專題01 實數(shù)（含二次根式）（8大考點）（原卷版）

第一部分數(shù)與式

專題01實數(shù)（含二次根式）（8大考點）

核心考點一實數(shù)的分類

核心考點二相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值

核心考點三數(shù)軸

核心考點四科學記數(shù)法

核心考點

核心考點五實數(shù)的大小比較

核心考點六平方根、立方根

核心考點七二次根式及其運算

核心考點八實數(shù)的運算

新題速遞

核心考點一實數(shù)的分類

例1（2022·貴州銅仁·中考真題）在實數(shù)2，3，4，5中，有理數(shù)是（）

A．2B．3C．4D．5

例2（2022·山東日照·中考真題）在實數(shù)2，x0（x≠0），cos30°，38中，有理數(shù)的個數(shù)是（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

1

例3（2022·湖南湘潭·中考真題）四個數(shù)－1，0，，3中，為無理數(shù)的是_________．

2

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實數(shù)的概念與分類

1.實數(shù)的概念：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。

自然數(shù)(0,1,2,3)

整數(shù)

負整數(shù)(1,2,3)

有理數(shù)12整數(shù)有限小數(shù)無限循環(huán)小數(shù)

正分數(shù)(,)(、、)

分數(shù)(小數(shù))23

實數(shù)12

負分數(shù)(,)

23

正有理數(shù)

無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)2．有理數(shù)：有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)叫做有

()

負有理數(shù)

理數(shù)。

3．無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)。

在理解無理數(shù)時，要抓住“無限不循環(huán)”這一實質(zhì)，歸納起來有四類：

（1）開方開不盡的數(shù)，如7,32等；

π

（2）有特定意義的數(shù)，如圓周率π，或化簡后含有π的數(shù)，如+8等；

3

（3）有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…等；

（4）某些三角函數(shù)，如sin60o等。

1

【變式1】（2022·廣西桂林·一模）實數(shù)，3，2，-6中，為負整數(shù)的是（）

3

1

A．B．3C．2D．-6

3

【變式2】（2022·湖北襄陽·一模）下列說法中正確的是（）

A．和數(shù)軸上一一對應的數(shù)是有理數(shù)B．數(shù)軸上的點可以表示所有的實數(shù)

C．帶根號的數(shù)都是無理數(shù)D．不帶根號的數(shù)都是有理數(shù)

4

【變式3】（2022·湖南·寧遠縣教研室模擬預測）在實數(shù)38，，12，中有理數(shù)有_________個．

33

22

【變式4】（2022·山東青島·二模）下列實數(shù)中：①，②，③6，④0，⑤1.010010001，其中是無理

72

數(shù)的有__________（填序號）．

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【變式5】（2022·浙江·寧波市鎮(zhèn)海區(qū)駱駝中學）把下列各數(shù)填在相應的表示集合的大括號內(nèi)：

122

2，，，3，，0.3，1.7，5，0，1.1010010001…（兩個1之間依次多個0）．

37

有理數(shù)：{…}

無理數(shù)：{…}

實數(shù)：{…}

核心考點二相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值

例1（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）若a，b互為相反數(shù)，c的倒數(shù)是4，則3a3b4c的值為（）

A．8B．5C．1D．16

例2（2022·湖北宜昌·中考真題）下列說法正確的個數(shù)是（）

1

①－2022的相反數(shù)是2022；②－2022的絕對值是2022；③的倒數(shù)是2022．

2022

A．3B．2C．1D．0

2

例3（2022·西藏·中考真題）已知a，b都是實數(shù)，若a+1+(b-2022)=0，則ab_____．

相反數(shù)、絕對值和倒數(shù)的概念

1．相反數(shù)：

(1)只有符號不同的兩個數(shù)，我們說其中一個是另一個的相反數(shù)；0的相反數(shù)還是0；

(2)相反數(shù)的和為0a+b=0a、b互為相反數(shù).

2.絕對值：

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(1)正數(shù)的絕對值是其本身，0．的．絕．對．值．是．0．，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；注意：絕對值的意義是數(shù)軸上表

示某數(shù)的點離開原點的距離；

a(a0)

a(a0)

(2)絕對值可表示為：a0(a0)或a；絕對值的問題經(jīng)常分類討論；

a(a0)

a(a0)

(3)若|a|=|b|，則a=b或a=-b；（幾何意義）

a|a|

(4)|ab|=|a|·|b|；||=（b≠0）；

b|b|

(5)|a|2=|a2|=a2；

(6)|a+b|≤|a|+|b||a-b|≥||a|-|b|||a|+|b|≥|a+b||a|+|b|≥|a-b|

【拓展】|a|≥0b2≥0

（1）若(x-a)2+(x-b)2=0,則x-a=0且x-b=0；

（2）若|x-a|+(x-b)2=0,則x-a=0且x-b=0；

（3）若|x-a|+|x-b|=0，則x-a=0且x-b=0。

【絕對值問題總結(jié)】

（1）利用絕對值的定義及性質(zhì)解決的問題

（2）簡單的絕對值方程問題

（3）化簡絕對值式，分類討論（零點分段法）問題

（4）絕對值幾何意義的使用問題

1

3.互為倒數(shù)：乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)；注意：0沒有倒數(shù)；若．a(chǎn)．≠．0．，．那．么．a(chǎn)的．倒．數(shù)．是．；

a

若ab=1a、b互為倒數(shù)；若ab=-1a、b互為負倒數(shù).

【變式1】（2022·廣東·深圳市南山外國語學校三模）已知a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，則代數(shù)式

5ab2cd的值為()

A．3B．2C．3D．0

【變式2】（2022·河南商丘·三模）如圖是一個正方體的表面展開圖，已知正方體的每一個面上都有一個實

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數(shù)，且相對面上的兩個實數(shù)互為相反數(shù)，那么代數(shù)式(ac)b的值等于（）

1

A．6B．C．1D．4

9

【變式3】（2022·河北唐山·二模）已知a，b互為相反數(shù)，則代數(shù)式a2ab2的值為_____．

2

若a2，則b=____________．

【變式4】（2022·河北邯鄲·二模）已知a1202．

（1）a________；

（2）a的相反數(shù)與a的倒數(shù)的和為________．

【變式5】（2022·浙江·舟山市第一初級中學一模）閱讀下面的例題，

范例：解方程x2|x|20，

2

解：（1）當x0時，原方程化為xx20，解得：x12，x21（不合題意，舍去）．

2

（2）當x＜0時，原方程化為xx20，解得：x12，x21（不合題意，舍去）．

∴原方程的根是x12，x22，

請參照例題解方程x2|x1|10

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核心考點三數(shù)軸

例1（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，數(shù)軸上的點A和點B分別在原點的左側(cè)和右側(cè)，點A、B對應的

實數(shù)分別是a、b，下列結(jié)論一定成立的是（）

A．a(chǎn)b0B．ba0C．2a2bD．a(chǎn)2b2

ab

例2（2022·寧夏·中考真題）已知實數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則的值是（）

ab

A．2B．1C．0D．2

11

例3（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，數(shù)軸上的點A、B分別表示實數(shù)a、b，則______．（填“>”、

ab

“=”或“<”）

數(shù)軸的概念與畫法

數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸．

數(shù)軸的畫法：①在直線上任取一個點表示數(shù)0，這個點叫做原點，②通常規(guī)定直線上從原點向右為正方向，

從原點向左為負方向；③選取適當?shù)拈L度為單位長度，直線上從原點向右，每隔一個單位長度取一個點，

依次表示1，2，3，……；從原點向左用類似的方法依次表示-1，-2，-3，…….

數(shù)軸上的點與有理數(shù)之間的關系

①每個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一點來表示，也可以說每個有理數(shù)都對應數(shù)軸上的一點；

②一般地，設a是一個正數(shù)，則數(shù)軸上表示數(shù)a的點在原點的右邊，與原點的距離是a個單位長度；表示-a

的點在原點的左邊，與原點的距離是a個單位長度.

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【變式1】（2022·北京市第十九中學三模）實數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確

的是（）

A．a(chǎn)2B．b1C．a(chǎn)b0D．ba0

【變式2】（2022·河北·大名縣束館鎮(zhèn)束館中學三模）2022年北京冬季奧運會開幕式于2022年2月4日20：

00在國家體育館舉行，嘉淇利用相關數(shù)字做游戲：

①畫一條數(shù)軸，在數(shù)軸上用點A，B，C分別表示﹣20，2022，﹣24，如圖1所示；

②將這條數(shù)軸在點A處剪斷，點A右側(cè)的部分稱為數(shù)軸I，點A左側(cè)的部分稱為數(shù)軸Ⅱ；

③平移數(shù)軸Ⅱ使點A位于點B的正下方，如圖2所示；

④擴大數(shù)軸Ⅱ的單位長度至原來的k倍，使點C正上方位于數(shù)軸I的點A左側(cè)．

則整數(shù)k的最小值為（）

A．511B．510C．509D．500

【變式3】（2022·四川廣元·二模）已知：A，B在數(shù)軸上對應的數(shù)分別用a，b表示，且(a4)2|b12|0．若

點C點在數(shù)軸上且滿足AC3BC，則C點對應的數(shù)為________．

【變式4】（2022·廣東廣州·一模）如圖，在關于x的方程xab（a，b為常數(shù)）中，x的值可以理解為：

在數(shù)軸上，到A點的距離等于b的點X對應的數(shù)．例如：因為到實數(shù)1對應的點A距離為3的點X對應的

數(shù)為4和-2，所以方程x1=3的解為x4，x2．用上述理解，可得方程x32的解為______．

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【變式5】（2022·河北秦皇島·一模）如圖，在一條直線上，從左到右依次有點A、B、C．其中AB＝4cm，

BC＝2cm．以這條直線為基礎建立數(shù)軸，設點A、B、C所表示數(shù)的和是p．

(1)如果規(guī)定向右為正方向：

①若以BC的中點為原點O，以1cm為單位長度建立數(shù)軸，則p＝______；

②若單位長度不變，改變原點O的位置，使原點O在點C的右邊，且CO＝30cm，求p的值；并說明原點

每向右移動1cm，p值將如何變化？

③若單位長度不變，使p＝64，則應將①中的原點O沿數(shù)軸向______方向移動______cm；

④若以①中的原點為原點，單位長度為ncm建立數(shù)軸，則p＝______．

(2)如果以1cm為單位長度，點A表示的數(shù)是-1，則點C表示的數(shù)是______．

核心考點四科學記數(shù)法

例1（2022·吉林長春·中考真題）長春軌道客車股份有限公司制造的新型奧運版復興號智能動車組，車頭

采用鷹隼形的設計，能讓性能大幅提升，一列該動車組一年運行下來可節(jié)省約1800000度電，將數(shù)據(jù)1800000

用科學記數(shù)法表示為（）

A．18105B．1.8106C．1.8107D．0.18107

例2（2022·山東聊城·中考真題）射擊時，子彈射出槍口時的速度可用公式v2as進行計算，其中a為

子彈的加速度，s為槍筒的長．如果a5105m/s2，s0.64m，那么子彈射出槍口時的速度（用科學記數(shù)

法表示）為（）

A．0.4102m/sB．0.8102m/s

C．4102m/sD．8102m/s

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例3（2022·遼寧鞍山·中考真題）教育部2022年5月17日召開第二場“教育這十年”“1＋1”系列新聞發(fā)布

會，會上介紹我國已建成世界最大規(guī)模高等教育體系，在學總?cè)藬?shù)超過44300000人．將數(shù)據(jù)44300000用

科學記數(shù)法表示為_________．

科學記數(shù)法

1．乘方的定義

（1）求相同因式積的運算，叫做乘方；

（2）乘方中，相同的因式叫做底數(shù)，相同因式的個數(shù)叫做指數(shù)，乘方的結(jié)果叫做冪；

2．科學記數(shù)法：把．一．個．大．于．1．0．的．數(shù)．記．成．a(chǎn)．×．1．0．n．的．形．式．，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，這種記數(shù)法叫

科學記數(shù)法.

3.近似數(shù)的精確位：一個近似數(shù)，四舍五入到那一位，就說這個近似數(shù)的精確到那一位.

4.有效數(shù)字：從左邊第一個不為零的數(shù)字起，到精確的位數(shù)止，所有數(shù)字，都叫這個近似數(shù)的有效數(shù)字.

【變式1】（2022·浙江·寧波外國語學校一模）2月4日的北京冬奧會開幕式精彩紛呈，展示了中國人民的文

化自信．據(jù)估計有約5億觀眾收看了北京冬奧會開幕式，在收視率方面超過了往屆任何冬奧會．用科學記數(shù)

法可以把5億表示成（）

A．5109B．50108C．5108D．50107

【變式2】（2022·山西·孝義市教育科技局教學研究室三模）一季度，面對國際環(huán)境更趨復雜嚴峻和國內(nèi)疫

情頻發(fā)帶來的多重考驗，在以習近平同志為核心的黨中央堅強領導下，科學統(tǒng)籌疫情防控和經(jīng)濟社會發(fā)展，

初步核算，一季度國內(nèi)生產(chǎn)總值約為27萬億元，按不變價格計算，同比增長4.8%．數(shù)據(jù)27萬億元用科學

記數(shù)法表示為（）

A．2.71013元B．2.71014元C．0.271014元D．271012元

【變式3】（2022·河北唐山·一模）記者從科技局獲悉，某市今年將繼續(xù)加大科技投入力度，科研經(jīng)費投入

總量達到1.3950億元，比去年增加20%，則去年某市的科技經(jīng)費投入總量為______億元，今年科研經(jīng)費投

入總量達到1.395億元，用科學記數(shù)法表示為______元（結(jié)果保留二位小數(shù)）．

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【變式4】（2022·湖北·廣水市教學研究室二模）在全國上下眾志成城抗疫情、保生產(chǎn)、促發(fā)展的關鍵時刻，

三峽集團2月24日宣布：在廣東、江蘇等地投資580億元，開工建設25個新能源項目，預計提供17萬個

就業(yè)崗位將“580億元”用科學記數(shù)法表示為____________元．

【變式5】（2022·河北·石家莊市第四十一中學一模）2021年11月5日至10日第四屆中國國際進口博覽會

在上海舉行，意向成交707.2億美元，彰顯了中國的經(jīng)濟實力和人民生活品質(zhì)的提升.某省采購團5號意向

成交m億美元，6、7號意向成交價平均每天以a%的增長率遞增．

(1)707.2億用科學記數(shù)法表示為_________；

(2)該省采購團7號意向成交_________億美元；（用含m、a的代數(shù)式表示）

(3)該省采購團5-7號意向成交共16.55億美元，若m5，求a的值．

核心考點五實數(shù)的大小比較

例1（2022·黑龍江大慶·中考真題）實數(shù)c，d在數(shù)軸上的對應點如圖所示，則下列式子正確的是()

A．cdB．|c||d|C．cdD．cd0

例2（2022·山東濟南·中考真題）實數(shù)a，b在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）

A．a(chǎn)b0B．a(chǎn)b0C．a(chǎn)bD．a(chǎn)1b1

例3（2022·陜西·中考真題）實數(shù)a，b在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，則a______b．（填“>”“=”或“<”）

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有理數(shù)比較大小的法則

兩個數(shù)比較大小，按數(shù)的性質(zhì)符號分類，情況如下：

【變式1】（2022·四川攀枝花·模擬預測）實數(shù)a,b在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

A．a(chǎn)bB．a(chǎn)bC．a(chǎn)b0D．a(chǎn)b0

【變式2】（2022·河北唐山·二模）對于數(shù)字-2+5，下列說法中正確的是（）

A．它不能用數(shù)軸上的點表示出來B．它比0小

C．它是一個無理數(shù)D．它的相反數(shù)為2+5

【變式3】（2022·北京房山·一模）寫出一個比11大且比4小的無理數(shù)_______．

【變式4】（2022·河北·大名縣束館鎮(zhèn)束館中學三模）定義新運算：對于兩個不相等的實數(shù)a，b，我們規(guī)定

符號max{a，b}表示a，b中的較大值，如：max{﹣2，﹣4}＝﹣2．

（1）max{26，5}＝_____；

2x

（2）若max{﹣12，（一1）2}＝，則x＝_____．

2x

【變式5】（2022·內(nèi)蒙古包頭·一模）在一個不透明的盒子里放置三張卡片，分別標有實數(shù)2，21，21

（卡片除了標有的實數(shù)不同外，其余均相同），先從盒子里隨機抽取一張卡片，將卡片上的實數(shù)作為被減數(shù)，

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卡片不放回，再隨機抽取一張卡片，將卡片上的實數(shù)作為減數(shù)．

(1)請用列表或畫樹狀圖的方法寫出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；

(2)求兩次抽取的卡片上的實數(shù)之差為正實數(shù)的概率．

核心考點六平方根、立方根

例1（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）下列說法正確的是（）

①若二次根式1x有意義，則x的取值范圍是x≥1．

②7＜65＜8．

③若一個多邊形的內(nèi)角和是540°，則它的邊數(shù)是5．

④16的平方根是±4．

⑤一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有兩個不相等的實數(shù)根．

A．①③⑤B．③⑤C．③④⑤D．①②④

例2（2022·廣西賀州·中考真題）某餐廳為了追求時間效率，推出一種液體“沙漏”免單方案（即點單完成

后，開始倒轉(zhuǎn)“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所點的菜需全部上桌，否則該桌免費用餐）．“沙漏”是由一個圓

錐體和一個圓柱體相通連接而成．某次計時前如圖（1）所示，已知圓錐體底面半徑是6cm，高是6cm；圓

柱體底面半徑是3cm，液體高是7cm．計時結(jié)束后如圖（2）所示，求此時“沙漏”中液體的高度為（）

A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm

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1

例3（2022·湖北荊門·中考真題）計算：3+cos60°﹣（﹣2022）0＝_____．

8

1、算術平方根：正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術平方根，記作“a”。

0的算術平方根為0；從定義可知，只有當a≥0時,a才有算術平方根。

2、平方根：如果一個數(shù)x的平方等于a，那么這個數(shù)就叫做a的平方根（或二次方跟）。即若x2=a，則x

叫做a的平方根。

注．：．一．個．正．數(shù)．有．兩．個．平．方．根．，．它．們．互．為．相．反．數(shù)．；．0．的．平．方．根．是．0．，．；．負．數(shù)．沒．有．平．方．根．。．

3、立方根：一般地，如果一個數(shù)x的立方等于a，那么這個數(shù)就叫做a的立方根（或a的三次方根）。

注．：．一．個．正．數(shù)．有．一．個．正．的．立．方．根．；．一．個．負．數(shù)．有．一．個．負．的．立．方．根．；．零．的．立．方．根．是．零．。．

3

【變式1】（2022·四川·綿陽中學英才學校二模）若3xmy和5x3yn的和是單項式，則mn的平方根是（）

A．8B．8C．4D．8

【變式2】（2022·江蘇·南京市花園中學模擬預測）一般地，如果xna（n為正整數(shù)，且n＞1），那么x叫

做a的n次方根，下列結(jié)論中正確的是（）

A．16的4次方根是2

B．32的5次方根是±2

C．當n為奇數(shù)時，2的n次方根隨n的增大而減小

D．當n為偶數(shù)時，2的n次方根有n個

11

【變式3】（2022·山東濟寧·二模）已知m6，則m的值為_____________.

mm

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【變式4】（2022·江蘇鹽城·一模）若x，y為實數(shù)，且滿足(xy4)23xy0，那么32xy的值為

______．

【變式5】（2022·江蘇鹽城·一模）因為1＜33＜2，即1＜33＜2，所以33的整數(shù)部分為1，小數(shù)部分為331．類

比以上推理解答下列問題：

(1)求330的整數(shù)部分和小數(shù)部分；

(2)若m是1111的小數(shù)部分，n是1111的小數(shù)部分，且（x+1）2＝m+n，求x的值．

核心考點七二次根式及其運算

例1（2022·湖北武漢·中考真題）下列各式計算正確的是（）

A．235B．43331C．236D．1226

例2（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）下列運算正確的是（）

1

A．82B．(mn)2m2n2

2

1212y29x2

C．D．3xy

x1xx3x2y

1

例3（2022·山西·中考真題）計算18的結(jié)果是________．

2

第14頁共26頁.

二次根式

1．二次根式的定義：形如式子a（a≥0）叫做二次根式。（或是說，表示非負數(shù)的算術平方根的式子，

叫做二次根式）。

2．二次根式有意義的條件：被．開．方．數(shù)．≥．0．

3.二次根式的性質(zhì)

（1）a(a0)是非負數(shù)；

（2）（a）2=a（a≥0）；

aa＞0

a2aa0a0

（3）

aa＜0

（4）非負數(shù)的積的算術平方根等于積中各因式的算術平方根的積，

即abab（a≥0,b≥0）。

（5）非負數(shù)的商的算術平方根等于被除式的算術平方根除以除式的算術平方根，即

aa

（a≥0,b>0）。反之，

bb

aa

ababa0,b0(a0,b0)

bb

分母有理化

1．最簡二次根式：必須同時滿足下列條件：

⑴被開方數(shù)中不．含．開．方．開．的．盡．的．因．數(shù)．或．因．式．；

⑵被開方數(shù)中不．含．分．母．；⑶分母中不．含．根．式．。

2．同類二次根式：二次根式化成最簡二次根式后，若被開方數(shù)相同，則這幾個二次根式就是同類二次根式。

3．分母有理化：分母有理化就是通過分子和分母同乘以分母的有理化因式，將分母中的根號去掉的過程，

混合運算中進行二次根式的除法運算，一般都是通過分母有理化而進行的。

4．分母有理化的方法：分．子．分．母．同．乘．以．分．母．的．有．理．化．因．式．。

5．有理化因式：兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，則說這兩個代數(shù)式互為

有理化因式。

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6．找有理化因式的方法：

（1）分母為單項式時，分母的有理化因式是分母本身帶根號的部分。如：①a的有理化因式為a，②

ab的有理化因式為b。

（2）分母為多項式時，分母的有理化因式是與分母相乘構(gòu)成平方差的另一部分。即ab的有理化因式

為ab，ab的有理化因式為ab，axby的有理化因式為axby

【變式1】（2022·廣東·佛山市南海外國語學校三模）如圖，把一張矩形紙片ABCD按如圖所示方法進行兩

次折疊后，△BEF恰好是等腰直角三角形，若BE2，則CD的長度為（）

A．22B．22C．222D．224

【變式2】（2022·重慶·西南大學附中三模）某數(shù)學興趣小組在學習二次根式的時候發(fā)現(xiàn)：有時候兩個含有

二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，例如，(52)(52)1，aaa，

(232)(232)10．通過查閱相關資料發(fā)現(xiàn)，這樣的兩個代數(shù)式互為有理化因式．小組成員利用有

理化因式，分別得到了一個結(jié)論：

135

甲：；

354

ab

乙：設有理數(shù)a，b滿足：624，則ab6；

2121

11

丙：；

2022202120202019

?。阂阎?3x11x4，則43x11x6；

11113311

戊：.

33533575579997979966

以上結(jié)論正確的有（）

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A．甲丙丁B．甲丙戊C．甲乙戊D．乙丙丁

【變式3】（2022·山東濟南·二模）如果2、5、m是某三角形三邊的長，則(m3)2(m7)2等于_____．

【變式4】（2022·甘肅·嘉峪關市明珠學校一模）對于任意兩個不相等的數(shù)a,b，定義一種新運算“”如下：

ab32

ab如：32，那么124________．

ab32

【變式5】（2022·廣東·東莞市萬江第三中學三模）閱讀理解

對于任意正實數(shù)a，b，(ab)20，\a+b-2ab30，ab2ab，只有當ab時，等號成立．

結(jié)論：在ab2ab(a,b均為正實數(shù))中，若ab為定值p，則ab2p只有當ab時，ab有最小值

2p．

根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問題：

1

(1)若m0，只有當m______時，m有最小值______．

m

(2)探索應用

6

如圖，已知A2,0，B0,3，P為雙曲線y(x0)上的任意一點，過點P作PCx軸于點C，PDy

x

軸于點D.求四邊形ABCD面積的最小值，并說明此時四邊形ABCD的形狀．

(3)實踐應用

建筑一個容積為800m3，深為8m的長方體蓄水池，池壁每平方米造價為80元，池底每平方米造價為120元，

如何設計池底的長、寬，使總造價最低？

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核心考點八實數(shù)的運算

1

例1（2022·貴州安順·中考真題）估計(2552)的值應在（）

5

A．4和5之間B．5和6之間C．6和7之間D．7和8之間

例2（2022·四川·巴中市教育科學研究所中考真題）對于實數(shù)a，b定義新運算：a※bab2b，若關于x

的方程1※xk有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍（）

1111

A．kB．kC．k且k0D．k且k0

4444

例3（2022·湖北荊州·中考真題）若32的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則代數(shù)式22ab的值是

______．

1．加法的運算律：

（1）加法的交換律：a+b=b+a；

（2）加法的結(jié)合律：（a+b）+c=a+（b+c）.

2．減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)；即a-b=a+（-b）.

3.乘法法則：

（1）兩數(shù)相乘，同號為正，異號為負，并把絕對值相乘；

（2）任何數(shù)同零相乘都得零；

（3）幾個數(shù)相乘，有一個因式為零，積為零；各個因式都不為零，積的符號由負因式的個數(shù)決定.

4.乘法的運算律：

（1）乘法的交換律：ab=ba；（2）乘法的結(jié)合律：（ab）c=a（bc）；

（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac.

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a

5．除法法則：除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)；注意：零不能做除數(shù)，即無意義.

0

6．乘方的法則：

（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；

（2）負數(shù)的奇次冪是負數(shù)；負數(shù)的偶次冪是正數(shù)；

注意：當n為正奇數(shù)時:(-a)n=-an或(a-b)n=-(b-a)n,

當n為正偶數(shù)時:(-a)n=an或(a-b)n=(b-a)n.

7.混合運算法則：先乘方，后乘除，最后加減.

8．二次根式的加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再將同類二次根式分別合并。

一般地，二次根式的加減法可分以下三個步驟進行：

（1）將每一個二次根式都化簡成最簡二次根式

（2）判斷哪些二次根式是同類二次根式，把同類二次根式結(jié)合成一組

（3）合并同類二次根式

9．二次根式的乘法

兩個二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變，即

abab（a≥0，b≥0）。

兩個二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變，即

aa

（a≥0，b＞0）。

bb

10.常見類型

bbaba

aaaa

常．見．類．型．一．：．．．

cc(ab)c(ab)

ab(ab)(ab)ab

常．見．類．型．二．：．．．

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【變式1】（2022·河北唐山·二模）如表，這是嘉琪同學的小測試卷，他應該得到的分數(shù)是（）

判斷題：每題20分

（1）|﹣3|＝3（√）

（2）（﹣2x2）3＝﹣6x3（√）

（3）（a﹣b）2＝a2﹣b2（×）

（4）255（×）

（5）65°的補角是115°（√）

A．40B．60C．80D．100

1

【變式2】（2022·湖北·鄂州市鄂城區(qū)教學研究室三模）若干個數(shù)，第一個數(shù)記為a1，規(guī)定運算：a21，

a1

1111

．2

a31，a41，a51，…，an1按上述方法計算：當a1時，a2022的值等于（）

a2a3a4an13

12

A．

B．

C．

2D．3

23

【變式3】（2022·廣東·深圳市寶安中學（集團）三模）取整函數(shù)就是f(x)=[x]，也被稱為高斯函數(shù)，記號[x]

111

表示不大于x的最大整數(shù)，例如：[2.3]=2，[﹣4.7]=﹣5，若S=1＋，則

233420212022

[S]=______．

x

【變式4】（2022·湖北·孝感市孝南區(qū)教學研究室模擬預測）對于實數(shù)x0，規(guī)定f(x)，例如

x1

1

221211111

f(2),f，設Sfffff(1)f(3)f(5)f(7)f(9)，

1

2132139753

2

則S的值為_________．

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【變式5】（2022·重慶市第三十七中學校二模）若一個四位數(shù)m的前兩位數(shù)字相同且各位數(shù)字均不為0，則

稱這個數(shù)為“巴渝數(shù)”；若把這個數(shù)的個位數(shù)字放到前三位數(shù)字組成的數(shù)的前面組成一個新的四位數(shù)，則稱這

個新的四位數(shù)為“橋梁數(shù)”；記一個“巴渝數(shù)”m與它的“橋梁數(shù)”的差為F(m)，例如，5536前兩位數(shù)字相同，

所以5536為“巴渝數(shù)”；則6553就為它的“橋梁數(shù)”，F(xiàn)(5536)553665531017．

(1)F(3312)，F(xiàn)(7722)．

(2)若一個千位數(shù)字為2的“巴渝數(shù)”m能被6整除，它的“橋梁數(shù)”能被2整除，請求出滿足條件的F(m)的最

大值．

第21頁共26頁.

【新題速遞】

1．（2022·陜西渭南·七年級期中）數(shù)軸上某一個點表示的數(shù)為a，若將這個點先向右移動4個單位，再向左

移動5個單位，此時這個點表示的數(shù)為2，則a的值為()

A．1B．2C．1D．2

2．（2022·江蘇鹽城·九年級期中）設M2a22a1，N3a22a7，其中a為實數(shù)，則M與N的大小關系

是（）

A．MNB．MNC．NMD．NM

3．（2022·河北石家莊·八年級期中）實數(shù)15在數(shù)軸上的大致位置是（）

A．點AB．點BC．點CD．點D

4．（2022·廣東·豐順縣茶背中學九年級階段練習）如圖，邊長為6的大正方形中有兩個小正方形，若兩個

小正方形的面積分別為S1、S2，則S1S2的值為（）

A．16B．17C．18D．19

2

5．（2022·河南·南陽市第十三中學校八年級階段練習）對于實數(shù)a、b，定義一種運算：a*bab．給

2

出三個推斷：①a*bb*a；②a*ba2*b2；③a*ba*b，其中正確的推斷個數(shù)是（）

A．0B．1C．2D．3

6．（2022·重慶萬州·九年級階段練習）觀察下面分母有理化的過程：

11(21)21

21，從計算過程中體會方法，并利用這一方法計算：

21(21)(21)21

1111

(20221)的值是（）

21324320222021

A．20221B．20221C．2021D．2022

7．（2022·重慶市南開兩江中學校八年級期中）實數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應點如圖所示，化簡：

第22頁共26頁.

a2(ab)23(ba)3____________．

8．（2022·廣東·豐順縣茶背中學九年級階段練習）設a，b是兩個整數(shù)，若定義一種運算“”：

aba2b2ab，則方程x211的實數(shù)根是___________．

1

9．（2022·浙江·翠苑中學九年級階段練習）若函數(shù)y(4x260x9|4x260x9|)，則當自變量x取1，

2

2，…，15，16，17這17個自然數(shù)時，函數(shù)值的和為__．

10．（2022·上?！ど贤飧街邪四昙夒A段練習）14410的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則

11

___________．

abab

11．（2022·北京房山·八年級期中）當今大數(shù)據(jù)時代，“二維碼”具有存儲量大、保密性強、追蹤性高等特點，

它已被廣泛應用于我們的日常生活中．通常一個“二維碼”由1000個大大小小的黑白小方格組成，其中大約

80%的小方格專門用做糾錯碼和其他用途的編碼，這相當于1000個方格中只有200個方格作為數(shù)據(jù)碼，根

據(jù)相關的數(shù)學知識，這200個方格可生成2200個不同的數(shù)據(jù)二維碼．下列結(jié)論：

①2200就是2個200相乘；

②2200就是400個2相乘，它是一個非常非常大的數(shù)；

③2200的個位數(shù)字是6；

④因為(2)202101024，1031000，所以估計(2)400比1060大．

其中所有正確結(jié)論的序號是___________