人教版高一上學期數(shù)學(必修1)《3.1橢圓及其標準方程》同步測試題含答案

第第頁人教版高一上學期數(shù)學(必修1)《3.1橢圓及其標準方程》同步測試題含答案考試時間：60分鐘；滿分：100分學校：___________班級：___________姓名：___________考號：___________1．函數(shù)的概念(1)一般地，設(shè)A，B是非空的實數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)(function)，記作y=f(x)，xA.(2)函數(shù)的四個特征：①非空性：A，B必須為非空數(shù)集，定義域或值域為空集的函數(shù)是不存在的.

②任意性：即定義域中的每一個元素都有函數(shù)值.

③單值性：每一個自變量有且僅有唯一的函數(shù)值與之對應.

④方向性：函數(shù)是一個從定義域到值域的對應關(guān)系，如果改變這個對應方向，那么新的對應所確定的關(guān)系就不一定是函數(shù)關(guān)系.2．函數(shù)的三要素(1)定義域：函數(shù)的定義域是自變量的取值范圍．(2)值域：與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|xA}叫做函數(shù)的值域(range).(3)對應關(guān)系：對應關(guān)系f是函數(shù)的核心，它是對自變量x實施“對應操作”的“程序”或者“方法”．3．函數(shù)的相等同一函數(shù)：只有當兩個函數(shù)的定義域和對應關(guān)系都分別相同時,這兩個函數(shù)才相等,即是同一個函數(shù).4．區(qū)間的概念設(shè)a，b是兩個實數(shù)，而且a<b.我們規(guī)定：

(1)滿足不等式的實數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，表示為[a,b]；

(2)滿足不等式a<x<b的實數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，表示為(a,b)；

(3)滿足不等式或的實數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別表示為[a,b),(a,b].

這里的實數(shù)a與b都叫做相應區(qū)間的端點.5．函數(shù)的表示法函數(shù)的三種表示法：解析法、列表法和圖象法.

(1)解析法：就是用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應關(guān)系；

(2)列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關(guān)系；

(3)圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關(guān)系.6．抽象函數(shù)與復合函數(shù)(1)抽象函數(shù)的概念：沒有給出具體解析式的函數(shù)，稱為抽象函數(shù)．(2)復合函數(shù)的概念：若函數(shù)y=f(t)的定義域為A，函數(shù)t=g(x)的定義域為D，值域為C，則當CA時，稱函數(shù)y=f(g(x))為f(t)與g(x)在D上的復合函數(shù)，其中t叫做中間變量，t=g(x)叫做內(nèi)層函數(shù)，y=f(t)叫做外層函數(shù).【題型1對函數(shù)概念的理解】【方法點撥】定義法：對于給定的對應關(guān)系，判斷是否滿足函數(shù)的概念，即可判斷對應關(guān)系是否是函數(shù).【例1】（2021秋?海安市校級月考）下列對應中：（1）x→y，其中y＝2x+1，x∈{1，2，3，4}，y∈{x|x＜10，x∈N}；（2）x→y，其中y2＝x，x∈[0，+∞），y∈R；（3）x→y，其中y為不大于x的最大整數(shù)，x∈R，y∈Z；（4）x→y，其中y＝x﹣1，x∈N*，y∈N*．其中，是函數(shù)的是（）A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（3）（4）【變式1-1】（2022春?興慶區(qū)校級期末）設(shè)集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下列四個圖形中，能表示集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的有（）A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②【變式1-2】（2021秋?賓縣校級月考）下列集合A、B及其對應法則不能構(gòu)成函數(shù)的是（）A．A＝B＝R，f（x）＝|x+1| B．A＝B＝R，f(x)=1C．A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6，7}，f（x）＝x+3 D．A＝{x|x＞0}，B＝{1}，f（x）＝x0【變式1-3】（2021春?九龍坡區(qū)期末）設(shè)A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，圖中表示A到B的函數(shù)的是（）A． B． C． D．【題型2同一函數(shù)的判斷】【方法點撥】對于給定的兩個函數(shù)，分析兩函數(shù)的定義域、對應關(guān)系是否相同，即可判斷兩函數(shù)是否是同一函數(shù)．【例2】（2022?民勤縣校級開學）下列四組函數(shù)中，表示相等函數(shù)的一組是（）A．y1=xB．y1＝|x|，y2C．y1=x2?1x?1，D．y1=【變式2-1】（2022?河東區(qū)模擬）下列函數(shù)與f（x）＝x+1是同一個函數(shù)的是（）A．g(x)=3x3+1 C．g(x)=x2+1 D．g（x）＝【變式2-2】（2021秋?黑龍江期末）下列函數(shù)中與函數(shù)y＝x表示同一個函數(shù)的是（）A．y＝|x| B．y=x2x C．y＝（x）2 D【變式2-3】（2021秋?成都期末）下列函數(shù)表示同一函數(shù)的是（）A．y＝x+1與y=x2x+1 B．y＝x3與y＝（x﹣C．y＝|x|與y=(x)2 D．y＝x【題型3函數(shù)的定義域問題】【方法點撥】(1)根據(jù)解析式有意義的條件，列出關(guān)于自變量的不等式（組），即可求解，把不等式（組）的解集表示成集合或區(qū)間的形式.(2)已知函數(shù)的定義域求參數(shù)，結(jié)合解析式有意義的條件，列出關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式，即可得解.【例3】（2022秋?開福區(qū)校級月考）函數(shù)f（x）=1A．[﹣2，2] B．[0，2] C．（0，2] D．[﹣2，0）∪（0，2]【變式3-1】（2022秋?宛城區(qū)校級月考）若函數(shù)f（x+1）的定義域為[﹣1，15]，則函數(shù)g(x)=f(A．[1，4] B．（1，4] C．[1，14] D．（1，14]【變式3-2】（2022春?疏勒縣校級期末）函數(shù)y=x?2x中，自變量A．x＞2 B．x≥2 C．x≥2且x≠0 D．x≠0【變式3-3】（2022春?閻良區(qū)校級期末）若函數(shù)f(x)=ax2+ax+1的定義域為A．[0，4] B．[0，4） C．（0，4] D．（0，4）【題型4函數(shù)的值域問題】【方法點撥】(1)已知函數(shù)解析式求值域，觀察所給解析式，先得出函數(shù)的定義域，在由函數(shù)解析式求解；(2)已知函數(shù)值域求參數(shù)問題時，將給出的值域轉(zhuǎn)化為方程的解或不等式的解集問題，然后來確定參數(shù)的值或取值范圍.【例4】（2022春?定南縣校級月考）函數(shù)y=2x?A．(?∞，?158] B．(?∞，?15【變式4-1】（2021秋?寧鄉(xiāng)市期末）下列函數(shù)中，值域為（0，+∞）的是（）A．y=x2?2x+1 B．y=x+2x+1（x∈（C．y=1x2+2x+1（x∈N） 【變式4-2】（2022春?水富市校級期中）若函數(shù)f(x)=x?2+m在區(qū)間[a，b]上的值域為[a，b]（b＞a≥2），則實數(shù)A．(14，4] B．[14，4]【變式4-3】（2022春?天河區(qū)校級期中）高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則y＝[x]稱為高斯函數(shù)，例如：[﹣0.5]＝﹣1，[1.5]＝1，已知函數(shù)f(x)=12x2?3x+4(1＜x＜4)，則函數(shù)A．[12，32) B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D【題型5求函數(shù)值或由函數(shù)值求參】【方法點撥】(1)已知函數(shù)解析式求函數(shù)值，將自變量代入解析式，求解即可．(2)由函數(shù)解析式，求對應函數(shù)值的自變量的值（或解析式中的參數(shù)值），只需將函數(shù)值代入解析式，建立關(guān)于自變量（或參數(shù)）的方程即可求解.【例5】（2021秋?香坊區(qū)校級期中）已知函數(shù)f(x)={x+1?x+3(x≤1)A．52 B．32 C．12 【變式5-1】（2022春?祥云縣期末）已知函數(shù)y=x2+1(x≤0)2x(x＞0)，若f（A．3或﹣3 B．﹣3或5 C．﹣3 D．3或﹣3或5【變式5-2】（2021秋?凌河區(qū)校級期末）設(shè)函數(shù)f(x)=12x?1(x≥0)1x(x＜0)，若A．±1 B．﹣1 C．﹣2或﹣1 D．±1或﹣2【變式5-3】（2021秋?庫爾勒市校級期末）已知函數(shù)f（x）=x，(x≥0)x2，(xA．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【題型6函數(shù)的表示法】【方法點撥】根據(jù)函數(shù)的三種表示方法的特點，具體問題具體分析，用適合的表示法表示出函數(shù)關(guān)系.【例6】（2021?青島模擬）甲、乙兩人在一次賽跑中，從同一地點出發(fā)，路程S與時間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則下列說法正確的是（）A．甲比乙先出發(fā) B．乙比甲跑的路程多 C．甲、乙兩人的速度相同 D．甲比乙先到達終點【變式6-1】（2021秋?城關(guān)區(qū)校級期中）給出函數(shù)f（x），g（x）如表，則f[g（x）]的值域為（）x1234f（x）4321x1234g（x）1133A．{4，2} B．{1，3} C．{1，2，3，4} D．以上情況都有可能【變式6-2】（2021秋?欽州月考）一輛中型客車的營運總利潤y（單位：萬元）與營運年數(shù)x（x∈N）的變化關(guān)系如表所示，要使總利潤達到最大值，則該客車的營運年數(shù)是（）x（年）468…y＝ax2+bx+c7117…A．15 B．10 C．9 D．6【變式6-3】（2022秋?青羊區(qū)校級月考）某同學到長城旅游，他租自行車由賓館騎行前往長城，前進了akm，覺得有點累，休息后沿原路返回bkm（b＜a）．想起“不到長城非好漢”，便調(diào)轉(zhuǎn)車頭繼續(xù)前進．則該同學離起點的距離s與時間t的圖象大致為（）A． B． C． D．參考答案【題型1曲線方程與橢圓】【方法點撥】根據(jù)所給曲線方程表示橢圓，結(jié)合橢圓的標椎方程進行求解，即可得出所求.【例1】（2022·湖北·高三期末）已知曲線C:x24a+y23a+2A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據(jù)已知曲線的方程和橢圓的方程特點，結(jié)合充分條件和必要條件的判定即可【解答過程】若曲線C是橢圓，則有：4a>03a+2>0解得：a>0，且a≠2故“a>0”是“曲線C是橢圓”的必要不充分條件故選：C.【變式1-1】（2021·全國·高二專題練習）“1<m<5”是“方程x2m?1+A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據(jù)橢圓的標準方程可得?1>0,5?m>0,m?1≠5?m,，解不等式組得出1<m<5且【解答過程】若方程表示橢圓，則有?1>0,因此1<m<5且m≠3，故“1<m<5”是“方程x2故選：B.【變式1-2】（2022·全國·高二課時練習）已知方程x225?m+y2m+9=1A．?9<m<25 B．?8<m<25C．9<m<25 D．8<m<25【解題思路】由題知m+9>25?m>0，再解不等式即可.【解答過程】解：∵方程x225?m+∴m+9>25?m>0，解得：8<m<25．故選：D．【變式1-3】（2022·全國·高二課時練習）若方程x225?k+y2k?9=1A．9,25 B．?∞,9∪25,+【解題思路】根據(jù)題意可得k?9>25?k>0，解之即可得解.【解答過程】解：因為方程x225?k+所以k?9>25?k>0，解得17<k<25，所以實數(shù)k的取值范圍為17,25.故選：C.【題型2橢圓的定義】【方法點撥】利用橢圓的定義解決涉及焦點相關(guān)問題的計算：一般地，遇到有關(guān)焦點問題時，首先應考慮用定義來解題，如題目中有橢圓上的點到兩焦點的距離可考慮用定義解題，另外，對定義的應用也應有深刻理解，知道何時應用、怎樣應用.【例2】（2023·全國·高三專題練習）點P為橢圓4x2+y2=16上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)A．13 B．1 C．7 D．5【解題思路】寫出橢圓的標準方程，由橢圓的定義得到PF【解答過程】橢圓方程為：x24+故PF故選：D.【變式2-1】（2022·全國·高二課時練習）設(shè)P為橢圓C:x216+y212=1上的點，F(xiàn)1，F(xiàn)A．32 B．2 C．56【解題思路】先利用橢圓得到a=4，根據(jù)橢圓的定義可得到PF1+PF2=8【解答過程】解：由橢圓C:x216+y因為P為橢圓C:x216因為PF1?PF2=故選：B．【變式2-2】（2023·全國·高三專題練習）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C:x29+y23A．13 B．12 C．9 D．6【解題思路】根據(jù)橢圓方程求得a=3，再由橢圓的定義可得|MF【解答過程】解：由橢圓C:x29+y因為點M在C上，所以|MF所以|MF當且僅當|MF1|=|M故選：C．【變式2-3】（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓x29+y22=1的左、右焦點分別為F1,A．30° B．60° C．120° D．150°【解題思路】根據(jù)橢圓方程求得F1F2=27，由橢圓的定義，得MF1+M【解答過程】解：由題意，橢圓方程x29+所以焦點F1又由橢圓的定義，可得MF1+MF在△F1M所以(27)2又由∠F1M故選:C．【題型3橢圓方程的求解】 【方法點撥】(1)用定義法求橢圓的標準方程根據(jù)橢圓的定義，確定的值，結(jié)合焦點位置可寫出橢圓方程.(2)用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程根據(jù)所給條件設(shè)出橢圓的標準方程，代入點，即可得解.【例3】（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓的兩個焦點為F1(?5,0)，F(xiàn)2(5,0)，A．x27+y22=1 B．【解題思路】首先設(shè)MF1=m，MF2【解答過程】設(shè)MF1=m，MF2=n，因為MF1⊥MF2，MF1?MF2=8，故選：C.【變式3-1】（2022·全國·高二課時練習）已知橢圓的兩個焦點的坐標分別是?22,0和22,0，且橢圓經(jīng)過點A．x216+C．x224+【解題思路】根據(jù)橢圓的焦點可求c，根據(jù)經(jīng)過點4,0，可得a，進而可求解b，即可得橢圓方程.【解答過程】因為焦點坐標為?22,0和22,0，所以c=22.橢圓經(jīng)過點4,0，且焦點在x軸上，所以a=4故選:A.【變式3-2】（2022·寧夏二模（文））已知橢圓C的一個焦點F（0，-5），P為C上一點，滿足|OP|=|OF|,|PF|=4則橢圓C的標準方程為（）A．y215+C．y212+【解題思路】設(shè)出點P(m,n),根據(jù)題意列出等式即可求出點P.再將其帶入橢圓即可求出答案.【解答過程】由題意可知橢圓的焦點在y軸上，設(shè)橢圓為y2由題意知：設(shè)P(m,n).則{|OP|將P(m,n)代入橢圓：{所以橢圓C的標準方程為y2故選:B.【變式3-3】（2021·全國·高二課時練習）橢圓的焦點坐標為(﹣5，0)和(5，0），橢圓上一點與兩焦點的距離和是26，則橢圓的方程為（

）A．x2169+y2144＝1 B．x2144+y2169＝1 C．【解題思路】由橢圓定義求得a，已知焦點坐標得c，再求出b可得橢圓方程．【解答過程】∵橢圓的焦點坐標為(﹣5，0)和(5，0)，橢圓上一點與兩焦點的距離和是26，∴橢圓的焦點在x軸上，c＝5，a＝13，∴b=a∴橢圓的方程為x2故選：A．【題型4動點軌跡方程的求法】【方法點撥】解橢圓有關(guān)的動點軌跡問題主要有以下兩種思路：(1)直接法：如果動點滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關(guān)系，或這些幾何條件簡單明了且易于表達，我們只需把這種關(guān)系“翻譯”成含x,y的等式就得到曲線的軌跡方程.(2)定義法：若動點的軌跡滿足已知曲線的定義，可先設(shè)定方程，再確定其中的基本量.【例4】（2021·全國·高二課時練習）已知A(0，－1)，B(0，1)兩點，△ABC的周長為6，則△ABC的頂點C的軌跡方程是（

）A．x24+B．y24+C．x24+D．y24+【解題思路】用定義法求出軌跡方程，把上下兩個頂點去掉.【解答過程】解析：因為2c＝|AB|＝2，所以c＝1，所以|CA|＋|CB|＝6－2＝4＝2a，所以頂點C的軌跡是以A，B為焦點的橢圓(A，B，C不共線)．因此，頂點C的軌跡方程為y24+故選：B.【變式4-1】（2021·全國·高二課前預習）若動點Mx,y始終滿足關(guān)系式x2+(y+2)2A．x216+y212=1 B．【解題思路】由等式x2【解答過程】因動點Mx,y滿足關(guān)系式x則該等式表示點Mx,y到兩個定點F1(0,?2),即動點M的軌跡是以F1,F2為焦點，長軸長2a=8的橢圓，于是短半軸長所以動點M的軌跡方程為x2故選：B.【變式4-2】（2022·江蘇·高二開學考試）已知圓C的方程為x?12+y2=16，B?1,0，A為圓C上任意一點，若點P為線段AB的垂直平分線與直線A．x216+y29=1 B．【解題思路】由橢圓定義確定P點軌跡是橢圓，然后求出a,b，可得其方程．【解答過程】因為點P為線段AB的垂直平分線與直線AC的交點，所以PA=所以PB+PC=所以P點軌跡是以B,C為焦點，長軸長是4的橢圓．設(shè)其方程為x22a=4，a=2，c=1，則b=a所以P點軌跡方程是x2故選：C．【變式4-3】（2022·全國·高二專題練習）已知△ABC的周長等于10，BC=4，通過建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，頂點A的軌跡方程可以是（

A．x29+C．x236+【解題思路】根據(jù)橢圓的定義進行求解即可.【解答過程】因為△ABC的周長等于10，BC=4所以AB+因此點A的軌跡是以B,C為焦點的橢圓，且A不在直線BC上，因此有2a=6,2c=4?a=3,c=2?b所以頂點A的軌跡方程可以是x2故選：A.【題型5橢圓中的焦點三角形問題】【方法點撥】①關(guān)于橢圓的焦點三角形問題，可結(jié)合橢圓的定義列出=2a，利用這個關(guān)系式便可求出結(jié)果，因此回歸定義是求解橢圓的焦點三角形問題的常用方法.②在橢圓中，焦點三角形引出的問題很多，在處理這些問題時，經(jīng)常利用定義結(jié)合正弦定理、余弦定理及勾股定理等來解決，還經(jīng)常用到配方法、解方程及把看成一個整體等.【例5】（2022·全國·高二課時練習）已知點P在橢圓x216+y24=1上，F(xiàn)1與A．43 B．63 C．83【解題思路】由橢圓的定義結(jié)合余弦定理解得PF【解答過程】由PF1+PFS△故選：A.【變式5-1】（2022·全國·高三專題練習）若F為橢圓C：x225+y216=1的右焦點，A，B為A．4 B．8 C．10 D．20【解題思路】設(shè)F1為橢圓C的左焦點，則由橢圓的定義可得：AF+BF+AB=2a?【解答過程】解：設(shè)F1為橢圓C則由橢圓的定義可得：AF=4a+AB當A,B,F1共線時，當A,B,F1不共線時，所以△ABF周長的最大值為20.故選：D.【變式5-2】（2022·全國·高二課時練習）已知橢圓x24+y23=1的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，過FA．2 B．4 C．6 D．8【解題思路】運用橢圓的定義進行求解即可.【解答過程】由x2因為M，N是橢圓的上的點，F(xiàn)1、F所以MF因此△F1MN故選：D.【變式5-3】（2022·全國·高二專題練習）設(shè)P為橢圓x225+y216=1上一點，F(xiàn)A．△PF1F2為銳角三角形C．△PF1F2為直角三角形 D．P，【解題思路】根據(jù)橢圓方程求出a