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前面例題中所求的不定積分,都得到了原函

幾種特殊類型函數的不定積分

但有相當多的初等函數雖然存在原函數,原函例如

等不定積分都“積不出來”.數的解析表達式,因而都是初等函數.數卻不是初等函數.兩個多項式之商表示的函數稱為有理函數.即5.4.1有理函數的積分其中

m、n都是非負整數;及

下面我們介紹幾類原函數一定是初等函數的不定積分.都是實數,并且假定分子與分母之間沒有公因式.稱為有理真分式；稱為有理假分式.

利用多項式除法,假分式可以化成一個多例如,難點:將有理函數化為部分分式之和.項式與一個真分式之和.(1)分母中若有因式

則可以分解為有理函數化為部分分式之和的一般規(guī)律:特殊地：分解后為其中都是待定系數.(2)分母中若有因式，其中則可以分解為特殊地：分解后為其中都是待定系數.真分式化為部分分式之和的方法為待定系數法.任意有理真分式的不定積分都歸納為下列其中A,B,a,p,q都為常數,分別討論上述幾種類型的不定積分.并且四種典型部分分式的積分之和.k為大于1的正整數.用遞推公式綜上所述,所有有理函數的原函數都是初等函數.

例5.34

計算

解比較等式兩端x項系數得代入特殊值來確定系數取取取并將

值代入解例5.35

計算

故整理得解例5.36

計算

故所以解作變換原式練習

計算

常見類型解決方法

作代換去掉根號.5.4.2簡單無理函數的積分

某些無理函數的積分,通過適當的變量代換,分別令可以化為有理函數的積分.

解

令例5.37

計算

解

令原式=例5.38

計算

解

令例5.39

計算

三角有理式是指：

由三角函數和常數經過有限次四則運算構5.4.3三角函數有理式的積分化為的有理函數的積分.

三角函數有理式可以通過萬能代換:成的函數．記為令(萬能代換公式)解

設例5.40

計算

解1

設例5.41

計算

解2修改萬能代換公式令解3

可以不用萬能代換公式結論:

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