣（﹣4），﹣1﹣1）＝（﹣1，0，﹣CB→=（﹣1﹣3，5﹣（﹣4），1﹣1）＝（﹣4，9，∴CA→?CB→故選：C．【變式3-2】（2020秋?泉州期末）已知a→=(1，3，5)，A．（﹣∞，﹣4） B．（﹣∞，10） C．（﹣4，+∞） D．（10，+∞）【解題思路】利用向量數(shù)量積公式直接求解．【解答過程】解：∵a→=(1，3，∴a→?b→=2+18+5x＜0∴x的取值范圍是（﹣∞，﹣4）．故選：A．【變式3-3】（2021秋?無錫期末）（理科）若向量a→、b→的坐標滿足a→+b→=(?2A．﹣1 B．﹣5 C．5 D．7【解題思路】利用向量的運算和數(shù)量積運算即可得出．【解答過程】解：∵a→=12[(a→b→=12[(a→∴a→?b→=1×（﹣3）﹣2故選：B．【題型4空間向量的模與兩點間的距離】【方法點撥】求空間中兩點間的距離的步驟:(1)建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求出相應(yīng)點的坐標A()，B()；(2)利用公式|AB|=||==求A、B間的距離.【例4】（2021秋?臨沂期末）若AB→=（﹣1，2，3），BC→=（1，﹣1，﹣A．5 B．10 C．5 D．10【解題思路】求出AC→=AB【解答過程】解：∵AB→=（﹣1，2，3），BC→=（1，﹣∴AC→=AB→+BC→則|AC故選：A．【變式4-1】（2022春?古田縣校級月考）在空間直角坐標系O﹣xyz中，點A（2，﹣1，1）關(guān)于y軸的對稱點為B，則|AB|＝（）A．22 B．26 C．25 D．6【解題思路】首先求出關(guān)于y軸的對稱點坐標，再根據(jù)空間兩點的距離公式計算可得結(jié)果．【解答過程】解：點A（2，﹣1，1）關(guān)于y軸的對稱點為B（﹣2，﹣1，﹣1），∴|AB|=(?2?2)2故選：C．【變式4-2】（2022?湛江校級模擬）已知向量a→=（0，﹣1，1），b→（4，1，0），|λa→+b→|=A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3【解題思路】對|λa→+b【解答過程】解：|a→|=2，|b→|=17∵|λa→+b→|=29，∴（λa→+b→）2＝29．即λ2|a→|2+2λa→?b→+|b→|2＝29，∴2λ故選：D．【變式4-3】（2022春?鹽城期中）在空間直角坐標系中，B（﹣1，2，3）關(guān)于x軸的對稱點為點B'，若點C（1，1，﹣2）關(guān)于Oxz平面的對稱點為點C'，則|B'C'|＝（）A．2 B．6 C．14 D．30【解題思路】寫出B關(guān)于x軸的對稱點B'，點C關(guān)于Oxz平面的對稱點C'，再計算|B'C'|的值．【解答過程】解：空間直角坐標系中，B（﹣1，2，3）關(guān)于x軸的對稱點為點B'（﹣1，﹣2，﹣3），點C（1，1，﹣2）關(guān)于Oxz平面的對稱點為點C'（1，﹣1，﹣2），所以|B'C'|=(1+1)故選：B．【題型5空間向量夾角問題】【方法點撥】建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求出相應(yīng)點的坐標，求出相關(guān)向量的坐標表示，利用空間向量的夾角的余弦值公式進行求解即可.【例5】（2022春?內(nèi)江期末）已知a→=(2，?2，A．48585 B．?48585 C．【解題思路】利用空間向量的夾角余弦值公式cos＜【解答過程】解：∵a→=(2，∴cos＜故選：B．【變式5-1】（2021秋?禪城區(qū)校級期中）已知向量a→=(3，0，1)，b→=（k，2，0A．?2 B．2 C．﹣1 D．【解題思路】根據(jù)空間向量坐標求得|a→|=3+1=2【解答過程】解：因為a→=(3，0，1)則|a所以cos?可知k＜0，解得：k=?故選：A．【變式5-2】（2021秋?渭濱區(qū)期末）已知a→=(1，0，1)，b→A．5π6 B．2π3 C．π3 【解題思路】通過空間向量的數(shù)量積求解x，然后求解向量的夾角．【解答過程】解：a→=(1，0，可得x﹣2＝﹣3，解得x＝﹣1，向量a→與b→的夾角為θ，cosθ=?32?1+1+4=?所以θ=5π故選：A．【變式5-3】（2021秋?廣東期中）已知向量a→=（2，﹣1，3），b→=（﹣4，2，A．（﹣∞，﹣6） B．(?C．(103，+∞)【解題思路】向量a→=（2，﹣1，3），b→=（﹣4，2，t）的夾角為鈍角，得【解答過程】解：∵向量a→=（2，﹣1，3），b→=（﹣4，∴a→解得t＜103，且t≠﹣∴實數(shù)t