專題01 實(shí)數(shù)（含二次根式）（8大考點(diǎn)）（原卷版）

第一部分?jǐn)?shù)與式

專題01實(shí)數(shù)（含二次根式）（8大考點(diǎn)）

核心考點(diǎn)一實(shí)數(shù)的分類

核心考點(diǎn)二相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值

核心考點(diǎn)三數(shù)軸

核心考點(diǎn)四科學(xué)記數(shù)法

核心考點(diǎn)

核心考點(diǎn)五實(shí)數(shù)的大小比較

核心考點(diǎn)六平方根、立方根

核心考點(diǎn)七二次根式及其運(yùn)算

核心考點(diǎn)八實(shí)數(shù)的運(yùn)算

新題速遞

核心考點(diǎn)一實(shí)數(shù)的分類

例1（2022·貴州銅仁·中考真題）在實(shí)數(shù)2，3，4，5中，有理數(shù)是（）

A．2B．3C．4D．5

例2（2022·山東日照·中考真題）在實(shí)數(shù)2，x0（x≠0），cos30°，38中，有理數(shù)的個(gè)數(shù)是（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

1

例3（2022·湖南湘潭·中考真題）四個(gè)數(shù)－1，0，，3中，為無(wú)理數(shù)的是_________．

2

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實(shí)數(shù)的概念與分類

1.實(shí)數(shù)的概念：有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。

自然數(shù)(0,1,2,3)

整數(shù)

負(fù)整數(shù)(1,2,3)

有理數(shù)12整數(shù)有限小數(shù)無(wú)限循環(huán)小數(shù)

正分?jǐn)?shù)(,)(、、)

分?jǐn)?shù)(小數(shù))23

實(shí)數(shù)12

負(fù)分?jǐn)?shù)(,)

23

正有理數(shù)

無(wú)理數(shù)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)2．有理數(shù)：有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)叫做有

()

負(fù)有理數(shù)

理數(shù)。

3．無(wú)理數(shù)：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)。

在理解無(wú)理數(shù)時(shí)，要抓住“無(wú)限不循環(huán)”這一實(shí)質(zhì)，歸納起來(lái)有四類：

（1）開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，如7,32等；

π

（2）有特定意義的數(shù)，如圓周率π，或化簡(jiǎn)后含有π的數(shù)，如+8等；

3

（3）有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…等；

（4）某些三角函數(shù)，如sin60o等。

1

【變式1】（2022·廣西桂林·一模）實(shí)數(shù)，3，2，-6中，為負(fù)整數(shù)的是（）

3

1

A．B．3C．2D．-6

3

【變式2】（2022·湖北襄陽(yáng)·一模）下列說(shuō)法中正確的是（）

A．和數(shù)軸上一一對(duì)應(yīng)的數(shù)是有理數(shù)B．?dāng)?shù)軸上的點(diǎn)可以表示所有的實(shí)數(shù)

C．帶根號(hào)的數(shù)都是無(wú)理數(shù)D．不帶根號(hào)的數(shù)都是有理數(shù)

4

【變式3】（2022·湖南·寧遠(yuǎn)縣教研室模擬預(yù)測(cè)）在實(shí)數(shù)38，，12，中有理數(shù)有_________個(gè)．

33

22

【變式4】（2022·山東青島·二模）下列實(shí)數(shù)中：①，②，③6，④0，⑤1.010010001，其中是無(wú)理

72

數(shù)的有__________（填序號(hào)）．

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【變式5】（2022·浙江·寧波市鎮(zhèn)海區(qū)駱駝中學(xué)）把下列各數(shù)填在相應(yīng)的表示集合的大括號(hào)內(nèi)：

122

2，，，3，，0.3，1.7，5，0，1.1010010001…（兩個(gè)1之間依次多個(gè)0）．

37

有理數(shù)：{…}

無(wú)理數(shù)：{…}

實(shí)數(shù)：{…}

核心考點(diǎn)二相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值

例1（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）若a，b互為相反數(shù)，c的倒數(shù)是4，則3a3b4c的值為（）

A．8B．5C．1D．16

例2（2022·湖北宜昌·中考真題）下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（）

1

①－2022的相反數(shù)是2022；②－2022的絕對(duì)值是2022；③的倒數(shù)是2022．

2022

A．3B．2C．1D．0

2

例3（2022·西藏·中考真題）已知a，b都是實(shí)數(shù)，若a+1+(b-2022)=0，則ab_____．

相反數(shù)、絕對(duì)值和倒數(shù)的概念

1．相反數(shù)：

(1)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)，我們說(shuō)其中一個(gè)是另一個(gè)的相反數(shù)；0的相反數(shù)還是0；

(2)相反數(shù)的和為0a+b=0a、b互為相反數(shù).

2.絕對(duì)值：

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(1)正數(shù)的絕對(duì)值是其本身，0．的．絕．對(duì)．值．是．0．，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；注意：絕對(duì)值的意義是數(shù)軸上表

示某數(shù)的點(diǎn)離開(kāi)原點(diǎn)的距離；

a(a0)

a(a0)

(2)絕對(duì)值可表示為：a0(a0)或a；絕對(duì)值的問(wèn)題經(jīng)常分類討論；

a(a0)

a(a0)

(3)若|a|=|b|，則a=b或a=-b；（幾何意義）

a|a|

(4)|ab|=|a|·|b|；||=（b≠0）；

b|b|

(5)|a|2=|a2|=a2；

(6)|a+b|≤|a|+|b||a-b|≥||a|-|b|||a|+|b|≥|a+b||a|+|b|≥|a-b|

【拓展】|a|≥0b2≥0

（1）若(x-a)2+(x-b)2=0,則x-a=0且x-b=0；

（2）若|x-a|+(x-b)2=0,則x-a=0且x-b=0；

（3）若|x-a|+|x-b|=0，則x-a=0且x-b=0。

【絕對(duì)值問(wèn)題總結(jié)】

（1）利用絕對(duì)值的定義及性質(zhì)解決的問(wèn)題

（2）簡(jiǎn)單的絕對(duì)值方程問(wèn)題

（3）化簡(jiǎn)絕對(duì)值式，分類討論（零點(diǎn)分段法）問(wèn)題

（4）絕對(duì)值幾何意義的使用問(wèn)題

1

3.互為倒數(shù)：乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)；注意：0沒(méi)有倒數(shù)；若．a(chǎn)．≠．0．，．那．么．a(chǎn)的．倒．?dāng)?shù)．是．；

a

若ab=1a、b互為倒數(shù)；若ab=-1a、b互為負(fù)倒數(shù).

【變式1】（2022·廣東·深圳市南山外國(guó)語(yǔ)學(xué)校三模）已知a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，則代數(shù)式

5ab2cd的值為()

A．3B．2C．3D．0

【變式2】（2022·河南商丘·三模）如圖是一個(gè)正方體的表面展開(kāi)圖，已知正方體的每一個(gè)面上都有一個(gè)實(shí)

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數(shù)，且相對(duì)面上的兩個(gè)實(shí)數(shù)互為相反數(shù)，那么代數(shù)式(ac)b的值等于（）

1

A．6B．C．1D．4

9

【變式3】（2022·河北唐山·二模）已知a，b互為相反數(shù)，則代數(shù)式a2ab2的值為_(kāi)____．

2

若a2，則b=____________．

【變式4】（2022·河北邯鄲·二模）已知a1202．

（1）a________；

（2）a的相反數(shù)與a的倒數(shù)的和為_(kāi)_______．

【變式5】（2022·浙江·舟山市第一初級(jí)中學(xué)一模）閱讀下面的例題，

范例：解方程x2|x|20，

2

解：（1）當(dāng)x0時(shí)，原方程化為xx20，解得：x12，x21（不合題意，舍去）．

2

（2）當(dāng)x＜0時(shí)，原方程化為xx20，解得：x12，x21（不合題意，舍去）．

∴原方程的根是x12，x22，

請(qǐng)參照例題解方程x2|x1|10

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核心考點(diǎn)三數(shù)軸

例1（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A和點(diǎn)B分別在原點(diǎn)的左側(cè)和右側(cè)，點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的

實(shí)數(shù)分別是a、b，下列結(jié)論一定成立的是（）

A．a(chǎn)b0B．ba0C．2a2bD．a(chǎn)2b2

ab

例2（2022·寧夏·中考真題）已知實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則的值是（）

ab

A．2B．1C．0D．2

11

例3（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A、B分別表示實(shí)數(shù)a、b，則______．（填“>”、

ab

“=”或“<”）

數(shù)軸的概念與畫法

數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸．

數(shù)軸的畫法：①在直線上任取一個(gè)點(diǎn)表示數(shù)0，這個(gè)點(diǎn)叫做原點(diǎn)，②通常規(guī)定直線上從原點(diǎn)向右為正方向，

從原點(diǎn)向左為負(fù)方向；③選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度，直線上從原點(diǎn)向右，每隔一個(gè)單位長(zhǎng)度取一個(gè)點(diǎn)，

依次表示1，2，3，……；從原點(diǎn)向左用類似的方法依次表示-1，-2，-3，…….

數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)之間的關(guān)系

①每個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一點(diǎn)來(lái)表示，也可以說(shuō)每個(gè)有理數(shù)都對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的一點(diǎn)；

②一般地，設(shè)a是一個(gè)正數(shù)，則數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)在原點(diǎn)的右邊，與原點(diǎn)的距離是a個(gè)單位長(zhǎng)度；表示-a

的點(diǎn)在原點(diǎn)的左邊，與原點(diǎn)的距離是a個(gè)單位長(zhǎng)度.

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【變式1】（2022·北京市第十九中學(xué)三模）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確

的是（）

A．a(chǎn)2B．b1C．a(chǎn)b0D．ba0

【變式2】（2022·河北·大名縣束館鎮(zhèn)束館中學(xué)三模）2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)開(kāi)幕式于2022年2月4日20：

00在國(guó)家體育館舉行，嘉淇利用相關(guān)數(shù)字做游戲：

①畫一條數(shù)軸，在數(shù)軸上用點(diǎn)A，B，C分別表示﹣20，2022，﹣24，如圖1所示；

②將這條數(shù)軸在點(diǎn)A處剪斷，點(diǎn)A右側(cè)的部分稱為數(shù)軸I，點(diǎn)A左側(cè)的部分稱為數(shù)軸Ⅱ；

③平移數(shù)軸Ⅱ使點(diǎn)A位于點(diǎn)B的正下方，如圖2所示；

④擴(kuò)大數(shù)軸Ⅱ的單位長(zhǎng)度至原來(lái)的k倍，使點(diǎn)C正上方位于數(shù)軸I的點(diǎn)A左側(cè)．

則整數(shù)k的最小值為（）

A．511B．510C．509D．500

【變式3】（2022·四川廣元·二模）已知：A，B在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別用a，b表示，且(a4)2|b12|0．若

點(diǎn)C點(diǎn)在數(shù)軸上且滿足AC3BC，則C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為_(kāi)_______．

【變式4】（2022·廣東廣州·一模）如圖，在關(guān)于x的方程xab（a，b為常數(shù)）中，x的值可以理解為：

在數(shù)軸上，到A點(diǎn)的距離等于b的點(diǎn)X對(duì)應(yīng)的數(shù)．例如：因?yàn)榈綄?shí)數(shù)1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A距離為3的點(diǎn)X對(duì)應(yīng)的

數(shù)為4和-2，所以方程x1=3的解為x4，x2．用上述理解，可得方程x32的解為_(kāi)_____．

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【變式5】（2022·河北秦皇島·一模）如圖，在一條直線上，從左到右依次有點(diǎn)A、B、C．其中AB＝4cm，

BC＝2cm．以這條直線為基礎(chǔ)建立數(shù)軸，設(shè)點(diǎn)A、B、C所表示數(shù)的和是p．

(1)如果規(guī)定向右為正方向：

①若以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)O，以1cm為單位長(zhǎng)度建立數(shù)軸，則p＝______；

②若單位長(zhǎng)度不變，改變?cè)c(diǎn)O的位置，使原點(diǎn)O在點(diǎn)C的右邊，且CO＝30cm，求p的值；并說(shuō)明原點(diǎn)

每向右移動(dòng)1cm，p值將如何變化？

③若單位長(zhǎng)度不變，使p＝64，則應(yīng)將①中的原點(diǎn)O沿?cái)?shù)軸向______方向移動(dòng)______cm；

④若以①中的原點(diǎn)為原點(diǎn)，單位長(zhǎng)度為ncm建立數(shù)軸，則p＝______．

(2)如果以1cm為單位長(zhǎng)度，點(diǎn)A表示的數(shù)是-1，則點(diǎn)C表示的數(shù)是______．

核心考點(diǎn)四科學(xué)記數(shù)法

例1（2022·吉林長(zhǎng)春·中考真題）長(zhǎng)春軌道客車股份有限公司制造的新型奧運(yùn)版復(fù)興號(hào)智能動(dòng)車組，車頭

采用鷹隼形的設(shè)計(jì)，能讓性能大幅提升，一列該動(dòng)車組一年運(yùn)行下來(lái)可節(jié)省約1800000度電，將數(shù)據(jù)1800000

用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A．18105B．1.8106C．1.8107D．0.18107

例2（2022·山東聊城·中考真題）射擊時(shí)，子彈射出槍口時(shí)的速度可用公式v2as進(jìn)行計(jì)算，其中a為

子彈的加速度，s為槍筒的長(zhǎng)．如果a5105m/s2，s0.64m，那么子彈射出槍口時(shí)的速度（用科學(xué)記數(shù)

法表示）為（）

A．0.4102m/sB．0.8102m/s

C．4102m/sD．8102m/s

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例3（2022·遼寧鞍山·中考真題）教育部2022年5月17日召開(kāi)第二場(chǎng)“教育這十年”“1＋1”系列新聞發(fā)布

會(huì)，會(huì)上介紹我國(guó)已建成世界最大規(guī)模高等教育體系，在學(xué)總?cè)藬?shù)超過(guò)44300000人．將數(shù)據(jù)44300000用

科學(xué)記數(shù)法表示為_(kāi)________．

科學(xué)記數(shù)法

1．乘方的定義

（1）求相同因式積的運(yùn)算，叫做乘方；

（2）乘方中，相同的因式叫做底數(shù)，相同因式的個(gè)數(shù)叫做指數(shù)，乘方的結(jié)果叫做冪；

2．科學(xué)記數(shù)法：把．一．個(gè)．大．于．1．0．的．?dāng)?shù)．記．成．a(chǎn)．×．1．0．n．的．形．式．，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，這種記數(shù)法叫

科學(xué)記數(shù)法.

3.近似數(shù)的精確位：一個(gè)近似數(shù)，四舍五入到那一位，就說(shuō)這個(gè)近似數(shù)的精確到那一位.

4.有效數(shù)字：從左邊第一個(gè)不為零的數(shù)字起，到精確的位數(shù)止，所有數(shù)字，都叫這個(gè)近似數(shù)的有效數(shù)字.

【變式1】（2022·浙江·寧波外國(guó)語(yǔ)學(xué)校一模）2月4日的北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式精彩紛呈，展示了中國(guó)人民的文

化自信．據(jù)估計(jì)有約5億觀眾收看了北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式，在收視率方面超過(guò)了往屆任何冬奧會(huì)．用科學(xué)記數(shù)

法可以把5億表示成（）

A．5109B．50108C．5108D．50107

【變式2】（2022·山西·孝義市教育科技局教學(xué)研究室三模）一季度，面對(duì)國(guó)際環(huán)境更趨復(fù)雜嚴(yán)峻和國(guó)內(nèi)疫

情頻發(fā)帶來(lái)的多重考驗(yàn)，在以習(xí)近平同志為核心的黨中央堅(jiān)強(qiáng)領(lǐng)導(dǎo)下，科學(xué)統(tǒng)籌疫情防控和經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展，

初步核算，一季度國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值約為27萬(wàn)億元，按不變價(jià)格計(jì)算，同比增長(zhǎng)4.8%．?dāng)?shù)據(jù)27萬(wàn)億元用科學(xué)

記數(shù)法表示為（）

A．2.71013元B．2.71014元C．0.271014元D．271012元

【變式3】（2022·河北唐山·一模）記者從科技局獲悉，某市今年將繼續(xù)加大科技投入力度，科研經(jīng)費(fèi)投入

總量達(dá)到1.3950億元，比去年增加20%，則去年某市的科技經(jīng)費(fèi)投入總量為_(kāi)_____億元，今年科研經(jīng)費(fèi)投

入總量達(dá)到1.395億元，用科學(xué)記數(shù)法表示為_(kāi)_____元（結(jié)果保留二位小數(shù)）．

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【變式4】（2022·湖北·廣水市教學(xué)研究室二模）在全國(guó)上下眾志成城抗疫情、保生產(chǎn)、促發(fā)展的關(guān)鍵時(shí)刻，

三峽集團(tuán)2月24日宣布：在廣東、江蘇等地投資580億元，開(kāi)工建設(shè)25個(gè)新能源項(xiàng)目，預(yù)計(jì)提供17萬(wàn)個(gè)

就業(yè)崗位將“580億元”用科學(xué)記數(shù)法表示為_(kāi)___________元．

【變式5】（2022·河北·石家莊市第四十一中學(xué)一模）2021年11月5日至10日第四屆中國(guó)國(guó)際進(jìn)口博覽會(huì)

在上海舉行，意向成交707.2億美元，彰顯了中國(guó)的經(jīng)濟(jì)實(shí)力和人民生活品質(zhì)的提升.某省采購(gòu)團(tuán)5號(hào)意向

成交m億美元，6、7號(hào)意向成交價(jià)平均每天以a%的增長(zhǎng)率遞增．

(1)707.2億用科學(xué)記數(shù)法表示為_(kāi)________；

(2)該省采購(gòu)團(tuán)7號(hào)意向成交_________億美元；（用含m、a的代數(shù)式表示）

(3)該省采購(gòu)團(tuán)5-7號(hào)意向成交共16.55億美元，若m5，求a的值．

核心考點(diǎn)五實(shí)數(shù)的大小比較

例1（2022·黑龍江大慶·中考真題）實(shí)數(shù)c，d在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，則下列式子正確的是()

A．cdB．|c||d|C．cdD．cd0

例2（2022·山東濟(jì)南·中考真題）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）

A．a(chǎn)b0B．a(chǎn)b0C．a(chǎn)bD．a(chǎn)1b1

例3（2022·陜西·中考真題）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則a______b．（填“>”“=”或“<”）

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有理數(shù)比較大小的法則

兩個(gè)數(shù)比較大小，按數(shù)的性質(zhì)符號(hào)分類，情況如下：

【變式1】（2022·四川攀枝花·模擬預(yù)測(cè)）實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

A．a(chǎn)bB．a(chǎn)bC．a(chǎn)b0D．a(chǎn)b0

【變式2】（2022·河北唐山·二模）對(duì)于數(shù)字-2+5，下列說(shuō)法中正確的是（）

A．它不能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來(lái)B．它比0小

C．它是一個(gè)無(wú)理數(shù)D．它的相反數(shù)為2+5

【變式3】（2022·北京房山·一模）寫出一個(gè)比11大且比4小的無(wú)理數(shù)_______．

【變式4】（2022·河北·大名縣束館鎮(zhèn)束館中學(xué)三模）定義新運(yùn)算：對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a，b，我們規(guī)定

符號(hào)max{a，b}表示a，b中的較大值，如：max{﹣2，﹣4}＝﹣2．

（1）max{26，5}＝_____；

2x

（2）若max{﹣12，（一1）2}＝，則x＝_____．

2x

【變式5】（2022·內(nèi)蒙古包頭·一模）在一個(gè)不透明的盒子里放置三張卡片，分別標(biāo)有實(shí)數(shù)2，21，21

（卡片除了標(biāo)有的實(shí)數(shù)不同外，其余均相同），先從盒子里隨機(jī)抽取一張卡片，將卡片上的實(shí)數(shù)作為被減數(shù)，

第11頁(yè)共26頁(yè).

卡片不放回，再隨機(jī)抽取一張卡片，將卡片上的實(shí)數(shù)作為減數(shù)．

(1)請(qǐng)用列表或畫樹(shù)狀圖的方法寫出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；

(2)求兩次抽取的卡片上的實(shí)數(shù)之差為正實(shí)數(shù)的概率．

核心考點(diǎn)六平方根、立方根

例1（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）下列說(shuō)法正確的是（）

①若二次根式1x有意義，則x的取值范圍是x≥1．

②7＜65＜8．

③若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是540°，則它的邊數(shù)是5．

④16的平方根是±4．

⑤一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

A．①③⑤B．③⑤C．③④⑤D．①②④

例2（2022·廣西賀州·中考真題）某餐廳為了追求時(shí)間效率，推出一種液體“沙漏”免單方案（即點(diǎn)單完成

后，開(kāi)始倒轉(zhuǎn)“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所點(diǎn)的菜需全部上桌，否則該桌免費(fèi)用餐）．“沙漏”是由一個(gè)圓

錐體和一個(gè)圓柱體相通連接而成．某次計(jì)時(shí)前如圖（1）所示，已知圓錐體底面半徑是6cm，高是6cm；圓

柱體底面半徑是3cm，液體高是7cm．計(jì)時(shí)結(jié)束后如圖（2）所示，求此時(shí)“沙漏”中液體的高度為（）

A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm

第12頁(yè)共26頁(yè).

1

例3（2022·湖北荊門·中考真題）計(jì)算：3+cos60°﹣（﹣2022）0＝_____．

8

1、算術(shù)平方根：正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根，記作“a”。

0的算術(shù)平方根為0；從定義可知，只有當(dāng)a≥0時(shí),a才有算術(shù)平方根。

2、平方根：如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根（或二次方跟）。即若x2=a，則x

叫做a的平方根。

注．：．一．個(gè)．正．?dāng)?shù)．有．兩．個(gè)．平．方．根．，．它．們．互．為．相．反．?dāng)?shù)．；．0．的．平．方．根．是．0．，．；．負(fù)．?dāng)?shù)．沒(méi)．有．平．方．根．。．

3、立方根：一般地，如果一個(gè)數(shù)x的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)就叫做a的立方根（或a的三次方根）。

注．：．一．個(gè)．正．?dāng)?shù)．有．一．個(gè)．正．的．立．方．根．；．一．個(gè)．負(fù)．?dāng)?shù)．有．一．個(gè)．負(fù)．的．立．方．根．；．零．的．立．方．根．是．零．。．

3

【變式1】（2022·四川·綿陽(yáng)中學(xué)英才學(xué)校二模）若3xmy和5x3yn的和是單項(xiàng)式，則mn的平方根是（）

A．8B．8C．4D．8

【變式2】（2022·江蘇·南京市花園中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）一般地，如果xna（n為正整數(shù)，且n＞1），那么x叫

做a的n次方根，下列結(jié)論中正確的是（）

A．16的4次方根是2

B．32的5次方根是±2

C．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，2的n次方根隨n的增大而減小

D．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，2的n次方根有n個(gè)

11

【變式3】（2022·山東濟(jì)寧·二模）已知m6，則m的值為_(kāi)____________.

mm

第13頁(yè)共26頁(yè).

【變式4】（2022·江蘇鹽城·一模）若x，y為實(shí)數(shù)，且滿足(xy4)23xy0，那么32xy的值為

______．

【變式5】（2022·江蘇鹽城·一模）因?yàn)?＜33＜2，即1＜33＜2，所以33的整數(shù)部分為1，小數(shù)部分為331．類

比以上推理解答下列問(wèn)題：

(1)求330的整數(shù)部分和小數(shù)部分；

(2)若m是1111的小數(shù)部分，n是1111的小數(shù)部分，且（x+1）2＝m+n，求x的值．

核心考點(diǎn)七二次根式及其運(yùn)算

例1（2022·湖北武漢·中考真題）下列各式計(jì)算正確的是（）

A．235B．43331C．236D．1226

例2（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）下列運(yùn)算正確的是（）

1

A．82B．(mn)2m2n2

2

1212y29x2

C．D．3xy

x1xx3x2y

1

例3（2022·山西·中考真題）計(jì)算18的結(jié)果是________．

2

第14頁(yè)共26頁(yè).

二次根式

1．二次根式的定義：形如式子a（a≥0）叫做二次根式。（或是說(shuō)，表示非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的式子，

叫做二次根式）。

2．二次根式有意義的條件：被．開(kāi)．方．?dāng)?shù)．≥．0．

3.二次根式的性質(zhì)

（1）a(a0)是非負(fù)數(shù)；

（2）（a）2=a（a≥0）；

aa＞0

a2aa0a0

（3）

aa＜0

（4）非負(fù)數(shù)的積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積，

即abab（a≥0,b≥0）。

（5）非負(fù)數(shù)的商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根，即

aa

（a≥0,b>0）。反之，

bb

aa

ababa0,b0(a0,b0)

bb

分母有理化

1．最簡(jiǎn)二次根式：必須同時(shí)滿足下列條件：

⑴被開(kāi)方數(shù)中不．含．開(kāi)．方．開(kāi)．的．盡．的．因．?dāng)?shù)．或．因．式．；

⑵被開(kāi)方數(shù)中不．含．分．母．；⑶分母中不．含．根．式．。

2．同類二次根式：二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，若被開(kāi)方數(shù)相同，則這幾個(gè)二次根式就是同類二次根式。

3．分母有理化：分母有理化就是通過(guò)分子和分母同乘以分母的有理化因式，將分母中的根號(hào)去掉的過(guò)程，

混合運(yùn)算中進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算，一般都是通過(guò)分母有理化而進(jìn)行的。

4．分母有理化的方法：分．子．分．母．同．乘．以．分．母．的．有．理．化．因．式．。

5．有理化因式：兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，則說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為

有理化因式。

第15頁(yè)共26頁(yè).

6．找有理化因式的方法：

（1）分母為單項(xiàng)式時(shí)，分母的有理化因式是分母本身帶根號(hào)的部分。如：①a的有理化因式為a，②

ab的有理化因式為b。

（2）分母為多項(xiàng)式時(shí)，分母的有理化因式是與分母相乘構(gòu)成平方差的另一部分。即ab的有理化因式

為ab，ab的有理化因式為ab，axby的有理化因式為axby

【變式1】（2022·廣東·佛山市南海外國(guó)語(yǔ)學(xué)校三模）如圖，把一張矩形紙片ABCD按如圖所示方法進(jìn)行兩

次折疊后，△BEF恰好是等腰直角三角形，若BE2，則CD的長(zhǎng)度為（）

A．22B．22C．222D．224

【變式2】（2022·重慶·西南大學(xué)附中三模）某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)二次根式的時(shí)候發(fā)現(xiàn)：有時(shí)候兩個(gè)含有

二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，例如，(52)(52)1，aaa，

(232)(232)10．通過(guò)查閱相關(guān)資料發(fā)現(xiàn)，這樣的兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式．小組成員利用有

理化因式，分別得到了一個(gè)結(jié)論：

135

甲：；

354

ab

乙：設(shè)有理數(shù)a，b滿足：624，則ab6；

2121

11

丙：；

2022202120202019

?。阂阎?3x11x4，則43x11x6；

11113311

戊：.

33533575579997979966

以上結(jié)論正確的有（）

第16頁(yè)共26頁(yè).

A．甲丙丁B．甲丙戊C．甲乙戊D．乙丙丁

【變式3】（2022·山東濟(jì)南·二模）如果2、5、m是某三角形三邊的長(zhǎng)，則(m3)2(m7)2等于_____．

【變式4】（2022·甘肅·嘉峪關(guān)市明珠學(xué)校一模）對(duì)于任意兩個(gè)不相等的數(shù)a,b，定義一種新運(yùn)算“”如下：

ab32

ab如：32，那么124________．

ab32

【變式5】（2022·廣東·東莞市萬(wàn)江第三中學(xué)三模）閱讀理解

對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a，b，(ab)20，\a+b-2ab30，ab2ab，只有當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立．

結(jié)論：在ab2ab(a,b均為正實(shí)數(shù))中，若ab為定值p，則ab2p只有當(dāng)ab時(shí)，ab有最小值

2p．

根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問(wèn)題：

1

(1)若m0，只有當(dāng)m______時(shí)，m有最小值______．

m

(2)探索應(yīng)用

6

如圖，已知A2,0，B0,3，P為雙曲線y(x0)上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PCx軸于點(diǎn)C，PDy

x

軸于點(diǎn)D.求四邊形ABCD面積的最小值，并說(shuō)明此時(shí)四邊形ABCD的形狀．

(3)實(shí)踐應(yīng)用

建筑一個(gè)容積為800m3，深為8m的長(zhǎng)方體蓄水池，池壁每平方米造價(jià)為80元，池底每平方米造價(jià)為120元，

如何設(shè)計(jì)池底的長(zhǎng)、寬，使總造價(jià)最低？

第17頁(yè)共26頁(yè).

核心考點(diǎn)八實(shí)數(shù)的運(yùn)算

1

例1（2022·貴州安順·中考真題）估計(jì)(2552)的值應(yīng)在（）

5

A．4和5之間B．5和6之間C．6和7之間D．7和8之間

例2（2022·四川·巴中市教育科學(xué)研究所中考真題）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b定義新運(yùn)算：a※bab2b，若關(guān)于x

的方程1※xk有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍（）

1111

A．kB．kC．k且k0D．k且k0

4444

例3（2022·湖北荊州·中考真題）若32的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則代數(shù)式22ab的值是

______．

1．加法的運(yùn)算律：

（1）加法的交換律：a+b=b+a；

（2）加法的結(jié)合律：（a+b）+c=a+（b+c）.

2．減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)；即a-b=a+（-b）.

3.乘法法則：

（1）兩數(shù)相乘，同號(hào)為正，異號(hào)為負(fù)，并把絕對(duì)值相乘；

（2）任何數(shù)同零相乘都得零；

（3）幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因式為零，積為零；各個(gè)因式都不為零，積的符號(hào)由負(fù)因式的個(gè)數(shù)決定.

4.乘法的運(yùn)算律：

（1）乘法的交換律：ab=ba；（2）乘法的結(jié)合律：（ab）c=a（bc）；

（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac.

第18頁(yè)共26頁(yè).

a

5．除法法則：除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)；注意：零不能做除數(shù)，即無(wú)意義.

0

6．乘方的法則：

（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；

（2）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；

注意：當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí):(-a)n=-an或(a-b)n=-(b-a)n,

當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí):(-a)n=an或(a-b)n=(b-a)n.

7.混合運(yùn)算法則：先乘方，后乘除，最后加減.

8．二次根式的加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將同類二次根式分別合并。

一般地，二次根式的加減法可分以下三個(gè)步驟進(jìn)行：

（1）將每一個(gè)二次根式都化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)二次根式

（2）判斷哪些二次根式是同類二次根式，把同類二次根式結(jié)合成一組

（3）合并同類二次根式

9．二次根式的乘法

兩個(gè)二次根式相乘，把被開(kāi)方數(shù)相乘，根指數(shù)不變，即

abab（a≥0，b≥0）。

兩個(gè)二次根式相除，把被開(kāi)方數(shù)相除，根指數(shù)不變，即

aa

（a≥0，b＞0）。

bb

10.常見(jiàn)類型

bbaba

aaaa

常．見(jiàn)．類．型．一．：．．．

cc(ab)c(ab)

ab(ab)(ab)ab

常．見(jiàn)．類．型．二．：．．．

第19頁(yè)共26頁(yè).

【變式1】（2022·河北唐山·二模）如表，這是嘉琪同學(xué)的小測(cè)試卷，他應(yīng)該得到的分?jǐn)?shù)是（）

判斷題：每題20分

（1）|﹣3|＝3（√）

（2）（﹣2x2）3＝﹣6x3（√）

（3）（a﹣b）2＝a2﹣b2（×）

（4）255（×）

（5）65°的補(bǔ)角是115°（√）

A．40B．60C．80D．100

1

【變式2】（2022·湖北·鄂州市鄂城區(qū)教學(xué)研究室三模）若干個(gè)數(shù)，第一個(gè)數(shù)記為a1，規(guī)定運(yùn)算：a21，

a1

1111

．2

a31，a41，a51，…，an1按上述方法計(jì)算：當(dāng)a1時(shí)，a2022的值等于（）

a2a3a4an13

12

A．

B．

C．

2D．3

23

【變式3】（2022·廣東·深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）三模）取整函數(shù)就是f(x)=[x]，也被稱為高斯函數(shù)，記號(hào)[x]

111

表示不大于x的最大整數(shù)，例如：[2.3]=2，[﹣4.7]=﹣5，若S=1＋，則

233420212022

[S]=______．

x

【變式4】（2022·湖北·孝感市孝南區(qū)教學(xué)研究室模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于實(shí)數(shù)x0，規(guī)定f(x)，例如

x1

1

221211111

f(2),f，設(shè)Sfffff(1)f(3)f(5)f(7)f(9)，

1

2132139753

2

則S的值為_(kāi)________．

第20頁(yè)共26頁(yè).

【變式5】（2022·重慶市第三十七中學(xué)校二模）若一個(gè)四位數(shù)m的前兩位數(shù)字相同且各位數(shù)字均不為0，則

稱這個(gè)數(shù)為“巴渝數(shù)”；若把這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字放到前三位數(shù)字組成的數(shù)的前面組成一個(gè)新的四位數(shù)，則稱這

個(gè)新的四位數(shù)為“橋梁數(shù)”；記一個(gè)“巴渝數(shù)”m與它的“橋梁數(shù)”的差為F(m)，例如，5536前兩位數(shù)字相同，

所以5536為“巴渝數(shù)”；則6553就為它的“橋梁數(shù)”，F(xiàn)(5536)553665531017．

(1)F(3312)，F(xiàn)(7722)．

(2)若一個(gè)千位數(shù)字為2的“巴渝數(shù)”m能被6整除，它的“橋梁數(shù)”能被2整除，請(qǐng)求出滿足條件的F(m)的最

大值．

第21頁(yè)共26頁(yè).

【新題速遞】

1．（2022·陜西渭南·七年級(jí)期中）數(shù)軸上某一個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)為a，若將這個(gè)點(diǎn)先向右移動(dòng)4個(gè)單位，再向左

移動(dòng)5個(gè)單位，此時(shí)這個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)為2，則a的值為()

A．1B．2C．1D．2

2．（2022·江蘇鹽城·九年級(jí)期中）設(shè)M2a22a1，N3a22a7，其中a為實(shí)數(shù)，則M與N的大小關(guān)系

是（）

A．MNB．MNC．NMD．NM

3．（2022·河北石家莊·八年級(jí)期中）實(shí)數(shù)15在數(shù)軸上的大致位置是（）

A．點(diǎn)AB．點(diǎn)BC．點(diǎn)CD．點(diǎn)D

4．（2022·廣東·豐順縣茶背中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，邊長(zhǎng)為6的大正方形中有兩個(gè)小正方形，若兩個(gè)

小正方形的面積分別為S1、S2，則S1S2的值為（）

A．16B．17C．18D．19

2

5．（2022·河南·南陽(yáng)市第十三中學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）對(duì)于實(shí)數(shù)a、b，定義一種運(yùn)算：a*bab．給

2

出三個(gè)推斷：①a*bb*a；②a*ba2*b2；③a*ba*b，其中正確的推斷個(gè)數(shù)是（）

A．0B．1C．2D．3

6．（2022·重慶萬(wàn)州·九年級(jí)階段練習(xí)）觀察下面分母有理化的過(guò)程：

11(21)21

21，從計(jì)算過(guò)程中體會(huì)方法，并利用這一方法計(jì)算：

21(21)(21)21

1111

(20221)的值是（）

21324320222021

A．20221B．20221C．2021D．2022

7．（2022·重慶市南開(kāi)兩江中學(xué)校八年級(jí)期中）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡(jiǎn)：

第22頁(yè)共26頁(yè).

a2(ab)23(ba)3____________．

8．（2022·廣東·豐順縣茶背中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）設(shè)a，b是兩個(gè)整數(shù)，若定義一種運(yùn)算“”：

aba2b2ab，則方程x211的實(shí)數(shù)根是___________．

1

9．（2022·浙江·翠苑中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）若函數(shù)y(4x260x9|4x260x9|)，則當(dāng)自變量x取1，

2

2，…，15，16，17這17個(gè)自然數(shù)時(shí)，函數(shù)值的和為_(kāi)_．

10．（2022·上?！ど贤飧街邪四昙?jí)階段練習(xí)）14410的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則

11

___________．

abab

11．（2022·北京房山·八年級(jí)期中）當(dāng)今大數(shù)據(jù)時(shí)代，“二維碼”具有存儲(chǔ)量大、保密性強(qiáng)、追蹤性高等特點(diǎn)，

它已被廣泛應(yīng)用于我們的日常生活中．通常一個(gè)“二維碼”由1000個(gè)大大小小的黑白小方格組成，其中大約

80%的小方格專門用做糾錯(cuò)碼和其他用途的編碼，這相當(dāng)于1000個(gè)方格中只有200個(gè)方格作為數(shù)據(jù)碼，根

據(jù)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，這200個(gè)方格可生成2200個(gè)不同的數(shù)據(jù)二維碼．下列結(jié)論：

①2200就是2個(gè)200相乘；

②2200就是400個(gè)2相乘，它是一個(gè)非常非常大的數(shù)；

③2200的個(gè)位數(shù)字是6；

④因?yàn)?2)202101024，1031000，所以估計(jì)(2)400比1060大．

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________