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文檔簡介

泰勒公式

在實際問題中,往往希望用一些簡單的函數(shù)來而多項式函數(shù)就是最簡單的一類初等函數(shù).首先考慮函數(shù)在一點附近的多項式近似.設n是給定的正整數(shù),

我們考慮在點附近用n次即其中

近似代替復雜的函數(shù).多項式來近似函數(shù)在實際應用時,必須考慮這種近似的誤差.

我們用來表示,它是一種相對誤差.

如果存在,我們所能期待的最理想的結(jié)果是:

當n=1且存在時,滿足(4-2)式的一次多項式是存在的.

由有即滿足(4-2)式的一次多項式為于是有設存在,則注意到

定理4.13(帶有皮亞諾型余項的泰勒公式

)稱為在處的n階泰勒多項式.其中證令只需證則連續(xù)使用(n-1)次洛必達法則,有(4-3)式可寫成其中(4-3)式稱為帶皮亞諾型余項的n階泰勒公式,(4-3)式中的稱為皮亞諾型余項.例4.42設函數(shù)證明:當k為奇數(shù)時,不是的極值點;

當k為偶數(shù),且時,是的極

時,是的極大值點.小值點,證由泰勒公式有即因此當k為奇數(shù)時,不是的極值點;當k為偶數(shù),且時,是的極小點;是的極大點.定理4.14(帶有拉格朗日型余項泰勒公式

)那么使得其中稱為拉格朗日型余項.現(xiàn)在考慮函數(shù)在區(qū)間上的多項式近似.

希望把函數(shù)在一個點的泰勒多項式作為這個函數(shù)在區(qū)

間上的一種近似表示.為此,

需要對誤差進一步分析.

證利用柯西中值定理證明令且因此如果公式(4-5)變成

其中(4-7)式稱為f(x)的n階麥克勞林多項式,(4-8)式稱為則f(x)的帶拉格朗日型余項的n階麥克勞林公式.而誤差估計式為稱為f(x)的帶皮亞諾型余項的n階麥克勞林公式.麥克勞林公式的用法:解因代入公式,得例4.43

求

的n階麥克勞林公式.注意到解因例4.44

求

的2n階麥克勞林公式.于是,由麥克勞林公式得到

常用函數(shù)的麥克勞林公式解因例4.45

利用帶有皮亞諾余項的麥克勞林公式,求于是解因練習計算

解練習

將

的多項式.而例4.46

證明不等式

的三階麥克勞林公式為

證其中故例4.47

近似計算的值，并估計誤差.在的麥克勞林

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