高等數(shù)學(xué)教程（第4版）課件：函數(shù)的連續(xù)性

函數(shù)的連續(xù)性2.5.1函數(shù)的連續(xù)性定義2.5(函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性)則稱函數(shù)在點(diǎn)連續(xù).如果注意:函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)性包含以下三個條件:設(shè)所以,在點(diǎn)連續(xù)等價(jià)于:則顯然,

定義2.6(函數(shù)在一點(diǎn)左、右連續(xù))點(diǎn)左、右連續(xù).例2.27討論函數(shù)在點(diǎn)的連續(xù)性.證因函數(shù)在點(diǎn)左連續(xù)且右連續(xù),所以在該點(diǎn)連續(xù).處右連續(xù),在在處左連續(xù),連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.定義2.7(函數(shù)在區(qū)間連續(xù))則稱它在開區(qū)間內(nèi)連續(xù);如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù),則稱它在閉區(qū)間上連續(xù).通常把所有區(qū)間I

上的連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的集合記作

如閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的全體記為

如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù),證由夾擠定理,

因例2.28證明函數(shù)

內(nèi)連續(xù).同理,證因例2.29證明

內(nèi)連續(xù).定理2.12(函數(shù)四則運(yùn)算的連續(xù)性)例如,故在其定義域內(nèi)連續(xù).定理2.13(復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性)定理2.14

設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上單調(diào)而由此,反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).即且連續(xù),則其反函數(shù)也單調(diào)且連續(xù).由可得再用復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性可以推出定理2.15(初等函數(shù)的連續(xù)性)初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.注:初等函數(shù)的連續(xù)性提供了極限的簡單求法.例2.30求解因函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

是定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn).

例2.31已知

解因求由極限的保號性,在的某個空心鄰域內(nèi),有

在這個空心鄰域內(nèi)有由初等函數(shù)的連續(xù)性,有例2.32求解所以因2.5.2函數(shù)的間斷點(diǎn)的一個間斷點(diǎn).下列三種情形至少有一種會發(fā)生:

例如,函數(shù)在

點(diǎn)左右極限所以,為的間斷點(diǎn).函數(shù)在

點(diǎn)左右極限但函數(shù)在點(diǎn)無定義,所以,為的間斷點(diǎn).都存在但不相等,都存在且相等,如果和中至少一個不存在,例如,函數(shù)因所以,為函數(shù)的間斷點(diǎn).點(diǎn)是間斷點(diǎn).函數(shù)在

點(diǎn)左右極限都不存在,另外,也是函數(shù)的間斷點(diǎn).根據(jù)間斷點(diǎn)的具體情形,可以將其做如下分類:第一類間斷點(diǎn):第一類間斷點(diǎn)又可以分成兩種情形:

如果左、右極限相等,則稱其為可去間斷點(diǎn);如果左、右極限不相等,則稱為跳躍間斷點(diǎn).的間斷點(diǎn),如果和都存在,則稱的第一類間斷點(diǎn).例如,為的跳躍間斷點(diǎn);如果補(bǔ)充定義

為的可去間斷點(diǎn).在間斷是因?yàn)楹瘮?shù)在這個點(diǎn)沒有定義,

這也是把稱為可去間斷點(diǎn)的原因.那么它就在連續(xù)了.第二類間斷點(diǎn):若其中有一個為則稱為無窮間斷點(diǎn).此時,直線是的一條垂直漸近線.

在的左、右極限有一個不存在,則點(diǎn)是的第二類間斷點(diǎn).初等函數(shù)無定義的孤立點(diǎn)是間斷點(diǎn);分段函數(shù)的分段點(diǎn)是可能的間斷點(diǎn),需要討論.求函數(shù)的間斷點(diǎn)的方法:間斷點(diǎn)的類型.解函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

由初等函數(shù)的連續(xù)性,函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù).例2.33討論函數(shù)的連續(xù)性,并判斷其所以函數(shù)的間斷點(diǎn)是所以,x

=0為可去間斷點(diǎn).所以,x

=1為第二類無窮間斷點(diǎn).2.5.3閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)設(shè)在區(qū)間I有定義,則稱是函數(shù)在區(qū)間I的最大值(最小值).定理2.16(最大最小值定理)設(shè)在[a,b]上連續(xù),則在[a,b]上有最大值最小值.有即若注意:

若區(qū)間是開區(qū)間或區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn),定理不一定成立.推論2.1

(有界性定理)設(shè)在[a,b]上連續(xù),則在[a,b]上有界.

顯然,函數(shù)的最大、最小值分別是它的一個定理2.17(零點(diǎn)定理)

設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),使得則至少有一點(diǎn)上界和一個下界.例2.34證明方程證由零點(diǎn)定理,的正實(shí)根.所以,方程使得例2.35證明方程證由零點(diǎn)定理,所以,方程使得練習(xí)設(shè)函數(shù)證由零點(diǎn)定理,使得即定理2.18

(介值定理)

設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),