第19講 利用平面向量解決平行四邊形問題（原卷版）

一．解答題（共16小題） 1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓經(jīng)過且離心率e=，（1）求橢圓方程.（2）經(jīng)過點(diǎn)(0,)且斜率k的直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和①求k的取值范圍.與AB共線？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由.2．已知橢圓的右焦點(diǎn)F，點(diǎn)E(，0)(c為橢圓的半焦距）在x軸上，若橢圓的離心率e=，且|EF|=1.（1）求橢圓方程；（2）若過F的直線交橢圓與A，B兩點(diǎn)，且–A+–與向量=(4,-·i2)共線（其中O為3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過點(diǎn)(0,)且斜率為k的直線l與橢圓+y2=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P、Q，(Ⅱ)設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A、B，是否存在常數(shù)k，使得向量OP+OQ與AB共線，如果存在，求出4．如圖，設(shè)拋物線方程為x2=2py(p>0)，M為直線y=-2p上任意一點(diǎn)，M不在y軸上，過M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A，B. (ⅱ)已知當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,-2p)時(shí)，|AB|=4·10，求此時(shí)拋物線的方程；(Ⅱ)是否存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)D在拋物線x2=2py(p>0)上，其中，點(diǎn)C滿足OC=OA+OB(O為坐標(biāo)原點(diǎn)若存在，求出所有適合題意的點(diǎn)M5．已知點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(-·2，0)，(·2，0)，動(dòng)點(diǎn)M(x,y)滿足直線AM和BM的斜率之積為-3，記M的軌跡為曲線E.（1）求曲線E的方程；（2）直線y=kx+m與曲線E相交于P，Q兩點(diǎn)，若曲線E上存在點(diǎn)R，使得四邊形OPRQ為平行四邊形（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)求m的取值范圍.6．如圖所示，已知圓O:x2+y2=r2(r>0)與直線x+y-22=0相切.(Ⅱ)直線l:y=kx+m與圓O相交于P，Q兩點(diǎn)，若在圓O上存在一點(diǎn)R，使四邊形OPRQ為平行四邊形，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.7．在ΔABC中，A，B的坐標(biāo)分別是(-·2,0),(·2,0)，點(diǎn)G是ΔABC的重心，y軸上一點(diǎn)M滿足GM//AB，且|MC|=|MB|.(Ⅱ)直線l:y=kx+m與軌跡E相交于P，Q兩點(diǎn)，若在軌跡E上存在點(diǎn)R，使四邊形OPRQ為平行四邊形（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)求m的取值范圍.8．已知橢圓C:9x2+y2=m2(m>0)，直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M.（1）證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；若l過點(diǎn)延長線段OM與C交于點(diǎn)P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)l的斜率；若不能，說明理由.l0:3x-4y-10=0與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓E的長半軸長為半徑的圓相切.（1）求橢圓E的方程；（2）過點(diǎn)F的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)P且平行于AB的直線與橢圓交于另一點(diǎn)Q．問是否存在直線l，使得四邊形PABQ的對角線互相平分？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由.10．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，上、下頂點(diǎn)分別為B1，B2，四邊形A1B1A2B2的面積為4，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線AB的距離為.（1）求橢圓C的方程；（2）過橢圓C上一點(diǎn)P作兩條直線分別與橢圓C相交于點(diǎn)A，B（異于點(diǎn)P)，試判斷以O(shè)P和AB為對角線的四邊形是否為菱形？若是，求出直線AB的方程；若不是，請說明理由.11．已知橢圓左右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，R(1,)為橢圓C1上一點(diǎn)，過F2且與x軸垂直的直線與橢圓C1相交所得弦長為3．拋物線C2的頂點(diǎn)是橢圓C1的中心，焦點(diǎn)與橢圓C1的右焦點(diǎn)重合.(Ⅱ)過拋物線C2上一點(diǎn)P（異于原點(diǎn)O)作拋物線切線l交橢圓C1于A，B兩點(diǎn)，求ΔAOB面積的最大值；(Ⅲ)過橢圓C1右焦點(diǎn)F2的直線l1與橢圓相交于C，D兩點(diǎn)，過R且平行于CD的直線交橢圓于另一點(diǎn)Q，問是否存在直線l1，使得四邊形RQDC的對角線互相平分？若存在，求出l1的方程；若不存在，說明理由.，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)在橢圓E上，且點(diǎn)P和F1關(guān)于點(diǎn)對稱.（1）求橢圓E的方程；（2）過右焦點(diǎn)F2的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)P且平行于AB的直線與橢圓交于另一點(diǎn)Q，問是否存在直線l，使得四邊形PABQ的對角線互相平分？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由.13．設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)在橢圓E上，且點(diǎn)P和F1關(guān)于點(diǎn)對稱.(Ⅱ)過右焦點(diǎn)F2的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)P且平行于AB的直線與橢圓交于另一點(diǎn)Q，問是否存在直線l，使得四邊形PABQ的對角線互相平分？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由.F(c,0)，已知點(diǎn)和都在橢圓C上，其中e為橢圓C的離心率.(Ⅱ)設(shè)直線l:y=kx+m與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，若在橢圓C上存在點(diǎn)R，使四邊形OPRQ為平行四邊形，求m的取值范圍.15．已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，短軸長為2，O為原點(diǎn)，直線AF與橢圓C的另一個(gè)交